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Raíces de una ecuación cuadrática
Introducción
Pierre de Fermat (1601-1665)
Se aborda en esta sección la deducción de la fórmula para hallar las raíces de una
ecuación cuadrática. Se analizan las características de las soluciones, según la forma del discriminante de la ecuación. Por último se encuentran expresiones que
relacionan la suma y el producto de las raíces de una ecuación cuadrática en términos de los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Objetivos del módulo
1. Conocer una expresión para las raíces de una ecuación cuadrática.
2. Conocer los tipos de soluciones de una ecuación cuadrática.
3. Conocer una expresión para la suma y el producto de una ecuación cuadrática.
Preguntas básicas
1. ¿En qué consiste el discriminante de una ecuación cuadrática?
2. ¿A qué es igual la suma de las raíces de una ecuación cuadrática?
3. ¿A qué es igual el producto de las raíces de una ecuación cuadrática?
Fermat fue abogado y gobernante oficial, más recordado
por su trabajo en la teoría de números; las matemáticas
eran para él su entretenimiento.
En 1636 propuso un sistema de geometría analítica similar
a uno de Descartes, que éste presentó unos años después.
El trabajo de Fermat estaba basado en una reconstrucción
del trabajo de Apolonio usado en el álgebra de Francois
Viète. Similar trabajo dejó al descubrir métodos de
diferenciación e integración y encontrar máximos y
mínimos.
Fermat es famoso por el teorema que lleva su nombre y
que dice que dado cualquier entero positivo n > 2, es
imposible que existan números enteros diferentes de cero,
x, y, z, tales que xn + yn = zn. Si n = 2 habrá infinitas tripletas
(x, y, z) llamadas ternas pitagóricas, como por ejemplo
(3, 4, 5).
Fermat dijo que había descubierto una prueba («prueba
maravillosa»), pero que no había en la página suficiente
margen para darla. Se sospecha que dados los avances de la
época, Fermat había dado con una demostración equivocada.
El teorema fue finalmente demostrado en 1995.
Contenidos del módulo
8.1 Forma de las raíces
8.2 Características de las soluciones
8.3 Suma y producto de raíces
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AlgebraTrigonometria/
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programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Álgebra y trigonometría 93
Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático
8.1 Forma de las raíces
Escuche La conjetura de Pierre
de Fermat en su multimedia de
Álgebra y trigonometría
La forma de las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 bx c ! 0 se puede ver de la
manera siguiente:
# 2
bx c ! 0 , entonces ax2 bx ! "c. Por tanto, a % x
'
Si ax 2
#
a % x2
'
b
x
a
b 2 $ b2
" c.
&!
4a 2 ( 4a
#
Se tiene entonces que a % x
'
#
Despejando a % x
'
b $
x ! "c
a &(
2
b $
b 2 " 4 ac
.
& !
2a (
4a
2
b $
#
& , se tiene que % x
2a (
'
2
b $
b2 " 4ac
!
.
&
2a (
4a 2
Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros,
x
b
b 2 " 4 ac
!)
.
2a
4a 2
En consecuencia, x !
"b ) b 2 " 4 ac
.
2a
Las dos raíces de la ecuación cuadrática vienen dadas por
x1 !
"b
b 2 " 4ac
,
2a
x2 !
"b " b2 " 4ac
.
2a
8.2 Características de las soluciones
En la solución de la ecuación cuadrática aparece el término b 2 " 4ac . La expresión
b 2 " 4ac se llamará el discriminante de la ecuación, y según la naturaleza de éste, las
soluciones serán así:
1.
2.
3.
94
b 2 " 4ac * 0 , entonces la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones reales
distintas.
b 2 " 4ac ! 0 , entonces la ecuación tendrá dos soluciones reales iguales.
b 2 " 4ac + 0 , entonces la ecuación no tendrá soluciones reales sino dos
soluciones complejas conjugadas.
Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadrática
Ejemplo 21
Encuentre las raíces de la ecuación x2 " 4 x 3 ! 0.
Solución
En este caso se tiene que a = 1, b ! "4, c ! 3.
b 2 " 4 ac ! , "4 - " 4 . 1 . 3 ! 4 * 0.
2
La ecuación tiene dos raíces reales distintas que son:
"b
x1 !
x2 !
b 2 " 4ac
,
2a
"b " b 2 " 4 ac
,
2a
x1 ! 3.
x2 !1.
8.3 Suma y producto de raíces
Como las raíces de la ecuación cuadrática vienen dadas por:
x1 !
"b
2a
b2 " 4ac
,
2a
x2 !
"b
b 2 " 4 ac
"
,
2a
2a
se pueden derivar, de las fórmulas anteriores, las siguientes consecuencias:
x1
x2 !
"b
,
a
c
x1 · x2 ! .
a
O sea que en toda ecuación cuadrática la suma de sus raíces es "
de ellas es
b
y el producto
a
c
.
a
Ejemplo 22
En cierta ecuación cuadrática, la suma de sus raíces es 5 y su producto es 6.
Halle la ecuación.
