Download Congelación - ICYTAL - Universidad Austral de Chile

Universidad Austral de Chile
Instituto de Ciencia y Tecnología de los Alimentos (ICYTAL)
Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 234)
Profesor : Elton F. Morales Blancas
MÉTODOS FÓRMULA PARA LA PREDICCIÓN DE TIEMPOS DE CONGELACIÓN DE
GEOMETRÍAS REGULARES 1D, 2D y 3D
1. Ecuación de PLANK (1941).
Existen un gran número de métodos fórmula pero sin duda el más popular es la ecuación de
PLANK (1941). Por ser esta fórmula ampliamente conocida y universalmente usada en todos los
métodos fórmula, en adelante se referirá a esta ecuación solamente, como la ecuación de Plank.
En la actualidad ha sido sujeto a numerosas modificaciones y se ha transformado en la base para
muchos métodos fórmula, principalmente por su simplicidad, y por ser uno de los más prácticos.
La ecuación de Plank se puede generalizar para las tres geometrías analizadas (plancha, cilindro
y esfera) como lo presenta la siguiente ecuación:
L ρ UZ ⎛⎜ P D R D 2
tc =
+
(TZC − T∞ ) ⎜⎝ h K FZ
⎞
⎟
⎟
⎠
(1)
donde P y R representan factores de forma que definen a cada geometría los cuales se muestra en
el Cuadro 1.
La ecuación de Plank se basa en la suposición que el alimento se encuentra a la temperatura de
inicio de congelación del alimento y por lo tanto no existe calor sensible antes del periodo de cambio de
fase. El calor extraído corresponde únicamente al calor latente del alimento y considera que este, está
completamente congelado al final del periodo de cambio de fase.
Estas tres suposiciones hacen normalmente que las predicciones de esta ecuación sean menores
que la real, dado que difícilmente el alimento se encuentra a la temperatura de congelación
(normalmente la temperatura inicial del alimento es mayor) y además la temperatura final del alimento
es frecuentemente menor ó igual a -10°C.
CUADRO 1. Factores de forma de la ecuación de PLANK (1941).
Geometría
P
R
PLANCHA
1
2
1
8
CILINDRO
INFINITO
1
4
1
16
ESFERA
1
6
1
24
1
Universidad Austral de Chile
Instituto de Ciencia y Tecnología de los Alimentos (ICYTAL)
Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 234)
Profesor : Elton F. Morales Blancas
En resumen lo único que cuantifica la ecuación de Plank es el periodo de cambio de fase en una
curva de congelación, es decir, el segundo periodo de una curva de congelación típica.
Estas simplificaciones limitan la aplicación de la ecuación de Plank por lo que han surgido
numerosas modificaciones por otros autores que se verán en detalle a continuación.
2. Método de CLELAND y EARLE (1979a).
Método aplicado para alimentos con forma de plancha infinita, cilindro largo y esfera. Utiliza
como base la Ecuación de Plank (Ec. 1).
Los factores de forma P y R propuestos por Plank son modificados empíricamente por medio de
regresión lineal múltiple dejando expresado P y R en función de los números adimensionales de Plank
(Pk), Stefan (Ste) y Biot (Bi). Este método abarca un tiempo de congelación desde la temperatura inicial
hasta -10°C en el centro térmico del alimento.
El calor latente de cambio de fase de la ecuación de Plank es reemplazado por una diferencia de
entalpía entre el punto inicial de congelación y -10°C.
