Download PAU XUÑO 2012 Código: 25 FÍSICA

PAU
Código: 25
XUÑO 2012
FÍSICA
Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado).
Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución ás cuestións; han de ser razoadas.
Pódese usar calculadora sempre que non sexa programable nin memorice texto.
O alumno elixirá unha das dúas opcións.
OPCIÓN A
C.1.- No movemento dos planetas en órbitas elípticas e planas ao redor do Sol mantense constante: A) A
enerxía cinética. B) O momento angular. C) O momento lineal.
C.2.- Nun oscilador harmónico cúmprese que: A) A velocidade v e a elongación x son máximas simultaneamente. B) O período de oscilación T depende da amplitude A. C) A enerxía total ET se cuadriplica cando se
duplica a frecuencia.
C.3.- Se un núcleo atómico emite unha partícula α e dúas partículas β, o seu números atómico Z e másico A:
A) Z aumenta en dúas unidades e A diminúe en dúas. B) Z non varía e A diminúe en catro. C) Z diminúe en
dous e A non varía.
C.4.- Disponse dun péndulo simple de 1,5 m de lonxitude. Mídese no laboratorio o tempo de 3 series de 10
oscilacións obtendo 24,56 s, 24,58 s, 24,55 s. Cal é o valor de g coa súa incerteza?
P.1.- Tres cargas de +3 μC están situadas equidistantes entre si sobre unha circunferencia de radio 2 m. Calcula: a) O potencial eléctrico no centro da circunferencia. b) O vector campo eléctrico no mesmo punto. c) O
traballo para traer unha carga q' = 1 μC desde o infinito ao centro da circunferencia.
(Dato: K = 9·109 N·m2·C-2)
P.2.- Un obxecto de 3 cm sitúase a 20 cm dunha lente cuxa distancia focal é 10 cm: a) Debuxa a marcha dos
raios si a lente é converxente. b) Debuxa a marcha dos raios si a lente é diverxente. c) En ambos os dous casos calcula a posición e o tamaño da imaxe.
OPCIÓN B
C.1.- Dúas esferas de radio R con cargas +Q e -Q, teñen os seus centros separados unha distancia d. A unha
distancia d/2 (sendo d/2 >> R); cúmprese: A) O potencial é cero e o campo electrostático 4 k Q d-2. B) O potencial é cero e o campo electrostático 8 k Q d-2. C) O potencial é 4 k Q d-1 e o campo cero.
C.2.- A ecuación dunha onda é y = 0,02 sen (50 t – 3 x); isto significa que: A) ω = 50 rad·s-1 e λ = 3 m. B) A
velocidade de propagación u = 16,67 m·s-1 e a frecuencia f = 7,96 s-1. C) T = 50 s e o número de onda
k = 3 m-1.
C.3.- Se un espello forma unha imaxe real investida e de maior tamaño que o obxecto, trátase dun espello:
A) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o centro da curvatura. B) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o espello. C) Convexo co obxecto en calquera posición.
C.4.- Na determinación da constante elástica dun resorte podemos utilizar dous tipos de procedementos. En
ambos os dous casos, obtense unha recta a partir da cal calcúlase a constante elástica. Explica como se determina o valor da constante a partir de dita gráfica para cada un dos dous procedementos, indicando que
tipo de magnitudes hai que representar nos eixes de abscisas e de ordenadas.
P.1.- Unha mostra de carbono 14 ten unha actividade de 2,8×10 8 desintegracións·s-1; o período de semidesintegración é T = 5 730 anos, calcula: a) A masa da mostra no instante inicial. b) A actividade ao cabo de
2 000 anos. c) A masa de mostra nese instante.
