Download Exposición del teorema de Pitágoras y semejanza

Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza
Material necesario:
Escuadra
Cartabón
Regla
Transportador de ángulos
Compás
Calculadora
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8.1 Teorema de Pitágoras
Página 172 Actividades
1.
Comparando el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos,
comprueba si cada triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.
a) 26 cm, 24 cm, 10 cm
lado mayor 26cm 26 2 676
lados menores
10cm
10 2
100
24cm
24 2
576
100
576
676
Comparamos: 676 676
Entonces el triángulo es rectángulo.
d) 15 dam, 17 dam, 8 dam
lado mayor 17 dam 17 2 289
lados menores
15 dam
15 2
225
8 dam
82
64
225
64
289
Comparamos: 289 289
Entonces el triángulo es rectángulo.
g) 33 m, 28 m, 33 m
lados mayores
33 m
33 2
1089
33 m
33 2
1089
1089
1089
2178
lado menor 28 m 28 2 784
Comparamos 784 2178
Entonces es un triángulo acutángulo
Tareas 15-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 1
Página 173 Actividades
2
Halla la longitud de la hipotenusa.
1
Conocemos los dos catetos y queremos calcular la hipotenusa:
1. a
b2 c2
15 2 36 2
225 1296
1521
39
La hipotenusa mide 39 cm
3 Halla la longitud del cateto desconocido.
Conocemos un cateto y la hipotenusa, hemos de calcular el otro cateto.
c
a2 b2
37 2 12 2
1369 144
1225
35 cm
Tareas 16-04-2013: 4 y 5 de la página 173
8.2 Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
Tareas 16-04-2013: todos los ejercicios de la página 175
8.3 Figuras semejantes
Ejemplo
Consideramos los siguientes triángulos rectángulos construidos con el cartabón.
2
Consideramos los siguientes cocientes de los lados respectivos:
a
7
1. 4
a
5
8. 06
b
1. 382 5 1. 4
5. 83
b
c
4
1. 333 3 1. 3
c
3
Este número fruto del cociente de los lados de la segunda figura entre los respectivos de la
primera es la razón de semejanza que transforma la primera figura en la segunda.
Calculamos la áreas de nuestro triángulos rectángulos:
5 3
15
Área triángulo 1 base altura
7. 5 cm 2
2
2
2
7 4
Área triángulo 2 base altura
14 cm 2
2
2
Como antes hemos dividido grande entre pequeño, ahora hacemos lo mismo:
14
1. 866 7 1. 9
7. 5
Calculamos su raíz cuadrada 1. 9
1. 378 4 1. 4
Se cumple que la rázon de semejanza de las áreas es el cuadrado de la rázon de semejanza de los
lados.
Ejemplo
Consideramos los siguientes prismas de base rectangular.
Vamos a considerar los cocientes de los lados respectivos de los dos prismas (las medidas de los lados
pequeños entre los grandes):
3
a
2. 24
0. 501 12
a
4. 47
3
b
0. 5
6
b
4
c
0. 5
c
8
Resulta que la razón de semejanza del primer prisma respecto del segundo es 0. 5.
Vamos a calcular los volúmenes de los dos prismas:
Volumen prisma pequeño 2. 24 3 4 26. 88 cm 3
Volumen prisma grande 4. 47 6 8 214. 56 cm 3
Ahora hacemos el cociente del pequeño entre el grande, pensando en volúmenes: 26. 88
0. 125 28
214. 56
Por otro lado, calculamos el cubo de la razón de semejanza: 0. 5 3 0. 125
Se cumple que la razón de semejanza de sus volúmenes es el cubo de la razón de semejanza de los
lados.
Tareas 23-04-2013: todas las actividades de la página 177
Tareas 23-04-2013: todas las actividades de la página 178
8.4 Planos, mapas, maquetas.
Ejemplo de la página 179
Distancia Algeciras a Ceuta
En el mapa 6 mm
En la realidad 29 km
29 km
29000000 mm
29000000
4 833 300
6
6 mm
6 mm
No nos queda 4500000 pues no hemos medido muy bien con la regla sobre el mapa.
Distancia entre Ceuta y Melilla
En el mapa 5 cm
En la realidad 225 km
225 km
22500000 cm
22500000
4. 5 10 6 4500000
5
5 cm
5 cm
Aquí claramente hemos medido mejor sobre el mapa.
Ejemplo de la página 180
Vamos a calcular la superficie de la cocina.
La cocina es un rectángulo, por lo que su superficie será el largo por el ancho.
El largo es 4 m en la realidad.
¿El ancho?
En el plano el ancho de la cocina es 2. 4 cm. En la realidad será 2. 4 100 240. 0 cm 2. 40 m
Por lo tanto, la superficie de la cocina será 4 2. 4 9. 6 m 2
PÁGINA 180 EJERCICIOS
2
En este plano, la distancia real entre los puntos A y B es de 120 m. Obtén la escala a la que
está el plano y las distancias reales entre BC, BD y CA.