La fórmula general para las tres geometrías citadas es la siguiente:
⎛
∆Hv 10 ⎡ ⎛ D ⎞
D2
⎜
⎢
P⎜ ⎟ + R
tc =
(TZC − T∞ ) ⎢⎣ ⎝ h ⎠ ⎜⎝ k FZ ( −10o C)
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
(2)
Los factores de forma para cada una de las geometrías son:
Cilindro largo:
⎛
⎞
0.0710
P = 0.3751 + 0.0999Pk + Ste⎜ 0.4008Pk +
− 0.5965⎟
⎝
⎠
Bi
(3)
R = 0.0133 + Ste( 0.0415Pk + 0.3957)
(4)
⎛
⎞
0.3114
P = 0.1084 + 0.0924Pk + Ste⎜ 0.231Pk −
+ 0.6739⎟
⎝
⎠
Bi
(5)
Esfera:
R = 0.0784 + Ste(0.0386Pk − 0.1694)
2
(6)
Universidad Austral de Chile
Instituto de Ciencia y Tecnología de los Alimentos (ICYTAL)
Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 234)
Profesor : Elton F. Morales Blancas
Plancha:
⎛
⎞
0.0105
P = 0.5072 + 0.2018Pk + Ste⎜ 0.3224Pk +
+ 0.0681⎟
⎝
⎠
Bi
R = 0.1684 + Ste( 0.2070Pk − 0.0135)
(7)
(8)
Debido al origen empírico de las modificaciones a los factores de forma de la ecuación de Plank,
la Ec. (2) está sujeta al siguiente rango de aplicabilidad:
0.155 ≤ Ste ≤ 0.345
0.5 ≤ Bi ≤ 4.5
0 ≤ Pk ≤ 0.55
La exactitud de la Ec. (2) no ha sido verificada fuera de este rango, sin embargo, abarca la mayor
parte de las situaciones prácticas del proceso de congelación de alimentos.
3. Método de CLELAND y EARLE (1979b).
Aplicado a alimentos de forma de paralelepípedo. Aquí toma como base los factores de forma
propuestos por el mismo autor.
⎛
∆Hv 10 ⎡ ⎛ D ⎞
D2
⎜
⎢
P ⎜ ⎟+R
tc =
(TZC − T∞ ) ⎢⎣ 2 ⎝ h ⎠ 2 ⎜⎝ k FZ ( −10o C)
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
(9)
La solución a los factores de forma para un paralelepípedo es definido por (PLANK, 1941):
P=
R =
β1 × β 2
(10)
2(β 1β 2 + β 1 + β 2 )
Q ⎡
m
n ⎤
1
(m−1) (β1 −m) (β2 −m) Ln ⎛⎜ ⎞⎟ − (n−1) (β1 −n) (β2 −n) Ln ⎛⎜ ⎞⎟⎥ + ( 2 β1 +2 β2 −1) (11)
⎢
2 ⎣
72
⎝ m−1⎠
⎝ n−1⎠⎦
3
Universidad Austral de Chile
Instituto de Ciencia y Tecnología de los Alimentos (ICYTAL)
Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 234)
Profesor : Elton F. Morales Blancas
donde:
[
]
1
1
2 2
= 4 (β1 − β 2 )(β1 − 1) + (β 2 − 1)
Q
(11a)
[
]
1
1 ⎧⎪
⎪
2 2⎫
m = ⎨β1 + β 2 + 1 + (β1 − β 2 )(β1 − 1) + (β 2 − 1)
⎬
3 ⎪⎩
⎪⎭
[
]
1
1 ⎧⎪
⎪
2 2⎫
n = ⎨β1 + β 2 + 1 − (β1 − β 2 )(β1 − 1) + (β 2 − 1)
⎬
3 ⎪⎩
⎪⎭
(11b)
(11c)
Las modificaciones en función de los números adimensionales para todas las geometrías es:
⎡
⎛
⎞⎤
0.0182
P1 = P ⎢1.026 + 0.5808Pk + Ste⎜ 0.2296Pk +
+ 0.1050⎟ ⎥
⎝
⎠⎦
Bi
⎣
[
R 1 = R 1.202 + Ste( 3.410Pk + 0.7336)
]
(12)
(13)
Luego, basándose en estas modificaciones se establecen los factores de forma definitivos,
P2=P1 + P[(0.1136 + Ste(5.766P - 1.242)]
(14)
R2=R1 + R[0.7344 + Ste(49.89R - 2.900)]
(15)
El método visto permite calcular el tiempo de congelación desde la temperatura inicial hasta
-10°C en el centro térmico del alimento, y se encuentra sujeto a las siguientes restricciones:
0.155 ≤ Ste ≤ 0.345
0 ≤ Pk ≤ 0.55
0.5 ≤ Bi ≤ 22
1 ≤ β1≤ 4
1 ≤ β2 ≤ 4
4.
