Download las ecuaciones cuadráticas - Página Jimdo de xeniabatista

RESUMEN UNIDAD N°5: LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
DEFINICIÓN: Sean a, b, c  R con a  0 , la expresión ax 2  bx  c  0 se llama ecuación de
segundo grado con una incógnita o ecuación cuadrática.
En otros términos, una ecuación cuadrática es aquella en la que el exponente más grande de la
variable, una vez escrita en forma general, es dos.
CONCEPTO: Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática con una incógnita x ,
una vez simplificada, es de la forma: ax 2  bx  c  0 con a  0 .
Ejemplos: 2 x 2  3x  6  0
x2  9  0
2x 2  6x  0
En la ecuación: x 2  5 x  6  0 Coeficiente de x 2 es: a  1
Coeficiente de x es: b   5
Coeficiente “ c ” o término independiente es c  6 y la incógnita es: “ x ”
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS: La ecuación cuadrática puede ser
clasificada como completa e incompleta, según la cantidad de términos que tenga cuando haya
sido reducida.
1) La ecuación cuadrática es completa cuando los coeficientes de los términos de la
primera y segunda potencia de la incógnita y el término independiente son diferentes de
cero. Es de la forma: ax 2  bx  c  0 con a  0
Ejemplos: 5 x 2  3x  6  0 ,
7  6y  9y2  0 ,
x 2  5  3x  0
2) La ecuación cuadrática incompleta es aquella en que los coeficientes b y c
sí
pueden anularse (uno de los dos o los dos).
Las formas de la ecuación cuadrática incompleta son:
a) ax 2  bx  0 , donde c  0 Ej.: 3x 2  4 x  0
b) ax 2  c  0 , donde b  0 Esta forma se le llama cuadrática pura Ej.: 5 x 2  6  0
c) ax 2  0 , donde b  0 y c  0 . Ej.: 2 x 2  0
PRÁCTICA Nº 1
I. Coloque las siguientes ecuaciones en la forma general, es decir, de la forma: ax 2  bx  c  0
1) x 2  2 x  1  2
4) 2 x 2  9 x  2 x  3
7) x 2  25  5x  15
2)  3x 2  5 x  6
5) 3x  x 2  5  3x 2
8) 5 x 2  2  7x  3
3)  4 x  x 2  3  8
6) x 2  4 x  3   1  5x
9) x 2  x  3   2  3x


II. Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas, señala los valores de a, b, y c
correspondientes a ax 2  bx  c  0
1) 2 x 2  4 x  1  0
3) 3x  2  x 2  0
5) 5z 2  8z  2
4) 17 w  8w 2   1
2) 7 y 2  12 y  3
6) 19 x  4 x 2  3
III. Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas, encuentre los valores de a, b, y c en cada una
de ellas e indica si es completa e incompleta:
1)
x  22  4
2)
3xx  6  x  4x  4  3x  5  x3  x 
3)
3xx  5  x  3x  2  18  0
4)
xx  3x  4  xx  2  6  x   2 x
 0
5)
5x  3  x4x  1  0
6)
x  5x  3  23  x  8
2
2
2
IV.Complete la tabla siguiente como un repaso del tema.
Nº
1
Ecuación Cuadrática
3x  5 x  6  0
2
6x 2  3
3
7 y2  5y  4y
4
x x  3  4x
5
3 m  12m  5  0
6
3z z  2  3z  2
7
2t t  3  2t  4 
Valor de a
Valor de b
Valor de c
Completa o Incompleta
2
2
2
RAÍCES: Las raíces de la ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática son los valores
de la incógnita que satisfacen la ecuación, y la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
Todas las ecuaciones cuadráticas tienen dos raíces o dos soluciones que pueden ser iguales o
diferentes.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
CUADRÁTICAS:
Resolver una ecuación
cuadrática
ax 2  bx  c  0 es determinar los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación.
Estos
valores que satisfacen la ecuación se llaman soluciones o raíces la ecuación cuadrática.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: Son los procedimientos para resolver la ecuación de segundo
grado o ecuación cuadrática; y resolver una ecuación de segundo grado consiste en determinar
las raíces o ceros de dicha ecuación.
Entre los métodos de resolución podemos mencionar, si son ecuaciones cuadráticas
incompletas se pueden resolver por factorización (factor común monomio o por diferencia de
cuadrados) y por extracción de raíces.
Pero si son ecuaciones cuadráticas completas,
podemos utilizar los siguientes métodos: por factorización, por completar cuadrados, por la
fórmula general o cuadrática, por ensayo y error, o por el método de aspa simple.
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
2
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS
1. ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA DE LA FORMA ax 2  bx  0
Estas ecuaciones donde c  0 se resuelven por factor común monomio.
Regla: Llévese la ecuación a la forma general de modo que el segundo miembro sea cero, luego
factorice por factor común monomio, el primer miembro y se obtiene dos factores cuyo producto
es cero, se iguala a cero y se encuentran las raíces.
Observación: Cuando un producto de dos factores es cero, uno de ellos, por lo menos, es
cero.
EJEMPLOS RESUELTOS POR FACTORIZACIÓN (FACTOR COMÚN MONOMIO)
1)
x 2  5x
Solución:
2)
x 2  5x  0
Se lleva la ecuación a su forma general
x x  5  0
Factor común monomio x
x  0 ; x 5  0
Se iguala cada factor a cero
x1  0 ; x2  5
Se despeja x y esas son las raíces
 S   0, 5 
El conjunto solución de la ecuación
x 2  3x  0
Se lleva la ecuación a forma general
x x  3  0
Factor común monomio x
x  0 ; x  3  0
Se iguala cada factor a cero
x1  0 ; x2   3
Se despeja x y esas son las raíces
 S    3, 0 
El conjunto solución de la ecuación
x 2   3x
Solución:
2. ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA DE LA FORMA ax 2  c  0
Estas ecuaciones las podemos resolver por factorización o por extracción de raíces.
EJEMPLOS RESUELTOS POR FACTORIZACIÓN (DIFERENCIA DE CUADRADOS) Y POR
EXTRACCIÓN DE RAÍCES
1) 2 x 2  8  0
Solución: Por factorización, tenemos:
2x 2  8  0
Ecuación en su forma general
2 2
8
0
x 