(Datos: NA = 6,02×1023 mol-1; masa atómica do 14C = 14 g·mol-1; 1 ano = 3,16×107 s)
P.2.- Se a masa da Lúa é 0,012 veces a da Terra e o seu radio é 0,27 o terrestre, acha: a) O campo gravitatorio na Lúa. b) A velocidade de escape na Lúa. c) O período de oscilación, na superficie lunar, dun péndulo
cuxo período na Terra é 2 s. (Datos: g0T = 9,8 m·s-2; RL = 1,7×106 m)
Solucións
OPCIÓN A
C.1.- No movemento dos planetas en órbitas elípticas e planas ao redor do Sol mantense constante:
A) A enerxía cinética.
B) O momento angular.
C) O momento lineal
Solución: B
O campo gravitatorio é un campo de forzas centrais, nas que a forza gravitatoria que exerce o Sol sobre un
planeta ten a mesma dirección (e sentido contrario) que o vector de posición do planeta colocando a orixe de
coordenadas no Sol.
Nas forzas centrais o momento cinético (ou angular) LO dun obxecto de masa m que se move a unha velocidade v
⃗
LO =⃗r ×m ⃗v
respecto ao punto O onde se atopa a masa M que crea o campo gravitatorio é un vector constante.
Se derivamos LO respecto ao tempo,
d⃗
LO d (⃗r ×m⃗v ) d ⃗r
d m⃗v
⃗ =⃗
=
=
×m ⃗
v +⃗r ×
=⃗v ×m⃗v +⃗r ×F
0+⃗
0=⃗0
dt
dt
dt
dt
o resultado é o vector 0 (cero) xa que o vector velocidade v e o vector momento lineal m v son paralelos e tamén o son o vector de posición r e o vector forza F.
As outras opcións:
A. Falsa. Nunha órbita elíptica, co Sol situado nun dos focos, a distancia do planeta ao Sol non é constante.
O campo gravitatorio é un campo de forzas conservativo, xa que é un campo de forzas centrais, nas que a
forza gravitatoria que exerce o Sol sobre un planeta ten a mesma dirección (e sentido contrario) que o vector
de posición do planeta colocando a orixe de coordenadas no Sol.
A enerxía potencial gravitatoria, tomando como orixe de enerxía o infinito, vén dada pola expresión:
E p =−G
M ·m
r
na que M é a masa que orixina o campo gravitatorio, (neste caso a do Sol), m é a masa do obxecto situado
nel (o planeta), r a distancia entre ambas as dúas masas e G a constante da gravitación universal.
A enerxía potencial é negativa e será tanto maior canto maior sexa a distancia r.
Como a enerxía mecánica consérvase, pero a enerxía potencial gravitatoria depende da distancia, a enerxía
cinética varía coa distancia e non se mantén constante.
C. Falsa. O momento lineal p dun obxecto de masa m que se move a unha velocidade v vale:
⃗p =m·⃗v
Como vimos no apartado A, a rapidez varía coa posición do planeta. Ademais, a dirección cambia a medida
que o planeta desprázase ao redor do Sol.
C.2.- Nun oscilador harmónico cúmprese que:
A) A velocidade v e a elongación x son máximas simultaneamente.
B) O período de oscilación T depende da amplitude A.
C) A enerxía total ET se cuadriplica cando se duplica a frecuencia.
Solución: C
A forza recuperadora é unha forza conservativa (o traballo que realiza entre dous puntos é independente do
camiño seguido) e dá lugar a unha enerxía potencial en cada punto de elongación x cuxa expresión é:
Ep = ½ k · x2
Ao ser unha forza conservativa, a enerxía mecánica valerá o mesmo para calquera elongación: é constante.
