Download 4.- Un triángulo de hipotenusa unidad. Teorema fundamental de la

1º BCN-BT
Trigonometría
4.- Un triángulo de hipotenusa unidad. Teorema fundamental de la trigonometría.
Puesto que el valor de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo no dependen
del tamaño de los lados, puede elegirse un triángulo cuya hipotenusa sea h = 1. En este caso los
cálculos se simplifican considerablemente, de forma que el cateto
opuesto al ángulo es igual al seno y el contiguo al coseno.
Empleando este triángulo de hipotenusa unidad se puede
encontrar el ángulo al que corresponde un determinado valor de
una razón trigonométrica. Si aplicamos el teorema de Pitágoras, se
debe cumplir que:
sen 2 A + cos 2 A = 1
Esta expresión se conoce como relación fundamental de la trigonometría y junto con la que
relaciona a la tangente con el seno y el coseno de un ángulo permite calcular las restantes razones
trigonométricas a partir de una de ellas.
tg A =
sen A
cos A
Ejemplo.- Comprueba para diferentes valores del ángulo A que se cumplen las relaciones anteriores
entre sus razones trigonométricas. Empecemos por el sistema sexagesimal (confirma MODE 4), el
ángulo de 30º, teclea 30 en la calculadora y pulsa sin inmediatamente aparece 0.5 en la calculadora,
elevalo al cuadrado, teclea +, vuelve a escribir 30 y pulsa cos , eleva el resultado al cuadrado y dale
al igual (da 1). Puedes intentarlo por separado, para evitar errores. Comprueba la tangente.
Ejemplo.- Trabajemos en radianes (MODE 5), el ángulo pi/4 se corresponde con 45º (si la
circunferencia completa son 360º la octava parte son 45º, si la circunferencia completa son 2 pi
radianes, la octava parte es pi/4). Directamente pulsa la tecla EXP aparece el valor de pi/4 pulsa sin
y eleva al cuadrado (0,5), repite la operación con el coseno (¡anda, si son iguales!, ¿sabrías explicar
por qué?) suma el resultado. ¿A que la tangente vale 1? Claro seno y coseno son iguales.
Ejemplo.- Ya sabes que el Seno de 30º vale 0,5, deja en el visor de la calculadora el número 0,5 y
pulsa SHIFT Seno (mira encima de la tecla de seno la expresión sin-1) y observa que te devuelve el
valor del ángulo. Esta tecla te devuelve el valor del ángulo cuyo seno vale 0,5. Prueba con otros
valores de senos. Y prueba con las teclas de cos-1 y tag-1. Estas funciones nos permiten calcular el
valor de un ángulo si conocemos alguna razón trigonométrica.
5.- Ampliando el concepto de ángulo.
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En un movimiento circular, es decir, aquel cuya trayectoria es
una circunferencia, el ángulo de giro viene dado por el número de
vueltas realizado más un ángulo alfa menor que 360º. Un punto P de
la circunferencia queda determinado por el ángulo de giro 360º · k +
alfa, siendo k un número entero y alfa < 360º. Podemos expresarlo en
radianes como 2·pi·k + alfa, siendo alfa<2pi, por supuesto el ángulo
alfa debe expresarse en radianes.
El sentido de giro positivo, es decir, hablamos de un número
de vueltas en sentido positivo si este es el contrario al movimiento de
las agujas de un reloj, en este caso, k será positivo. Un giro negativo
será el de las agujas de un reloj, en este caso k toma valores enteros negativos.
Como las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del radio de la
circunferencia auxiliar que consideremos, podemos elegir una circunferencia con centro en el
origen de coordenadas y radio igual a la unidad. Tenemos así la circunferencia goniométrica o
circunferencia unidad. Esta elección del radio nos va a permitir encontrar fácilmente, para cada
razón trigonométrica de un ángulo dado, un segmento cuya medida sea esa razón.
Si situamos un ángulo agudo alfa (menor de 90º o de pi/2 rad, se simboliza como alfa<90º, y
se dice que pertenece al primer cuadrante) sobre la circunferencia goniométrica, cos alfa y sen alfa
son las coordenadas del punto A, es decir, las coordenadas
cartesianas de A son (cos alfa ,sen alfa). Fíjate en el triángulo
rectángulo que forma A, el cateto opuesto al ángulo agudo es el
Seno del ángulo, y el cateto contiguo al ángulo agudo es el
Coseno del ángulo. Te recuerdo que la hipotenusa vale 1 y por lo
tanto, se verifica la ecuación fundamental de la trigonometría:
sen2alfa + cos2alfa =1.
