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MATEMÁTICAS 4º ESO
EXAMEN DE TRIGONOMETRÍA RESUELTO
EXAMEN RESUELTO
1. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:
a) 1740º
Solución:
Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo:
1740
300
360 
 ⇒ 4 vueltas ⋅ 360º + 300º
4

El ángulo de 300º está en el 4º cuadrante y es equivalente a un ángulo de 60º para el que el
seno es negativo y el coseno es positivo, tal como indica la figura adjunta:
Entonces:
300º
cos 60
60º
sen ( 1750 ) = sen ( 300 ) = −sen ( 60 ) = −
cos ( 1750 ) = cos ( 300 ) = cos ( 60 ) =
tg ( 1750 ) =
-sen 60
−sen ( 60 )
=− 3
cos ( 60 )
3
2
1
2
1
2
=−
−sen ( 60 )
3
1
s ec ( 1750 ) =
=2
cos ( 60 )
1
1
cot g ( 1750 ) =
=−
−tg ( 60 )
3
cos ec ( 1750 ) =
b) -840º
Solución:
Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo:
−840
360
−120 − 2

 ⇒ −2 vueltas ⋅ 360º − 120º

El ángulo de -120º está en el tercer cuadrante y es equivalente a un ángulo de 60º para el
que el seno y el coseno son negativos, tal como indica la figura adjunta:
Matemáticas 4º ESO
Examen resuelto de trigonometría
Entonces:
- cos 60
60º
-sen 60
-120º
sen ( −840 ) = sen ( −120 ) = −sen ( 60 ) = −
cos ( −840 ) = cos ( −120 ) = − cos ( 60 ) = −
tg ( −840 ) =
−sen ( 60 )
= 3
− cos ( 60 )
3
2
1
2
1
2
=−
−sen ( 60 )
3
1
s ec ( 1750 ) =
= −2
− cos ( 60 )
1
1
cot g ( 1750 ) =
=
tg ( 60 )
3
cos ec ( 1750 ) =
2. Sabiendo que cos α =
1
2
y que α está en el 4º cuadrante, halla las demás razones
trigonométricas.
Solución:
Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo y senα es negativo.
El
senα
lo
deducimos
usando
la
relación
fundamental
de
la
trigonometría:
sen 2 α + cos 2 α = 1
2
1
Así: sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sen 2 α +   = 1 ⇒ senα = −
2

1
3
1 −  = −
4
2
El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata:
senα
=
tgα =
cos α
sec α =
−
3
2 = − 3 ; cotgα = 1 = − 1 ;
1
tgα
3
2
1
1
2
=−
= 2 ; co sec α =
cos α
senα
3
3. Deduce las dos igualdades siguientes utilizando la fórmula fundamental de la trigonometría.
a)
1 + tg 2 x = sec 2 x
Solución:
sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒
b)
sen 2 x cos 2 x
1
+
=
⇒ tg 2 x + 1 = sec 2 x
2
2
cos x cos x cos 2 x
1 + cotg 2 x = cos ec 2 x
Solución:
sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒
sen 2 x cos 2 x
1
+
=
⇒ 1 + co tg 2 x = cos ec 2 x
sen 2 x sen 2 x sen 2 x
Examen resuelto de trigonometría
Matemáticas 4º ESO
4. Demuestra que se cumple la siguiente igualdad:
tg (α ) ⋅ cot g (α ) −
 1

1

=  cos (α ) + sen (α ) ⋅ 
−
 sec (α ) cos ec (α ) 
1 + cot g 2 (α )
2sen (α )
Solución:
Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A:
2 ⋅ sen (α )
A = tg (α )⋅ cot g (α ) −
= 1−
2
1 + cot g (α )
2 ⋅ sen (α )
2
2
sen (α ) + cos (α )
sen 2 (α )
= 1−
= tg (α )⋅
2 ⋅ sen (α )
1
sen 2 (α )
2 ⋅ sen (α )
2 ⋅ sen (α )
1
−
= 1−
=
2
tg (α )
1
cos
α
(
)
1+ 2
1+
t g (α )
sen 2 (α )
= 1 − 2 ⋅ sen 2 (α )
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
 1

1
 =  cos (α ) + sen (α ) ⋅  cos (α ) − sen (α ) =
B =  cos (α ) + sen (α ) ⋅ 
−
 sec (α ) cos ec (α ) 
= cos 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − sen 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − 2 ⋅ sen 2 (α )
Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.
5. Calcula x e y
Solución:
30º
60º
100 cm
Tenemos dos triángulos rectángulos.
De cada uno de ellos obtendremos
una ecuación trigonométrica.
tg30 =
x
y
100
y
100 m
y
tg60 =
x+y
100
x+y
Resolvemos el sistema:
30º
60º
100 m
Matemáticas 4º ESO
Examen resuelto de trigonometría

