Download Cálculo de bobinas y transformadores

CARACTERIZACIÓN Y DISEÑO DE BOBINAS Y
TRANSFORMADORES
EFECTOS CAPACITIVOS
CONCEPTOS BÁSICOS DE ELECTROSTÁTICA
• Cargas puntuales
F a,b
Qb
r
r
Qa
Fuerza entre dos cargas
Fa ,b =
1 Qa ·Qb
· 2 ·r
4·π ·ε o r
[N ]
Intensidad de campo eléctrico
E a ,b =
1 Qa
· 2 ·r
4·π ·ε o r
Constante dieléctrica del vacío
Eo=8.8542·10-12 [F/m]
[V m ]
EFECTOS CAPACITIVOS
E: campo Newtoniano
ρ
εo
rot E = 0
div E =
Integrando las ecuaciones de Maxwell
E = − gra d V
V : potencial electrostático
b
a
a
b
Va − Vb = ∫ ( − E )·dl = ∫ ( E )·dl
V: trabajo para mover una carga a velocidad
constante de A a B
MATERIALES DIELÉCTRICOS
Eo
D = ε o ·E + P
P = χ e ·ε o · E
Pi
D
Eo
De donde
D
D = ε o · E ·(1 + χ e )
d
EFECTOS CAPACITIVOS
Tma de Gauss
∫∫S ,cerrada D ·ds = Qencerrada
D· s =σ f · s ⇒
Donde
D =σ f
σf es la densidad de carga libre
D = ε o ·ε r · E ⇒ E =
E = − gra d V
⇒
dV
E=
dx
σ
f
ε o ·ε r
⇒ V=
De donde
σ f ·s
s
Q
= ε o ·ε r ·
C= =
σf
d
V
·d
ε o ·ε r
σ
f
ε o ·ε r
·d
EFECTOS CAPACITIVOS
ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO
1
E ·D
·dv = ·ε o ·ε r ·∫∫∫ E 2 ·dv
ε = ∫∫∫
2
2
v
v
L
d
H
E
V
Ambas placas están a igual tensión por lo que el campo E es
constante a lo largo de toda la superficie
1
V 2
ε = ·ε o ·ε r ·∫∫∫ 2 ·dv
2
d
1
ε = ·C eq ·V 2
2
C eq = ε o ·ε r ·
s
d
=
1
s
·ε o ·ε r ·V 2 ·
2
d
EFECTOS CAPACITIVOS
Según la estrategia de devanar las capacidades parásitas
cambian.
V
V
V/2
h
d
x
0
a)
E(x)=
b)
V·x
h·d
E=
V/2
d
Consideremos placas planas de sección S y longitud l.
Caso a)
El campo eléctrico depende de “x”
2
1
V ·x 
ε = ·ε o ·ε r ·∫∫∫ 
 ·dv
2
·
h
d


=
1
s
·ε o ·ε r ·V 2 ·
6
d
1
s
C eq = ·ε o ·ε r ·
3
d
Caso b)
El campo eléctrico no depende de “x”
1
V2
·dv
ε = ·ε o ·ε r ·∫∫∫
2
2
4·d
=
1
s
C eq = ·ε o ·ε r ·
4
d
1
s
·ε o ·ε r ·V 2 ·
8
d
EFECTOS CAPACITIVOS
Condensador cilíndrico
R2
R1
E(r)
-Q
+Q
H
ds
r
Aplicando el Teorema de Gauss a un condensador cilíndrico
sometido a una tensión V, tenemos:
Qlibre
·ds =
∫∫SE,cerrada
ε
Q
E=
2·πε · H ·r
V =
∫
E ·dr =
Q
R2
·ln
2·π ·ε o · H
R1
Q 2·π ·ε · H
C= =
V
 R2 
ln

1
R


EFECTOS CAPACITIVOS
O también
1
ε = ·ε o ·ε r ·∫∫∫ E ( r ) 2 ·dv
2
Q2
 R2 
·ln
=

ε ·2·π · H  R1 
1
1
Q2
2
ε = ·C eq ·V = ·C eq · 2
2
2
C eq
C eq =
2·π ·ε · H
 R2 
ln

 R1 
Si el condensador esta formado por dos capas de conductores
unidos como se indica en la figura y sometidos a la tensión V,
el condensador equivalente será:
R2
R1
V
∆C
E(r)
-Q
+Q
H
ds
y
r
EFECTOS CAPACITIVOS
Tomemos un diferencial de condensador ∆C:
∆C =
2·π ·ε ·∆y
 R2 
ln

