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En la escuela de Pitágoras (siglo VI a.C.) fue demostrado el actualmente llamado Teorema de
Pitágoras. Eso en su época generó interés en el estudio de aquellos números que podían ser
representados como suma de dos cuadrados, en particular, de los llamados números
cuadrados (o cuadrados perfectos), representables geométricamente como disposición de
puntos en configuraciones de cuadrados como se ve en la siguiente imagen:
A su vez, los Pitagóricos consideraban configuraciones geométricas de puntos como las
correspondientes a los llamados números triangulares:
Cuadrados perfectos
Se conocen como cuadrados perfectos aquellos números cuya raíz cuadrada es un
número entero. Es decir, k es un cuadrado perfecto si:
Como puede verse en la imagen, la sucesión de números cuadrados perfectos es:
Donde
representa el cuadrado perfecto n-ésimo. O lo que es lo mismo:
Lo que nos da la fórmula del cuadrado perfecto:
Números triangulares
Por números triangulares se entenderá a los números generados por la disposición de
puntos en forma de triángulos equiláteros. Tal como se muestra en la imagen:
Donde
representa el número triangular n-ésimo. Así:
, y dando a k los valores k = 1, 2, 3,…, n, se
Tomando como valor inicial
obtiene:
……………..
Sumando los términos anteriores:
Esta última suma, se puede emplear también como:
Que sumadas, nos da:
De donde:
Tanto los cuadrados perfectos como los números triangulares son denominados números
figurados, ya que son series de números generados al contar los puntos necesarios para crear
polígonos.
La suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto.
Demostración
Cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 265…
Números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136…
…………………
¿Es triangular el número 666?
El número 666 será un número triangular si:
Por tanto:
Resolviendo la ecuación de segundo grado:
Al tener solución la ecuación, y sabiendo que
cual demuestra que el número 666 es triangular:
, la solución válida es
. Lo
Sucesión de números pentagonales
Los números pentagonales también son números figurados, cuya representación es:
Y su sucesión:
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…
A partir de la representación geométrica, y en relación con los números cuadrados y
perfectos, un número pentagonal n-ésimo es la suma del n-ésimo cuadrado perfecto y el (n-1)ésimo número triangular.
O también, puede definirse un número pentagonal como la suma de un número
triangular y su inmediatamente inferior. Así:
Javier Velo Pérez