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MATEMÁTICAS
TIMONMATE
EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA
Juan Jesús Pascual
TRIGONOMETRÍA
A. Introducción teórica
A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.
A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes).
A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica.
A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas.
A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno.
B. Ejercicios resueltos
B.1. Razones trigonométricas.
B.2. Ecuaciones trigonométricas.
B.3. Problemas.
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:
Las razones trigonométricas de un triángulo
rectángulo son las siguientes funciones:
La función seno, coseno, tangente, cosecante,
secante y cotangente.
Todas ellas pueden entenderse como
relaciones entre los lados de un triángulo
rectángulo.
Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β
del triángulo rectángulo aquí representado:
a)
Para el ángulo α:
función seno
a
senα =
c
función cosecante
1
c
cos ec α =
=
senα a
función coseno
b
cos α =
c
función secante
1
c
s ecα =
=
cos α b
1/22
función tangente
a
tgα =
b
función cotangente
1
b
cotgα =
=
tgα a
Ejercicios de trigonometría resueltos
b)
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Para el ángulo β:
función seno
b
senβ =
c
función cosecante
1
c
cos ecβ =
=
senβ b
función coseno
a
cos β =
c
función secante
1
c
s ecβ =
=
cos β a
función tangente
b
tgβ =
a
función cotangente
1
a
cotgβ =
=
tgβ b
A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos
(en grados y radianes)
ángulo
0º
30º
45º
sen
cos
tg
0 rad
0
1
0
π
rad
6
π
rad
4
1
2
2
2
3
2
2
2
1
3
ángulo
π
rad
60º
3
π
rad
90
2
1
180º
π rad
sen
3
2
cos
1
2
tg
1
0
∞
0
–1
0
3
A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera
goniométrica
Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la
unidad. Para una circunferencia goniométrica es posible dar un sentido
muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo
mediante el siguiente dibujo.
2/22
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Ejercicios de trigonometría resueltos
A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas
a) Relaciones fundamentales:
El seno, el coseno y la tangente de un ángulo están relacionados
mediante la siguiente igualdad:
senθ
= tgθ
cos θ
Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente
vinculada al teorema de Pitágoras:
sen 2 θ + cos 2 θ = 1
b) Relaciones del ángulo suma–diferencia:
sen ( α ± β ) = senα ⋅ cos β ± senβ ⋅ cos α
cos ( α ± β ) = cos α ⋅ cos β ∓ senα ⋅ senβ
tg ( α ± β ) =
tgα ± tgβ
1 ∓ tgα ⋅ tgβ
c) Relaciones del ángulo doble
Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales.
sen ( 2 α ) = 2senα ⋅ cos α
cos ( 2 α ) = cos 2 α − sen 2 α
tg ( 2 α ) =
2tgα
1 − tg 2 α
d) Relaciones del ángulo mitad
sen 2
α 1 − cos α
=
2
2
cos 2
α 1 + cos α
=
2
2
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Ejercicios de trigonometría resueltos
tg 2
TIMONMATE
α 1 − cos α
=
2 1 + cos α
A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno
Sea el siguiente triángulo. ¡No hace falta que sea rectángulo! Se
verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno
y teorema del coseno.
A
c
b
B
C
a
a) Teorema del seno:
a
b
c
=
=
senA senB senC
b) Teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
B. EJERCICIOS RESUELTOS
B.1. Cálculo de razones trigonométricas
1. Sabiendo que senα = 0, 86 calcula las demás razones trigonométricas
directas e inversas
Solución:
Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y
las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar
todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan:
•
senα = 0, 86
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•
Ejercicios de trigonometría resueltos
El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental
sen 2 θ + cos 2 θ = 1 :
sen 2 θ + cos 2 θ = 1 ⇒ cos 2 θ = 1 − sen 2 θ ⇒ cos θ = 1 − sen 2 θ
Sustituyendo datos:
1
2
La tangente buscada se deduce de la fórmula fundamental
senθ
= tgθ . Sólo hay que sustituir en ella los valores conocidos:
cos θ
cos θ = 1 − sen 2 θ ⇒ cos θ = 1 − 0, 86 2 ⇒ cos θ =
•
senθ
0, 86
= tgθ ⇒ tgθ =
⇒ tgθ = 1,72
cos θ
0, 5
•
La cosecante es la inversa del seno.
cos ecα = sen−1α =
1
= 1, 26
0, 86
•
La secante es la inversa del coseno.
•
1
=2
1
2
La cotangente es la inversa de la tangente.
s ecα = cos−1 α =
cot gα = tg −1α =
1
= 0, 58
1,72
2. Calcula las relaciones
directas de α y β
Solución:
trigonométricas
Las razones trigonométricas directas son el
seno, el coseno y la tangente.
Para el ángulo α :
40
⇒ senα = 0, 8 ,
50
30
cos α =
⇒ cos α = 0, 6
50
40
tgα =
⇒ tgα = 1, 33
30
Observa que se cumple que sen 2 α + cos 2 α = 1
senα =
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Ejercicios de trigonometría resueltos
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Para el ángulo β :
30
senβ =
⇒ senβ = 0, 6
50
cos β =
tgβ =
40
⇒ cos β = 0, 8
50
30
⇒ tgβ = 0, 75
40
Observa que también se cumple que sen 2β + cos 2 β = 1 , como no podía
ser de otra manera.
3. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:
135º
Solución:
El ángulo 135º está en el 2º cuadrante. Será equivalente a un ángulo
de 45º para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se
indica en la figura.
sen 45
135º
45º
- cos 45
- 560º
Solución:
Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo:
560
200
360 