1
R


La energía almacenada en este condensador diferencial será:
1
V 
∆W = ·∆C · 
2
2
2
Integrando a lo largo de la altura H, tendremos:
W =∫
H
0
1 H 2·π ·ε ·dy V 2 π ·ε · H ·V 2
·
dW = ·∫
=
2 0
 R2  4
 R2 
ln
4·ln


 R1 
 R1 
La energía almacenada en un condensador equivalente es
1
W = ·C eq ·V 2
2
De donde se deduce la capacidad equivalente
C eq =
π ·ε · H
 R2 
2·ln

1
R


EFECTOS CAPACITIVOS
Si por el contrario las conexiones entre devanados son
las mostradas en la figura:
V
R2
R1
∆C
E(r)
-Q
+Q
H
ds
y
r
El perfil de tensiones a lo largo del eje y será como el
indicado en el caso a): V(y)=V·y/H
Siguiendo el mismo proceso que es el caso anterior
tendremos:
∆C =
2·π ·ε ·∆y
 R2 
ln

1
R


1
V ·y 
∆W = ·∆C ·

2
H


W =∫
H
0
2
1 H 2·π ·ε ·dy V 2 · y 2 π ·ε · H ·V 2
·
=
dW = ·∫
2
0
2
R
2

 H
 R2 
ln
3·ln


1
1
R 
R 
EFECTOS CAPACITIVOS
Finalmente igualando la expresión anterior a la energía
almacenada en un condensador Ceq sometiodo a la
tensión V, obtendremos el valor de Ceq:
C eq =
2·π ·ε · H
 R2 
3·ln

1
R


Las técnicas de interleaving:
C 12
C 11
C 22
• Aumentan la capacidad entre devanados C12 (se reduce
la distancia entre ellos)
• Disminuyen la capacidad propia C11, C22
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
Ejemplo de diseño:
UB
LF
N 1 :N 2
u1
u2
Convertidor en puente completo
Vi: 83-365 V (eficaces)
Vo: 12 V (DC)
Po: 100 W
Fc: 100kHz
Asignaremos inicialmente el 10 % de pérdidas a los
semiconductores y otro 10 % a los magnéticos.
u1
T/2
d·(T/2)
T
t
φ, i m
t
u2
t
i2
t
u0
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
a) Diseño del transformador de aislamiento
1º) Determinar el ciclo de trabajo del convertidor
M=d·(N2/N1)
rt=N1/N2=8
UBmax=516 V
UB =311 V
UBmin=117 V
⇒
⇒
⇒
d=0.18
d=0.3
d=0.82
2º) Determinar los valores de corriente y tensión que deben ser
manejados por los magnéticos
Corriente eficaz por el secundario
i2=IO·√d≈4.56 A
(suponemos despreciables los rizados de corriente debidos a la LF y Lm)
Corriente eficaz por el primario
I1=I2/rt ≈ 0.57 A
3º) Selección de los conductores
Objetivo: minimizar los efectos de la alta frecuencia
δ =
ρ
π ·µ · f C
δ (100kHz)=0.24 mm
PRIMARIO:
hilo redondo de φ 0.15 mm
SECUNDARIO: Hilo litz 400xφ 0.04mm
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
4º) Selección del material magnético
Objetivo: minimizar las pérdidas en alta frecuencia
Evitar la saturación del nucleo
3F3 PHILIPS
Pn(W / m 3 ) = Cm· f C ·Bac ·(ct − ct1 ·T + ct 2 ·T 2 )
x
y
Entre 20 – 300 kHz
Cm=0.25, x=1.6, y=2.5, ct=1.26, ct1=1.05·10-2, ct2=0.79·10-4
Saturación
BS=0.3 T
Bmax ( N1) =
U max ·d
4· f C · N1· Ae
5º) Evaluación de las pérdidas en el núcleo
9 − 6·d 
1. 6 
·Ve
Pn( N1) = 0.25· f c ·U B ·d ·
12· f C ·N1· Ae 

