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Facultad de Informática
Módulo 4 – Trigonometría
Matemática 0
UNLP
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 Página 1 Facultad de Informática
Módulo 4 – Trigonometría
Contenido
T1. Plano coordenado
3
T
4
1.2 Distancia entre dos puntos 2. Nociones básicas de Trigonometría
4
2.1. Medida de ángulos 5
2.2. Funciones trigonométricas de un ángulo 5
Relación Pitagórica
6
Funciones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos.
7
Teorema del seno
7
Teorema del coseno
7
3. RECTAS EN EL PLANO
8
4.
9
CIRCUNFERENCIA
5. Ejercicios
10
5.1 Plano coordenado –Trigonometría 10
5.2. Geometría Analítica 13
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Módulo 4 – Trigonometría
MÓDULO 4
Este módulo tiene por objetivo ubicarse geométricamente en el plano, pudiendo ampliar la
visión de los resultados del módulo anterior. El familiarizarse con la búsqueda de fórmulas
que expresan cantidades y poder interpretar y resolver problemas de naturaleza geométrica.
1. Plano coordenado
Para identificar cada punto del plano con un par ordenado de números, trazamos dos
rectas perpendiculares que llamaremos eje x y eje y, que se cortan en un punto O
llamado origen de coordenadas, y representamos los números sobre cada eje,
eligiendo en ambos ejes la misma unidad, como muestra la figura:
Y
21O
-2
-1
1
2
X
-1-2-
Dado un punto P del plano, sea Px el punto de intersección del eje x con la recta que
contiene a P y es paralela al eje y, y sea Py, el punto de intersección del eje y con la
recta que contiene a P y es paralela al eje x. A Px le corresponde un número x en el
eje x y a Py, le corresponde un número y en el eje y.
Decimos que P tiene coordenadas (x ,y), x es la abscisa de P e y es la ordenada de P.
El punto P se identifica con sus coordenadas y se escribe P = (x ,y).
Recíprocamente, dado un par ordenado de números reales (x ,y) hay un punto P del
plano del cual son las coordenadas.
y
P
x
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Los ejes x e y dividen al plano en cuatro regiones que se llaman cuadrantes y se
numeran I, II, III y IV. Nos referimos a ellas como primer cuadrante, segundo
cuadrante, etc.
II
I
III
IV
1.1 Distancia entre dos puntos
La distancia entre los puntos P1=(x1, y1) y P2=(x2, y2) es:
d = d ( P1 , P2 ) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
2. Nociones básicas de Trigonometría
Dibujemos un ángulo α:
l2
α
o
l1
El ángulo α tiene un lado inicial l1 y un lado terminal l2. Lo recorremos en sentido
contrario al de las agujas del reloj.
l1 y l2 son semirrectas con un origen común “o”.
Dibujemos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que el semieje positivo
de las abscisas coincida con el lado inicial de α.
l2
α
o
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Módulo 4 – Trigonometría
Observación: Como el lado terminal de α está en el 2º cuadrante del sistema de
coordenadas, decimos que α es un ángulo del 2º cuadrante. Hay ángulos del 1º, 2º, 3º y
4º cuadrante. Los del primer cuadrante se llaman ángulos agudos.
2.1. Medida de ángulos
En el sistema sexagesimal la unidad es el grado o grado sexagesimal, que es la 90ava parte de un ángulo recto, y se la indica 1º. La 60-ava parte de un grado es un minuto
(se lo indica 1’) y la 60-ava parte de un minuto es un segundo (que se indica 1’’). Pero
existen otros sistemas de medida de ángulos. . .
En el sistema radial, la unidad de medida es el radián.
Un radián es la medida de un ángulo central correspondiente a un arco de circunferencia
de longitud igual al radio de la misma.
Cuando decimos que en el sistema radial un ángulo α mide, por ejemplo 2 (o sea 2
radianes), significa que, como ángulo central en una circunferencia de radio R cualquiera,
corresponde a un arco de circunferencia de longitud 2R.