 ⇒ 1 vuelta ⋅ 360º + 200º

1
El ángulo que tenemos que manejar es -200º. Ello es equivalente a un
ángulo de 20º en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y
cos20 es negativo
6/22
TIMONMATE
Ejercicios de trigonometría resueltos
sen 20 20º
- cos 45
-200º
3
y que α está en el 4º cuadrante, halla las
2
demás razones trigonométricas.
4. Sabiendo que cos α =
Solución:
Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo y senα es
negativo.
El senα
lo deducimos usando la relación fundamental de la
trigonometría: sen 2α + cos 2 α = 1
2
 3
Así: sen α + cos α = 1 ⇒ sen α +   = 1 ⇒ senα = −
 2 
2
2
2

3
1
1 −  = −
4
2
El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata:
1
1
senα
1
=− 3 ;
; cotgα =
tgα =
= 2 =−
tgα
cos α
3
3
2
−
sec α =
1
3
1
=
; co sec α =
= −2
cos α
2
senα
1
y que α está en el 2º cuadrante, halla las
3
demás razones trigonométricas.
5. Sabiendo que tgα = −
Solución:
Si α está en el 2º cuadrante entonces cosα es negativo y senα es
positivo.
-
1
para hallar senα :
sen 2α
2
 1 
1
1
4
1
3
2

tg α + 1 =
⇒ −  + 1 =
⇒ =
⇒ senα =
2
2
2

sen α 
sen α
3 sen α
2
3
Utilizamos la relación tg 2α + 1 =
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Ejercicios de trigonometría resueltos
-
TIMONMATE
Hallamos cosα a partir de tgα =
senα
:
cos α
3
senα
3
cos α =
= 2 =− .
1
tgα
2
−
3
-
Las obtención de las razones trigonométricas inversas es inmediata:
sec α =
1
2
1
2
1
=− 3
= − ; co sec α =
=
; cot gα =
cos α
3
tgα
senα
3
1
6. Si α está en el tercer cuadrante y senα = − , determina las siguientes
2
razones trigonométricas:
sen (180º −α )
Solución:
Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo, como bien
indica el enunciado. Pero, en general, senα = sen (180 −α ) , así que
1
sen (180 −α ) = −
2
sen (180º +α )
Solución:
Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo. Además:
1
senα = −sen (180 −α ) , así que sen (180 −α ) =
2
cos (180º −α )
Solución:
Como α está en el tercer cuadrante cosα es negativo. Además:
cos α = − cos (180 −α ) .
Deduzcamos cosα :
Usamos la relación fundamental de la trigonometría:
sen 2α + cos 2 α = 1
2
 1

1
3
sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ −  + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = −1 −  = −
 2