E = Ec + Ep = ½ m · v2 + ½ k · x2
Para o punto de equilibrio:
ET = Ec + Ep = ½ m v2máx + ½ k · 02 = ½ m · v2máx
ET = ½ m · v2máx
Por definición, un obxecto realiza un movemento harmónico simple cando a aceleración recuperadora é proporcional á separación da posición de equilibrio.
a = - ω2 · x
Isto é equivalente a dicir que a ecuación de movemento é de tipo senoidal ou cosenoidal.
x = A · sen(ω · t + φ0)
Derivando.
v=
d x d Asen( ω t +ϕ 0 )
=
= A ω cos (ω t +ϕ 0 )
dt
dt
A velocidade é máxima cando o cos( ω t + φ0) = 1
vmáx = A · ω
A pulsación ou fase angular, ω está relacionada coa frecuencia f pola expresión
ω=2πf
Substituíndo na ecuación da enerxía total
ET = ½ m · v2máx = m · (A 2 π f)2 / 2 = 2 π m A2 f2
vese que é directamente proporcional ao cadrado da frecuencia. Si a frecuencia faise o dobre, a enerxía total
se cuadriplica.
As outras opcións:
A: falsa. Como se dixo antes, a velocidade o máxima cando o coseno da fase é 1 (φ = 0 ó φ = π). Da expresión da elongación x, vese que a amplitude é máxima cando o seo da fase é 1 (φ = π/2 ó φ = 3π/2)
B: falsa. A forza recuperadora elástica é:
F = -k · x
Si só actúa esta forza elástica, pola 2ª lei de Newton:
-k · x = m · a
Para obter a expresión da aceleración derívanse a expresión da velocidade:
a=
d v d A ω cos(ω t + ϕ 0 )
=
=−A ω 2 sen( ω t + ϕ 0 )=−ω 2 x
dt
dt
Substituíndo na expresión anterior:
-k · x = m · a = m (-ω2 · x)
queda
k = m · ω2
A pulsación ou fase angular, ω está relacionada co período T pola expresión
ω=
2π
T
Substituíndo queda
k =m· ω2 =
Despexando o período:
4 π2 m
T2
T =2 

m
k
O período depende da masa e da constante elástica do resorte, pero non da amplitude.
C.3.- Si un núcleo atómico emite unha partícula α e dúas partículas β, o seu número atómico Z e másico A:
A) Z aumenta en dúas unidades e A diminúe en dúas.
B) Z non varía e A diminúe en catro.
C) Z diminúe en dous e A non varía.
Solución: B
As propiedades do núcleo resultante logo dunha emisión alfa ou beta poden deducirse pola natureza destas
radiacións e as leis de conservación do número másico e da carga eléctrica nos procesos nucleares.
Unha partícula alfa é un núcleo de helio-4 (α = 42 He ) e unha partícula beta(-) é un electrón (β– = −10e )
Escribindo as reaccións do enunciado e aplicando as leis de conservación mencionadas
A
Z
X → 42 He + 2 −10 e+ A−4Z Y
C.4.- Disponse dun péndulo simple de 1,5 m de lonxitude. Mídese no laboratorio o tempo de 3 series
de 10 oscilacións obtendo 24,56 s, 24,58 s, 24,55 s. Cal é o valor de g coa súa incerteza?
Solución:
Como só hai datos para unha lonxitude de péndulo só se pode calcular o valor medio do período e aplicar a
ecuación do período do péndulo:
Experiencia
1
2
3
Tempo(s) empregado en 10 oscilacións 24,56 24,58 24,55
Período
O valor medio do período é:
2,456 2,458 2,455
T=
∑ T i = 7,369 [ s] =2,456 s
N
3
A incerteza na medida é a diferenza entre a medida e o valor medio. A diferenza máxima entre os períodos
calculados e a súa media é de 0,002 s, polo que o período coa súa incerteza é:
T = 2,456 ± 0,002 s
e o valor da aceleración g da gravidade despexada da ecuación do período do péndulo:
T =2 

l
g
e o valor da aceleración g da gravidade
g =4 π 2
1,5 [ m ]
l
=4 π 2
=9,8 m / s2
2
T
(2,456 [s])2
Tendo en conta que a incerteza da lonxitude, tal como dáse o dato, é 0,1 m
l = 1,5 ± 0,1 m
a incerteza do valor da gravidade é:
g = 9,8 ± 0,1 m/s2
Análise: Non é moi coherente dar a medida dos tempos con 4 cifras significativas e a lonxitude de péndulo
con só 2. Si supoñemos que a lonxitude do péndulo tomouse cunha regra milimetrada
L = 1,500 ± 0,001 m
e temos en conta que neste nivel*, o cálculo de incertezas indirectas limítase ao uso apropiado das cifras
significativas, o valor da gravidade quedaría:
g = 9,815 ± 0,001 m/s2
* O cálculo correcto da incerteza de g sería:
| | | |
Δ g=
|
|
∂g
∂g
4 π2
−2 · 4 π 2 l
Δl+
ΔT = 2 Δ l +
Δ T =0,02
∂l
∂T
T
T3
P.1.- Tres cargas de +3 μC están situadas equidistantes entre si sobre unha circunferencia de radio
2 m. Calcula:
a) O potencial eléctrico no centro da circunferencia.