Método de Cleland y Earle (1984b)
Este trabajo no es un método de predicción por si mismo pero por la importancia que reviste
determinar el tiempo de congelación a distintas temperaturas finales de proceso, ha sido considerado
como tal. Este método utiliza un factor que permite calcular el tiempo de congelación para distintas
4
Universidad Austral de Chile
Instituto de Ciencia y Tecnología de los Alimentos (ICYTAL)
Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 234)
Profesor : Elton F. Morales Blancas
temperaturas finales tomando como punto de partida cualesquiera de los métodos de predicción de estos
mismos autores o bien aplicándolo a otros métodos de predicción.
El factor es aplicado de la siguiente manera:
⎡ 1.65 Ste ⎛ Tf − T∞
tc = tc' ⎢1 −
Ln⎜⎜
k
FZ
⎝ Tref − T∞
⎣
⎞⎤
⎟⎟ ⎥
⎠⎦
(16)
t’C representa el tiempo de congelación a una determinada temperatura de referencia que por
ejemplo para los modelos propuestos por CLELAND y EARLE (1979ª; 1979b) es de –10°C.
tC representa el tiempo de congelación a cualquier temperatura final menor que la temperatura de
referencia.
El factor presentado en este trabajo es muy similar al propuesto por PLANK (1941), pero no se
establece claramente el origen de este factor.
5.
Método de CLELAND et al. (1987a).
Mediante un modelo numérico se desarrolló un factor de forma que considera el efecto de la
geometría durante el proceso de congelación y descongelación en alimentos.
Basado en el concepto planteado por PLANK (1941), que establece que existe una relación
constante de tiempos de congelación para distintas geometrías que posean la misma dimensión
característica y que sean congelados bajo las mismas condiciones operacionales. Para geometrías
simples como plancha, cilindro y esfera esta razón es 1:2:3, respectivamente. La dimensión
característica obedece a la razón de volumen sobre área (V/A).
Según esto se puede plantear la siguiente ecuación general :
tge =
t pl
EHTD
(17)
Estos autores presentan un factor de forma para planchas, cilindros, esferas, paralelepípedos,
rodajas y varillas largas, denominado transferencia de calor adimensional equivalente (EHTD,
“equivalent heat transfer dimensionality”), el cual depende del número de Biot y parámetros que
describen la forma del objeto. Entonces la ecuación del factor EHTD queda definido por :
EHTD = G1 + G2 E1 + G3 E2
5
(18)
Universidad Austral de Chile
Instituto de Ciencia y Tecnología de los Alimentos (ICYTAL)
Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 234)
Profesor : Elton F. Morales Blancas
⎛ 2.32
E 1 = Χf ⎜
⎜ β 1.77
⎝ 1
⎞ 1 ⎡
⎛ 2.32
⎟
+ ⎢1 − Χf ⎜
⎟ β1 ⎢
⎜ β 1.77
⎠
⎝ 1
⎣
⎞ ⎤ 0.73
⎟⎥
⎟ ⎥ β 2.5
⎠⎦ 1
(18a)
⎛ 2.32
E 2 = Χf ⎜
⎜ β 1.77
⎝ 2
⎞ 1 ⎡
⎛ 2.32
⎟
+ ⎢1 − Χf ⎜
⎟ β2 ⎢
⎜ β 1.77
⎠
⎝ 2
⎣
⎞ ⎤ 0.50
⎟⎥
⎟ ⎥ β 3.69
⎠⎦ 2
(18b)
⎛
⎞
x
⎟⎟
Xf ( x ) = ⎜⎜
1.34
+ x⎠
⎝ Bi
(18c)
y G1, G2, G3 están dados en el Cuadro 2.