4
4
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Ejercicios de trigonometría resueltos
Entonces, cos (180 −α ) =
3
4
cos (180º +α )
Solución:
Se cumple que cos α = − cos (180 + α ) . Entonces:
3
3
− = − cos (180 +α ) ⇒ cos (180 + α ) =
4
4
tg (180º −α )
Solución:
1
sen (180º −α ) − 2 2
tg (180º −α ) =
=
=
cos (180º −α ) − 3 3
4
tg (180º +α )
Solución:
1
sen (180º +α ) 2 2
tg (180º +α ) =
= =
cos (180º +α ) 3 3
4
B.2. Demostración de igualdades trigonométricas:
2sen α + 3
= cos α
2tg α + 3 sec α
7.
Solución:
Vamos a tratar de manipular el lado izquierdo de la igualdad, para
sen α
convertirlo en cos α . Teniendo en cuenta que tg α =
y que
cos α
1
sec α =
, podemos escribir:
cos α
2sen α + 3
2sen α + 3
=
2tg α + 3 sec α 2 sen α + 3
cos α cos α
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Ejercicios de trigonometría resueltos
TIMONMATE
Operamos esa expresión con el fin de simplificarla:
2sen α + 3
2sen α + 3 cos α (2sen α + 3)
=
=
= cos α
sen α
3
2sen α + 3
2sen
α
+
3
2
+
cos α cos α
cos α
8.
Como acabamos de ver, la igualdad se cumple.
tg 2α =
sen 2α
1 − sen 2α
Solución:
Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que
llamaremos A:
A = tg 2α =
sen 2α
cos 2 α
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
En B =
sen 2α
vamos a reescribir el denominador de una forma
1 − sen 2α
más conveniente:
Teniendo en cuenta que sen 2α + cos 2 α = 1
1 − sen 2α = cos 2 α . Entonces:
B=
se deduce que
sen 2α
sen 2α
=
1 − sen 2α cos 2 α
Observamos que A=B, luego la identidad es verdadera.
9.
tg (α )⋅ cot g (α ) −

1

 cos (α ) + sen (α ) ⋅  1 −
=

  sec (α ) cos ec (α )


1 + cot g 2 (α )
2sen (α )
Solución:
Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que
llamaremos A:
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Ejercicios de trigonometría resueltos
A = tg (α )⋅ cot g (α ) −
= 1−
2 ⋅ sen (α )
2
1+
cos (α )
sen 2 (α )
2 ⋅ sen (α )
1 + cot g 2 (α )
= tg (α )⋅
2 ⋅ sen (α )
1
−
=
tg (α )
1
1+ 2
t g (α )
2 ⋅ sen (α )
= 1−
2
2
sen (α ) + cos (α )
sen 2 (α )
= 1−
2 ⋅ sen (α )
=
1
sen 2 (α )
= 1 − 2 ⋅ sen 2 (α )
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
 1

1
 =
B =  cos (α ) + sen (α ) ⋅ 
−
 sec (α ) cos ec (α )
=  cos (α ) + sen (α ) ⋅  cos (α ) − sen (α ) =
= cos 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − sen 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − 2 ⋅ sen 2 (α )
Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.
10.
1
= sen 2α ⋅ cos 2 α + cos 4 α
2
sec α
Solución:
Manipulamos primeramente el miembro de la izquierda, que
llamaremos A:
A=
1
= cos 2 α
sec2 α
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
B = sen 2α ⋅ cos 2 α + cos 4 α = (sen 2α + cos 2 α )⋅ cos 2 α = cos 2 α
Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.
11. cos ec 4α − 1 = 2 cot g 2α + cot g 4α
Solución:
Manipulamos el miembro de la izquierda, que llamaremos A:
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Ejercicios de trigonometría resueltos
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A = cos ec 4α − 1 = (cos ec2α − 1)( cos ec 2α + 1)
Recordamos que cos ec2α = 1 + cot g 2α . Entonces:
(cos ec2α − 1)(cos ec2α + 1) = (1 + cot g 2α − 1)(1 + cot g 2α + 1) =
= cot g 2α ( cot g 2α + 2) = cot g 4α + 2 cot g 2α .
Hemos llegado a obtener el lado B de la expresión dada, luego se ha
demostrado que la igualdad es cierta.
12. sen 2α =
2tg α
1 + tg 2α
Solución:
Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante
manipulaciones adecuadas llegaremos al miembro de la derecha:
sen α ⋅ cos α
sen 2α = 2 ⋅ sen α ⋅ cos α = 2 ⋅
⋅ cos α = 2 ⋅ tg α ⋅ cos 2 α =
cos α
= 2 ⋅ tg α ⋅
=
13.
tg α
1
1
= 2 ⋅ tg α ⋅
= 2⋅
=
2
2
2
1
sen α + cos α
sen α cos 2 α
+
cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α cos 2 α
2 ⋅ tg α
. Queda así demostrado.
1 + tg 2α
2 ⋅ sen x + 3
= cos x
2 ⋅ tg x + 3 ⋅ sec x
Solución:
Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante
B.3. Ecuaciones trigonométricas
14. Resuelve: sen x =
3
2
Solución:
12/22
TIMONMATE
Ejercicios de trigonometría resueltos