b) O vector campo eléctrico no mesmo punto.
c) O traballo para traer unha carga q' = 1 μC desde o infinito ao centro da circunferencia.
Dato: K = 9×109 N·m2·C-2
Rta.: a) V = 4,05×104 V; b) EO = 0; c) Wext = 4,05×10-2 J
Datos
Cifras significativas: 3
Valor de cada carga
Q = 3,00 μC = 3,00×10-6 C
Radio da circunferencia
R = 2,00 m
Valor da carga que se traslada
q = -1,00 μC = 1,00×10-6 C
Constante eléctrica
K = 9,00×109 N·m2·C-2
Incógnitas
Potencial electrostático no centro da circunferencia
VO
Intensidade do campo electrostático no centro da circunferencia
EO
Traballo para trasladar unha carga de 1 μC desde o infinito ao centro
W∞→O
Outros símbolos
Distancia entre dous puntos A e B
rAB
Ecuacións
Q
Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga pun- ⃗
E=K 2 ⃗
ur
tual Q situada a unha distancia r
r
⃗
⃗ Ai
E A =∑ E
Principio de superposición
Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un
WA→B = q (VA – VB)
punto A ata outro punto B
Q
Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a
V =K
unha distancia r
r
Potencial electrostático de varias cargas
V = ∑ Vi
Solución:
a) Os potenciais no centro O da circunferencia, debidos a cada carga son iguais porque tanto a carga como a
distancia ao centro son iguais. Valen:
V C →O =V B →O =V A→ O=9,00×10 9 [ N·m 2 ·C−2 ]
3,00×10−6 [C]
=1,35×104 V
(2,00 [ m ])
O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais
debidos a cada carga.
VO = VA→O + VB→O + VC→O = 3 · 1,35×104 [V] = 4,05×104 V
B
b) Faise un debuxo cos vectores intensidade de campo electrostático creado por cada
carga e a suma vectorial que é o vector campo E resultante.
Ao ser as tres cargas iguais e estar á mesma distancia do centro da circunferencia, os
tres vectores intensidade de campo electrostático son simétricos e o seu resultante é
nula:
EO = 0
A
C
Si queres realizar os cálculos:
A intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μC situada no punto A é:
3,00×10−6 [C] ⃗
⃗
E A→O =9,00×10 9 [ N·m2 · C− 2 ]
(− i )=−6,75×10 3 ⃗i N /C
2
(2,00 [ m ])
A intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μC situada no punto B é:
3,00×10−6 [C]
⃗
E B→ O=9,00×109 [ N·m 2 ·C−2 ]
(cos(−60 º) ⃗i +sen (−60 º) ⃗j )=(3,38×103 ⃗i −5,85×103 ⃗j ) N/ C
(2,00 [m ])2
Por simetría, a intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μC situada no punto C é:
EC→O = 3,38×103 i + 5,85×103 j N/C
Polo principio de superposición, a intensidade de campo electrostático resultante no punto O é a suma vectorial das intensidades de campo de cada carga:
EO = EA→O + EB→O + EC→O = (-6,75×103 i) + (3,38×103 i – 5,85×103 j) + (3,38×103 i + 5,85×103 j) = 0 i + 0 j
c) O traballo que fai a forza do campo é
W∞→O = q (V∞ – VO) = 1,00×10-6 [C] · (0 – 4,05×104) [V] = -4,05×10-2 J
Supoñendo que salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é:
Wexterior = -Wcampo = 4,05×10-2 J
P.2.- Un obxecto de 3 cm sitúase a 20 cm dunha lente cuxa distancia focal é 10 cm:
a) Debuxa a marcha dos raios si a lente é converxente.
