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Semana 7
Matrices (parte
Semana
8 2)
Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1)
¡Empecemos!
La semana inicia con un tema
muy interesante que te llevará a
explorar cómo el ser humano logró resolver problemas prácticos
relacionados con ángulos y medidas de distancia. Las primeras
aplicaciones de la trigonometría
se hicieron en los campos de la
navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal
problema era determinar una
distancia inaccesible, como la que existe entre la Tierra y la luna o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas
de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos como el
movimiento circular, el sonido o el flujo de corriente alterna.
¿Qué sabes de...?
Para esta semana necesitamos que ejercites tus saberes sobre los sistemas
de medición de ángulo y el uso del teorema de Pitágoras. Para ello, presenta
la solución de los siguientes planteamientos:
2. Expresemos en grados
2π
3
Resuelve los triángulos usando el
teorema de Pitágoras
b
10 cm
8 cm
3 cm
1. Expresemos en radianes 90º.
a
4 cm
El reto es...
Un árbol proyecta una sombra de 48m cuando el sol se encuentra a una
altura de 20º sobre el horizonte. ¿Cuál es la altura del árbol?, ¿cuál será la longitud de la sombra cuando el sol se encuentre a una altura de 35º sobre el
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Semana 8
Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1)
horizonte?, ¿cuál será la altura del sol sobre el horizonte cuando el árbol proyecte una sombra de 20m?
Figura 20
Para responder a las preguntas, debemos pensar cómo establecer una relación entre el ángulo que se forma con el punto más alto del árbol y su proyección vista como una sombra. Para ello estudiemos algunos conceptos y
estableceremos la explicación más apropiada a la situación planteada.
Vamos al grano
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es encontrar las medidas de sus tres lados
y tres ángulos a partir de algunos de ellos que son conocidos. Las razones trigonométricas nos permiten resolver cualquier tipo de triángulo rectángulo.
1. Conocidos dos lados. El tercer lado se obtiene mediante el teorema de
Pitágoras. Uno de los ángulos agudos se halla a partir de la razón trigonométrica que lo relaciona con los dos lados conocidos.
2. Conocido un lado y un ángulo. Otro lado se halla mediante la razón
trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos. El
otro ángulo agudo es complementario al que conocemos.
Es importante recordar las razones trigonométricas; para ello te presentamos varias definiciones.
Razones trigonométricas
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En un triángulo rectángulo de catetos x, y e hipotenusa z se definen las razones trigonométricas del ángulo α: seno, coseno y tangente, como se muestra
en la figura 21.
Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1)
Semana 8
B
z
y
α
x
0
A
Figura 21
cateto opuesto al ángulo α
AB
y
senα = =
=
hipotenusa
OB
z
cateto contiguo al ángulo α OA
x
cosα = =
=
hipotenusa
OB
z
cateto opuesto al ángulo α
OA
x
tanα = =
=
cateto contiguo al ángulo α OB
z
A partir de ellas se define las recíprocas: cosecante, secante y cotangente.
1
z
cosec α = =
sen α
y
sec α =
1
cos α
=
z
x
cot α =
1
tan α
x
=
y
Estudiemos un ejemplo que enseña cómo presentar las razones trigonométricas y sus recíprocas.
Conocidos dos lados
Ejemplo 1: En un triángulo rectángulo se conocen z = 17m e y= 15m. Calcula el ángulo β
B
Solución: Como conocemos dos
lados podemos aplicar la razón trigonométrica coseno para hallar el
ángulo en B:
z
0
x
β
y
A
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Semana 8
Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1)
cateto contiguo al ángulo β
cosβ = hipotenusa
cos β =
15m
cos β = 0,8823
17m
Usando la función inversa del coseno, el arco coseno, el cual en la calculadora lo encontramos como “cos-1”
cos-1 cosβ = cos-1 (0,8823) = 61,921º
Para obtener la inversa del coseno con tú calculadora científica en el modo
DEG presiona las siguientes teclas: SHIFT , COS (cos-1), 0,8823 y por último
= SHIFT, COS (cos-1), 0,8823 y por último =
Conocido un lado y un ángulo
Ejemplo 2: En un triángulo rectángulo se conocen x = 15m y β = 70º. Calcula el lado z.