x = sen−1 


π

x
=
60º
=
1

3  
3
 ⇒ 


2π
2  
x 2 = 180º −60º = 120º =
3

15. Resuelve: cos x =
1
2
Solución:
x = cos−1
16. tg x =
π
π

x1 = 45º = 45º ⋅
=

1
180º 4

⇒

2
x = 360º −45º = 315º = 315º ⋅ π = 7 π
 2
180º
4
1
3
Solución:
x = tg −1
π
π

x = 30º = 30º ⋅
=

1

180º 6
⇒
π
3 
x = 30º +180º = 210º =
7

17. Resuelve la ecuación cos 2x = sen x en el intervalo [ 0, 2π ]
Solución:
•
Hay que recordar que cos 2x = cos 2 x − sen 2 x . Así:
cos 2x = sen x ⇒ cos 2 x − sen 2 x = sen x
•
Por otro lado, hay que tener en cuenta que cos 2 x + sen 2 x = 1 . Por
ello:
cos 2 x − sen 2 x = sen x ⇒ 1 − sen 2 x − sen 2 x = sen x ⇒
2
2
⇒ 2 ⋅ sen x + senx − 1 = 0 ⇒ senx =
−1 ± (−1) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1)
2⋅2
sen x = −1
= 
1
sen x =

2
•
Finalmente estudiamos cada uno de estos dos casos:
13/22
=
Ejercicios de trigonometría resueltos
TIMONMATE
Si sen x = −1 , entonces: x 1 =
Si sen x =
3π
2
1
π
5π
, entonces: x 2 = y x 3 =
2
6
6
18. Resuelve la ecuación sen 2x ⋅ cos x = 6sen 3 x en el intervalo [ 0, 2π ]
Solución:
•
Hay que recordar que sen 2x = 2sen x ⋅ cos x . Así:
sen 2x ⋅ cos x = 6sen 3 x ⇒ 2 ⋅ sen x ⋅ cos x ⋅ cos x = 6sen 3 x ⇒
⇒ 2 ⋅ sen x ⋅ cos 2 x = 6sen 3 x
•
Por otro lado, hay que tener en cuenta que cos 2 x + sen 2 x = 1 . Por
ello:
2 ⋅ sen x ⋅ (1 − sen 2 x) = 6 ⋅ sen 3 x ⇒
⇒ sen x ⋅ (1 − sen 2 x) = 3 ⋅ sen x ⋅ sen 2 x ⇒
sen x = 0
⇒ sen x ⋅ ( 4 ⋅ sen x − 1) = 0 ⇒ 
1
1
sen 2 x = ⇒ sen x = ±

4
2
2
•
Finalmente estudiamos cada uno de estos tres casos:
Si sen x = 0 , entonces: x 1 = 0
1
π
5π
Si sen x = , entonces: x 2 = y x 3 =
2
6
6
1
7π
11π
Si sen x = − , entonces: x 4 =
y x5 =
2
6
6
19. Resuelve: cos 2x − cos 6x = sen5x + sen3x
Solución:
Vamos a utilizar las siguientes relaciones:
A+B
A−B
⋅ sen
2
2
A +B
A −B
senA − senB = 2 ⋅ sen
⋅ cos
2
2
cos A − cos B = −2 ⋅ sen
Entonces:
14/22
TIMONMATE
Ejercicios de trigonometría resueltos
2x + 6x
2x − 6x
⋅ sen
2
2
5x + 3x
5x − 3x
sen5x − sen3x = 2 ⋅ sen
⋅ cos
2
2
cos 2x − cos 6x = −2 ⋅ sen
Sustituimos lo obtenido en la ecuación dada y pasamos todo a un
miembro
−2 ⋅ sen ( 4x)⋅ sen (−2x) = 2 ⋅ sen ( 4x)⋅ cos (x)
Si tenemos en cuenta que sen (−a) = −sen (a) y sacamos factor común,
entonces:
2 ⋅ sen ( 4x) = 0
2 ⋅ sen ( 4x)⋅  sen (2x) − cos (x) = 0 ⇒ 
sen ( 2x) − cos (x) = 0