b) Debuxa a marcha dos raios si a lente é diverxente.
c) En ambos os dous casos calcula a posición e o tamaño da imaxe.
Rta.: c) (c) s' = 0,20 m; y' = -3,0 cm; (d) s' = -0,067 m; y' = 1,0 cm
Datos (convenio de signos DIN)
Tamaño do obxecto
Posición do obxecto
Distancia focal da lente
Incógnitas
Posición da imaxe en ambas lentes
Tamaño da imaxe en ambas lentes
Outros símbolos
Aumento lateral
Ecuacións
Relación entre a posición da imaxe e a do obxecto nas lentes
Aumento lateral nas lentes
Solución:
a)
Cifras significativas: 2
y = 3,0 cm = 0,030 m
s = -20 cm = -0,20 m
f = 10 cm = 0,10 m
s1' , s2'
y1', y2'
AL
1 1 1
− =
s' s f '
y' s'
A L= =
y
s
Análise: A imaxe é real xa que s’ é positiva, é dicir
á dereita da lente que é a zona onde se forman as
imaxes reais nas lentes. O signo negativo do tamaño indícanos que a imaxe é investida. Os resultados numéricos están en consonancia co debuxo.
F'
F
s
s'
b)
Análise: A imaxe é virtual xa que s’ é negativa,
é dicir á esquerda de lente que é a zona onde se
forman as imaxes virtuais nas lentes. O signo positivo do tamaño indícanos que a
imaxe é dereita. Os resultados numéricos están en consonancia co debuxo.
F'
F
s
s'
c) Para a lente converxente, f = +0,10 m:
1
1
1
−
=
s ' −0,20 [ m ] 0,10 [m ]
s’ = 0,20 m
y'
0,20 [ m ]
=
0,030 [m ] −0,20 [m ]
y’ = –0,030 m = -3,0 cm
Para a lente diverxente, f = –0,10 m:
1
1
1
−
=
s ' −0,20 [ m ] −0,10 [ m ]
s’ = –0,067 m
y'
−0,067 [ m]
=
0,030 [m ] −0,20 [ m ]
y’ = 0,010 m = 1,0 cm
OPCIÓN B
C.1.- Dúas esferas de radio R con cargas +Q y -Q, teñen os seus centros separados unha distancia d.
A unha distancia d/2 (siendo d/2 >> R) cúmprese:
A) O potencial é cero e o campo electrostático 4 k Q d-2
B) O potencial é cero e o campo electrostático 8 k Q d-2
C) O potencial é 4 k Q d-1 e o campo cero.
Solución: B
Si d/2 >> R, as esferas poden considerarse como cargas puntuais.
O potencial nun punto debido a dúas cargas puntuais é a suma alxébrica dos potenciais que cada carga crea
nese punto sen ser afectada pola presenza da outra.
O potencial V electrostático nun punto creado por unha carga Q puntual (ou esférica) situada a unha distancia R é:
V =K
Q
R
onde K é a constante electrostática.
Xa que logo o potencial electrostático no punto medio creado por ambas cargas é cero:
V =V + +V -=K
+Q
−Q
+K
=0
d /2
d /2
Polo principio de superposición, a intensidade do campo electrostático nun punto creado por un conxunto de
cargas puntuais é a suma vectorial das intensidades de campo electrostático debidas a cada unha delas coma
se o resto das cargas non estivese presente.
