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CARACTERIZACIÓN Y DISEÑO DE BOBINAS Y TRANSFORMADORES EFECTOS CAPACITIVOS CONCEPTOS BÁSICOS DE ELECTROSTÁTICA • Cargas puntuales F a,b Qb r r Qa Fuerza entre dos cargas Fa ,b = 1 Qa ·Qb · 2 ·r 4·π ·ε o r [N ] Intensidad de campo eléctrico E a ,b = 1 Qa · 2 ·r 4·π ·ε o r Constante dieléctrica del vacío Eo=8.8542·10-12 [F/m] [V m ] EFECTOS CAPACITIVOS E: campo Newtoniano ρ εo rot E = 0 div E = Integrando las ecuaciones de Maxwell E = − gra d V V : potencial electrostático b a a b Va − Vb = ∫ ( − E )·dl = ∫ ( E )·dl V: trabajo para mover una carga a velocidad constante de A a B MATERIALES DIELÉCTRICOS Eo D = ε o ·E + P P = χ e ·ε o · E Pi D Eo De donde D D = ε o · E ·(1 + χ e ) d EFECTOS CAPACITIVOS Tma de Gauss ∫∫S ,cerrada D ·ds = Qencerrada D· s =σ f · s ⇒ Donde D =σ f σf es la densidad de carga libre D = ε o ·ε r · E ⇒ E = E = − gra d V ⇒ dV E= dx σ f ε o ·ε r ⇒ V= De donde σ f ·s s Q = ε o ·ε r · C= = σf d V ·d ε o ·ε r σ f ε o ·ε r ·d EFECTOS CAPACITIVOS ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO 1 E ·D ·dv = ·ε o ·ε r ·∫∫∫ E 2 ·dv ε = ∫∫∫ 2 2 v v L d H E V Ambas placas están a igual tensión por lo que el campo E es constante a lo largo de toda la superficie 1 V 2 ε = ·ε o ·ε r ·∫∫∫ 2 ·dv 2 d 1 ε = ·C eq ·V 2 2 C eq = ε o ·ε r · s d = 1 s ·ε o ·ε r ·V 2 · 2 d EFECTOS CAPACITIVOS Según la estrategia de devanar las capacidades parásitas cambian. V V V/2 h d x 0 a) E(x)= b) V·x h·d E= V/2 d Consideremos placas planas de sección S y longitud l. Caso a) El campo eléctrico depende de “x” 2 1 V ·x ε = ·ε o ·ε r ·∫∫∫ ·dv 2 · h d = 1 s ·ε o ·ε r ·V 2 · 6 d 1 s C eq = ·ε o ·ε r · 3 d Caso b) El campo eléctrico no depende de “x” 1 V2 ·dv ε = ·ε o ·ε r ·∫∫∫ 2 2 4·d = 1 s C eq = ·ε o ·ε r · 4 d 1 s ·ε o ·ε r ·V 2 · 8 d EFECTOS CAPACITIVOS Condensador cilíndrico R2 R1 E(r) -Q +Q H ds r Aplicando el Teorema de Gauss a un condensador cilíndrico sometido a una tensión V, tenemos: Qlibre ·ds = ∫∫SE,cerrada ε Q E= 2·πε · H ·r V = ∫ E ·dr = Q R2 ·ln 2·π ·ε o · H R1 Q 2·π ·ε · H C= = V R2 ln 1 R EFECTOS CAPACITIVOS O también 1 ε = ·ε o ·ε r ·∫∫∫ E ( r ) 2 ·dv 2 Q2 R2 ·ln = ε ·2·π · H R1 1 1 Q2 2 ε = ·C eq ·V = ·C eq · 2 2 2 C eq C eq = 2·π ·ε · H R2 ln R1 Si el condensador esta formado por dos capas de conductores unidos como se indica en la figura y sometidos a la tensión V, el condensador equivalente será: R2 R1 V ∆C E(r) -Q +Q H ds y r EFECTOS CAPACITIVOS Tomemos un diferencial de condensador ∆C: ∆C = 2·π ·ε ·∆y R2 ln 1 R La energía almacenada en este condensador diferencial será: 1 V ∆W = ·∆C · 2 2 2 Integrando a lo largo de la altura H, tendremos: W =∫ H 0 1 H 2·π ·ε ·dy V 2 π ·ε · H ·V 2 · dW = ·∫ = 2 0 R2 4 R2 ln 4·ln R1 R1 La energía almacenada en un condensador equivalente es 1 W = ·C eq ·V 2 2 De donde se deduce la capacidad equivalente C eq = π ·ε · H R2 2·ln 1 R EFECTOS CAPACITIVOS Si por el