Este método toma como base el tiempo de congelación para una plancha, predicho por cualquier
método, para calcular el tiempo de congelación de las geometrías citadas en el Cuadro 2. Es importante
destacar que mediante los ajustes empíricos realizados por estos autores se ha corregido la limitación
que presenta el concepto planteado por PLANK (1941) y por tanto el factor EHTD puede ser aplicado
para diversas condiciones de congelación sin el requerimiento que el número de Biot sea cercano a cero.
La deducción de este factor es empírico basado principalmente en tiempos generados por un
programa de diferencias finitas desarrollado por este mismo autor, tomando como material de prueba a
un gel de tylosa. El rango de aplicabilidad de este factor no es establecido claramente por sus autores y
solamente se menciona que abarca la mayor parte de las condiciones experimentales de congelación.
El tiempo de congelación para una plancha es calculado por medio de la Ecuación 5 (CLELAND
y EARLE 1979a).
6
Universidad Austral de Chile
Instituto de Ciencia y Tecnología de los Alimentos (ICYTAL)
Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 234)
Profesor : Elton F. Morales Blancas
CUADRO 2. Constantes método de CLELAND y EARLE (1987a).
Geometría
G1
G2
G3
Plancha
1
0
0
Cilindro largo
2
0
0
Esfera
3
0
0
Rodaja
1
2
0
Cilindro corto
2
0
1
Varilla larga
1
1
0
Paralelepípedo
1
1
1
NOMENCLATURA
A
Área (m2)
Cp
Calor específico (kJ/kg)
D
Dimensión característica (espesor para plancha, diámetro para cilindro,
y esfera) (m)
Dx
Dimensión en la coordenada x
Dy
Dimensión en la coordenada y
Dz
Dimensión en la coordenada z
EHTD
Transferencia de calor equivalente adimensional
h
Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K)
k
Conductividad térmica (W/m K)
L
Calor latente del alimento (kJ/kg); L = YWZ λ H O
2
M
Masa (kg)
P
Factor de forma de la ecuación de Plank (1941) (adimensional)
R
Factor de forma de la ecuación de Plank (1941) (adimensional)
tc
Tiempo de congelación (s)
Tf
Temperatura final de congelación (°C)
7
Universidad Austral de Chile
Instituto de Ciencia y Tecnología de los Alimentos (ICYTAL)
Asignatura: Ingeniería de Procesos III (ITCL 234)
Profesor : Elton F. Morales Blancas
TO
Temperatura inicial (°C)
T∞
Temperatura del medio (°C)
TS
Temperatura superficial (°C)
TZC
Punto inicial de congelación (°C)
V
Volumen del alimento (m3)
Subíndice
FZ
Periodo bajo el punto de congelación, alimento congelado
UZ
Periodo pre-enfriamiento, alimento no congelado
ge
Geometría
Número adimensionales.
Bi
Número de Biot
Bi =
hD
k FZ
Pk
Número de Plank
Pk =
Cp UZ (T0 − TZC )
∆H 10
Ste
Número de Stefan
Ste =
Cp FZ (TZC − T∞ )
∆H 10
Símbolos griegos
ρ
Densidad (kg/m3)
β1
Razón entre la segunda dimensión y la dimensión más pequeña
β2
Razón entre la tercera dimensión y la dimensión más pequeña
∆H
Diferencia de entalpía entre el punto inicial de congelación y -10°C
(∆H10) ó -18°C (∆H18).
∆HV
Diferencia de entalpía volumétrica [HV=Hxρ] entre el punto inicial de congelación y
-10°C (∆H10) ó -18°C (∆H18).
8