A expresión da intensidade E do campo electrostático creado por unha carga Q puntual nun punto a unha
distancia r
d/2
Q
E=K 2 u
⃗ r rección do punto tomando
sendo ur o vector unitario na di ⃗
r
como orixe a carga.
Polo principio de superposición
(
+Q
E+
E-
-Q
)
+Q ⃗
−Q
Q ⃗
Q⃗
⃗
⃗ ++ ⃗
⃗
E= E
E -= K
2 i +K
2 (− i )=2 4 K
2 i =8 K
2 i
(d /2)
(d / 2)
d
d
|⃗
E|=8 K
Q
d2
C.2.- A ecuación dunha onda é y = 0,02 sen (50 t – 3 x); isto significa que:
A) ω = 50 rad·s-1 e λ = 3 m
B) A velocidade de propagación u = 16,67 m·s-1 e a frecuencia f = 7,96 s-1
C) T = 50 s e o número de onda k = 3 m-1
Solución: B
A ecuación dunha onda harmónica unidimensional pode escribirse como:
y = A · sen(ω · t ± k · x)
Na que
y é a elongación do punto que oscila (separación da posición de equilibrio)
A é a amplitude (elongación máxima)
ω é a frecuencia angular que está relacionada coa frecuencia f por ω = 2 π · f.
t é o tempo
k é o número de onda, a cantidade de ondas que entran nunha lonxitude de 2 π metros. Está relacionada coa
lonxitude de onda λ por k = 2 π / λ
x é a distancia do punto ao foco emisor.
O signo ± entre ω · t e k · x é negativo si a onda propágase en sentido positivo do eixe X, e positivo si faio en
sentido contrario.
A velocidade u de propagación dunha onda é u = λ · f
Comparando a ecuación xeral coa do problema obtemos:
A = 0,02 m
ω = 50 rad/s
k = 3 rad/m
Para elixir a opción correcta calculamos algúns dos parámetros da ecuación (usando 2 cifras significativas)
λ=
2π
2 π [ rad ]
=
=2,1 m
k 3,0 [ rad / m]
que nos permite descartar a opción A.
50 [rad /s]
f=ω =
=8,0 s−1 =8,0 Hz
2 π 2 π [ rad ]
u = λ · f = 2,1 [m] · 8,0 [s-1] = 17 m/s
que coincide coa opción B (si redondeamos os valores que aparecen en devandita opción ás cifras significativas que hai que usar)
A opción C non é correcta porque a frecuencia é a inversa do período:
1
1
T= =
=0,13 s
f 8,0 [s−1 ]
C.3.- Se un espello forma unha imaxe real investida e de maior tamaño que o obxecto, trátase dun espello:
A) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o centro da curvatura.
B) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o espello.
C) Convexo co obxecto en calquera posición.
Solución: A
Nos espellos convexos o tamaño da imaxe é sempre menor. Haberá que usar un espello cóncavo e situar o obxecto entre o centro de curvatura e o foco tao como se ve
na figura.
I
C
F
f
O
s
R
C.4.- Na determinación da constante elástica dun res'
sorte podemos utilizar dous tipos de procedementos.
En ambos os dous casos, obtense unha recta a partir
da cal calcúlase a constante elástica. Explica como se determina o valor da constante a partir de dita
gráfica para cada un dos dous procedementos, indicando que tipo de magnitudes hai que representar nos eixes de abscisas e de ordenadas.
Solución:
No estudo estático úsase a lei de Hooke:
F = k · Δl
na que F representa os peso das masas colgadas e Δl os alongamentos producidos no peirao.
Si na gráfica colócanse os alongamentos Δl no eixe de ordenadas, e as forzas F no eixe de abscisas, a pendente da recta será:
pendente estudo estático = pe = Δl / ΔF = 1 / k
igual ao inverso da constante elástica do resorte.
O valor da constante será o inverso da pendente do estudo estático.