2
2
2
Dividiendo por el coeficiente de x 2
x2  4  0
Simplificando la expresión
x  2 x  2 
0
Factorizando la diferencia de cuadrados
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
3
x 2  0 ; x  2  0
Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1   2 ; x2  2
 S    2, 2 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Solución: Por extracción de raíces, tenemos:
2x 2  8  0
Ecuación en su forma general
2x 2  8
Transponiendo el término independiente al miembro derecho
8
2
x2 
Despejando la variable x
x2  4
Simplificando
x2 
Se extraen las raíces de ambos miembros
4
x  2
Toda raíz cuadrada tiene dos signos: positivo y negativo
x 1   2 ; x2  2 Son las raíces
 S    2, 2 
El conjunto solución de la ecuación
2) 5x 2  15  0
Solución: Por extracción de raíces, tenemos:
5 x 2  15  0
Ecuación en su forma general
5x 2  15
Transponiendo el término independiente al miembro derecho
x2 
15
3
5
x2 
Despejando la variable x y Simplificando
Se extraen las raíces de ambos miembros
3
x   3
Toda raíz cuadrada tiene dos signos: positivo y negativo
x 1   3 ; x2 

 S   3,
3
3

Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
3) 2 x 2  18  0
Solución: Por factorización, tenemos:
2 x 2  18  0
Ecuación en su forma general
2 2 18
0
x 

2
2
2
Dividiendo por el coeficiente de x 2
x2  9  0
Simplificando la expresión
x  3 x  3 
0
Factorizando la diferencia de cuadrados
x3  0 ; x  3  0
Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1   3 ; x2  3
 S    3, 3 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
4
PRÁCTICA Nº 2
Resuelva las ecuaciones cuadráticas siguientes, identificando qué forma tiene y aplicando el
método de factorización o extracción de raíces.
1) 7 x 2  14 x  0
2) 2 x 2  14 x  0
3) 3x 2  15 x  0
4) 5x 2  4 x  3x  x 2
5) 9 z 2  3z  0
6)
7) 4x  12x  3  x  3x  1
8)  y  6   36
9) 98 x 2  18  0
11) 3  x 2  2 x 2  1
2
12) 4 x 
10)
3t 2  2t
13)
x2 
16)
4x  14x  1
2
4
10
2

x  2  x 
3
3
3
 24
1
y  0
5
14)
y2 
17)
2m  32m  3
15)
 16
x  42 
8 x  24
9x  0
2 2
x  x  0
3
18) 3 y 2  27 y  0
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS: Las ecuaciones completas de
segundo grado se pueden resolver por varios métodos: Por el método de factorización, por el
método de completando cuadrados, por el método de la fórmula general, por el método de ensayo
y error y por el método de aspa simple (estos dos últimos métodos son importantes, aunque no se
contempla en el programa de Matemáticas). Las ecuaciones cuadráticas completas presentan
dos casos: cuando a  1 y cuando a  1
1. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR FACTORIZACIÓN
 ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA DE LA FORMA x 2  bx  c  0 , CUANDO a  1
Reglas: Para resolver la ecuación cuadrática por factorización, se procede así:
1) Escriba la ecuación en forma general. Así: ax 2  bx  c  0
2) Factorice el miembro izquierdo (o el primer miembro), en factores binomios de primer
grado.
3) Igualar a cero cada factor. Aplique el principio de que si un producto es cero, uno o más
de sus factores es igual a cero.
4) Resuelva cada ecuación de primer grado resultante.
EJEMPLOS POR FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA: x 2  bx  c  0
1) x 2  7 x  12  0
Solución:
x 2  7 x  12  0
x  4 x  3
Ecuación en su forma general
 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
x  4  0 ; x  3  0 Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1  4 ; x2  3
 S  3, 4 
2)
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
x 2  9 x  20  0
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
5
x 2  9 x  20  0 Ecuación en su forma general
Solución:
x  4 x  5
 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
x  4  0 ; x  5  0 Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1  4 ; x2  5
 S   4, 5 
3)
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
x 2  2 x  24
x 2  2 x  24  0 Ecuación en su forma general
Solución:
x  6 x  4
 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
x6  0 ; x  4  0
Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1  6 ; x2   4
 S    4, 6 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
 ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA DE LA FORMA ax 2  bx  c  0 , CUANDO a  1
Las ecuaciones cuadráticas completas, de la forma ax 2  bx  c  0 tienen varias formas de
resolverse: por el método de factorización, por el método de ensayo y error, aplicando la
fórmula general, completando cuadrados, o por el método de aspa simple.
EJEMPLOS APLICANDO FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA ax 2  bx  c  0
1) 2 x 2  7 x  15
Sol.: 2 x 2  7 x  15  0

Ecuación en su forma general

2 2 x 2  7 x  15
 0
2
2 x 2
Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 2
 72 x   30
 0
2
2 x  10 2 x  3
2
El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo
se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.
 0
Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
2  x  5 2 x  3
 0
2
Factorizando y simplificando uno de los factores
x  5 2x  3
Se iguala cada factor a cero
 0
x  5  0 ; 2x  3  0
Se despeja la x
2x   3
x1  5 ;
x2  
 3

: S   , 5 
 2

3
2
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
6
2) 12 x 2  11x  5
Solución: 12 x 2  11x  5  0


