Download Nú pe úmer erfect ros tr tos iangu ulares s y cu uadra ados

uadrados perrfectos y núm
meros triangulares Números cu
Nú
úmerros triangu
ularess y cu
uadraados peerfecttos Cuadra
ados perfecttos ¾ Un cuadrado U
perfecto es un número ccuya raíz es un número eentero. Matemátticamente: x es un cuadrrado perfecto
o La fórmulla para calcu
ular el enésim
mo cuadrado
o perfecto vieene dada por: Ejem
mplos: 1
1 2
3
4
4 5
25
5 … 9 16 6
En la imaggen anteriorr, se puede o
observar de d
dónde viene el nombre d
de “cuadrado
os perfeectos”. puede aprecciar, si tomam
mos cada va
alor como un
n número de cuadrados Como se p
podeemos formar r un cuadrad
do perfecto. P
Por ejemplo,, con el valorr 16 tenemoss 16 cuadrad
dos con lo
os que podemos formar un cuadrado
o perfecto. 1
Peedro José Martínez Rivass 2ºBT Números cuadrados perfectos y números triangulares Números triangulares ¾ Un número triangular es aquel número que si cogemos su valor como número de unidades o puntos podemos formar un triángulo que aunque lo giren sigue siendo un triángulo picudo. Es decir, dicho número puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero. Como se define, podemos representar los números enteros mediante colecciones de puntos. Cada punto representa una unidad. Los siguientes números se pueden disponer formando un triángulo; De ahí su nombre. A continuación se muestra gráficamente lo explicado anteriormente. 1 3 6 10 ·
La fórmula para calcular el enésimo número triangular viene dada por: 2
Ejemplos: 1
2
1· 1 1
2
1 2· 2 1
2
3 3· 3 1
2
6 4· 4 1
2
10 5· 5 1
2
15 6· 6 1
2
21 7· 7 1
2
23 ¾ Se cumple que la suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto. Por tanto: o
4 o
9 o
16 o
25 o
36 44 o
Con estos ejemplos se refleja que se cumple que la suma de dos números triangulares es un número perfecto. Por tanto, tomando la variable C como la sucesión de los números perfectos formados, se cumple que: Pedro José Martínez Rivas 2ºBT Números cuadrados perfectos y números triangulares Demostración Sabiendo la fórmula para la sucesión de números triangulares y para cuadrados perfectos: ·
1
1 ·
2
1
2
2
2
2
1
Por lo tanto, se cumple que la suma de dos números triangulares sucesivos es un número cuadrado o “cuadrado perfecto”. ¿Es triangular el número 666? Sabiendo la fórmula para la sucesión de números triangulares, tenemos que calcular n y comprobar que es un número entero: Sabemos que: 1.
2.
666 3
·
1
666
2
·
1
2
Obtenemos una ecuación de segundo grado: 1332 0 Se obtienen 2 soluciones Æ 37 36 La solución válida es 36, ya que es la pertenece a los números naturales. Solución: El número 666 sí es un número triangular y ocupa la posición 36 en la sucesión de dichos números. Pedro José Martínez Rivas 2ºBT Números cuadrados perfectos y números triangulares Números pentagonales Los números pentagonales por deducción y similitud con los anteriores, son: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117,145, 176…. El valor del enésimo número pentagonal , viene dado por la expresión: 3
1
2
A continuación se pueden ver una seria de representaciones que justifican el nombre de dichos números: 1 4
5 12 22 35 Pedro José Martínez Rivas 2ºBT