Pn(N1)=K1/N1
6º) Evaluación de las pérdidas en el cobre
Pcu ( N1) = ρ Cu ·
N1·l m1
φ 
π · 1 
4
·I 2 + ρ Cu ·
2 1
N1
·l m 2
rt
φ 
π · 2  ·400
 4
2
·(I 1 ·rt )
2
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
PCu(N1)=K1·N1
Pérdidas totales
PT(N1)= PCu(N1)+ Pn(N1)
El mínimo se obtiene cuando
PCu(N1)=Pn(N1)
P(W)
Pn
P Cu
N1 optimo
Inductancia magnetizante:
N12 ·µo ·µ r · Ae
Lm( N1) =
le
N1
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
Corriente magnetizante:
Im( N1) =
U B ·d
4·Lm( N1)· f C
7º) Disposición de los devanados
Secundario
Primario
núcleo
El primario se divide en dos capas en paralelo para minimizar
la inductancia de dispersión.
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
Fichero Mathcad
Ieff 0.6
rt 8
3
f 100. 10
Ub 311
d 0.3
8
ρcu 1.7. 10
2 numero de capas en paralelo del primario
capas
Datos del núcleo
Ve
Ae
9
574. 10
6
24.8. 10
φ c 5. 10 3
mur 2000
7
muo 4. π . 10
le
h
3
23.2. 10
3
6.3. 10
Datos conductores
φ1
φ2
0.15. 10
0.04. 10
3
3
Cálculo de pérdidas en el cobre
ρcu .
Pcu1( N1)
N1. π . φ c .
π.
. Ieff2
capas
4
Ub. d
4. f. N1. Ae
Bmax( N1)
Lm( N1)
2
φ1
1
2
N1 . muo. mur. Ae
le
ρcu
Pcu2( N1)
N1. .
π φc
. rt
Pcu( N1)
φ2 .
400
4
Ub. d
4. Lm( N1) . f
Pcu1( N1)
3
. ( Ieff. rt ) 2
2
π.
Im_max( N1)
2. 0.2. 10
Pcu1( N1)
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
Cálculo de pérdidas en el núcleo
Pn( N1)
N1
1.6
0.25. ( f ) .
Ub. d .
9
.
12 f. N1. Ae
2.5
6. d
. Ve
8 , 9 .. 40
4
Pcu( N1 )
Pn ( N1 )
2
0
0
10
20
30
40
N1
1.5
1
Im_max( N1 )
0.5
0
0
10
20
N1
30
40
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
1.5
1
Bmax( N1 )
0.5
0
0
10
20
30
40
N1
A la vista de las anteriores gráficas se selecciona:
Núcleo RM5
N1=32 (dos capas en paralelo)
N2=8
Pérdidas totales PT=1.2 W
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
b) Diseño de la bobina
A partir del rizado de corriente (ir=1A) se determina el valor de
LF
UB=516 V, d=0.18
LF =
U B − VO
·d ·T
2·ir
⇒
LF=0.45mH
A partir de éste valor se ha de determinar el número de espiras
N y el entrehierro necesarios para obtener el valor deseado de
LF.
L=
N2
le
g
+
µ · Ae µ o · Ae
Bmax =
N · I max
le
g
+
µ µo
El cálculo sigue un proceso iterativo similar al realizado con el
transformador.
EFECTOS EN LOS DEVANADOS EN ALTA RECUENCIA
EJEMPLO:
Transformador para flyback:
Resultados en función de la estrategia de devanado:
(Corriente neta por los devanados 2 A)
EFECTOS EN LOS DEVANADOS EN ALTA RECUENCIA
Influencia del entrehierro:
RM12, conductores de φ1.5 mm,
Análisis a 150 kHz
CRITERIOS DE DISEÑO
ESPESOR ÓPTIMO EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE CAPAS
QUE FORMAN EL DEVANADO
Espesor óptimo normalizado ϕopt(m)=espesor/δSKIN
Pérdidas: P(m)=PDC·F(ϕopt(m),m)
Bobinas con entrehierro central
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ϕopt(m)
1.57
0.961
0.77
0.663
0.591
0.539
0.499
0.466
0.439
0.417
F(ϕopt(m),m)
1.44
1.349
1.34
1.337
1.335
1.334
1.334
1.334
1.334
1.334
Bobinas con entrehierro central y exterior
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ϕopt(m)
3.133
1.57
1.143
0.961
0.849
0.77
0.711
0.663
0.624
0.591
F(ϕopt(m),m)
1.437
1.44
1.364
1.349
1.343
1.34
1.338
1.337
1.336
1.335
EJEMPLO DE DISEÑO
MÉTODO DE DISEÑO DE BOBINAS:
Datos de partida:
L=450 µH
Frecuencia=200 kHz
Corriente máxima IMAX=8.8 A
Corriente ac
Iac=0.5 A
Corriente eficaz IRMS≈8.5 A
Factor de uso de ventana kW=0.3
Saturación
BS=0.3 T
Factor de forma geométrico KFG=85
Factor de pérdidas en el núcleo
PNU
KM =
B
Vol
2
ac
1.- Selección del núcleo
POPT = 2·
ρ CU · K M · K FG 2 2
· L · I ac · I 2 RMS
KW
V
PBmax = K M ·
I 2 ac
I 2 MAX
2
3
K  L· I RMS · I MAX
·B MAX ·V + ρ CU · FG ·
KW 
B MAX
2
2
 1
 · 5