contrario las conexiones entre devanados son las mostradas en la figura: V R2 R1 ∆C E(r) -Q +Q H ds y r El perfil de tensiones a lo largo del eje y será como el indicado en el caso a): V(y)=V·y/H Siguiendo el mismo proceso que es el caso anterior tendremos: ∆C = 2·π ·ε ·∆y R2 ln 1 R 1 V ·y ∆W = ·∆C · 2 H W =∫ H 0 2 1 H 2·π ·ε ·dy V 2 · y 2 π ·ε · H ·V 2 · = dW = ·∫ 2 0 2 R 2 H R2 ln 3·ln 1 1 R R EFECTOS CAPACITIVOS Finalmente igualando la expresión anterior a la energía almacenada en un condensador Ceq sometiodo a la tensión V, obtendremos el valor de Ceq: C eq = 2·π ·ε · H R2 3·ln 1 R Las técnicas de interleaving: C 12 C 11 C 22 • Aumentan la capacidad entre devanados C12 (se reduce la distancia entre ellos) • Disminuyen la capacidad propia C11, C22 ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES Ejemplo de diseño: UB LF N 1 :N 2 u1 u2 Convertidor en puente completo Vi: 83-365 V (eficaces) Vo: 12 V (DC) Po: 100 W Fc: 100kHz Asignaremos inicialmente el 10 % de pérdidas a los semiconductores y otro 10 % a los magnéticos. u1 T/2 d·(T/2) T t φ, i m t u2 t i2 t u0 ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES a) Diseño del transformador de aislamiento 1º) Determinar el ciclo de trabajo del convertidor M=d·(N2/N1) rt=N1/N2=8 UBmax=516 V UB =311 V UBmin=117 V ⇒ ⇒ ⇒ d=0.18 d=0.3 d=0.82 2º) Determinar los valores de corriente y tensión que deben ser manejados por los magnéticos Corriente eficaz por el secundario i2=IO·√d≈4.56 A (suponemos despreciables los rizados de corriente debidos a la LF y Lm) Corriente eficaz por el primario I1=I2/rt ≈ 0.57 A 3º) Selección de los conductores Objetivo: minimizar los efectos de la alta frecuencia δ = ρ π ·µ · f C δ (100kHz)=0.24 mm PRIMARIO: hilo redondo de φ 0.15 mm SECUNDARIO: Hilo litz 400xφ 0.04mm ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES 4º) Selección del material magnético Objetivo: minimizar las pérdidas en alta frecuencia Evitar la saturación del nucleo 3F3 PHILIPS Pn(W / m 3 ) = Cm· f C ·Bac ·(ct − ct1 ·T + ct 2 ·T 2 ) x y Entre 20 – 300 kHz Cm=0.25, x=1.6, y=2.5, ct=1.26, ct1=1.05·10-2, ct2=0.79·10-4 Saturación BS=0.3 T Bmax ( N1) = U max ·d 4· f C · N1· Ae 5º) Evaluación de las pérdidas en el núcleo 9 − 6·d 1. 6 ·Ve Pn( N1) = 0.25· f c ·U B ·d · 12· f C ·N1· Ae Pn(N1)=K1/N1 6º) Evaluación de las pérdidas en el cobre Pcu ( N1) = ρ Cu · N1·l m1 φ π · 1 4 ·I 2 + ρ Cu · 2 1 N1 ·l m 2 rt φ π · 2 ·400 4 2 ·(I 1 ·rt ) 2 ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES PCu(N1)=K1·N1 Pérdidas totales PT(N1)= PCu(N1)+ Pn(N1) El mínimo se obtiene cuando PCu(N1)=Pn(N1) P(W) Pn P Cu N1 optimo Inductancia magnetizante: N12 ·µo ·µ r · Ae Lm( N1) = le N1 ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES Corriente magnetizante: Im( N1) = U B ·d 4·Lm( N1)· f C 7º) Disposición de los devanados Secundario Primario núcleo El primario se divide en dos capas en paralelo para minimizar la inductancia de dispersión. ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES Fichero Mathcad Ieff 0.6 rt 8 3 f 100. 10 Ub 311 d 0.3 8 ρcu 1.7. 10 2 numero de capas en paralelo del primario capas Datos del núcleo Ve Ae 9 574. 10 6 24.8. 10 φ c 5. 10 3 mur 2000 7 muo 4. π . 10 le h 3 23.2. 10 3 6.3. 10 Datos conductores φ1 φ2 0.15. 10 0.04. 10 3 3 Cálculo de pérdidas en el cobre ρcu . Pcu1( N1) N1. π . φ c . π. . Ieff2 capas 4 Ub. d 4. f. N1. Ae Bmax( N1) Lm( N1) 2 φ1 1 2 N1 . muo. mur. Ae le ρcu Pcu2( N1) N1. . π φc . rt Pcu( N1) φ2 . 400 4 Ub. d 4. Lm( N1) . f Pcu1( N1) 3 . ( Ieff. rt ) 2 2 π. Im_max( N1) 2. 0.2. 10 Pcu1( N1) ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES Cálculo de pérdidas en el núcleo Pn( N1) N1 1.6 0.25. ( f ) . Ub. d . 9 . 12 f. N1. Ae 2.5 6. d . Ve 8 , 9 .. 40 4 Pcu( N1 ) Pn ( N1 ) 2 0 0 10 20 30 40 N1 1.5 1 Im_max( N1 ) 0.5 0 0 10 20 N1 30 40 ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES 1.5 1 Bmax( N1 ) 0.5 0 0 10 20 30 40 N1 A la vista de las anteriores gráficas se selecciona: Núcleo RM5 N1=32 (dos capas en paralelo) N2=8 Pérdidas totales PT=1.2 W ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES b) Diseño de la bobina A partir del rizado de corriente (ir=1A) se determina el valor de LF UB=516 V, d=0.18 LF = U B − VO ·d ·T 2·ir ⇒ LF=0.45mH A partir de éste valor se ha de determinar el número de espiras N y el entrehierro necesarios para obtener el valor deseado de LF. L= N2 le g + µ · Ae µ o · Ae Bmax = N · I max le g + µ µo El cálculo sigue un proceso iterativo similar al realizado con el transformador. EFECTOS EN LOS DEVANADOS EN ALTA RECUENCIA EJEMPLO: Transformador para flyback: Resultados en función de la estrategia de devanado: (Corriente neta por los devanados 2 A) EFECTOS EN LOS DEVANADOS EN ALTA RECUENCIA Influencia del entrehierro: RM12, conductores de φ1.5 mm, Análisis a 150 kHz CRITERIOS DE DISEÑO ESPESOR ÓPTIMO EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE CAPAS QUE FORMAN EL DEVANADO Espesor óptimo normalizado ϕopt(m)=espesor/δSKIN Pérdidas: P(m)=PDC·F(ϕopt(m),m) Bobinas con entrehierro central m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ϕopt(m) 1.57 0.961 0.77 0.663 0.591 0.539 0.499 0.466 0.439 0.417 F(ϕopt(m),m) 1.44 1.349 1.34 1.337 1.335 1.334 1.334 1.334 1.334 1.334 Bobinas con entrehierro central y exterior m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ϕopt(m) 3.133 1.57 1.143 0.961 0.849 0.77 0.711 0.663 0.624 0.591 F(ϕopt(m),m) 1.437 1.44 1.364 1.349 1.343 1.34 1.338 1.337 1.336 1.335 EJEMPLO DE DISEÑO MÉTODO DE DISEÑO DE BOBINAS: Datos de partida: L=450 µH Frecuencia=200 kHz Corriente máxima IMAX=8.8 A Corriente ac Iac=0.5 A Corriente eficaz IRMS≈8.5 A Factor de uso de ventana kW=0.3 Saturación BS=0.3 T Factor de forma geométrico KFG=85 Factor de pérdidas en el núcleo PNU KM = B Vol 2 ac 1.