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Trigonometría
10.- Teoremas de Adición.
●
Razones trigonométricas de los ángulos A + B y A – B.
Hay que tener cuidado de no confundir la razón trigonométrica de la suma de dos ángulos,
con la suma de dos razones trigonométricas. Es decir:
sen(A+B) # senA + senB
cos(A+B) # cosA + cosB
tag(A+B) # tagA + tagB
ya que:
sen (30º + 60º) = sen 90º = 1
en cambio:
sen 30º + sen 60º =
1  3 1  3
 =
2 2
2
por lo que son distntos.
Fórmulas:
sen (A + B) = sen A · cos B + cos A · sen B
cos (A + B) = cos A · cos B - sen A · sen B
sen A· cos Bcos A· sen B
cos A· cos B−sen A· sen B
numerador y denominador por cosA·cosB y después simplificando, se obtiene:
Para obtne el de la tangente. Como
tag  A B=
tag  AB =
si dividimos
tag Atag B
1−tag A · tag B
Pasemos a la diferencia de ángulos:
sen (A - B) = sen (A + (-B)) = sen A · cos (-B) + cos A · sen (-B) = sen A · cos B – sen A ·
cos B
cos (A - B) = cos (A + (-B)) = cos A · cos (-B) - sen A · sen (-B) = cos A · cos B + sen A· cos
B
tag  A− B=
tag A−tag B
1tag A · tag B
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Razones trigonométricas del ángulo doble 2A .
●
sen 2A = sen (A+A) = sen A · cos A + cos A · sen A = 2 · sen A · cos A
cos 2A = cos (A + A) = cosA · cos A – sen A · sen A = cos2A – sen2A
tag 2· A=tag  A A=
tag Atag A
1−tag A ·tag A
Razones trigonométricas del ángulo mitad A/2 .
●
A partir de la fórmula:
cos 2A = cos2A – sen2A
podemos modificarla de la forma:
cos A=cos
2
A
2 A
−sen
2
2
y de la ecuación fundamental de la trigonometría, que podemos expresar:
sen
2
A
2 A
cos =1
2
2
Si restamos a la segunda de estas euaciones la primera obtendríamos:
2
2 · sen
sen
A
=1−cos A de la que despejamos el seno del ángulo mitad:
2

A
1−cosA
=±
2
2
Si sumamos miembro a miembro las dos primeras ecuaciones tendríamos:
2 · cos 2
cos
A
=1cos A de la que despejando el coseno del ángulomitad:
2