12 12 x 2  11x  5
 0
12
12 x 2
Ecuación en su forma general
Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 2
 1112 x   60
 0 El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo
12
se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.
12 x  15 12 x  4
12
 0
Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
3 4 x  5 4 3 x  1
 0
12
Factorizando y simplificando uno de los factores
4x  5 3x  1
Se iguala cada factor a cero
 0
4 x  5  0 ; 3x  1  0
4x  5
5
;
4
x1 
Se despeja la x
3x  1
x2  
1
3
 1 5
 S   , 
 3 4
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
3) 6 x 2  24 x  18
Solución: 6 x 2  24 x  18  0


6 6 x 2  24 x  18
 0
6
6 x 2
Ecuación en su forma general
Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 6
 24 6 x   108
 0 El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo
6
se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.
6 x  18 6 x  6
6
 0
Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
6 x  3 6 x  6
 0
6
Factorizando y simplificando uno de los factores
x  3 6x  6
Se iguala cada factor a cero
 0
x  3  0 ; 6x  6  0
Se despeja la x
x  3 ; 6x  6
x 1  3 ; x2  1
 S  1, 3 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Verificación:
Para x1  3
Para x2  1
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
7
6 x 2  24 x  18  0
6 x 2  24 x  18  0
6 3  24 3  18  0
6 1  24 1  18  0
54  72  18  0
6  24  18  0
0 0
0 0
2
2
6 9  72  18  0
6 1  24  18  0
PRÁCTICA Nº 3
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de factorización:
1)
x2  x  6  0
2)
x 2  18x  81  0
3)
2 x 2  5x  15  6 x
4)
5x 2  45x  27   3x
5)
x 2  10 x  21  0
6)
10 x 2  15x  14 x  21
7)
x 2  16 x  15  0
8)
x 2  11x  12  0
9)
x 2  16 x  39  0
10)
6 x 2  x  15  5x 2  13x
11)
8 x 2  32 x  12  3x
12)
x 2  8x  33  0
13)
12 x 2  32 x  8   3x
14)
6 x 2  18  0
15)
x2  x  2  0
16)
3xx  5  x  3x  2  18  0
18)
7x  5x  3  5x  3x  3  0
17)
x  4 x  2
3x  5


10
20
5
2
2. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETANDO CUADRADOS
De forma general, los procedimientos para completar cuadrado consisten en construir mediantes
operaciones algebraicas, un trinomio cuadrado perfecto (ya sea de la forma x 2  bx  c  0 o
ax 2  bx  c  0 ) a partir de un trinomio que no lo es, y luego reducir el resultado a un binomio al
cuadrado más o menos una constante.
Reglas:
1) Escribe la ecuación cuadrática en su forma general, es decir, en su forma: x 2  bx  c  0
2) Se transpone el término c al segundo miembro, es decir, el término independiente pasa a la
derecha y con signo contrario
3) Si la ecuación es de la forma: ax 2  bx  c  0 se divide cada término por el coeficiente de x 2 ,
es decir, por a
4) Se divide entre 2 el coeficiente que acompaña a x , es decir, por
b
esa expresión, es decir  
2
b
, buscamos el cuadrado de
2
2
5) Sumamos en cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término, es
2
b
decir, la expresión   y obtenemos en el miembro izquierdo un trinomio cuadrado perfecto.
2
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
8
6) Se factoriza el primer miembro del trinomio cuadrado perfecto (en un binomio) y se reduce el
segundo miembro de la ecuación.
7) Se extraen las raíces a ambos miembros y se resuelven las ecuaciones resultantes,
despejando la variable, que por lo general es x .
EJEMPLOS RESUELTOS POR EL MÉTODO DE COMPLETANDO CUADRADOS
1) 6 x 2  14 x  12  0
Sol.: 6 x 2  14 x  12  0
Ecuación en su forma general
6 x 2  14 x  12
Transponemos el término independiente c
6 2 14
12
x 
x 
6
6
6
Se divide por a , el coeficiente de x 2 , es decir, por 6
7
12
x 
3
6
x2 
Se simplifica
2
7
12
7
7
x  x  
 
3
6
6
6
2
2
Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del
coeficiente del segundo término
7
49 12
49
x2  x 


3
36
6
36
Se resuelve las potencias
7
72  49

x  6  
36


Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto de la
2
izquierda y se desarrolla el miembro derecho
7

x  6 


x
2

121
36
7
11
 
6
6 |
x  
Se despeja la variable x
11 7

6
6
x1 
11 7
11 7

x2   
;
6
6
6
6
x1 
11  7 4
11  7
18

x2  

;
6
6
6
6
x1 
2
3
Se extraen las raíces a ambos miembros
;
x2   3
2

 : S    3, 
3

Verificación:
Para x1   3
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Para x2 
2
3
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
9
6 x 2  14 x  12  0
6 x 2  14 x  12  0
6  23   14  23   12  0
2
6  3  14  3  12  0
2
6  94   14  23   12  0
6 9   14  3  12  0
24
9
54  42  12  0

54  54  0
28
3
 12  0
24  84  108
9
 0
0
9
 0
0 0
0 0
2) x 2  2 x  63  0
Sol.: x 2  2 x  63  0
Ecuación en su forma general
x 2  2 x  63
Transponer el término independiente c
x 2  2 x  1  63  1
2
2
Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficiente
del segundo término
x 2  2 x  1  63  1
Se resuelve las potencias
x  12
Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo
 64
x  12

Se extraen las raíces a ambos miembros
64
x  1  8
Se despeja la variable x
x   8 1
x1  8  1 ; x2   8  1
x1  7
; x2   9
Son las raíces
 S   9, 7 
El conjunto solución de la ecuación
Verificación:
Para x1   9
x 2  2 x  63  0
 92  2  9
Para x2  7
x 2  2 x  63  0
7 2  2 7 
 63  0
 63  0
81  18  63  0
49  14  63  0
81  81  0
63  63  0
0 0
0 0
3) x 2  10 x  16  0
Sol.: x 2  10 x  16  0
Ecuación en su forma general
x 2  10 x   16
Transponer el término independiente c
x 2  10 x  5   16  5 Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficiente
2
2
del segundo término
x 2  10 x  25   16  25
Se resuelve las potencias
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
10
 x  5 2
 9
x  52
Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo

Se extraen las raíces a ambos miembros
9
x 5  3
Se despeja la variable x
x   3 5
x1  3  5 ; x2   3  5
x1  8
; x2  2
Son las raíces
 S   2, 8 
El conjunto solución de la ecuación
Verificación:
Para x1  2
x 2  10 x  16  0
22  10 2
Para x2  8
x 2  10 x  16  0
82
 16  0
 10 8  16  0
4  20  16  0
64  80  16  0
20  20  0
80  80  0
0 0
0 0
4) x  12 x  35  0
2
Solución: x 2  12 x  35  0
Ecuación en su forma general
x 2  12 x   35
Transponer el término independiente c
x 2  12 x  6   35  6
2
2
Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del
coeficiente del segundo término
x 2  12 x  36   35  36
Se resuelve las potencias
x  62
Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo
 1
x  62

1
x 6  1
Se extraen las raíces a ambos miembros
Se despeja la variable x
x   1 6
x1  1  6 ; x2   1  6
x1  7
; x2  5
 S  2, 5 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
PRÁCTICA Nº 4
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de completar cuadrados y verificar
las raíces:
1) 3x 2  14 x  4  0
2) x 2x  5x  3 4  x
3) x x  1  30  8x
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
11
2x  1 20x  1 
6) 2 x 2  13x  14  x  14
4) x 2  8x  65
5)
2
7) x  12 x  35  0
2
8) 30 x  3x  9
2
9) 16 x  38 x  30
11) x  52x  3  2x  3
12) ´3x x  8  2 x  7  2
2x  5
2x  5
14) 3x  8  4 x  3
2
15) 2 x  3  4x  1x  3  x
2
10) 6 x  24 x   18
2
13) 16 x  38 x  30
25
2
2
3. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR LA FÓRMULA GENERAL
Cualquier método que se utilice para resolver una ecuación cuadrática dará siempre los mismos
resultados, pero hay ocasiones en que la ecuación no se puede factorizar, por lo que se aplica la
Se deduce algebraicamente de la ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0 ,
fórmula general.
precisamente por el método de completar trinomio cuadrado perfecto, en donde a es el
coeficiente que acompaña a la x 2 , b es el coeficiente de x y c es el término independiente,
veamos: ax 2  bx  c  0
Ecuación en su forma general
ax 2  bx   c
Se transpone el término independiente c
a 2
b
c
x  x 
a
a
a
Se divide cada término por a el coeficiente de x 2
b
x  x
a
2
x2 
2
c  b 
 b 
     
a  2a 
 2a 
2
b
b2
b2
c
x 2 

2
a
a
4a
4a
Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x
Se resuelve las potencias
b 2  4ac
b 

x



2a 
4a 2

2
Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo
b 2  4ac
b

 x  2a  
4a 2


2
x
Se extraen las raíces a ambos miembros
b 2  4ac
b
 
2a
4a 2
x 
b

2a
b 2  4ac
4a 2
Se despeja la variable x

b

2a
b 2  4ac
2a
Se resuelven las fracciones
Fórmula general de la ecuación cuadrática
Observación: La fórmula general de la ecuación cuadrática nos permite resolver cualquier
ecuación de segundo grado, aún aquellas de difícil factorización.
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
12
NATURALEZA DE LAS RAÍCES: En la fórmula general de la ecuación cuadrática, a la expresión
que aparece bajo el signo radical b 2  4ac se le denomina discriminante, el cual lo denotaremos
con la letra mayúscula D o con el símbolo matemático  y lo utilizamos para determinar la
naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática, las cuales son:

Si b 2  4ac  0 (discriminante positivo) es un cuadrado perfecto distinto de cero, las raíces
son reales, racionales y desiguales.
Pero si D  b 2  4ac  0 no es un cuadrado
perfecto distinto de cero, las raíces son reales, irracionales y desiguales.

Si b 2  4ac  0 (discriminante nulo) las raíces son reales, racionales e iguales y su valor
es 

b
2a
Si b 2  4ac  0 (discriminante negativo) las raíces no son reales, son complejas
(imaginarias conjugadas) y desiguales.
EJEMPLOS PARA DETERMINAR EL DISCRIMINANTE
1) Determine la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática: 4 x 2  4 x  1  0
Solución: Aquí se tiene que: a  4, b   4, c  1 por lo tanto el valor del discriminante será:
D  b 2  4ac
D   4  441
2
D  16  16  0
Conclusión: Como el discriminante es nulo, D  0 , se
deduce que las dos raíces de la ecuación cuadrática son
idénticas, y que el único valor es un número real. En este
caso se dice que las raíces son reales e iguales.
2) Determine la naturaleza de la ecuación cuadrática: 6 x 2  x  2  0
Solución: Aquí se tiene que: a  6, b   1, c   2 por lo tanto el valor del discriminante será:
D  b 2  4ac
D   1  46  2
2
D  1  48  49
Conclusión: Como el discriminante es D  49 y D  0 ,
entonces las dos raíces son reales y desiguales
3) Determine la naturaleza de la ecuación cuadrática: 2 x 2  5x  4  0
Solución: Aquí se tiene que: a  2, b   5, c  4 por lo tanto el valor del discriminante será:
D  b 2  4ac
D   5  424
2
D  25  32  7
Conclusión: Como el discriminante es D   7 y D  0 ,
entonces las dos raíces son imaginarias
EJEMPLOS RESUELTOS APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL
1) 2 x 2  3x  27  0
Sol.: 2 x 2  3x  27  0
x 
b 
Se identifica los valores de a  2, b  3, c  27
b 2  4ac
2a
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
13
x 
x 
x 
x 
 3 
32  4 2 27 
2 2
3 
9  216
4
3 
225
Como 225  0 , tiene raíz cuadrada exacta, entonces las
4
raíces serán reales, desiguales y racionales
 3  15
4
x1 
 3  15
 3  15
x2 
;
4
4
x1 
12
 18
x

