Download La demostración

Document related concepts

Demostración en matemática wikipedia , lookup

Teorema de Pitágoras wikipedia , lookup

Teorema del coseno wikipedia , lookup

Inducción matemática wikipedia , lookup

Teorema del punto fijo de Brouwer wikipedia , lookup

Transcript
3
La demostración
Pág. 1
La demostración en matemáticas (álgebra)
Tal vez los alumnos y alumnas hayan demostrado, en alguna ocasión, alguna fórmula o alguna propiedad matemática, o hayan contemplado su demostración. Como sabemos, para ellos, el proceso no es muy sencillo.
En las próximas páginas se va a analizar en qué consiste una propiedad matemática
y cuáles son las características de una demostración.
Además, se ofrece una demostración sencilla de una propiedad de naturaleza algebraica y se recomienda, como actividad, el demostrar algunas otras.
Aunque se han escogido ejemplos especialmente sencillos y bonitos, esta parte de
demostración puede que solo resulte útil a aquellos estudiantes que sean algo aficionados a las matemáticas o que se esfuercen considerablemente en entenderla y practicarla a fondo.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
La demostración
Pág. 2
Propiedades matemáticas
Las matemáticas están plagadas de propiedades, es decir, relaciones entre distintos
elementos que se verifican en casos perfectamente determinados. A veces se las llama leyes y, otras veces, teoremas. A continuación ponemos algunas.
I.
II.
III.
IV.
a n · b n = (a · b) n
Si dos números son múltiplos de n, entonces su suma también lo es.
Los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de sus extremos.
Teorema de Pitágoras
Si a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y b, c son sus catetos,
entonces se verifica que a 2 = b2 + c2.
Todas las propiedades matemáticas tienen una estructura similar:
HIPÓTESIS
CONDICIONES PREVIAS
TESIS
ò
CONCLUSIÓN
Veamos, como ejemplo, cómo se enunciarían las propiedades II y III de arriba según esta estructura:
A y B son múltiplos de n
P es un punto de la mediatriz de
AB (es decir, la perpendicular
desde P a AB corta al segmento
en su punto medio).
ò
ò
A + B es múltiplo de n
— —
PA = PB
En muchos casos, la propiedad se confunde con la tesis. Es el caso I.
En esta propiedad la hipótesis podría ser:
a y b son números racionales y n es un número natural.
El símbolo fi , que se lee implica, significa que lo que hay a su derecha es consecuencia lógica (se deduce) de lo que hay a su izquierda. La constatación de este hecho, es decir, la cadena de argumentos por la cual se ve que de la hipótesis se deduce la tesis, es lo que se llama demostración de la propiedad.
Actividad
1. Enuncia las propiedades I y IV mediante la estructura HIPÓTESIS ò
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
TESIS.
3
La demostración
Pág. 3
En qué consiste una demostración
Veamos algunas demostraciones para analizar sus características.
Demostración de la propiedad I
En cada transformación se ha aplicado una propiedad. En la primera y en la tercera
se ha tenido en cuenta, sencillamente, la definición de potencia. Pero en la segunda,
para romper paréntesis y reagrupar, se aplican las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación.
Demostración del teorema de Pitágoras
b
b
c
c
a
b
a
b
c
b
a
b2
c
a2
b
b
b
c
c2
a
c
b
Esta demostración ya la habrás visto en algún libro de texto, observando que si en
cada uno de los cuadros grandes suprimimos cuatro triángulos, quedan áreas iguales.
Sin embargo, para probar que el área que queda a la derecha es a2 tendríamos que
estar seguros de que el ángulo señalado con una flecha es de 90°. Esto se demuestra
viendo que los otros dos contiguos a y b suman 90° porque a + b + 90° = 180°.
En esta demostración se ha tenido en cuenta que la suma de los ángulos de un
triángulo es 180°.
En general, para efectuar una demostración hemos de hacer una serie de razonamientos que permitan ver que siempre que ocurre lo que dice la hipótesis tiene que
ocurrir lo que afirma la tesis. En esos razonamientos se utilizan definiciones y otras
propiedades que ya se dan por sabidas.
En las próximas páginas vas a encontrar varias propiedades matemáticas (de aritmética, álgebra, geometría y estadística). Las demostraciones se efectúan meticulosamente. Se pretende que las comprendas y apliques caminos parecidos para demostrar las que se te proponen más adelante.
Es muy importante que siempre tengas muy claro cuál es la hipótesis, cuál la tesis y
qué propiedad aplicas en cada paso de tu argumentación.
Actividad
1. Intenta demostrar las propiedades II y III.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
La demostración
Pág. 4
Demostración de propiedades algebraicas
Obtengamos la expresión de las raíces de una ecuación de segundo grado.
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ò x =
–b ± √b2 – 4ac
2a
Para ello hemos de despejar la x en la ecuación inicial:
ax2 + bx + c = 0
➤
..
.....................
Multiplicamos todo por a para que el término en
x2 sea un cuadrado perfecto: a 2x 2 = (ax) 2.
a2 x2 + abx + ac = 0
➤
..
.....................
4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0
➤
..
.....................
Multiplicamos todo por 4 para que el segundo término se vea como doble producto:
4abx = 2(2ax)b
4a 2x 2 = (2ax) 2
Sumamos b 2 en los dos miembros para completar
en el primer miembro el cuadrado de una suma.
(2ax) 2 + 2(2ax)b + b 2 + 4ac = b 2
➤
..
.....................
(2ax) 2 + 2(2ax)b + b 2 = (2ax + b) 2.
Pasamos 4ac al segundo miembro.
(2ax + b) 2 = b 2 – 4ac
➤
..
.....................
Extraemos la raíz cuadrada en los dos miembros
sin olvidar el doble signo, ± , en uno de ellos.
2ax + b = ± √b2 – 4ac
➤
..
.....................
x=
Despejamos, finalmente, la x.
Esta es la expresión a la que queríamos llegar.
–b ± √b2 – 4 ac
2a
Actividades
1. Repite la demostración anterior justificando cada paso.
2. Deduce, paso a paso, una fórmula para despejar x en las ecuaciones de tipo
x 2 – mx + n = 0.
3. Demuestra que si x1 y x2 son las dos raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0,
entonces x1 + x2 = – ab y x1 · x2 = ac .
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
La demostración
Pág. 5
4. Si x es un número positivo, se cumple que x + 1 es mayor o igual a 2.
x
( )
Demuestra que x + 1
x
2
( )
–4= x– 1
x
2
y razona a partir de aquí.
Ayuda: Observa la interpretación geométrica:
El rectángulo de dimensiones x y 1/x tiene área 1.
x
1/x
Interpreta esta figura de la derecha y relaciónala con la propiedad que se
quiere demostrar.
x
1/x
x
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
1/x