El cociente entre la longitud del arco de
circunferencia y el radio es la medida en radianes
del ángulo α.
(No importa qué circunferencia consideremos)
L
O
R
medida de α = L / R
2.2. Funciones trigonométricas de un ángulo
Volvamos al dibujo de α en el sistema de coordenadas.
.P
α
o
Sea P cualquier punto sobre el lado terminal de α, P≠O.
Sean (x, y) las coordenadas de P (observen que en este caso “x” será un número
negativo e “y” un número positivo)
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P
La distancia de P al origen de coordenadas es:
r=
x2 + y2
•
y
r
α
El cociente
sen α =
y
r
El cociente
y
r
se llama seno del ángulo α.
=
ordenada de P
distancia de P al origen
x
r
se denomina coseno del ángulo α
cos α =
El
=
x
r
abscisa de P
distanciade P al origen
cociente
y
x
se
llama
tangente del ángulo α
tag α =
y
x
=
ordenada de P
abscisa de P
=
sen α
cos α
Observación:
Las definiciones que acabamos de ver no dependen del punto P elegido sobre
el lado terminal de α (o sea, si se elige un punto P’ sobre l2, diferente de P, los
respectivos cocientes y’/r’, x’/r’ e y’/x’ resultan iguales a y/r, x/r e y/x (ver triángulos
semejantes). (De no haber sido así, el seno, el coseno y la tangente no estarían
bien definidos).
Relación Pitagórica
A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas de un ángulo es fácil
comprobar que:
sen2 α + cos2 α = 1
(relación pitagórica)
y que:
-1 ≤ sen α ≤ 1
y
-1 ≤ cos α ≤ 1
Más definiciones
Se definen cosecante, secante y cotangente de un ángulo de la siguiente manera:
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cosec α = r
y
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sec α =
r
x
cotag α = x
y
De este modo resulta:
cosec α =
1
sen α
sec α =
1
cos α
cotag α =
1
tag α
Funciones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos
ángulos.
sen(α + β) = sen(α).cos(β).+ cos(α).sen(β)
sen(α – β) = sen(α).cos(β) – cos(α).sen(β)
cos(α + β) = cos(α).cos(β) – sen(α)sen(β)
cos(α – β) = cos(α).cos(β)+ sen(α)sen(β)
tag (α + β)=
tag(α) + tag(β )
1 – tag(α).tag(β )
tag (α –β)=
tag(α) – tag(β )
1 + tag(α).tag(β )
Teorema del seno
sen (α )
sen (β )
sen ( γ )
=
=
a
b
c
γ
b
a
α
β
Teorema del coseno
c
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c cos α
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3. RECTAS EN EL PLANO
Sea L una recta del plano.
L
i) Si L es vertical,
L tiene una
ecuación de la forma x = c.
L = {(x, y); x = c }
c
ii) Si L es horizontal, L tiene una
ecuación de la forma y = c
L = {(x, y); y = c }
L
c
ii) Si L no es horizontal ni vertical y pasa
por los puntos P1=(x1 , y1) y P2=(x2 , y2) ,
las coordenadas (x, y) de cualquier otro
punto P que esté sobre L verifican la
ecuación:
P
y
P2
y − y1
x − x1
=
y 2 − y1 x2 − x1
y2
P1
y1
que, operando, se puede escribir en la
forma general
α
Ax+By+C=0
x1
x2
x
o, en la forma explícita:
y = mx + b
donde m =
y2 − y1
x2 − x1
se llama
pendiente
de la recta L, y, como se observa en la
figura, es igual a la tangente del ángulo α
que es el ángulo de inclinación de L
b=−
y2 − y1
⋅ x1 + y1
x2 − x1
es la ordenada al
origen de la recta L (la ordenada del punto
de la recta que está sobre el eje y).
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Dos rectas L y L’ del plano pueden ser: transversales (se cortan en un punto) ,
paralelas o coincidentes (L = L’).