No estudo dinámico, a ecuación empregada é a relación entre a constante elástica k e a constante harmónica
ω
k = m · ω2 = 4 π2 m / T2
Na representación, as masas están no eixe de ordenadas e os cadrados dos períodos no de abscisas. Entón:
pendente estudio dinámico = pd = Δm / ΔT2 = k / (4 π2)
O valor da constante será 4 π2 veces a pendente do estudo dinámico.
k = 4 π2 pd
P.1.- Unha mostra de carbono 14 ten unha actividade de 2,8×108 desintegracións·s-1; o período de semidesintegración é T = 5 730 anos, calcula:
a) A masa da mostra no instante inicial.
b) A actividade ao cabo de 2000 anos.
c) A masa de mostra nese instante.
(Datos: NA = 6,02×1023 mol-1; masa atómica del 14C = 14 g·mol-1; 1 año = 3,16×107 s)
Rta.: a) m0 = 1,7 mg; b) A = 2,2×108 Bq; c) m = 1,3 mg
Datos
Período de semidesintegración
Actividade da mostra
Tempo para calcular a actividade
Masa atómica do 14C
Cifras significativas: 3
T1/2 = 5 730 anos = 1,81×1011 s
A0 = 2,80×108 Bq
t = 2 000 anos = 6,31×1010 s
m = 14,0 g/mol
Datos
Número de Avogadro
Incógnitas
Masa inicial da mostra
Actividade radioactiva aos 2000 anos
Masa da mostra aos 2000 anos
Outros símbolos
Constante de desintegración radioactiva
Ecuacións
Cifras significativas: 3
NA = 6,02×1023 mol-1
m0
A
m
λ
N = N0 e–λ t
λ = ln (N0 / N) / t
Cando t = T1/2, N = N0 / 2T1/2 = ln 2 / λ
A = –dN / dt = λ · N
Lei da desintegración radioactiva
Actividade radioactiva
Solución:
a) Da expresión da actividade radioactiva: A = λ N, pódese calcular o número de átomos cando calculemos a
constante λ de desintegración radioactiva.
λ=
ln 2
0,693
=
=3,83×10−12 s−1=0,000175 anos
T 1 /2 1,81×1011 [s]
N 0=
m0 =
A0 2,80×108 [Bq ]
=
=7,30×1019 átomos
λ 3,83×10−12 [s−1 ]
N0
7,30×1019 [átomos ]
· M=
·14 [g / mol]=1,7×10−3 g=1,7 mg
23
NA
6,02×10 [átomos / mol]
b) A actividade ao cabo de 2 000 anos será:
A = A0 e–λ t = 1,00×107 [Bq] e–0,000175 [1/ano] · 2 000 [ano] = 2,20×108 Bq
c) E a masa:
m = m0 e–λ t = 1,7 [mg] e–0,000175 [1/ano] · 2 000 [ano] = 1,33 mg
P.2.- Se a masa da Lúa é 0,012 veces a da Terra e o seu radio é 0,27 o terrestre, acha:
a) O campo gravitatorio na Lúa.
b) A velocidade de escape na Lúa.
c) O período de oscilación, na superficie lunar, dun péndulo cuxo período na Terra é 2 s.