- Resolvemos la primera ecuación de las dos:
4x = 0 + 2kπ ⇒ x = k π

2
2 ⋅ sen ( 4x) = 0 ⇒ 

π
π
4x = π + 2kπ ⇒ x = + k
4
2

- Resolvemos la segunda ecuación:
sen ( 2x) − cos (x) = 0 ⇒ 2 ⋅ sen (x) cos (x) − cos ( x) = 0 ⇒
⇒  2 ⋅ sen (x) − 1 cos (x) = 0 ⇒


π

x = + 2kπ


2
cos (x) = 0 ⇒ 
3
x = π + 2kπ



2
⇒ 

π

x = + 2kπ


6
2 ⋅ sen (x) − 1 = 0 ⇒ sen (x) = 1 ⇒ 

5π
2 
+ 2kπ

x =
2


La solución es entonces la unión de todas estas soluciones.
20. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [ 0, 2π ]
sen x + sen y = 1


2x + 2y = π
Solución:
15/22
Ejercicios de trigonometría resueltos
•
TIMONMATE
Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la
primera ecuación:
π
− y , por lo que:
2
π

sen x + sen y = 1 ⇒ sen  − y + sen y = 1
2

2x + 2y = π ⇒ x =
•
Ahora, para poder simplificar esta expresión usamos la fórmula del
seno de la diferencia de dos ángulos:
π

π
π
sen  − y = sen ⋅ cos y − cos ⋅ seny = cos y , es decir:
2

2
2
π

sen  − y + sen y = 1 ⇒ cos y + seny = 1
2

•
Intentamos expresar el coseno en función del seno, elevando al
cuadrado los dos miembros de la ecuación:
2
(cos y + seny) = 12 ⇒ cos 2 y + sen 2 y + 2 ⋅ seny cos y = 1 ⇒
⇒ 1 + 2 ⋅ sen y cos y = 1 ⇒ sen y cos y = 0
Pero sen y cos y = sen 2y , por lo que sen y cos y = 0 ⇒ sen 2y = 0
•
Las soluciones para sen 2y = 0 están dadas por: 2y = 0 y 2y = π ,
π
π
esto es: y 1 = 0 ; y 2 = . Teniendo en cuenta que x = − y ,
2
2
entonces:
π
y1 = 0 ⇒ x1 =
2
π
y2 = ⇒ x2 = 0
2
21. Calcula las soluciones del siguiente sistema, en el intervalo [ 0, 2π ] .
sen x = 2 ⋅ sen y


π

x−y =

3
Solución:
16/22
TIMONMATE
•
Ejercicios de trigonometría resueltos
Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la
primera ecuación:
π
π
⇒ x = + y , por lo que:
3
3
π

sen x = 2 ⋅ sen y ⇒ sen  + y = 2 ⋅ sen y
3

x−y =
•
Usamos la fórmula del seno de la suma de dos ángulos en el
miembro izquierdo de la ecuación:
π

π
π
3
1
sen  + y = sen ⋅ cos y + cos ⋅ seny =
cos y + seny
3

3
3
2
2
Entonces la fórmula a resolver es:
3
1
3
1
cos y + seny = 2seny ⇒
cos y = seny ⇒ 3 = tg y
2
2
2
2

π
y 1 = 60º =
3
Solución: tg y = 3 ⇒ 


4π
y 2 = 180º +60º =
3

22. Calcula las soluciones del siguiente sistema.
4y ⋅ sen x ⋅ cos x = 3


2y ⋅ cos 2x = 3

Solución:
•
Dividimos las dos ecuaciones del sistema:
4y ⋅ sen x ⋅ cos x = 3 4y ⋅ sen x ⋅ cos x
3
2 ⋅ sen x ⋅ cos x
 ⇒
=
⇒
= 3