Solución: Como conocemos el ángulo en B y su lado opuesto x podemos
utilizar la razón trigonométrica seno:
La hipotenusa mide aproximadamente 15,962m
cateto opuesto a β
15m
sinβ = sin 70º =
hipotenusa
z
z · sin 70º = 15m
z=
15m
sin70º
= 15,962m
0
B
z
x
β
y
A
La hipotenusa mide aproximadamente 15,962m
Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º
Es conveniente recordar el valor numérico de las razones trigonométricas
de 30º, 45º y 60º, a fin de que no necesitemos usar calculadora. Las razones recíprocas se pueden obtener aplicando las definiciones de cosecante, secante
y cotangente.
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Semana 8
Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1)
Tabla 10
30º
45º
60º
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tan
3
3
1
3
¡Anímate a completar la tabla 10 indicando las razones CSC, SEC Y COT con tus
compañeros!
Para saber más…
Analizando los gráficos presentados en “El reto es”, vemos que para el
caso 1 la sombra de 48m y la altura del árbol forman un ángulo de 20º,
dibujando así un triángulo rectángulo. La idea es establecer una relación entre estos datos y hallar la altura del árbol.
Figura 22
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Semana 8
Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1)
Considerando el triángulo rectángulo que sintetiza la situación, observamos que la altura del árbol se puede denominar como el cateto
opuesto al ángulo de 20º y la sombra como el cateto contiguo. Revisando la definición de las razones trigonométricas, vemos que los datos se
pueden utilizar de forma directa en la “tangente”.
Solución
Explicación
El valor que deseamos encontrar es el cateto opuesto al ángulo que es 20° (en este caso es
la x); para ello debemos despejar x de la ecuación.
cateto opuesto a 20º
cateto contiguo a 20º
x
tan20º =
48m
tan α =
Para obtener la tangente de 20º
grados usamos la calculadora
científica, marcando las teclas:
“Tan”, “20” y “=” en el modo
DEG.
x = 48m · tan20º
= 48m · 0,36 = 17,47 m
La altura del árbol es de aproximadamente 17,47m.
Plantéate con tus compañeros los otros casos, realizando un análisis similar al expuesto y construye la solución justificando tu desarrollo.
Consulta la siguiente dirección web, donde encontrarás una presentación que explica las funciones trigonométricas y cómo hallar sus inversas: http://goo.gl/Hhs6Z
Aplica tus saberes
1. En un triángulo rectángulo se conocen a = 50m y el ángulo en C = 16º.
Calcula c.
C
b
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A
a
c
Figura 23
B
Aplicación de las razones trigonométricas (parte 1)
Semana 8
2. En un triángulo rectángulo se conocen a = 29m y b = 21m. Calcula el
ángulo en A.
3. En un triángulo rectángulo se conocen b = 17m y c = 8m. Calcular el
ángulo en C.
4. ¿Cuál es la altura del edificio y de la antena? Ver figura 24.
Antena
5º
48º
100m
Figura 24
5. Investiga en la dirección web recomendada cómo se definen las funciones trigonométricas y sus inversas.
Comprobemos y demostremos que…
1. Encuentra con tus compañeros las soluciones a los problemas y ejercicios planteados y consulta con tu facilitador las dudas que tengas.
2. Reflexiona sobre tus aprendizajes respondiendo a las siguientes preguntas:
a) ¿Cómo contribuyeron mis saberes previos a la realización de las
actividades?
b) ¿Qué ideas nuevas aprendí en este proceso de aprendizaje?
c) ¿En qué punto tuve problemas de comprensión?, ¿a qué se
debe?
d) ¿Qué proceso seguí para desarrollar eficazmente las actividades?
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