Cada recta tiene una ecuación lineal:
L:
Ax+By+C=0
L’:
A’ x + B’ y + C’ = 0
Los puntos de intersección, si existen, deben verificar ambas ecuaciones, es
decir, deben ser solución del sistema lineal:
A x+B y+C=0
A’ x + B’ y + C’ = 0
•
•
•
Las rectas son transversales si y sólo si dicho sistema lineal admite una única
solución.
Las rectas son paralelas si y sólo si dicho sistema lineal no tiene solución.
Las rectas son coincidentes si y sólo si dicho sistema lineal admite infinitas
soluciones (ambas ecuaciones son equivalentes).
Sean L y L’ de ecuaciones explícitas
y = mx + b e
y = m’x + b’ respectivamente.
L y L’ transversales equivale a m ≠ m’
L y L’ paralelas equivale a m = m’ y b ≠ b’.
L y L’ coincidentes equivale a m = m’ y b = b’.
Sean L y L’ rectas con pendientes m y m’ respectivamente, m ≠ 0.
Si L y L’ son perpendiculares entonces m.m’= -1
4. CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado centro.
La distancia entre cualquier punto de la circunferencia y el centro se llama radio.
Si C = (α,β ) es el centro, r es el radio y P = (x,y) es un punto genérico de la
circunferencia, debe ser:
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d(P,C) = r
es decir :
por lo tanto:
(x − α )2 + ( y − β )2 = r
(x – α )2 + (y – β )2 = r2
La ecuación (x – α )2 + (y – β )2 = r2
es la ecuación
circunferencia con centro C = (α,β ) y radio r .
canónica de la
5. Ejercicios
5.1 Plano coordenado –Trigonometría
1. Representar en el plano los siguientes puntos y decir a qué cuadrante pertenecen:
P=(2 ,-1)
Q=(3 , ½)
R=(-2 ,-4) S=(0 , -2) T=(-3 , 0)
2 .Representar en el plano los puntos de abscisa negativa y ordenada mayor que 2.
3. Representar en el plano los siguientes conjuntos:
A={(x,y) ; 1≤ x < 2 e y ≥ 0 }
B={(x,y) ; x.y < 0 }
C= {(x,y) ; x = y }
4. Definir mediante condiciones los siguientes subconjuntos del plano:
2
5/2
1
2
-1
5. Calcular la distancia entre P1= (3,2) y P2= (-1,4).
6. Representar y hallar el perímetro del triángulo de vértices A= (-1,2); B= (4,5) y C=
(5,0).
7. Determinar un punto sobre el eje y que equidiste de (2,5) y (3,3).
8. a) Determinar las coordenadas del punto medio entre P1=(x1, y1) y P2=(x2, y2) .
b) Determinar las coordenadas del punto medio entre A= (-3,8) y B= (5, -4).
9. Complete:
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a) Un ángulo de un giro mide ........º y esto equivale a .......radianes.
b) Un ángulo recto mide 90º y esto equivale a . . . radianes.
c) Un ángulo llano mide . . . . . . º y esto equivale a . . . . . . . radianes.
d) Un grado sexagesimal equivale a . . . . radianes.
e) Un radián equivale a . . . . . . . . . grados sexagesimales.
f) 45º equivalen a . . . . . . . . . . .radianes.
g) 30º equivalen a . . . . . . . . . . radianes.
h) π/3 radianes equivalen a . . . . . . . º
10. A partir de las definiciones vistas, calcular las funciones trigonométricas seno, coseno
y tangente del ángulo α cuyo lado terminal pasa por el punto de coordenadas (1, -3) y del
ángulo β cuyo lado terminal pasa por (2, 4).
11. Comprobar, usando las definiciones, que si α mide 45º el seno y el coseno de α son
iguales a
1
2 ¿Cuánto
vale tag α ?
12. Estudiar el signo de las funciones trigonométricas según el cuadrante al que
pertenece un ángulo.
13. Calcular las funciones trigonométricas de los ángulos que miden, en el sistema radial,
½ π ; π y 3 2 π.
14. Comprobar que el triángulo de vértices (0,0); (2,0) y (1, 3 ) es equilátero (por lo
tanto sus ángulos miden 60º).b) Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo de
60º.