2
4 ;
4
9
; x2   2
x1  3

Remplazando los valores en la fórmula general
Buscando las raíces
Son las raíces
 9

S   , 3
 2

El conjunto solución de la ecuación
2) 20 x 2  3x  2
Sol.: 20 x 2  3x  2  0
x 
x 
x 
x 
x 
b 
Se identifica los valores de a  20, b  3, c  2
b 2  4ac
2a
 3 
32  4 20 2
2 20
3 
Remplazando los valores en la fórmula general
9  160
40
3 
169
Como 169  0 , tiene raíz cuadrada exacta, entonces
40
las raíces serán reales, desiguales y racionales
 3  13
40
x1 
 3  13
 3  13
x2 
;
40
40
Buscando las raíces
x1 
 16
10 1
2
 ; x2 

40 4
40
5
Son las raíces

 2 1
S   , 
 5 4
El conjunto solución de la ecuación
3) 3x 2  4 x  23  0
Sol.: 3x 2  4 x  23  0
Se identifica los valores de a  3, b   4, c  23
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
14
b 
x 
b 2  4ac
2a
  4 
x 
4 
x 
 42  4 323
2 3
Remplazando los valores en la fórmula general
16  276
6
4 
x 
 260
Como  260  0 , entonces las raíces serán complejas y
6
4i 65
4 
x 
desiguales
2
Buscando las raíces
6
4  2i
x 
65
6

2 2  i 65
2  3
x 


x 
2 i
65
3
x1 
2  i 65
2  i 65
x2 
;
3
3
Son las raíces

 2  i 65 2  i 65 
S 
,

3
3


El conjunto solución de la ecuación
4) x 2  16  0
Sol.: x 2  16  0
x 
x 
x 
x 
x 
x 
b 
Se identifica los valores de a  1, b  0, c  16
b 2  4ac
2a
 0 
0 
02  4 116
2 1
0  64
2

 64
2
Como  64  0 , entonces las raíces serán complejas o
imaginarias y desiguales
i 64 

2
Buscando las raíces
2
 i
64
2
x 

x1  4i ; x2   4i

Remplazando los valores en la fórmula general
S    4i , 4i

 8i
2

x   4i
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
15
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Teoremas de Viéte: si x1 
b 
b 2  4ac
2a
x2 
y
b 
b 2  4ac
2a
son las raíces de la
ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0 , con a  0 entonces, cumplen o se verifican las siguientes
propiedades:
1) Teorema 1. La suma de raíces: equivale a la razón entre el opuesto del coeficiente del
segundo término y el coeficiente del primero, así:
x1  x2 
b 
b 2  4ac  b  b 2  4ac

2a
2a
b 
b 2  4ac  b 
x1  x2 
2a
 2b
b
x1  x2 

2a
a
b 2  4ac
2) Teorema 2. El producto de raíces: equivale a la razón entre el tercer término de la
ecuación y el coeficiente del primero, así:
x1  x2 
x1  x2 
b 
b 2  4ac  b  b 2  4ac

2a
2a
 b 2

b
2
 4ac
4a 2
b 2  b 2  4ac
x1  x2 
4a 2
b 2  b 2  4ac
x1  x2 
4a 2
4ac
c
x1  x2 

2
a
4a


2

3) Teorema 3. La diferencia de raíces: equivale a la razón entre la raíz cuadrada del
discriminante sobre del coeficiente del primer término, así:
x1  x2 
b 
x1  x2 
x1  x2 
x1  x2 
b 2  4ac  b  b 2  4ac

2a
2a
b 
b 2  4ac  b  b 2  4ac

2a
2a
b 
b 2  4ac  b 
2a
2 b 2  4ac

2 a
b 2  4ac
b 2  4ac


a
a
Estas anteriores propiedades se verifican en una ecuación cuadrática con coeficientes de
naturaleza arbitrarias (reales o complejas)
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
16
EJEMPLOS RESUELTOS APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
 Determina si los valores 3 y 7 son las raíces de la ecuación x 2  10 x  21  0
Sol.: La suma de las raíces debe ser igual al opuesto del coeficiente del segundo término, así:
x1  x2  3  7  10 y el producto es el término independiente de la ecuación: x1  x2  3  7  21
 3 y 7 si son las raíces de la ecuación x 2  10 x  21  0
 Determina si los valores
4
y  8 son las raíces de la ecuación 3x 2  20 x  32  0
3
3x 2 20 x 32
3


 0 por lo que resulta:
Sol.: La ecuación se debe dividir por
así:
3
3
3
x2 
20 x 32

 0.
3
3
La suma de las raíces debe ser igual al opuesto del coeficiente del
segundo término, así: x1  x2 

4
4
4  24
20
  8   8 

3
3
3
3
4
y  8 no son las raíces de la ecuación 3x 2  20 x  32  0
3
 Si los valores de las raíces son  5 y 7 determina la ecuación cuadrática
Sol.: Teniendo las dos propiedades, tendremos lo siguiente:
x1  x2   5  7  2
x1  x2    57    35
Como el coeficiente de x debe ser el opuesto de la suma de las raíces y el término
independiente su producto, podemos concluir lo siguiente;
 La ecuación cuadrática es: x 2  2 x  35  0
 Si x1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática 2 x 2  6 x  3  0 verifica que se cumplan
los tres Teoremas de Viéte:
Sol.: Teniendo las dos propiedades, tendremos lo siguiente:
x1  x2  
b
6
 3
a
2
x1  x2 
  b 2  4ac
  6  423  36  24  12
x1  x2 
2
 Si los valores de las raíces son
c 3

a 2

12 2 3


 3
a
2
2

3 3
y
determina la ecuación cuadrática
8
4
Sol.: Teniendo las dos propiedades, tendremos lo siguiente:
x1  x 2 
3 3 3  23 3  6 9
 