Solución
Como x1
x2 ! "
b
b
, se tiene que " ! 5.
a
a
Álgebra y trigonometría 95
Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático
c
c
, se tiene que ! 6. Por tanto, c ! 6a y b ! "5a.
a
a
Como x1 · x2 !
Si en las expresiones anteriores se toma a = 1, se tiene que c ! 6 , b ! "5 . En
consecuencia, la ecuación es x2 " 5x 6 ! 0.
Si a toma otros valores en los reales, se obtendrán otras ecuaciones. La forma
general de estas ecuaciones es ax 2 " 5ax 6a ! 0.
Ejemplo 23
Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones:
a.
3 x 2 10 x " 8 ! 0.
Solución
Aplicando la fórmula tenemos:
b 2 " 4ac ! (10) 2 " 4(3)("8) ! 100 96 ! 196 * 0.
Por tanto, la ecuación tiene dos raíces reales:
x1 !
x2 !
b.
"b
b 2 " 4ac "10 196 4 2
!
! ! ,
2a
6
6 3
"b " b 2 " 4ac "10 " 196 "24
!
!
! "4.
2a
6
6
x 4 " 13x 2 36 ! 0.
Solución
Haciendo la sustitución y = x2 se obtiene la ecuación cuadrática y 2 " 13 y 36 ! 0.
Aplicando la fórmula tenemos:
b 2 " 4 ac ! ("13) 2 " 4(1)(36) ! 169 " 144 ! 25 * 0.
Por tanto, la ecuación obtenida tiene dos raíces reales:
y1 !
y2 !
"b
b 2 " 4ac 13
25 18
!
! ! 9,
2a
2
2
"b " b 2 " 4ac 13 " 25 8
!
! ! 4.
2a
2
2
Entonces las soluciones de la ecuación original son x1 ! 3, x2 ! "3, x3 ! 2 y
x4 ! "2.
96
Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadrática
c.
x 6 7 x 3 ! 8.
Solución
Haciendo la sustitución y = x3 se obtiene la ecuación cuadrática y 2
Aplicando la fórmula tenemos:
7 y " 8 ! 0.
b 2 " 4ac ! (7) 2 " 4(1)( "8) ! 49 32 ! 81 * 0.
Por tanto, la ecuación obtenida tiene dos raíces reales:
"b
y1 !
y2 !
b2 " 4ac "7
81 2
!
! ! 1,
2a
2
2
"b " b 2 " 4ac "7 " 81 "16
!
!
! "8.
2a
2
2
Entonces las soluciones de la ecuación original son x1 ! 3 1 ! 1 y x2 ! 3 "8 ! "2.
d.
x 2 " 4 x 5 ! 0.
Solución
Aplicando la fórmula tenemos:
b 2 " 4 ac ! ("4) 2 " 4(1)(5) ! 16 " 20 ! "4 + 0.
Por tanto, la ecuación no tiene raíces reales sino dos raíces complejas conjugadas:
x1 !
x2 !
"b
b 2 " 4 ac 4
"4 4 2i
!
!
! 2 i,
2a
2
2
"b " b 2 " 4 ac 4 " "4 4 " 2i
!
!
! 2 " i.
2a
2
2
Ejemplo 24
Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 3 y "5.
Solución
x1
x2 ! 3 ("5) ! "2 !
"b
; entonces, b ! 2a.
a
c
x1 x2 ! 3( "5) ! "15 ! ; entonces, c ! "15a.
a
Álgebra y trigonometría 97
Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático
La ecuación general será
ax 2
2ax " 15a ! a( x 2
2 x " 15) ! 0.
Tomando a = 1 obtenemos la ecuación
x2
2 x " 15 ! 0.
Ejemplo 25
Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 2/3 y 1/2.
Solución
x1
x2 !
x1 x2 !
2
3
1 7 "b
7
! !
entonces b ! " a.
2 6 a
6
2 1 1 c
/ ! ! entonces c ! 1 a.
3 2 3 a
3
La ecuación general será
7
1
7
1
ax 2 " ax
a ! a( x2 " x
) ! 0.
6
3
6
3
Tomando a = 6 obtenemos la ecuación
6 x 2 " 7 x 2 ! 0.
Ejemplo 26
Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de la siguiente ecuación sea
igual al producto de las mismas:
3x 2 " 2 x k " 3 ! 0.
Solución
Planteando la igualdad entre la suma y el producto de las raíces tenemos:
x1
x2 !
c k "3
"b 2
,
! ! x1 x2 ! !
3
a 3
a
de donde 2 ! k " 3 y por tanto k = 5.
98
Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadrática
Ejemplo 27
Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de la siguiente ecuación sea
igual al producto de las mismas:
3 x2
(k
2) x 2k 1 ! 0.
Solución
Planteando la igualdad entre la suma y el producto de las raíces tenemos:
x2 !
x1
"b "(k 2)
c 2k 1
!
! x1 x2 ! !
,
a
3
a
3
de donde " k " 2 ! 2 k 1 y por tanto k ! "1.
Ejemplo 28
Encuentre dos números cuya suma sea 21 y su producto 104.
