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Tema 2: Múltiplos y Divisores. 1ºESO Nombre:…………………………………………………………………………………………….. Curso:………. 1 Divisiores de 24 = {1, 2, ?, 4, ?, ?, ?, 24} 24 = 1 x 24 24 = 2 x 12 24 = 3 x 8 24 = 4 x 6 Divisiores de 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Solución: No es divisible por 2 porque no termina en cifra par, sino en 5. Es divisible por 3 porque la suma de sus cifras (1 + 6 + 5 = 12) es múltiplo de 3. Es divisible por 5 porque termina en 5. No es divisible por 9 porque la suma de sus cifras (1 + 6 + 5 = 12) no es múltiplo de 9. 2 ¿De cuántas formas distintas en filas y columnas puede César colocar sus 16 botes de pinturas? Solución: D (16) = {1, 2, 4, 8, 16}. Puede formar rectángulos de 1 × 16, 2 × 8, 4 × 4, 8 × 2 y 16 × 1. 3 Escribe dos números de 4 cifras que sean divisibles por 3 y 11 al mismo tiempo. Explica por qué lo son. Solución: Una forma fácil de hacerlo sería buscar un número cuya primera y tercera cifra sumase 3, y cuya segunda y cuarta cifra también sumase 3. Por ejemplo: 1 221, 3 003, 1 320 etc. Otra forma sería hacer el producto de 3, 11 y otro número cualquiera cuyo resultado fuese un número de 4 cifras. Por ejemplo: 3 · 11 · 100 = 3 300. Todos estos números son divisibles por 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3. También son divisibles por 11 porque la diferencia entre la suma de sus cifras en posición par y las de la posición impar es múltiplo de 11. 4 a) ¿Por qué el número 3 no es divisor de 40 ? b) ¿Por qué el número 2 no es divisor de 41 ? c) ¿Por qué el número 5 no es divisor de 42 ? d) ¿Por qué el número 7 no es divisor de 43 ? Solución: 40 3 a) Porque no es una división exacta. 41 2 b) Porque no es una división exacta. 42 5 c) Porque no es una división exacta. 43 7 d) 5 Porque no es una división exacta. De los números 77, 253, 420, 5 334, señala cuáles son divisibles por 3, 10 y 11, sin hacer ninguna operación y explica por qué. Solución: Es múltiplo de 3 el 420 y el 5 334 porque sus cifras suman 6 y 15 respectivamente, que son múltiplos de 3. Es múltiplo de 10 sólo el 420 porque termina en cero. Son múltiplos de 11 los números 77 y 253 porque la diferencia entre la suma de sus cifras en posición par y las de la posición impar es 0 que es múltiplo de 11. 6 ¿De cuántas formas distintas se pueden hacer equipos del mismo número de componentes con los 28 alumnos de la clase? Solución: D (28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}. Se pueden hacer 28 equipos unipersonales, 14 de 2 personas, 7 de 4 personas, 4 de 7 personas, 2 de 14 personas y un solo grupo con los 28 alumnos. 7 Entre los siguientes números 45, 614, 846, 1025, a) ¿Cuáles son múltiplos de 3? b) ¿Cuáles son múltiplos de 5? c) ¿Hay algún número múltiplo de 15? Solución: a) 45 y 846. La suma de sus cifras es múltiplo de 3. 8 b) 45 y 1025. Acaban en 5. c) 45 que es a la vez múltiplo de 3 y de 5. ¿De cuántas formas se pueden guardar 116 libros, con el mismo número de libros en cada caja, si no disponemos de más de 7 cajas? ¿Cuántos sobran si se utilizan 5 cajas? Solución: D (116) = {1, 2, 4, 29, 58, 116}. Se pueden colocar en una caja los 116, en dos cajas de 58 cada una o en 4 de 29 cada una. 116 entre 5 tiene cociente 23 y resto 1. Si se utilizan 5 cajas sobrará 1 libro. 9 Calcula todos los divisores de: a) 304 b) 81 Solución: a) D(304): 1, 2, 4, 8, 16, 19, 38, 76, 152 b) D(81): 1, 3, 9, 27, 81 10 Halla los 5 primeros múltiplos y todos los divisores de: a) 114 b) 87 Solución: a) M(114): 114, 228, 342, 456, 570 D(114): 1, 2, 3, 19, 57 y 114 b) M(87): 87, 174, 261, 348, 435 D(87): 1, 3, 29 y 87 11 Escribe todos los múltiplos de 2 y 7 comprendidos entre 50 y 100. Solución: Los múltiplos de 2 y 7 son múltiplos de su producto, 14. Los múltiplos buscados son: 56, 70, 84 y 98. 