8 4
8
8
8
 3  3  9
x1  x 2     
 8  4  32
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
17
Como el coeficiente de x debe ser el opuesto de la suma de las raíces y el término
independiente su producto, podemos concluir lo siguiente;
 La ecuación cuadrática es: x 2 
9
9
x
 0
8
32
Para convertir esa ecuación resultante en una ecuación cuadrática entera debemos
multiplicar cada miembro por 32 así:
 
9 
 9 
32 x 2  32  x   32   320  32 x 2  36 x  9  0
8 
 32 
PRÁCTICA Nº 5
I. Determinar la naturaleza de las raíces o soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1) 3x 2  2 x  8  0
2) y 2  9 y  0
3) 6 x 2  x  2  0
4) 3z 2  5 z  2  0
5) 2 x 2  x  1  0
6) t 2  2t  1  0
7) x 2  4 x  5  0
8) 2 x 2  3x  4  0
9) 5m 2  10m  1  0
II. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general y determina la
naturaleza de las raíces:
10) 2 x 2  11x  15  0
11) 12 x 2  16 x  3  0
12) 81x 2  162 x  28  0
13) x 2  10 x  32  0
14) 55x 2  16 x  1  0
15) 5 x  3  24 x 2  21x  11
2
16) 6 x  x  2  0
2
17) 2 x  x  1  0
2
18) x  3x  2  0
2x
1
2
19) x  7  49  0
20)
2
22) 6 x  5 x  56
2
3x  1
3
  1
4
x
4x
1
2
21) 6 x  5  30  0
24) x  3  2 x  1  2 x
2
23) 4 x  11x  20  0
2
2
III. Determina si los valores dados son las raíces de las ecuaciones respectivas:
25)  4 y 7 son las raíces de x 2  3x  2  0
27)
IV.
2
4
2
y
son las raíces de 27 x  30 x  8  0
9
3
26)
1
2
2
y
son las raíces de 10 x  9 x  2  0
2
5
28) 
5
1
2
y
son las raíces de 72 x  54 x  5  0
6 12
Determina la ecuación cuadráticas para las raíces dadas:
29) 5 y  2
30) 
5
3
y
2 10
31) 
1
1
y 
3
2
32)
3
1
y
4
8
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
La ecuación cuadrática es de vital importancia en Matemáticas Aplicadas, Física e Ingeniería, y
en otras áreas, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y
cotidianos.
Para resolver problemas de aplicación de ecuaciones cuadráticas, debemos
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
18
entender la lógica del problema, identificando con una x (generalmente) a una de las variables
que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, es decir, se
debe transformar las frases en ecuaciones de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve
la ecuación. No existe un procedimiento o regla general para operar la parte lógica de este tipo
de problemas, sólo la práctica va dando la habilidad y destreza necesarias para esbozarlos y
resolverlos. Por eso sólo la experiencia mejora los resultados.
1 PROBLEMAS RESUELTOS
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como
una ecuación de segundo grado.
1) La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números.
Sol.: primero se asigna la variable x una de las incógnitas del problema; pero como hay 2
incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede
asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:
Sea x  el primer número. Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro
será: 10  x  que es el segundo número. La condición final del problema establece que la suma
de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces: x 2  10  x   58 Esta es la ecuación
2
a resolver y debemos aplicar algunas técnicas de Álgebra Elemental y luego reordenamos para
llegar a la fórmula conocida.
x 2  10  x   58
2


x 2  10  210x  x   58
2
2
Desarrollando el cuadrado de la diferencia de un binomio
x 2  100  20 x  x 2  58
Desarrollando el binomio
2 x 2  20 x  42  0
Ordenando y agrupando
x 2  10 x  21  0
Dividiendo entre 2 toda la ecuación
x  3x  7  0
Factorizando el trinomio
x 3  0 ; x 7  0
x  3;
x7
Se iguala cada factor a cero
Se despeja la x y esas son las raíces
Respuesta: los números buscados son 3 y 7.
2) Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13
años. Calcula la edad de Pedro.
Sol.: Sea x  la edad actual de Pedro
x  13  la edad hace 13 años de Pedro
x  11  la edad dentro de 11 años de Pedro
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
19
Como por condición, dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la
edad que tenía hace 13 años, eso significa que: x  11 
x  132
2
2 x  11  x  13
Desarrollando para eliminar el denominador
2 x  22  x 2  26 x  169
Efectuando las multiplicaciones
2 x  22  x 2  26 x  169  0
Pasando todo al primer miembro
 x 2  28x  147  0
Reduciendo y simplificando la ecuación
x 2  28x  147  0
Multiplicando por -1 toda la ecuación
x  21x  7  0
Factorizando el trinomio
x  21  0 ; x  7  0
Se iguala cada factor a cero
2
x  21 ;
x7
Se despeja la x
Respuesta: la solución x  7 se desecha, ya que x  13 no puede ser negativo, por lo
que se toma como única respuesta, la solución: x  21 . Es decir, la edad actual de Pedro
es 21 años.
3) El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el
largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.
Sol.: como el problema se trata de las dimensiones de una sala en forma de un rectángulo,
entonces sus dimensiones: Largo y ancho son diferentes. Luego, el problema permite que la
variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.
Supongamos que: x  ancho de la sala; como el largo es 3 metros mayor que el ancho, así es
que: x  3  largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos, así: x  x  3  Área de la sala
Como las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros, o sea x  3 y
el largo aumenta en 2 metros, es decir, x  3  2 así que, luego del aumento quedan:
x  3  nuevo ancho de la sala
x  5  nuevo largo de la sala
y
x  3  x  5  Nueva
área de la sala
Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:
x  3  x  5  2  x  x  3