2y ⋅ cos 2x
cos 2x
3
2y ⋅ cos 2x = 3

•
Recordamos que 2 ⋅ sen x ⋅ cos x = sen 2x y sustituimos en la
ecuación:
2 ⋅ sen x ⋅ cos x
3
sen 2x
=
⇒
= 3 ⇒ tg 2x = 3
cos 2x
cos 2x
3
17/22
Ejercicios de trigonometría resueltos
•
TIMONMATE
Despejamos x:
2x =
π
π
+ 2kπ ⇒ x = + kπ
3
6
B.4. Problemas
23. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un
ángulo de 30º.
Solución:
La altura, y, del árbol la deducimos de
la relación siguiente:
tg30 =
y
⇒ y = 10 ⋅ tg30 ⇒ y = 5,77 m
10
24. Calcula x e y:
Solución:
b
a los
a
dos
triángulos
rectángulos,
obteniendo el siguiente sistema de
ecuaciones:
Aplicamos la relación tgθ =
y
30º
40 m
47º

y
tg47 =

x
Operando:


y
tg30 =
40 + x

x
x ⋅ tg47 = y
⇒

( 40 + x) tg30 = y
x ⋅ tg47 = y
⇒ x ⋅ tg47 = ( 40 + x)⋅ tg30 ⇒

( 40 + x) tg30 = y
18/22
TIMONMATE
Ejercicios de trigonometría resueltos
⇒ 1, 07x = 23, 09 + 0, 58x ⇒ 0, 49x = 23, 09 ⇒
23, 09
⇒x=
⇒ x = 47, 12 m .
0, 49
Calculemos finalmente el valor de y:
x ⋅ tg47 = y ⇒ 47, 12 ⋅ 1, 07 = y ⇒ y = 50, 42 m
25. Calcula x
Solución:
30º
100 m
60º
Tenemos dos triángulos.
De cada uno de ellos
obtendremos una
ecuación trigonométrica.
y
x
Resolvemos el sistema:
y
tg30 =
100
30º
100 m
y
57,7 = y 
 ⇒ 57, 7 = 173, 2 − x ⇒
173, 2 − x = y
⇒ x = 115, 5 m
tg60 =
x+y
100
60º
100 m
x+y
26. Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m)
Solución:
12
y
40º
Aplicamos el teorema del coseno:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
Entonces:
10
19/22
Ejercicios de trigonometría resueltos
TIMONMATE
y 2 = 10 2 + 12 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ cos 40 ⇒
y = 100 + 124 − 240 ⋅ cos 40 = 6, 35 m
27. Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno:
a
b
c
=
=
senA senB senC
Solución:
z= 3m
y
80º
40º
Sustituimos los valores dados en la
expresión del teorema del seno:
a
b
c
=
=
⇒
senA senB senC
x

3 ⋅ sen40
 y =
= 1, 96 m
sen80

⇒

3 ⋅ sen60
= 2, 64 m
x =
sen80

28. Halla la altura de la montaña
45º
B
C
4000 m
h
30º
A
Solución:
Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas
y el ACC´
perteneciente a un triángulo rectángulo (el CBB´
20/22
TIMONMATE
Ejercicios de trigonometría resueltos
B
:
Triángulo CBB´
45º
4000 − h
tg45 =
45º
C
B´
4000 − h
x
4000 m
:
Triángulo ACC´
h
tg30 =
30º
C´
h
x
A
x
Resolvamos éste sistema:
4000 − h 
4000 − h 
1=


 x = 4000 − h 
x
x
⇒
⇒
 ⇒ 4000 − h = h 3 ⇒
1
h
h
x=h 3



=
tg30 =
3 x
x


tg45 =
⇒h=
4000
m ≈ 1464 m
3 +1
29. Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z.
C
z
x
y
60º
75º
45º
678 m
D
A
Solución:
21/22
B
Ejercicios de trigonometría resueltos
TIMONMATE
. De él
Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo ABC
deduciremos las distancias y, z
C
y
z
678
=
=
⇒
sen45 sen75 sen60
60º
z
y
75º
45º
B
A
 y
678

=
 sen45 sen60
⇒
⇒
 z
678
=

 sen75 sen60
 y
678

=


2
 2
3
m
 y = 678

3
 2
2

⇒
⇒
 z
678 
=

 z = 1356 sen75
 sen75

3
3


2

m
. De él obtendremos la altura
Ahora nos fijamos en el triángulo ACD
de las torres, x.
A
x
600
x=
2
m
3
60º
D
C
22/22
2
2
2
678 ⋅ sen60 = 678 ⋅
= 452 m
3
3
3