12 Completa la siguiente tabla: Número Divisores ¿Es primo? 19 1, 19 Sí 34 37 1, 2, 4 Solución: Número Divisores ¿Es primo? 19 1, 19 Sí 34 1, 2, 17, 34 No 37 1, 37 Sí 4 1, 2, 4 No 13 Escribe todos los primos entre 40 y 80. Solución: 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 y 79. 14 Completa las frases: - "Un número es primo cuando tiene solamente _____ divisores" - "Un número es compuesto cuando tiene ____________________ " Solución: - "Un número es primo cuando tiene solamente dos divisores" - "Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores". 15 Clasifica en primos y compuestos los números: 163, 319, 451, 641, 1 267 Solución: Primos: 163, 641 Compuestos: 319, 451, 1 267 2 16 ¿Es 2 · 6 · 5 · 11 la descomposición en factores primos de un número? ¿Cuál sería la correcta? ¿De qué número es descomposición factorial? Solución: No es la descomposición en factores primos porque el factor 6 es compuesto. 3 La correcta sería 2 · 3 · 5 · 11 del número 1320. 17 Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: “Los múltiplos de un número primo también son números primos” Solución: Es falsa porque si un número es múltiplo de un número primo, entonces tiene como divisor a ese número primo además de la unidad y él mismo. 18 Completa el conjunto de divisores de 24 y de 60. Después escribe los divisores comunes a los dos números. D (24) = {1, 2, __, __, __, __, __, 24} D(60) {1, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, 60} Divisores comunes a 24 y 60: { __, __, __, __, __, __,} Solución: D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D (60) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Divisores comunes a 24 y 60: { 1, 2, 3, 4, 6, 12,} 19 Calcula: a) m.c.m. (90, 12) b) M.C.D. (90, 12) Solución: 2 90 = 2 · 3 · 5 2 12 = 2 · 3 2 2 a) m.c.m. (90, 12) = 2 · 3 · 5 = 180 b) M.C.D. (90, 12) = 2 · 3 = 6 20 Escribe dos múltiplos comunes de 8, 12 y 16, lo más pequeños posible, sin tener en cuenta al cero. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo? Solución: m. c. m. (8, 12, 16) =48. Los dos múltiplos comunes a 8, 12 y 16 más pequeños, sin tener en cuenta al cero, serían 48 · 1 = 48 y 48 · 2 = 96. 21 Paula se reúne con sus compañeros de clases de violín cada 6 días y con los de inglés cada 9. ¿Cada cuánto tiempo se reúne con ambos grupos el mismo día? Solución: m. c. m. (6, 9) = 18. Cada 18 días coincide la reunión con ambos grupos. 22 En mi calle hay plantado un chopo cada 10 m. y hay una papelera cada 14 m. ¿Cada cuántos metros puedo encontrar un árbol junto a una papelera? Solución: m. c. m. (10, 14) = 70. Cada 70 metros encuentro un árbol junto a una papelera. 23 María tiene 120 libros y Pablo 160. Para facilitar la mudanza quieren meter sus libros en cajas lo más grandes posible, con el mismo número de libros y sin que se mezclen. ¿Cuántos libros contendrá cada caja? Solución: M.C.D. (120, 160) = 40. Cada caja contendrá 40 libros. 24 En la panadería de la esquina hay napolitanas recién hechas cada 10 minutos, ensaimadas cada 14 minutos y rosquillas cada 28 minutos. Si a las 11 y cuarto de la mañana pude comprar un producto de cada, recién hechos. ¿A qué hora podré volver a repetir una compra igual? Solución: m. c. m. (10, 14, 28) = 140. 140 minutos son 2 horas y 20 minutos, por tanto a las 13 : 35 horas se podrá hacer una compra igual. 25 Los cristales del instituto se limpian cada 9 semanas, los techos cada 12 y las estanterías de la biblioteca cada 6. ¿Cada cuántas semanas coincidirán las tres tareas? Si a comienzo de curso se hace una limpieza general, ¿cuántas veces se limpiaran durante el curso los cristales? Solución: m. c. m. (6, 9, 12) = 36. Cada 36 semanas coinciden las tres tareas. Teniendo en cuenta que el curso son aproximadamente 36 semanas, los cristales se limpiarán 36 : 9 = 4 veces durante el curso.