Download Interpretación Geométrica de la Derivada

Interpretación geométrica de la derivada
El matemático francés Pierre de Fermat (1601 – 1665) al estudiar máximos y mínimos de ciertas
funciones observó que en aquellos puntos en los que la curva presenta un máximo o un mínimo, la
tangente a ella debe ser horizontal.
y
Esto lo condujo al problema de definir con precisión el
concepto de recta tangente a un curva.
x
Suponer que una recta es tangente a una curva en un punto
si la corta sólo en ese punto (como lo sugiere el comportamiento de las tangentes a una circunferencia)
es falso, como vemos en los ejemplos que
siguen)
r
Q
P
P
La recta r corta a la curva en P, pero no
es tangente en P.
La recta r corta a la curva en otro punto (el Q) y es
tangente en P.
Para que la recta r sea tangente a la curva en el punto P, es necesario que pase por P pero no es
suficiente, es necesario además conocer su dirección, es decir, su pendiente.
Para obtener la dirección de esa recta a una curva en P, vamos a comenzar considerando las
pendientes de las rectas secantes que pasen por P y por otro punto Q que vamos a ir moviéndolo sobre
la curva, acercándose al punto P.
y
y
Q
y
P
Q
Q'
P
x
x
x
y
y
x
x
y
La pendiente de la recta que pasa por P y Q está dada por la
 y
. A medida que el punto Q se va acercando al
x
punto P, el  x se va haciendo cada vez más chico,
fórmula
P
llegando a tender a cero cuando la pendiente de la recta
tiende a una posición límite que es la de la pendiente de la
recta tangente a la curva en el punto P. Decimos entonces
que la pendiente de la recta tangente por el punto P es:
x
1
m = lím
x  0
y
f ( x   x)  f ( x)
= lím
= fórmula que corresponde a la de la derivada de una función f
x  0
x
x
en un punto. Si las coordenadas del punto P son ( x1 ; y1), la pendiente de la recta tangente a la curva
en el punto P será f ‘ (x1), es decir el valor de la derivada de la función en x = x1. Por lo tanto la
pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es igual al valor de la derivada de la función en
ese punto. Y la ecuación de la recta tangente es f(x) = f ‘ (x1) x + b.
¿Existe siempre la derivada de una función en un punto?
Como la derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese
punto, no existirá derivada de una función en aquellos puntos donde el gráfico no tenga tangente o bien
la tenga pero que sea vertical.
Ejemplo 1
Si queremos buscar la tangente a la curva en el punto P,
vemos que el límite de las secantes es diferente según nos
P
acerquemos a P por la izquierda o por la derecha. Podría
decirse que la curva tiene una tangente a P por la derecha
tangente por la izquierda
y otra por la izquierda. Pero la tangente en P no existe. La
derivada en P no existe.
tangente por la derecha
Ejemplo 2
f(x) = x
Esta función está formada por dos rectas, una
creciente, de ecuación f(x) = x y otra decreciente, de
ecuación f(x) = -x. Por lo tanto para todos los x
positivos, la tangente es 1, que es la pendiente de la
recta f(x) = x. Para todo valor de x negativo, la
tangente es –1, que es la pendiente de la recta
f(x) = -1. ¿Qué pasa en x = 0?. Tenemos que por la
derecha hay una tangente y por la izquierda otra
diferente, por lo tanto la derivada de f(x) = x en x = 0
 x si x  0
 x si x  0
f ( x)  1 . En cambio el lím x  0 f ( x)  1 . Al tener distintos límites
no existe. Se puede escribir la definición de módulo: x  
Por lo tanto si hallamos lím x  0 
laterales, decimos que la función no tiene límite en ese punto.
Ejemplo 3
Consideremos la función f(x) = x que está definida
para los reales mayores o iguales a 0.
La recta tangente por la derecha es vertical. La
pendiente de esa recta el igual a la tangente de 90º
(que es el ángulo que forma con el eje de las x).
Como la tangente de 90º no existe, derivada no existe
en x = 0.
tangente vertical
Ejercicios
1) Hallar la ecuación de la recta tangente al
gráfico de la función f(x) = x2 en el punto de
abscisa igual a 1.
Sabemos que la ecuación de una recta responde a la
fórmula f(x) = m x + b , donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen. Como dijimos
que la pendiente de la recta tangente (es decir m) en un punto es igual a la derivada de la función en
ese punto, vamos a hallar la fórmula de la derivada de la función.
2
f ‘ (x) = 2x
Como queremos saber cuál es el valor de la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) =
x2 en x = 1, hallamos f ‘ (1) = 2 . 1
f ‘ (1) = 2
P
Es decir que m = 2.
En la fórmula de la recta f(x) = mx + b, conocemos m
y conocemos un punto perteneciente a la curva y a la
recta, que es el punto de tangencia. Sabemos que
x = 1, para hallar la imagen de 1, tengo que
reemplazar en la fórmula de la parábola (la fórmula
de la recta todavía no la tengo). Hallamos entonces
f(1) = 12 = 1. Por lo tanto las coordenadas del punto
P son (1; 1). En la ecuación de la recta reemplazamos a x por 1 y a f (x) por 1 y nos queda:
f(x) = m x + b
1=2.1+b
1–2=b
-1 = b
Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x2 en el punto x = 1 es
f(x) = 2x – 1
Trabajo práctico
Problemas interpretación geométrica de la derivada
En todos los casos, graficar las rectas pedidas.
1) Hallar la ecuación de la recta tangente a la función
f(x) = x2 + 2x, en x = 1 y en x = -1
2) Hallar la ecuación de la recta tangente a
f(x) =
x en x =
1
4
3) Hallar en punto del gráfico de la función
f(x) = x2 + x + 1 en el que la recta tangente sea
paralela a la recta f(x) = 3x – 7.
3
4) Hallar en punto del gráfico de la función
f(x) = - 2 x2 + 2 x + 12 en el que la recta tangente sea
perpendicular a la recta f(x) = - ½ x + 3
5) Hallar los puntos del gráfico de la función
f(x) = x3 + 4 en el que la pendiente de la recta tangente
sea igual a 3. Hallar las ecuaciones de dichas rectas.
6) Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la
función f(x) =
 x3
 4 en el punto de intersección
2
con el eje de abscisas.
7) Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) =
2
en x = 2.
x
4
8) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el origen y es paralela a la recta t, siendo t la tangente a
s = -1.
f(x) = x3 + 2 en
9) Dada f(x)
1
1
hallar los puntos de su gráfica donde la recta tangente tiene pendiente - .
x2
9
5