- Selección del núcleo POPT = 2· ρ CU · K M · K FG 2 2 · L · I ac · I 2 RMS KW V PBmax = K M · I 2 ac I 2 MAX 2 3 K L· I RMS · I MAX ·B MAX ·V + ρ CU · FG · KW B MAX 2 2 1 · 5 V3 EJEMPLO DE DISEÑO Representación de las pérdidas óptimas totales y las pérdidas a BMAX en función del volumen del núcleo. El volumen óptimo se encontrará en el cruce de ambas curvas. Con volúmenes inferiores al óptimo forzosamente acudiremos a un diseño a BMAX para evitar la saturación. Con volúmenes superiores al óptimo minimizamos pérdidas a costa de incrementar el volumen. 4 1 10 3 1 10 Popt ( v) 100 Pbmax ( v ) 10 1 0.1 1 10 7 1 10 6 1 10 5 1 10 4 0.001 v Se asumen como aceptables unas pérdidas del orden de 5W, por lo tanto seleccionamos un volumen de núcleo ≈ 13.000 mm3 Es decir un RM14. 2.- Selección del número de vueltas a) por límite de pérdidas dP =0 dN ⇒ K ·K N OPT = M W ρ CU L· I ac · I RMS AW ·V · · l A e 2 1 4 EJEMPLO DE DISEÑO b) por límite de BMAX N= L· I MAX BMAX · Ae En nuestro caso es la opción b) la seleccionada N=74 3.- Diámetro del hilo φ= 4· K W · AW ≈ 0.8 mm π ·N 4.- Determinación del entrehierro µ o · Ae · N 2 le g= − = 3 mm L µr EJEMPLO DE DISEÑO FICHERO MATHCAD: DATOS DE ENTRADA: INDUCTANCIA 6 l 450 .10 FRECUENCIA f 100000 CORRIENTES imax 8.8 iac 0.5 irms 8.5 FACTOR DE USO DE VENTANA kw 0.3 RESISTIVIDAD CONDUCTOR 1 res 7 5.7.10 PERMEABILIDAD ur 2000 bmax 0.3 B MAXIMO PERDIDAS NUCLEO kfg 85 factor de forma geometrico=80 por lo general 6 km 5.28.10 factor de pérdidas del núcleo v 500 .10 9 , 600 .10 perbopt ( v ) 9 ..550000 .10 9 res.km .kfg . 2 . 2 . 2 l iac irms kw 2. 2 v 2 perbmax ( v ) 3 iac . 2 bmax .v km . 2 imax 2 res.kfg . 2 . 2 imax . 1 l irms . 2 5 kw bmax 3 v cálculo a mínimas pérdidas perbopt(v) y a Bmax, perbmax(v). Hay un punto de corte. A la izda de derecho punto el diseño ha de ser a Bmax ya que en el otro caso se satura la bobina. A la derecha del punto el diseño ha de ser a mínimas pérdidas. 1 10 1 10 4 3 perbopt( v ) 100 perbmax ( v ) 10 1 0.1 1 10 7 1 10 6 1 10 v 5 1 10 4 0.001 EJEMPLO DE DISEÑO v2 Aw1 Ae1 lmed1 le2 13 .10 6 v1 6 135 .10 6 178 .10 Aw2 Ae2 3 90 .10 3 71 .10 lmed2 le1 13 .10 6 6 135 .10 6 178 .10 90 .10 3 71 .10 3 4 2 v1 km .kw . 2 . iac . Aw1 . l 2 2 res irms lmed1 .Ae1 n1opt = 14.047 imax .l b1max Ae1 .n1opt n1opt n2opt l.imax bmax .Ae1 n2opt = 74.157 imax .l b2max Ae2 .n2opt b1max = 1.584 iac.l b1ac Ae1 .n1opt b2max = 0.3 iac.l b2ac Ae2 .n2opt b1ac = 0.09 b2ac = 0.017 d1 4. Aw1 .kw π d2 n1opt n2opt d1 = 0.002 d2 = 8.339 10 2 p1nu 4. Aw2 .kw π iac . 2 km .v1 . b1max 2 imax p1nu = 0.556 4 2 p2nu iac . 2 km .v2 . b2max 2 imax p2nu = 0.02 res.n1opt .lmed1 . 2 irms π. 2 d1 4 pdev1 = 0.556 7 2 le1 4 .π .10 .Ae1 .n1opt g1 ur l pdev1 5 pdev2 g2 res.n2opt .lmed2 . 2 irms π. 2 d2 4 7 2 4 .π .10 .Ae2 .n2opt le2 l ur g1 = 6.258 10 n1opt = 14.047 pdev1 = 0.556 p1nu = 0.556 g2 = 0.003 n2opt = 74.157 pdev2 = 15.49 p2nu = 0.02 d1 = 0.002 b1max = 1.584 d2 = 8.339 10 b2max = 0.3 4