15. a) Sabiendo que sen α= ½ y que α es un ángulo que mide entre π/2 y π radianes (esto
es, un ángulo del 2º cuadrante), averiguar, cuánto valen cos α y tag α.
b) Hacer lo mismo que en a), suponiendo ahora que α es un ángulo del primer
cuadrante.
16. Usando la relación pitagórica demostrar que valen estas otras igualdades:
a) cos2 (α) = 1 / [1+tag2(α) ]
c) 1 + sen( x).tag( x) =
b) sen2(α) = tag2 / [1+tag2(α)]
sen( x) + cotag(x)
cotag( x)
17. Sea α un ángulo del 2º cuadrante tal que tag(α)= -3. Usando las relaciones obtenidas
en el ejercicio 2, calcular en forma exacta sen (α) y cos (α).
18. Use la calculadora para averiguar el valor aproximado de:
sen (47º30’)
sen (30º15’)
cos (20º10’)
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 cos(π/5)
tag(3)
tag(3º)
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NOTA: Cuando no se especifica la unidad entendemos que estamos hablando de
radianes (si escribimos sen(π/5) nos estamos refiriendo al seno del ángulo cuya medida
en radianes es π/5)
19. Use la calculadora para averiguar cuanto miden aproximadamente los ángulos agudos
α, β y γ sabiendo que: senα = 0,345 cosβ = 0,567 tagγ = 4. Observar que hay otros
ángulos no agudos cuyos sen, cos y tag coinciden con los de α,β y γ respectivamente.
20. Use la calculadora para averiguar cuanto mide aproximadamente un ángulo cuyo
coseno sea igual a
- 0,75. ¿A qué cuadrante pertenece dicho ángulo? Halle un ángulo que esté en otro
cuadrante y que tenga el mismo coseno.
21. Use la calculadora para averiguar la medida aproximada del ángulo α del cuarto
cuadrante cuyo seno vale – 0,823. Halle β en el tercer cuadrante tal que sen α = sen β.
22. Halle el valor exacto de cos (150º).
23. ¿Cuál es el ángulo del tercer cuadrante cuyo coseno vale –1/2?
24. Hallar el ángulo del segundo cuadrante cuyo seno es igual a 0,35.
25. Decir si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta.
a) tag (180º – α) + tag (180º + α) + tag (90º – α) + tag (90º + α) = 1
b) sen ( π 2 – α) – cos (π – α) +
4
2
=
sec α cosec(π 2 − α )
c) c) cos 2 (180º +α) + sen 2 (180º –α) = 1
26. Utilice las identidades relativas al seno, coseno y tangente de una suma o una
diferencia para calcular:
a) cos (45º+30º)
b) cos (3π/2 - π/3)
e) tan (π/4 - π/6)
f) tan (60º + 45º)
c) sen (60º-45º)
d) sen (π/4 +π/6)
27. Utilice las identidades relativas al seno, coseno y tangente de una suma o una
diferencia para calcular:
a) cos 165º
b) cos 195º
c) sen 15º
d) sen150º
e) tan105º
f) tan75º
28. Utilice las identidades relativas al seno, coseno y tangente de una suma o una
diferencia para demostrar las siguientes identidades:
a) sen2 x = 2 senx cos x
b) cos 2 x = 1 − 2sen 2 x
1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
e) tan 2 x =
2
1 + cos 2 x
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 d ) cos 2 x =
c) sen2 x =
f ) sen 2x =
1 − cos 2 x
2
1− cos x
2
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29. ¿Qué longitud debe tener una escalera para que, apoyada en la pared alcance una
altura de 2,85 m al formar con el plano del piso un ángulo de 58º 1’?
30. Calcular la superficie de un campo rectangular sabiendo que la diagonal tiene una
longitud de 649 m y forma con uno de los lados un ángulo de 37º 26’
31. Un automóvil asciende una cuesta que tiene una inclinación de 22º. Si viaja a una
velocidad de 60 km/h ¿cuántos metros varían su altura sobre el nivel del mar en 15
minutos?