x 2  5x  3x  15  2 x 2  3x

Desarrollando el producto de binomio
x 2  5x  3x  15  2 x 2  6 x
Efectuando las multiplicaciones
x 2  5x  3x  15  2 x 2  6 x  0
Pasando todo al primer miembro
 x 2  2 x  15  0
Reduciendo y simplificando la ecuación
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
20
x 2  2 x  15  0
Multiplicando por -1 toda la ecuación
x  5x  3  0
Factorizando el trinomio
x 5  0 ; x 3  0
Se iguala cada factor a cero
x  3
x  5;
Se despeja la x
Respuesta: la solución x   3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser
negativo, por lo que se toma como única respuesta que el ancho original es de 5 metros, o
sea x  5 .
Ahora como el largo original era x  3 entonces 5  3  8 metros, por lo tanto el
área original de la sala era de: 8m  5m  40m 2
4) Encuentra la ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 3 y  2 .
Sol.: Sea S la suma de las raíces y sea P el producto de las raíces, luego teniendo las dos
propiedades de las soluciones, se tiene que:
S  x1  x2  3   2  3  2  1
P  x1  x2   3 2   6
Respuesta: como
x 2  S x  P  0 entonces la ecuación de segundo grado es:
x2  x  6  0
5) Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado.
Las dimensiones están en metros.
Sol.: como el problema se trata de las dimensiones de un un
triángulo entonces, se cumple el Teorema de Pitágoras: "El
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos" ( c 2  a 2  b 2 ). La hipotenusa es el lado mayor 2 x  5 y los otros dos son los
catetos, se plantea entonces la ecuación:
x 2  6 x  9  x 2  8 x  16  2 x   2 2 x 5  5
Desarrollando el cuadrado de los binomios
x 2  6 x  9  x 2  8x  16  4 x 2  20 x  25
Efectuando las multiplicaciones
2 x 2  2 x  25  4 x 2  20 x  25
Reduciendo términos semejantes
2 x 2  2 x  25  4 x 2  20 x  25  0
Pasando todo al primer miembro
2
2
 2 x 2  18 x  0
Reduciendo términos semejantes
2 x 2  18 x  0
Multiplicando por -1 toda la ecuación
2 x  x  9  0
Factorizando el binomio
2x  0 ; x  9  0
Se iguala cada factor a cero
x 0;
x9
Se despeja la x
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
21
Respuesta: la solución x  0 se desecha, ya que entonces un cateto sería – 4 metros, lo cual no
es posible. La solución es entonces: x  9 , y de esta manera, el triángulo tendrá los siguientes
catetos: x  3  9  3  12 metros, x  4  9  4  5 metros y su hipotenusa será:
2x  5  29  5  18  5  13 metros. El área de un triángulo es base por altura dividido por 2; la
base y la altura son los dos catetos que están a 90°, por lo tanto el área es:
A
base  altura 5  12 60


 30 m 2 El perímetro de un triángulo es la suma de los lados, es
2
2
2
decir, P  5m  12m  13m  30 m .
6) Hallar dos números cuya suma es 39 y cuyo producto sea 380.
Sol.: Sea x  el primer número. Como la suma de ambos es 39, entonces necesariamente el
otro será: 39  x  el segundo número.
El producto de los dos números es 380, es decir: x  39  x  380
Luego, 39 x  x 2  380
 x 2  39 x  380  0
x 2  39 x  380  0
Ordenando
Multiplicando por -1 toda la ecuación y se identifica los valores
de a  1, b  39, c  380
x 
x 
x 
b 
  39 
39 
b 2  4ac
2a
 392  4 1380
2 1
Remplazando los valores en la fórmula general
1521  1520
2
39  1
2
39  1
x 
2
x 
Como 1  0 , entonces las raíces serán reales y desiguales
x1 
39  1
39  1
x

