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C(xt COMO ESPACIO DE BANACH UNIVERSAL
Bernardo Montero
*
I n t r o d u e ció n:
C(X), donde X es un espacio topológico compacto de Hausdorff es, con las
operaciones ordinarias y la nonna
IIfll_= ~up If(x)1
xeX
un álgebra de Banach. Nos proponemos mostrar en este artículo que todo espacio de
Banach es isométrico isomorfo a una parte cerrada de C(X) para algún compacto de
Hausrlorff X. Para notaciones y resultados véase { 1 ].
L e m a 1:
Para todo g e ~ (espacio de Banach) existe 1/1 e~· (dual topológico de ~) tal que
= 1 y 1/1 ( g) = 11 g 11
~ 1/1 11
P r u e b a:
Sea A = {Ag 1 Al: C }.Consideramos
1/1 : A. - - - - - 7 > ; >
e
g IVV'~--~~
A
1
Es claro que 111/1
1/1
1
1
11
11 g 11
= 1 y por el teorema de Hanh-Banach podemos extender
a un funcional lineal 1/1
11 1/1
1:
l~ con
I! = 11 1/1 1 11
Y
1/1 ( g )
= 11 g 11
* Profesor Departamento Física y M:ttemática. Universidad de Costa Rica.
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Lema 2:
Cuando 1/1 ( g ) = O para todo
1/1 e 1 • entonces g"'" O
Teorema:
C(X) es un espacio de Banach universal.
Prueba:
Sea 1 un espacio de Banach cualquiera. Sea X = 1· con la topología débil *
(que denotamos w*). Es claro que 1; es w* - Hlusdorff y, por el teorema de
Alaoglu, compacto
Sea
T:
T
1 ------+- C(X) tal que
T (
g ) ( 1/1 ) = 1/1 ( g) o sea,
(g), para todo g en 1 , son las funciones que definen la topología w* en 1*.
Se ve fácilmente que
Además,
T
es lineal. La inyectividad es inmediata del lema 2.
11 T (g ) 11 .. = sup 1 T( g)( 1/1) 1 -= sup
11/1 ( g ) 1
1/Ie1.·1
~
sup
11 1/111 11 g Ii ~ 11 g 11
l/Iel 1•
Y, por otra parte, si g f! 1 , existe 1/1
1/1 (g)
=
e
1· tal que
11 g 11 con 1/I~1; de donde 11
T
(g) 11 .. ~ 11/1 (g):I
= 11 gil.
Consecuentemente
11 1/1 (g) 11.. = 11 g 1I
y 1/1 es una ÍBometrÍa.
[ 1] Introduction to Functional Analysis: Agus E. Taylor. John Wiley and Sons Inc. 1957.
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