A
1cosA
=±
2
2
y ya solo queda obtener la tangente del ángulo mitad:
tag

A
1−cosA
=±
2
1cos A
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Trigonometría
11.- Resolución de triángulos cualesquiera.
En todo triángulo, el ángulo mayor tiene enfrente el
lado mayor y el ángulo menor tiene enfrente el lado menor.
Una expresión cuantitativa de este hecho es el
teorema de los senos cuyo enunciado es el siguiente:
Teorema del seno.
a
b
c
=
=
=2R
sen A sen B sen C
Siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al
triángulo ABC.
“En un triángulo cualquiera, la razón de un lado al
seno del ángulo opuesto es constante”. Es decir: “Los lados
son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.
Teorema del coseno.
a 2=b2c 2−2 · b · c · cos A
2
2
2
2
2
2
b =a c −2 · a · c ·cos B
c =a b −2 · a · b · cos C
“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman”.
Ejercicios.
Un triángulo queda determinado cuando se conocen tres cualesquiera de sus elementos, uno
de los cuales al menos ha de ser lado.
Por tanto, el problema que vamos a resolver es el de calcular tres elementos de un triángulo,
cuando se conocen los otros tres. Se pueden presentar cuatro casos:
1.
Dados un lado y dos ángulos.
2.
Dados dos lados y el ángulo que forman.
3.
Dados los tres lados.
4.
Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
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B
a
c
A
b
C
Para hallar elementos desconocidos se deben utilizar siempre fórmulas en las que intervienen
los datos y un elemento desconocido. Procediendo así, los errores de aproximación que pueden
darse al hallar los elementos desconocidos no influyen en los cálculos posteriores. Pero para que
esto se pueda realizar necesitamos utilizar el teorema de los senos, el del coseno y el de la tangente.
Como utilizaremos únicamente el teorema de los senos y el del coseno, a veces para calcular
elementos desconocidos, es imposible hacerlo utilizando únicamente los datos, y debemos echar
mano de elementos hallados previamente.
1. Dados un lado y dos ángulos.
Ejemplo.- Siendo a = 8m, B=45º y C=60º.
Podemos calcular: A = 180º-(45º+60º) = 75º.
y aplicamos el teorema del seno:
8
b
=
sen 75º sen 45º
y despejamos b= 8 · sen 45º
sen 75º
y ya también podemos calcular c:
8
c
8 · sen 60º
=
y despejamos c=
sen 75º sen 60º
sen 75º
Ejercicio.- Resuelve el triángulo ABC siendo: a = 6 m, A=30º y B=45º.
2. Dados dos lados y el ángulo que forman.
Ejemplo.- Siendo a = 9 m y b = 7 m y C = 45º
aplicamos el teorema del coseno.
c 2=9 272 −2 · 9· 7 · cos 45º de donde obtenemos que c = 6,39 m y queda aplicar el
teorema del seno para obtener uno de los dos ángulos restantes:
6
6,39
=
sen A sen 45º
y obtenemos que A= 84º 17´33´´
y ya queda obtener el tercer ángulo: B = 180º - (84º 17´33´´ + 45º) = 50º 42´27´´
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Ejercicio.- Resuelve el triángulo ABC siendo: a = 4m, c = 6m y B=60º.
3. Dados los tres lados.
Existe solución única, siempre que: a < b + c, b < a + c y c < a + b.
Ejemplo.- Siendo a = 5m, b = 7m y c = 9m. Entonces por el teorema del coseno:
52=729 2−2 · 7· 9 · cos A , obtenemos: A = 33º 33´26´´ y ya por el teorema del seno (o
nuevamente podemos aplicar el del coseno):
5
7
obtenemos B = 50º 42´12´´
=
sen 33º33´ 26 ´ ´ sen B
y ya finalmente por diferencia de ángulos obtenemos C = 95º44´22´´.
4. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
En general, para que se pueda resolver el triángulo debe ocurrir:
●
a
b
despejando
=
sen A sen B
sen B=
b sen A
1 porque el -1 < sen A < 1.
a
● Si se verifica lo anterior, el ángulo B resultante debe ser tal que A + B < 180º, ya que
de otra forma el triángulo no existiría.
Pueden ocurrir tres casos:
1.
b sen A
1 el problema es imposible.
a
2.
b sen A
=1 entonces sen B = 1 que indica que B = 90º
a
1. Si A > 90º el problema no tiene solución ya que A + B > 180º
2. Si A < 90º, entonces es C el complementario de A y hay una solución.
b sen A
b sen A pero para este valor del seno corresponden
1 entonces sen B=
a
a
dos ángulos entre 0ºy 180º, un ángulo agudo B1 y su suplementario B2.