y 
100
1
100
m = y 
=
x+


3
3 100 
3 ⇒ x = 200 m
⇒
⇒ 3 =

x + y 
100
3
x+y 
3=


3=
100 

100 
6. Calcula el valor de y de este triángulo no rectángulo (las longitudes están expresadas en cm)
Solución:
12
Aplicamos el teorema del coseno:
y 2 = x 2 + z 2 − 2 ⋅ x ⋅ z ⋅ cos A , en donde hemos
denotado por x al lado de 10 cm y por z al
lado de 12 cm.
y
45º
Entonces:
y 2 = 10 2 + 12 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ cos 45 ⇒
10
⇒ y = 100 + 124 − 240 ⋅
1
= 224 − 120 ⋅ 2 = 7,4 m
2
∧
∧
7. Resuelve el siguiente triángulo: A = 80º ; B = 30º ; a = 26 cm
Solución:
Dibujamos un triángulo auxiliar para la resolución del problema.
∧
A
Aplicamos el teorema del seno para
c
b
obtenerlo:
∧
∧
a
C
Valor del lado b:
B
a
b
26
b
=
⇒
=
⇒
senA senB
sen80 sen30
⇒ b = 26 ⋅
1
= 13, 2 cm
1, 97
∧
Valor de C :
∧
∧
∧
C = 180 −  A + B  = 180 − ( 80 + 30 ) = 70


Valor del lado c:
Aplicamos el teorema del coseno de forma conveniente para hallar el lado que nos interesa,
∧
la cuál es la siguiente: c 2 = a 2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C .
Despejamos c y sustituimos datos:
∧
c = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C = 26 2 + 13, 2 2 − 2 ⋅ 26 ⋅ 13, 2 ⋅ cos 70 = 24,8 cm
Trigonometría. 4º ESO.
Ejercicio nº 1.a)) Calcula x e y en el triángulo:
b)) Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos α y β .
Solución:
a) x ≈ 8,54 cm y = 4 cm
b)
sen α =
sen β =
4
= 0,8
5
cos α =
3
≈ 0,35
8,54
3
= 0,6
5
cos β =
tg α =
8
≈ 0,94
8,54
4
= 1,3
3
tg β =
3
≈ 0,375
8
Ejercicio nº 2.-
Calcula sen α y cos α de un ángulo agudo, α, sabiendo que la tg α =
Solución: 4/5 y 3/5 respectivamente
4
.
3
Ejercicio nº 3.De un ángulo agudo, α, conocemos que sen α =
Halla cos α y tg α.
3
.
5
Solución: 4/5 y 3/4 respectivamente
Ejercicio nº 4.2
Si cos α =
y 270° < α < 360°, calcula sen α y tg α.
3
Solución: sen α = -
7
3
y tg α = -
14
.
2
Ejercicio nº 5.Calcula sen α y cos α sabiendo que la tg α = − 5 y α ∈ 2º cuadrante.
Solución:
La solución es: cos α =
6
y sen α =
6
30
6
Ejercicio nº 6.5
Si sen α =
y 90° < α < 180°, ¿Cuánto valen cos α y tg α?
3
Solución: -2/3 y -
5 /2 respectivamente
Ejercicio nº 7.De un ángulo α sabemos que la tg α =
y cos α.
3
y que 180° < α < 270°. Calcula sen α
4
Solución: -3/5 y -4/5 respectivamente
Ejercicio nº 8.Representa en la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas del ángulo de 225°°, y calcula
el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 225°° con uno del primer cuadrante.
Solución:
sen 225° = −sen 45° → sen 225° = −
2
2
cos 225° = −cos 45° → cos 225° = −
2
2
tg 225° = tg 45°
→ tg 225° = 1
Ejercicio nº 9.Calcula las razones trigonométricas de 240° dibujando previamente este ángulo en la circunferencia
goniométrica.
Solución:
Ejercicio nº 10.Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 135° y calcula sus razones trigonométricas
relacionándolo con uno del primer cuadrante.
Ejercicio nº 11.Expresa, con valores comprendidos entre 0° y 360°, el ángulo de 2 130°. Calcula sus razones
trigonométricas dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica y relacionándolo con un
ángulo del primer cuadrante.
Ejercicio nº 12.Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado, este forma con el
suelo un ángulo de 60°. ¿A qué distancia de la casa cae el cable?
Solución:
La altura de la casa es de 7,79 m.
El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa.
Ejercicio nº 13.Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta.
Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35°; retrocede 5 m y mide
el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 25°.
Calcula la altura del árbol y la anchura de río.
Solución: La altura del árbol es de 7,15 m, y la anchura del río, de 10,22 m.
Ejercicio nº 14.Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°.
a) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado?
b) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.
Solución:
a) El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo.
b) La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de 3,53 m.
Ejercicio nº 15.La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de
40°. Calcula el perímetro y el área del triángulo.
Solución:
Perímetro = 252,24 cm
64 ⋅ 88,47
= 2831,04 cm2
Área =
2
Ejercicio nº 16.Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena
bajo un ángulo de 30°.
Solución: La altura de la antena es de 10,39 m.
Ejercicio nº 17.Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la
visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50°; nos alejamos 45
dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35°. Averigua la altura de la estatua y la
superficie del lago.
2
Solución: La altura de la estatua es de 7,65 m. La superficie del lago es de 129,78 m .
Ejercicio nº 18.El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte
superior del árbol es de 40°. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura.
Solución: La sombra del árbol mide 17,86 m.
Ejercicio nº 19.El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68°. La granja A está a 230 m de ese
punto, y la granja B, a 435 m. ¿A qué distancia en línea recta está la granja A de la granja B?
Solución: La distancia entre ambas granjas es de 410,1 m.