2
;
2
2
Buscando las raíces
x1 
40
38
 20 ; x 2 
 19
2
2
Son las raíces
Respuesta: los números buscados son 19 y 20.
7) Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.
Sol.: Cualquier número par puede expresarse de la forma 2 x . Como se trata del producto de
dos números pares consecutivos, entonces el otro número será: 2x  2
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
22
El producto de los dos números es 168, es decir: 2 x  2 x  2  168
Luego, 4 x 2  4 x  168
x 2  x  42  0
Dividiendo entre 4 toda la ecuación
x  7x  6  0
Factorizando el trinomio
x7  0 ; x 6  0
x  7 ;
Se iguala cada factor a cero
x6
Se despeja la x
Respuesta: si la solución es x   7 entonces los números son 2x  2 7  14 y el otro sería:
2x  2  2 7  2  14  2  12 , es decir los números son -12 y -14. Pero si la solución es
x  6 entonces los números son 2x  26  12 y el otro sería: 2x  2  26  2  12  2  14 ,
es decir los números son 12 y 14. Eso significa que el problema tiene dos soluciones.
8) Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene una solución igual a 3 y el término
independiente vale 15. Calcular la ecuación.
Sol.: Por ser 3 una solución de la ecuación, ésta se puede descomponer de la forma siguiente:
x  3x  x2   0
donde x 2 es la segunda solución de la ecuación. Luego, desarrollando
x 2  x x2  3x  3x2  0
Reorganizando la ecuación, se tiene que: x 2  x2  3 x  3x2  0 , el término independiente
3x2 y vale 15 , entonces: 3x2  15
x2 
15
 5
3
Luego, el producto es: x  3x  5  0
x 2  5x  3x  15  0
Respuesta: la ecuación es: x 2  8 x  15  0 .
9) Determinar el valor de m para la ecuación 2 x 2  4 x  m  0 tenga una raíz doble.
Sol.: Una ecuación de segundo grado tiene raíz doble si su discriminante es cero,   b 2  4ac  0
  4   42 m
2
16  8m  0
 8m   16
m
 16
2
8
Respuesta: la ecuación 2 x 2  4 x  m  0 tiene una raíz doble si m  2 .
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
23
10) Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en
104 cm 2 . Calcular el área y el perímetro del cuadrado inicial.
Sol.: Sea l el lado del cuadrado, entonces el área será: A  l 2
Si se aumenta en 4 cm el lado del cuadrado, es: l  4 , y su área será:
l  42
Al realizar la transformación, el área aumenta en 104 cm 2 , es decir:
l 2  104  l  4 
2
l 2  104  l  4
2
l 2  104  l 2  8l  16
l 2  104  l 2  8l  16  0
 8l  88  0
 8l  88
l
 88
 11
8
Respuesta: El área del cuadrado es: A  l 2  11cm   121 cm 2 y el perímetro del
2
cuadrado es: P  4  l  4  11cm  44 cm
11) Calcula la hipotenusa de rectángulo, sabiendo que las medidas de
sus lados son tres números consecutivos.
Sol.: Sea x el menor de los catetos, sea x  1 el cateto mediano y la
hipotenusa es el lado mayor del triángulo, es decir: x  2
Aplicando el Teorema de Pitágoras, c 2  a 2  b 2 se tiene que:
x  22  x  12  x 2
x 2  4x  4  x 2  2x  1  x 2
Desarrollando las potencias
x 2  4x  4  x 2  2x  1  x 2  0
Pasando todo al primer miembro
 x 2  2x  3  0
x 2  2x  3  0
x  3x  1  0
Reduciendo términos semejantes
Multiplicando por -1 toda la ecuación
Factorizando el trinomio
x3  0 ; x 1  0
Se iguala cada factor a cero
x  3;
Se despeja la x
x  1
Respuesta: la solución es x   1 se desecha, ya que entonces un cateto sería negativo, lo cual
no es posible. Luego la solución entonces es: x  3 , y de esta manera, el triángulo tendrá los
siguientes catetos: el menor x  3 , el mediano x  1  3  1  4 y la hipotenusa será:
x  2  3 2  5 .
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
24
12) En un rectángulo la base mide el triple que la altura.
Si
disminuimos en 1 cm cada lado, el área inicial disminuye en
15 cm 2 .
Calcula las dimensiones y el área del rectángulo
inicial.
Solución: Sea x la altura del rectángulo, entonces según la
condición: 3x será la base, por lo que su área será: 3 x  x  A
Si disminuimos en 1 cm cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm 2 es decir,
3x 1  x 1  A 15 trabajando la ecuación, se tiene que:
3x 1  x 1  3x  x 15
Reemplazando el valor de área
3x 2  3x  x  1  3x 2  15
Efectuando las multiplicaciones
3x 2  3x  x  1  3x 2  15  0
Pasando todo al primer miembro
 4x  16  0
Reduciendo términos semejantes
 4 x   16
x
 16
4
4
Despejando la variable
Respuesta: la altura es x  4 , es decir, 4 cm y la base será: 3x  3 4cm  12cm y el ´área del
rectángulo es: A  3x  x  3 x 2  34 cm   3 16 cm 2   48 cm 2
2
13) Determinar el valor de k , de modo que las dos raíces de la ecuación x 2  kx  36  0 sean
iguales.
Solución: Una ecuación de segundo grado tiene las raíces iguales si su discriminante es cero,
  b 2  4ac  0
k 2  4136  0
k 2  144  0
k 2  144
k 2  144
k   12
Respuesta: en la ecuación x 2  kx  36  0 para que las dos raíces sean iguales el valor
de k es: k  12 y k  12 .
14) La suma de dos números 5 y su producto es -84. Hallar dichos números.
Solución: Usando la expresión x 2  S x  P  0 por las propiedades de las raíces, se tiene que,
la ecuación será: x 2  5 x  84  0
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
25
x 2  5x  84  0
x 
x 
x 
  5 
5 
x 
b 
Se identifica los valores de a  1, b   5, c   84
b 2  4ac
2a
 52  4 1 84
2 1
Remplazando los valores en la fórmula general
25  336
2
5 
361
2
5  19
x 
2
Como
361  0 , las raíces son reales y desiguales
x1 
5  19
5  19
x

2
2 ;
2
Buscando las raíces
x1 
24
 14
 12 ; x 2 
 7
2
2
Son las raíces
Respuesta: los números buscados son -7 y 12.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La suma de dos números es 12 y la suma de sus cuadrados es 109. Halle ambos números.
2. Dentro de 20 años la edad de Miguel será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 4
años. Calcula la edad de Miguel.
3. La altura de un triángulo rectángulo es 2 cm menor que la base, su área es de 684 cm 2.
¿Cuáles son las medidas de las dimensiones: la base y de la altura del triángulo?
4. Hallar las dimensiones de un salón de reuniones en forma rectangular, si la altura es igual a lo
que mide su base meno 55 m y su área es de 750 m 2. ¿Cuáles son las medidas de las
dimensiones: la base y de la altura del salón?
5. Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado.
Las dimensiones están en metros.
6. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea
224
7. Determinar el valor de k , de modo que las dos raíces de la
ecuación x 2  kx  25  0 sean iguales.
Respuestas: 1) Los números son 5 y 7 2) Miguel tiene 12 años 3) La base es de 38 cm y la
altura de 36 cm
4) La base es de 30 m y la altura de 25 m
5) El área es de 24 m 2 y el
perímetro es de 24 m 6) Tiene dos soluciones: los pares de números -16 y -14 pero también se
cumple para 14 y 16. 7) El valor de k es: k  10 y k  10 .
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
26