3.
12. Identidades, ecuaciones y sistemas.
Antes de empezar on las identidades, ecuaciones y sistemas, vamos a dar respuestas a
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preguntas del tipo:
●
Ángulos tales que sen α = m.
Es decir, que si yo conozco el seno de un ángulo alfa (sen α) con la calculadora podría
conocer el ángulo alfa cuyo seno es m, pero no podemos afirmar que corresponda a un solo
ángulo alfa..
Si observamos la figura vemos que a sen α le
corresponden los ángulos α y (180º - α). También le
corresponden estos mismos ángulos más un número
entero de vueltas que va de 1 en adelante.
Es decir, a sen α le corresponden los ángulos: α + 360k
(180º - α) + 360k siendo k = 0,1,2,.. un número entero..
●
y
Ángulos tales que cos α = m.
Es decir, que si yo conozco el coseno de un ángulo alfa (cos α) con la calculadora podría
conocer el ángulo alfa cuyo coseno es m, pero no podemos afirmar que corresponda a un
solo ángulo alfa..
Si observamos la figura vemos que a cos α le
corresponden los ángulos α y (360º - α). También le
corresponden estos mismos ángulos más un número
entero de vueltas que va de 1 en adelante.
Es decir, a cos α le corresponden los ángulos: α +
360k y (360º - α) + 360k siendo k = 0,1,2,.. un número
entero..
●
Ángulos tales que tag α = m.
Identidades, ecuaciones y sistemas.
Antes de empezar on las identidades, ecuaciones y sistemas, vamos a explicar unos
conceptos:
●
Ángulos tales que sen α = m.
Es decir, que si yo conozco el seno de un ángulo alfa (sen α) con la calculadora podría
conocer el ángulo alfa cuyo seno es m, pero no podemos afirmar que corresponda a un solo
ángulo alfa..
Si observamos la figura vemos que a sen α le
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corresponden los ángulos α y (180º - α). También le corresponden estos mismos ángulos
más un número entero de vueltas que va de 1 en adelante.
Es decir, a sen α le corresponden los ángulos: α + 360k y (180º - α) + 360k, siendo k =
0,1,2,.. un número entero.
●
Ángulos tales que cos α = n.
Es decir, que si yo conozco el coseno de un ángulo alfa (cos α) con la calculadora podría
conocer el ángulo alfa cuyo coseno es n, pero no podemos afirmar que corresponda a un
solo ángulo alfa..
Si observamos la figura vemos que a cos α le
corresponden los ángulos α y (360º - α). También le
corresponden estos mismos ángulos más un número
entero de vueltas que va de 1 en adelante.
Es decir, a cos α le corresponden los ángulos: α +
360k y (360º - α) + 360k siendo k = 0,1,2,.. un número
entero.
●
Ángulos tales que tag α = t.
Es decir, que si yo conozco la tangente de un ángulo alfa (tag α) con la calculadora podría
conocer el ángulo alfa cuya tangente es t, pero no podemos afirmar que corresponda a un
solo ángulo alfa..
Si observamos la figura, hemos dibujado las razones
trigonométricas seno y coseno de los ángulos α y
(180º + α) y vemos que a tag α le corresponden los
ángulos α y (180º + α). También le corresponden estos
mismos ángulos más un número entero de vueltas que
de 1 en adelante.
va
Es decir, a tag α le corresponden los ángulos: α +
360k y (180º + α) + 360k siendo k = 0,1,2,.. un
número entero.
●
Identidades trigonométricas.
"Son igualdades de funciones trigonométricas de ciertos ángulos, que se verifican para
cualquier valor de dichos ángulos".
Ya hemos visto muchos ejemplos en apartados anteriores:
sen 2 A + cos 2 A = 1
tg A =
sen A
cos A
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Para demostrar una identidad trigonométrica, no existen reglas. Por lo general habrá que
reducir el miembro que nos parezca más difícil (mediante sustituciones por identidades)
hasta hacerle igual al otro miembro; o bien, si los dos miembros no son sencillos, operar con
ambos hasta llegar a unas expresiones sencillas. Como es imposible recoger los infinitos
recursos que se pueden utilizar, nos limitaremos a resolver unos cuantos ejemplos.
Ejemplo:- Demuestra que cualquier que sea el ángulo alfa se verifica la relació.:
sec 2 x  cosec 2 x=sec 2 x · cosec 2 x
2
2
1
1
cos xsen x
sec x  cosec x=

