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Tema 2: Múltiplos y Divisores. 1ºESO
Nombre:…………………………………………………………………………………………….. Curso:……….
1
Divisiores de 24 = {1, 2, ?, 4, ?, ?, ?, 24}
24 = 1 x 24
24 = 2 x 12
24 = 3 x 8
24 = 4 x 6
Divisiores de 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Solución:
No es divisible por 2 porque no termina en cifra par, sino en 5. Es divisible por 3 porque la suma de sus cifras (1 + 6
+ 5 = 12) es múltiplo de 3. Es divisible por 5 porque termina en 5. No es divisible por 9 porque la suma de sus cifras
(1 + 6 + 5 = 12) no es múltiplo de 9.
2
¿De cuántas formas distintas en filas y columnas puede César colocar sus 16 botes de pinturas?
Solución:
D (16) = {1, 2, 4, 8, 16}. Puede formar rectángulos de 1 × 16, 2 × 8, 4 × 4, 8 × 2 y 16 × 1.
3
Escribe dos números de 4 cifras que sean divisibles por 3 y 11 al mismo tiempo. Explica por qué lo son.
Solución:
Una forma fácil de hacerlo sería buscar un número cuya primera y tercera cifra sumase 3, y cuya segunda y cuarta
cifra también sumase 3. Por ejemplo: 1 221, 3 003, 1 320 etc. Otra forma sería hacer el producto de 3, 11 y otro
número cualquiera cuyo resultado fuese un número de 4 cifras. Por ejemplo: 3 · 11 · 100 = 3 300.
Todos estos números son divisibles por 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3. También son divisibles
por 11 porque la diferencia entre la suma de sus cifras en posición par y las de la posición impar es múltiplo de 11.
4
a) ¿Por qué el número 3 no es divisor de 40 ?
b) ¿Por qué el número 2 no es divisor de 41 ?
c) ¿Por qué el número 5 no es divisor de 42 ?
d) ¿Por qué el número 7 no es divisor de 43 ?
Solución:
40
3
a)
Porque
no es una división exacta.
41
2
b)
Porque
no es una división exacta.
42
5
c)
Porque
no es una división exacta.
43
7
d)
5
Porque
no es una división exacta.
De los números 77, 253, 420, 5 334, señala cuáles son divisibles por 3, 10 y 11, sin hacer ninguna operación
y explica por qué.
Solución:
Es múltiplo de 3 el 420 y el 5 334 porque sus cifras suman 6 y 15 respectivamente, que son múltiplos de 3. Es
múltiplo de 10 sólo el 420 porque termina en cero. Son múltiplos de 11 los números 77 y 253 porque la diferencia
entre la suma de sus cifras en posición par y las de la posición impar es 0 que es múltiplo de 11.
6
¿De cuántas formas distintas se pueden hacer equipos del mismo número de componentes con los 28
alumnos de la clase?
Solución:
D (28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}. Se pueden hacer 28 equipos unipersonales, 14 de 2 personas, 7 de 4 personas, 4 de 7
personas, 2 de 14 personas y un solo grupo con los 28 alumnos.
7
Entre los siguientes números 45, 614, 846, 1025,
a)
¿Cuáles son múltiplos de 3?
b)
¿Cuáles son múltiplos de 5?
c)
¿Hay algún número múltiplo de 15?
Solución:
a)
45 y 846. La suma de sus cifras es múltiplo de 3.
8
b)
45 y 1025. Acaban en 5.
c)
45 que es a la vez múltiplo de 3 y de 5.
¿De cuántas formas se pueden guardar 116 libros, con el mismo número de libros en cada caja, si no
disponemos de más de 7 cajas? ¿Cuántos sobran si se utilizan 5 cajas?
Solución:
D (116) = {1, 2, 4, 29, 58, 116}. Se pueden colocar en una caja los 116, en dos cajas de 58 cada una o en 4 de 29
cada una.
116 entre 5 tiene cociente 23 y resto 1. Si se utilizan 5 cajas sobrará 1 libro.
9
Calcula todos los divisores de:
a)
304
b)
81
Solución:
a)
D(304): 1, 2, 4, 8, 16, 19, 38, 76, 152
b)
D(81): 1, 3, 9, 27, 81
10 Halla los 5 primeros múltiplos y todos los divisores de:
a)
114
b)
87
Solución:
a)
M(114): 114, 228, 342, 456, 570
D(114): 1, 2, 3, 19, 57 y 114
b)
M(87): 87, 174, 261, 348, 435
D(87): 1, 3, 29 y 87
11 Escribe todos los múltiplos de 2 y 7 comprendidos entre 50 y 100.
Solución:
Los múltiplos de 2 y 7 son múltiplos de su producto, 14.