Solución
Sean x1 y x2 los números buscados; entonces x1
a = 1, x1
x2 ! 21 y x1 x2 ! 104. Tomando
x2 ! 21 ! "b y x1 x2 ! 104 ! c, tenemos que estos números son raíces
de la ecuación cuadrática x 2 " 21x 104 ! 0. Aplicando la fórmula tenemos:
x1 !
x2 !
"b
b2 " 4ac 21
!
2a
(21)2 " 4(104) 21 25 26
!
!
! 13,
2
2
2
2
"b " b2 " 4ac 21 " (21) " 4(104) 21 " 25 16
!
!
!
! 8.
2a
2
2
2
Ejemplo 29
La suma de un numero y su recíproco es
13
. Halle el número.
6
Solución
Sea x el número buscado; entonces:
13
1
,
!x
6
x
13 x 2 1
,
!
6
x
13 x ! 6 x 2 6,
Álgebra y trigonometría 99
Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático
6 x 2 " 13x 6 ! 0.
Las raíces de esta ecuación cuadrática son:
x1 !
x2 !
"b
b 2 " 4ac 13
!
2a
(13)2 " 4(6)(6) 13
25 18 3
!
!
! ,
12
12
12 2
2
"b " b2 " 4ac 13 " (13) " 4(6)(6) 13 " 25 8 2
!
!
!
! ,
2a
12
6
12 3
que son los números buscados.
Ejemplo 30
Un avión realiza un vuelo entre dos ciudades situadas a 4.992 km una de la otra. Si
el avión aumenta su velocidad en 32 km/h puede hacer el trayecto en 1 hora menos.
¿Cuál es la velocidad del avión?
Solución
Suponiendo que la velocidad del avión es v km/h y realiza el trayecto en t horas,
tenemos entonces que
t!
4.992
.
v
Si al aumentar la velocidad en 32 km/h se demora una hora menos, tenemos la
ecuación
t "1 !
4.992
.
v 32
Por tanto, reemplazando tenemos:
4.992
4.992
"1 !
,
v
v 32
4.992 " v 4.992
,
!
v
v 32
(4.992 " v)(v 32) ! 4.992v,
4.992v 159.744 " v 2 " 32v ! 4.992v,
159.744 " v 2 " 32v ! 0,
v 2 32v " 159.744 ! 0.
Las soluciones de esta ecuación cuadrática son:
100
Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadrática
v1 !
v2 !
b2 " 4ac "32
!
2a
"b
(32)2 " 4(1)("159.744) "32
!
2
640.000 768
!
! 384,
2
2
2
"b " b2 " 4ac "32 " (32) " 4(1)("159.744) "32 " 640.000 "832
!
!
!
! "416.
2a
2
2
2
Obviamente la solución buscada es x1 y así la velocidad del avión es de 384 km/h.
Ejemplo 31
Dos ciudades A y B se encuentran a una distancia de 490 km una de otra. Dos
ciclistas parten simultáneamente de A y B, cada uno hacia la otra ciudad. A partir del
sitio donde se cruzan, el ciclista que partió de A demora 9 horas en llegar a B y el que
partió de B demora 16 horas en llegar a A. Encuentre la velocidad de cada ciclista.
Solución
Sea x la distancia desde A al sitio donde se cruzan y t el tiempo en que se cruzan. A
partir de este sitio, el ciclista que salió de A recorre 490 " x km en 9 horas y el que
partió de B recorre x km en 16 horas. La velocidad de cada ciclista es:
vA !
x 490 " x
,
!
t
9
vB !
490 " x x
!
.
t
16
Despejando t e igualando tenemos:
9x
16(490 " x )
.
!t !
490 " x
x
Se obtiene entonces la ecuación cuadrática:
16(490 " x) 2 " 9 x 2 ! 7 x 2 " 15.680 x 7.840 ! 0
cuyas raíces son 280 y 1.960. Como x < 490, entonces el punto de encuentro está a
280 km de A y por tanto
vA !
490 " x 210 70
!
!
km/h,
9
9
3
vB !
x 280 70
!
!
km/h.
16 16
4
Ejemplo 32
Dos obreros A y B trabajando juntos pueden realizar un trabajo de 4 horas. ¿Cuántas horas se necesitan para que cada obrero realice el trabajo por si solo, si el obrero
B requiere 3 horas más de trabajo que el obrero A?
Álgebra y trigonometría 101
Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático
Solución
Sea x el número de horas que tarda el obrero A realizando el trabajo por sí solo;
entonces el obrero B tarda x + 3 horas. La velocidad de trabajo de cada obrero por
separado y trabajando juntos es:
1
VA ! ,
x
VB !
1
x 3
,
V AB !
1
.
4
Por tanto tenemos que
1
x
1
1
! ,
x 3 4
de donde se obtiene la ecuación cuadrática
x 2 " 5 x " 12 ! 0.
Las raíces de esta ecuación son
5 ) 73
y la raíz negativa no tiene sentido, así que
2
el obrero A necesitaría aproximadamente
madamente 9.77 horas.
102
5
73
2
0 6.77 horas y el obrero B aproxi-