=
=sec 2 x · cosec 2 x
2
2
2
2
sen x cos x sen x · cos x
2
2
Ejemplo:- Comprueba si es verdadera o falsa la siguiente igualdad:
tg x tg y
=tg x · tg y
cotg x cotg y
tg x tg y
tg xtg y tg xtg y
=
=
=tg x · tg y
cotg x cotg y
1
1
tg ytg x

tg x tg y tg x · tg y
Ejemplo:- Comprueba si es verdadera o falsa la siguiente igualdad:
2
2
2
2
sen x − cos y=sen y · cos x
sen 2 x  cos 2 x=sen 2 y  cos 2 y de donde:
sen 2 x − cos 2 y=sen2 y  cos 2 x
Ejercicio.- Comprueba si son verdaderas o falsas la siguientes igualdades:
tg xcotg x=sec x · cosec x
tg xcotg x=sec x · cosec x
●
2
2
2
2
cotg x−cos x=cotg x · cos x
sen x · cos x · tag x · cotg x · sec x · cosec x=1
Ecuaciones Trigonométricas.
"Se llaman así las igualdades entre razones trigonométricas de ciertos ángulos que sólo se
verifican para algunos valores particulares de dichos ángulos".
Resolver una ecuación trigonométrica es buscar todos los valores de los ángulos que la
satisfacen. Aunque no existen reglas generales para resolver una ecuación trigonométrica, serán de
utilidad las siguientes indicaciones:
1) Deben expresarse (mediante transformaciones convenientes) todas las razones que
intervengan en una ecuación, en función de un mismo ángulo sencillo y de una sola razón.
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Trigonometría
2) Hay que evitar, en lo posible, suprimir soluciones con simplificaciones o añadir
soluciones de forma inadecuada:
a) Si en la ecuación: senx · (-cos x) = 0 dividimos por sen x, nos queda - cos x = 0. Hemos
suprimido las soluciones de sen x = 0 que son x = 0º + kπ.
b) Añadimos soluciones a la ecuación
sen x=
si posteriormente resolveos
sen x=
sen x =
1
si la elevamos al cuadrado.
2
sen 2 x=
1
4
±1
por lo que hemos añadido dos nuevos tipos de soluciones
2
−1
es decir que x = 210º + 360k y x = 330º + 360k que no se correspondían con los
2
iniciales.
3) Suele ser suficiente dar las soluciones que estén comprendidas entre 0º y 360º.
2
sen x=tag x Desarrollamos sen2x y tagx:
2 · sen x · cos x=
sen x
cos x
2
2 · sen x · cos x=sen x
2 · sen x · cos 2 x−sen x=0
sen x 2 ·cos 2 x−1=0
Una posibilidad es que sea sen x = 0
Otra posibilidad es que 2 · cos 2 x=1 despejando cos x=∓

1
2
Por lo tanto hay 7 posibles soluciones:
●
senx = 0, obtenemos que x = 0º , x =18º y x =360º
●
cos x=
●
cos x=−


1
2
x = 45º y x = 315º
1
2
x = 135º y x = 225º
Al comprobarlas, vemos que las 7 son válidas.
Ejemplo.- Resuelve la ecuación cos 2x=14 sen x
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Conocemos una fórmula que
2
2
cos 2x=cos x−sen x , por lo que:
nos
desarrolla
el
coseno
del
ángulo
doble
cos 2x=14 sen x por lo que
cos2 x−sen 2 x=14 sen x
tenemos 2 razones trigonométricas seno y coseno. Podemos a partir de la f´romula
fundamental de la trigonometría, expresar una de ellas en función de la otra:
sen 2 x cos 2 x =1
cos 2 x=1−sen 2 x
por lo que:
1−sen 2 x−sen2 x=14 sen x
1−2 · sen 2 x =14 sen x
−2 · sen2 x=4 sen x
que es una ecuación de segundo grado en sen x. Haciendo el cambio t = sen x, tenmos:
−2 t 2 =4t
2
−2t −4t =0
t −2t−4=0
de donde obtenemos 2 valores para t. O sea, t =0 o t =-2.
Si ahora deshacemos el cambio de variables, tendríamos que pata t= 0 sería sen x = 0, y el
seno de un ángulo vale 0 en 0º, 180º y 360º mas las vueltas completas que sean. x = 0º + kπ.
La otra solución, implica que sen x = -2 y esto es imposible porque el seno de un ángulo está
comprendido entre -1 y 1.
2
2
Ejemplo.- Resuelve la ecuación sen x −cos x =
1
2
Podemos a partir de la f´romula fundamental de la trigonometría, expresar una de ellas en
función de la otra:
sen 2 x cos 2 x =1
2
2
cos x=1−sen x
por lo que
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sen 2 x −1−sen 2 x =
−12 sen 2 x=
1
2
1
2
3
sen x=± 
2
3
sen x=± 
son 60º, 120º, 240º, 300º y todos los que resultan
2
de sumar a éstos vueltas completas. Así pues las soluciones de la ecuación serán:
los ángulos cuyo seno es
x1 =

2k 
3
x2 =
2·
2k 
3
x3 =
4·
2k 
3
x4 =
2·
2k 
3
Ejemplo.- Resuelve la ecuación sen 2 x=cos 60º
Nos pide donde un ángulo (en este caso el ángulo es 2x) su seno y coseno son iguales. Y el
seno de un ángulo y su coseno son iguales si ambos son complementarios, es decir que ambos
suman 90º.
En definitiva que 2x + 60º = 90º, por lo que 2x = 30 y x = 15º.
Pero en el segundo cuadrante está x = 150º cuyo seno es el mismo valor (también es
positivo) que el seno de 30, por lo que x = 150º es otra solución.
Ejercicio.- Resuelve la ecuación sen 2 x · cos x=3 sen 2 x
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