Si repetimos la misma operación con un ángulo mayor de
90º y menor que 180º (se simboliza de la siguiente forma
90º<alfa<180º y se dice que pertenece al segundo cuadrante) de
las coordenadas cartesianas de B la componente horizontal es
negativa. Comprueba el dato con la calculadora, el coseno de un
ángulo 90º<alfa<180º es negativo en cambio su seno es positivo.
Utiliza la calculadora para comprobar el signo de las R.T. seno y coseno de ángulos
180º<alfa<270º y 270º<alfa<360º.
En resumen podemos decir que:
Dado un punto del plano P(x,y), el signo de sus coordenadas x (coseno), y (seno) depende del
cuadrante en donde esté situado dicho punto P:
Si P es del primer cuadrante, será de la forma: (+,+).
Si P es del segundo cuadrante, será de la forma: (-,+).
Si P es del tercer cuadrante, será de la forma: (-,-).
– Si P es del cuarto cuadrante, será de la forma: (+,-).
Ejercicios de aplicación de la ecuación fundamental de la trigonometría.
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Trigonometría
4
3
, calcula el cos  . Solución cos =
5
5
4
2.- Si alfa es un ángulo del II cuadrante y sen =
, calcula el cos  . Solución
5
−3
cos =
.
5
−1
3.- Si alfa es un ángulo del III cuadrante y sen =
, calcula el cos  . Solución
7
− 48
cos = 
.
7
−4
4.- Si alfa es un ángulo del IV cuadrante y sen =
, calcula el cos  . Solución
5
3
cos = .
5
12
5.- Si alfa es un ángulo del I cuadrante y sen =
, calcula el tag  . Solución
13
12
tag =
5
4
6.- Si alfa es un ángulo del II cuadrante y sen =
, calcula el tag  . Solución
5
−4
tag =
.
3
−3
7.- Si alfa es un ángulo del III cuadrante y sen =
, calcula el tag  . Solución
4
3
tag =
.
− 7
−3
8.- Si alfa es un ángulo del IV cuadrante y sen =
, calcula el tag  . Solución
5
−3
tag =
.
4
1
9.- Si alfa es un ángulo del I cuadrante y sen = , calcula el sec  . Solución
2
2
sec =
3
7
10.- Si alfa es un ángulo del II cuadrante y sen = , calcula el sec  . Solución
9
−9
sec =
.
 32
−2
11.- Si alfa es un ángulo del III cuadrante y sen =
, calcula el sec  . Solución
11
−11
sec =
.
117
1.- Si alfa es un ángulo del I cuadrante y
sen =
Página 3 de 5
12.- Si alfa es un ángulo del IV cuadrante y
sec =
sen =
−15
, calcula el
17
sen =
5
, calcula el
7
cosec  . Solución
2
, calcula el
3
cosec  . Solución
−3
, calcula el
5
cosec  . Solución
sec  . Solución
17
.
8
13.- Si alfa es un ángulo del I cuadrante y
cosec =
7
5
sen =
14.- Si alfa es un ángulo del II cuadrante y
cosec =
3
.
2
sen =
15.- Si alfa es un ángulo del III cuadrante y
cosec =
−5
.
3
sen =
16.- Si alfa es un ángulo del IV cuadrante y
cosec =−6 .
cotag = 
1
, calcula el
8
cotag  . Solución
−15
, calcula el
17
cotag  . Solución
−4
, calcula el
5
cotag  . Solución
sen =
cotag =− 63 .
19.- Si alfa es un ángulo del III cuadrante y
cotag =
cotag  . Solución
39
5
18.- Si alfa es un ángulo del II cuadrante y
sen =
sec  . Solución
5
, calcula el
8
sen =
17.- Si alfa es un ángulo del I cuadrante y
−1
, calcula el
6
8
.
15
20.- Si alfa es un ángulo del IV cuadrante y
−3
.
4
21.- Si alfa es un
9
sen =
.
 82
22.- Si alfa es un
1
cos =
.
82
23.- Si alfa es un
sec = 82 .
24.- Si alfa es un
sen =
cotag =
ángulo del I cuadrante y
tag =9 , calcula el
sen  . Solución
ángulo del I cuadrante y
tag =9 , calcula el
cos  . Solución
ángulo del I cuadrante y
tag =9 , calcula el
sec  . Solución
ángulo del I cuadrante y
tag =9 , calcula el
cosec  . Solución
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Trigonometría
cosec = 
82
.
9
25.- Si alfa es un ángulo del I cuadrante y
1
cotag =
9
tag =9 , calcula el
cotag  . Solución
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