Datos: g0T = 9,8 m·s-2; RL = 1,7×106 m
Rta.: a) gL = 1,6 m/s2; b) vo = 2,3 km/s; c) TL = 4,9 s
Datos
Relación entre as masas da Lúa e da Terra
Relación entre os radios da Lúa e da Terra
Aceleración da gravidade na superficie da Terra
Radio da Lúa
Período do péndulo na Terra
Incógnitas
Campo gravitatorio na Lúa
Velocidade de escape na Lúa
Período de oscilación na Lúa dun péndulo cuxo TT = 2 s
Outros símbolos
Constante da gravitación universal
Ecuacións
Lei de Newton da gravitación universal (forza que exerce a Lúa esférica sobre un
obxecto puntual de masa m situado a unha distancia r do seu centro)
Peso dun obxecto sobre a superficie da Terra
Cifras significativas: 2
ML / MT = 0,012
RL / RT = 0,27
gT = 9,8 m/s2
RL = 1,7×106 m
TT = 2,0 s
gL
veL
TL
G
F G =G
M Lm
r2
PT = m · gT
Ecuacións
Enerxía cinética dun obxecto de masa m que se move á velocidade «v»
Ec = ½ m v2
M m
Enerxía potencial gravitatoria dunha obxecto de masa m situado a unha distancia r
E p =−G L
do centro da Lúa (referida ao infinito)
r
Enerxía mecánica
E = Ec + Ep
L
Período dun péndulo simple de lonxitude L nun punto de gravidade g
T =2
g

Solución:
a) O peso dun obxecto preto da superficie da Terra é a forza coa que a Terra atráeo:
m g T =G
M Tm
R 2T
Analogamente, o peso dun obxecto preto da superficie da Lúa é a forza coa que a Lúa atráeo:
m g L =G
MLm
R 2L
Dividindo a segunda ecuación entre a primeira, queda:
m gL
=
m gT
G
G
ML m
R2L
MT m
2
RT
g L M L / M T 0,012
=
=
=0,16
g T ( RL / R T )2 0,272
Despexando
gL = 0,16 · 9,8 [m/s2] = 1,6 m/s2
Análise: O resultado é razoable, porque sabemos que a gravidade na superficie da Lúa é unhas 6 veces menor que na superficie da Terra.
b) A velocidade de escape é a velocidade mínima que hai que comunicarlle a un obxecto en repouso sobre a
superficie da Lúa para que chegue a unha distancia «infinita» do centro da Lúa.
Desprezando as interaccións dos demais obxectos celestes e tendo en conta que a forza gravitatoria é unha
forza conservativa, aplícase o principio de conservación da enerxía mecánica entre a superficie da Lúa e o
infinito.
(Ec + Ep)L = (Ec + Ep)∞
Ao ser a velocidade de escape unha velocidade mínima, tómase que o obxecto chega ao infinito con velocidade nula. Como a orixe de enerxía potencial gravitatoria está no infinito, a enerxía potencial gravitatoria
dun obxecto no infinito é nula.
(
)
M m
1
m ve2 L + −G L =0
2
RL
Despexando a velocidade de escape ve
√
v e L= 2 G
ML
RL
Ao non dispoñer do dato da constante G da gravitación universal nin a masa ML da Lúa, podemos usar a expresión do peso dun obxecto na Lúa
m g L =G
MLm
R 2L
para establecer a igualdade
gL RL2 = G ML
co que a velocidade de escape na Lúa quedaría:
√
√
2
2G M L
2 gL R L
2
6
3
v e L=
=
=√ 2 g L R L =√ 2 ·1,6 [m / s ] ·1,7×10 [ m ]=2,3×10 m /s=2,3 km/ s
RL
RL
c) O período T dun péndulo de lonxitude L nun lugar onde a gravidade sexa g vén dado pola ecuación:
T =2

L
g
Dividindo as expresións correspondentes á Terra e a Lúa
TL
=
TT
2π
2π
√ √ √
√
L
gL
L
gT
=
gT
9,8
=
=2,5
gL
1,6
e substituíndo o dato TT = 2,0 s
TL = 2,5 · 2,0 [s] = 4,9 s
Análise: O resultado é razoable. A gravidade na superficie da Lúa é menor que na superficie da Terra, e
canto máis pequena, máis lentamente móvese o péndulo e maior é o seu período.
Cuestións e problemas das Probas de Acceso á Universidade (P.A.U.) en Galicia.
Respostas e composición de Alfonso J. Barbadillo Marán, [email protected]
Algunhas ecuacións construíronse coas macros da extensión CLC09 de Charles Lalanne-Cassou.
A tradución ao/desde o galego realizouse coa axuda de traducindote, de Óscar Hermida López.
Algúns cálculos fixéronse cunha folla de cálculo OpenOffice (ou LibreOffice) feita por Alfonso J. Barbadillo Marán.