32. Un ferrocarril une en línea recta dos ciudades A y B. Una tercera ciudad dista de A 22
km . Si el ángulo CAB es de 30º y el ángulo CBA es de 48º, calcular la distancia de A a B.
33. La base de un triángulo mide 90 cm y los ángulos adyacentes a ella miden 27º21’ y
52º13’. Calcular la altura correspondiente a la base.
34. Calcular el área de un triángulo cuyos lados miden 4, 8 y 11 cm.
35. Un topógrafo observa desde C dos puntos A y B situados en lados opuestos de un
lago. Si C está a 500 m de A y a 750 m de B y ACB es igual a 32º, ¿cuál es el ancho del
lago?
5.2. Geometría Analítica
1. Halle la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos dados:
a) (2, 5) y (4, 3)
b) (-1, 3) y (-2, -3)
c) (1/2, 0) y (-1/2, -2)
2. Determine el valor de k para el cual los puntos (-1,2), (3, 1) y (2, -k +1) están
alineados.
3. Halle la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas y represéntelas
gráficamente.
a) L: 5x + y –3 = 0
b)S: 4 x – 3 y = 6
c)T: 3x – 6 = 0
d)U: y + 2
=0
4. ¿A qué cuadrante pertenece el ángulo de inclinación de una recta que tiene pendiente
negativa?
5. a) Halle la medida aproximada del ángulo de inclinación de una recta que tiene
pendiente 4.
b) Halle la medida aproximada del ángulo de inclinación de una recta que tiene
pendiente –3.
6. Escriba la ecuación explícita de la recta que:
a) Tiene ángulo de inclinación igual a 135º y pasa por el punto (1, 2)
b) tiene pendiente –2 y pasa por el origen de coordenadas.
c) tiene pendiente –2 y pasa por (-2, -3)
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7. Decida si los siguientes pares de rectas son transversales, paralelas o coincidentes y
determine, cuando corresponda, las coordenadas del punto en el que se cortan.
a)
2x+ y = –1
x– y = 2
b)
4 x – 8y = – 12
–x+2y = 3
8. Halle las coordenadas de los vértices del triángulo determinado por las rectas:
L:
3x –2 y + 6 = 0
S:
T:
2y+x = 6
6y–x–2=0
9. a) Hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por P = (-1, 1/3) y es paralela a la
recta de ecuación –x + 2y –1 = 0.
b) Hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por P = (2, -1/2) y es perpendicular
a la recta de ecuación 3x – 2y + 1 = 0.
10. Averiguar si el cuadrilátero de vértices A (0,0), B (1,2), C (4,3) y D (3, 1) es un
paralelogramo. ¿Es un rectángulo?
11.a) Escriba la ecuación canónica de la circunferencia de centro C = (-3, 4) y radio 31/2.
Exprésela luego en la forma A x2 + B y2 + C x + D y + E = 0.
b) Escriba la ecuación canónica de la circunferencia de centro C = (0, 0) y radio 3.
Exprese luego en la forma A x2 + B y2 + C x + D y + E = 0.
12. Escriba la ecuación canónica de la circunferencia de centro C = (-2, 5) y que pasa por
el punto de coordenadas (1,2).
13. Analice si las siguientes ecuaciones corresponden o no a una circunferencia
indicando, en caso afirmativo, los elementos de la misma.
a) 2 x2 + 2 y2 + 4 x – 8 y – 8 = 0
c) 3 x2 + 3 y2 + 9 x – 3 y + 21 = 0
b) x2 + y2 – 2x = 1
14.
a) Verifique que la ecuación
6 x2 + 6y2 –12 x + 12 y – 6 = 0 corresponde a una
circunferencia. (Completando cuadrados).
b) Indique sus elementos.
c) Halle la intersección de dicha circunferencia con el eje x.
d) Halle la intersección de dicha circunferencia con el eje y.
e) Halle la intersección de dicha circunferencia con la recta de ecuación y = x – 1.
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