Los múltiplos buscados son: 56, 70, 84 y 98.
12 Completa la siguiente tabla:
Número
Divisores
¿Es primo?
19
1, 19
Sí
34
37
1, 2, 4
Solución:
Número
Divisores
¿Es primo?
19
1, 19
Sí
34
1, 2, 17, 34
No
37
1, 37
Sí
4
1, 2, 4
No
13 Escribe todos los primos entre 40 y 80.
Solución:
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 y 79.
14 Completa las frases:
- "Un número es primo cuando tiene solamente _____ divisores"
- "Un número es compuesto cuando tiene ____________________ "
Solución:
- "Un número es primo cuando tiene solamente dos divisores"
- "Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores".
15 Clasifica en primos y compuestos los números:
163, 319, 451, 641, 1 267
Solución:
Primos: 163, 641
Compuestos: 319, 451, 1 267
2
16 ¿Es 2 · 6 · 5 · 11 la descomposición en factores primos de un número? ¿Cuál sería la correcta? ¿De qué
número es descomposición factorial?
Solución:
No es la descomposición en factores primos porque el factor 6 es compuesto.
3
La correcta sería 2 · 3 · 5 · 11 del número 1320.
17 Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
“Los múltiplos de un número primo también son números primos”
Solución:
Es falsa porque si un número es múltiplo de un número primo, entonces tiene como divisor a ese número primo
además de la unidad y él mismo.
18 Completa el conjunto de divisores de 24 y de 60. Después escribe los divisores comunes a los dos
números.
D (24) = {1, 2, __, __, __, __, __, 24}
D(60) {1, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, 60}
Divisores comunes a 24 y 60: { __, __, __, __, __, __,}
Solución:
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D (60) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Divisores comunes a 24 y 60: { 1, 2, 3, 4, 6, 12,}
19 Calcula:
a) m.c.m. (90, 12)
b) M.C.D. (90, 12)
Solución:
2
90 = 2 · 3 · 5
2
12 = 2 · 3
2
2
a) m.c.m. (90, 12) = 2 · 3 · 5 = 180
b) M.C.D. (90, 12) = 2 · 3 = 6
20 Escribe dos múltiplos comunes de 8, 12 y 16, lo más pequeños posible, sin tener en cuenta al cero. ¿Cuál
es el mínimo común múltiplo?
Solución:
m. c. m. (8, 12, 16) =48. Los dos múltiplos comunes a 8, 12 y 16 más pequeños, sin tener en cuenta al cero, serían
48 · 1 = 48 y 48 · 2 = 96.
21 Paula se reúne con sus compañeros de clases de violín cada 6 días y con los de inglés cada 9. ¿Cada
cuánto tiempo se reúne con ambos grupos el mismo día?
Solución:
m. c. m. (6, 9) = 18. Cada 18 días coincide la reunión con ambos grupos.
22 En mi calle hay plantado un chopo cada 10 m. y hay una papelera cada 14 m. ¿Cada cuántos metros puedo
encontrar un árbol junto a una papelera?
Solución:
m. c. m. (10, 14) = 70. Cada 70 metros encuentro un árbol junto a una papelera.
23 María tiene 120 libros y Pablo 160. Para facilitar la mudanza quieren meter sus libros en cajas lo más
grandes posible, con el mismo número de libros y sin que se mezclen. ¿Cuántos libros contendrá cada
caja?
Solución:
M.C.D. (120, 160) = 40. Cada caja contendrá 40 libros.
24 En la panadería de la esquina hay napolitanas recién hechas cada 10 minutos, ensaimadas cada 14 minutos
y rosquillas cada 28 minutos. Si a las 11 y cuarto de la mañana pude comprar un producto de cada, recién
hechos. ¿A qué hora podré volver a repetir una compra igual?
Solución:
m. c. m. (10, 14, 28) = 140. 140 minutos son 2 horas y 20 minutos, por tanto a las 13 : 35 horas se podrá hacer una
compra igual.
25 Los cristales del instituto se limpian cada 9 semanas, los techos cada 12 y las estanterías de la biblioteca
cada 6. ¿Cada cuántas semanas coincidirán las tres tareas? Si a comienzo de curso se hace una limpieza
general, ¿cuántas veces se limpiaran durante el curso los cristales?
Solución:
m. c. m. (6, 9, 12) = 36. Cada 36 semanas coinciden las tres tareas. Teniendo en cuenta que el curso son
aproximadamente 36 semanas, los cristales se limpiarán 36 : 9 = 4 veces durante el curso.