V3
EJEMPLO DE DISEÑO
Representación de las pérdidas óptimas totales y las pérdidas
a BMAX en función del volumen del núcleo.
El volumen óptimo se encontrará en el cruce de ambas curvas.
Con volúmenes inferiores al óptimo forzosamente acudiremos
a un diseño a BMAX para evitar la saturación.
Con volúmenes superiores al óptimo minimizamos pérdidas a
costa de incrementar el volumen.
4
1 10
3
1 10
Popt
( v)
100
Pbmax ( v )
10
1
0.1
1 10
7
1 10
6
1 10
5
1 10
4
0.001
v
Se asumen como aceptables unas pérdidas del orden de 5W,
por lo tanto seleccionamos un volumen de núcleo ≈ 13.000 mm3
Es decir un RM14.
2.- Selección del número de vueltas
a) por límite de pérdidas
dP
=0
dN
⇒
 K ·K
N OPT =  M W
 ρ CU
 L· I ac
·
 I RMS
 AW ·V 
 ·

·
l
A

e 

2
1
4
EJEMPLO DE DISEÑO
b) por límite de BMAX
N=
L· I MAX
BMAX · Ae
En nuestro caso es la opción b) la seleccionada
N=74
3.- Diámetro del hilo
φ=
4· K W · AW
≈ 0.8 mm
π ·N
4.- Determinación del entrehierro
µ o · Ae · N 2 le
g=
−
= 3 mm
L
µr
EJEMPLO DE DISEÑO
FICHERO MATHCAD:
DATOS DE ENTRADA:
INDUCTANCIA
6
l 450 .10
FRECUENCIA
f 100000
CORRIENTES
imax
8.8
iac 0.5
irms 8.5
FACTOR DE USO DE VENTANA
kw
0.3
RESISTIVIDAD CONDUCTOR
1
res
7
5.7.10
PERMEABILIDAD
ur
2000
bmax
0.3 B MAXIMO
PERDIDAS NUCLEO
kfg
85 factor de forma geometrico=80 por lo general
6
km
5.28.10 factor de pérdidas del núcleo
v
500 .10
9
, 600 .10
perbopt ( v )
9
..550000 .10
9
res.km .kfg . 2 . 2 .
2
l iac irms
kw
2.
2
v
2
perbmax ( v )
3
iac .
2
bmax .v
km .
2
imax
2
res.kfg . 2 .
2 imax . 1
l irms .
2 5
kw
bmax
3
v
cálculo a mínimas pérdidas perbopt(v) y a Bmax, perbmax(v). Hay un punto de corte.
A la izda de derecho punto el diseño ha de ser a Bmax ya que en el otro caso se
satura la bobina. A la derecha del punto el diseño ha de ser a mínimas pérdidas.
1 10
1 10
4
3
perbopt( v )
100
perbmax ( v )
10
1
0.1
1 10
7
1 10
6
1 10
v
5
1 10
4
0.001
EJEMPLO DE DISEÑO
v2
Aw1
Ae1
lmed1
le2
13 .10
6
v1
6
135 .10
6
178 .10
Aw2
Ae2
3
90 .10
3
71 .10
lmed2
le1
13 .10
6
6
135 .10
6
178 .10
90 .10
3
71 .10
3
4
2
v1
km .kw . 2 . iac .
Aw1 .
l
2
2
res
irms
lmed1 .Ae1
n1opt = 14.047
imax .l
b1max
Ae1 .n1opt
n1opt
n2opt
l.imax
bmax .Ae1
n2opt = 74.157
imax .l
b2max
Ae2 .n2opt
b1max = 1.584
iac.l
b1ac
Ae1 .n1opt
b2max = 0.3
iac.l
b2ac
Ae2 .n2opt
b1ac = 0.09
b2ac = 0.017
d1
4.
Aw1 .kw
π
d2
n1opt
n2opt
d1 = 0.002
d2 = 8.339 10
2
p1nu
4.
Aw2 .kw
π
iac .
2
km .v1 .
b1max
2
imax
p1nu = 0.556
4
2
p2nu
iac .
2
km .v2 .
b2max
2
imax
p2nu = 0.02
res.n1opt .lmed1 .
2
irms
π. 2
d1
4
pdev1 = 0.556
7
2
le1
4 .π .10 .Ae1 .n1opt
g1
ur
l
pdev1
5
pdev2
g2
res.n2opt .lmed2 .
2
irms
π. 2
d2
4
7
2
4 .π .10 .Ae2 .n2opt
le2
l
ur
g1 = 6.258 10
n1opt = 14.047
pdev1 = 0.556
p1nu = 0.556
g2 = 0.003
n2opt = 74.157
pdev2 = 15.49
p2nu = 0.02
d1 = 0.002
b1max = 1.584
d2 = 8.339 10
b2max = 0.3
4