En el plano la distancia entre los puntos A y B es 5 cm.
120 m
12000 cm
12000
La escala saldrá de
2400
5
5 cm
5 cm
La escala es 1 : 2400
Distancia real BC
Distancia en el plano BC 2 cm
Distancia en la realidad es 2 2400 4800 cm 48 m
Distancia real BD
Distancia en el plano BD 4. 3 cm
Distancia en la realidad es 4. 3 2400 10320. 0 cm 103. 2 m
4
Distancia real CA
Distancia en el plano CA 6. 1 cm
Distancia en la realidad es 6. 1 2400
Tareas 24-04-2013: 1,3
14640. 0 cm 146. 4 m
8.5 Teorema de Tales
Página 181 Actividades
Tareas 25-04-2013: todos los ejercicios de la página 181
8.6 Semejanza de triángulos
Un criterio de semejanza de triángulos (página 182 triángulos a la izquierda)
Triángulo Grande
Triángulo pequeño
ángulo A
40º
ángulo A
40º
ángulo B
110º
ángulo B
110º
ángulo C
30º
ángulo C
30º
lado AB
lado A B
lado BC
lado B C
lado CA
lado C A
Se comprobará de esa forma que:
ángulo A
ángulo A
ángulo B
ángulo B
ángulo C
ángulo C
Y hemos de calcular las razones:
AB
AB
BC
BC
CA
CA
Entonces la razón de semejanza es r
0. 6
Por lo tanto los tríangulos son semejantes.
Tareas 30-04-2013; todos los ejercicios de la página 182
Ejemplo de semejanza de triángulos rectángulos
1º Ejemplo
Vamos a construir dos triángulos rectángulos a partir de sus catetos:
uno que tenga de catetos 2 y 3 cm ABC siendo el ángulo recto A
otro que tenga de catetos 6 y 9 cm A B C siendo el ángulo recto A
5
Vamos a comprobar que son semejantes, para ello vamos a medir uno de los ángulos agudos.
Medimos
triángulo ABC
A
90º
C
35º
triángulo A B C
A
90º C
35º
Entonces como tienen dos ángulos respectivos iguales, son semejantes.
2º Ejemplo
Vamos a construir dos triángulos rectángulos a partir de un cateto y la hipotenusa:
uno que tenga de catetos 3 cm y de hipotenusa 5 cm ABC siendo el ángulo recto A
uno que tenga de catetos 6 cm y de hipotenusa 10 cm A B C siendo el ángulo recto A
Vamos a comprobar que son semejantes, para ello vamos a medir uno de los ángulos agudos.
Medimos
triángulo ABC
A
90º
B
53º
triángulo A B C
A
90º B
53º
Entonces como tienen dos ángulos respectivos iguales, son semejantes.
Tareas 30-04-2013: todos los ejercicios de la página 183
8.7 Aplicaciones de la semejanza de triángulos
Tareas 06-05-2013: todas las actividades de la página 184
PÁGINA 184 ACTIVIDADES
1.
6
Como estamos estudiando las sombras en el mismo momento, tenemos dos triángulos
rectángulos que tienen la siguiente relación entre los ángulos respectivos:
 Â
Ĉ Ĉ
Entonces esos triángulos son semejantes. En particular se cumple que:
CB
AB
AB
CB
Tareas 06-05-2013: todas las actividades de la página 185
8.8 Construcción de una figura semejante a otra
Ejemplo 1
Construimos un cuadrilátero pequeño ABCD en la izquierda de la hoja, no al lado del margen. Pintamos
un punto E junto al margen de la izquierda. Desde este punto trazamos semi-rectas que pasen por los
vértices del cuadrilátero. Medimos los cuatro segmentos EA, EB, EC, ED para luego marcar puntos
G, F, H, I sobre cada una de las semi-rectas respectivas de forma que se cumpla que:
EG
2EA
EF
2EB
EH
2EC
EI
2ED
En ambos cuadriláteros medimos los lados.
En el cuadrilátero ABCD medimos los lados:
En el cuadrilátero FGHI medimos los lados:
BC
CD
DA
1 es la razón de semejanza
Se cumple que AB
HI
IF
GH
2
FG
7
Ejemplo 2
Construimos un triángulo grande ABC en la derecha de la hoja, cerca del margen. Pintamos un punto D
junto al margen de la izquierda. Desde este punto trazamos semi-rectas que pasen por los vértices del
triángulo. Medimos los tres segmentos DA, DB, DC para luego marcar puntos E, F, G sobre cada una de
las semi-rectas respectivas de forma que se cumpla que:
DA
DE
4
DB
DF
4
DC
DG
4
En el triángulo ABC medimos los lados:
En el triángulo EFG medimos los lados:
Se cumple que AB
AB
BC
BC
CA
CA
4 es la razón de semejanza
EJERCICIOS FINALES DEL TEMA
1.
Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:
Como el triángulo ABC es rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras, es decir;
hipotenusa 2 cateto 2 cateto 2
En particular en nuestro caso es: hipotenusa 2 14 30 44 cm 2 es el área del otro cuadrado.
Tareas 08-05-2013: 1(figura derecha), 2
3 Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo.
a) 15 cm, 10 cm, 11 cm
8
Hay que calcular los cuadrados de los lados:
15 2
225
2
100
11 2
121
10
225
100
121
221 entonces es obtusángulo
b) 35 m, 12 m, 37 m
Hay que calcular los cuadrados de los lados:
35 2
12
2
37 2
1225
144
1369
1225
144
1369 entonces es rectángulo.
1369
Tareas 08-05-2013: 3(c,d,e,f,g)
4 Calcula el lado desconocido en cada triángulo:
Como el triángulo es rectángulo se puede aplicar el Teorema de Pitágoras:
b2 a2 c2
65 2 16 2 c 2
4225 256 c 2
c 2 4225 256 3969
c
3969
63 mm
Tareas 08-05-2013: 4(figura izquierda), 5
7
Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5.8 cm, y uno de sus lados, 4cm.
El triángulo ABC es rectángulo, por lo que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.
9
AC 2 AB 2 BC 2
5. 8 2 AB 2 4 2
33. 64 AB 2 16
AB 2 33. 64 16 17. 64
AB
17. 64
4. 2 cm
El perímetro es la suma de todos los lados:
4. 2 2 4 2 8. 4 8 16. 4 cm
Tareas 09-05-2013: 8
9 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, el lado oblicuo mide 10
dm. Calcula la altura.
Podemos aplicar en el triángulo rectángulo BEC el Teorema de Pitágoras:
BC 2 BE 2 CE 2
10 2 BE 2 6 2
100 BE 2 36
BE 2 100 36 64
BE
64
8 dm es la altura.
Tareas 09-05-2013: 10,11
12 Halla la longitud x en cada uno de las siguientes figuras.
C)
Tenemos el triángulo rectángulo GHB donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: x sería
la apotema del hexágono regular (perpendicular desde el centro del polígono a uno de sus
lados)
10
GB 2 GH 2 HB 2
22 x2 12
4 x2 1
x2 4 1 3
x
3
1. 732 1 1. 7 km
Atención: como se trata de un hexágono regular, el radio coincide con el lado. Además, la
apotema divide al lado en dos partes iguales.
Tareas 09-05-2013:12(a,b,d)
13 En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello,
tendrás que calcular la medida de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo,...) . Si no
es exacta, hállalo con una cifra decimal.
a) Se trata de un trapecio rectángulo.
Desconocemos uno de los lados, por lo que tendremos que calcularlo. Para poder aplicar el
Teorema de Pitágoras, habremos de construir un triángulo rectángulo.
Trazamos el tríangulo rectángulo AED; en el podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
AD 2 AE 2 DE 2
2. 9 2 2 2 DE 2
8. 41 4 DE 2
DE 2 8. 41 4 4. 41
DE
4. 41
2. 1 m
Entonces el perímetro P 2. 9 20 18 2. 1 43. 0 m
Área area del triángulo rectángulo área del rectángulo
base altura base altura
2 2. 1 2. 1 18 2. 1 37. 8 39. 9 m 2
2
2
Tareas 13-05-2013: 13(b), 14
15
11
Área de los cuatro segmentos circulares área círculo área cuadrado 78. 5 50. 4 28.
1 cm 2
área círculo
r2
5 2 25
78. 540 78. 5 cm 2
área cuadrado l 2 7. 1 2 50. 41 50. 4 cm 2
Como no lo conocemos, hemos de aplicar el Teorema de Pitágoras en un triángulo
rectángulo.
Como estamos trabajando en un cuadrado, el triángulo DCE es rectángulo isósceles
(DE EC .
DC 2 EC 2 DE 2
DC 2 5 2 5 2 25 25 50
DC
50
7. 071 1 7. 1 cm
Perímetro segmento circular Perímetro círculo Perímetro cuadrado 31. 4 28. 4 59. 8
cm
Perímetro círculo 2 r 2 5 31. 416 31. 4 cm
Perímetro cuadrado 4 7. 1 28. 4 cm
Tareas 13-05-2013: 16,17,18
Tareas 14-05-2013: 24
25 Dibuja en tu cuaderno una figura como la siguiente y amplíala el doble de su tamaño
proyectándola desde el punto exterior, E:
Trazamos semi-rectas partiendo de E y pasando por cada uno de los cuatro vértices de la punta de
flecha. Medimos las distancias AE, BE, CE, DE. Sobre cada una de las semi-rectas
determinamos,respectivamente, puntos F, G, H, I de forma que:
12
FE
2AE
GE
2BE
HE
2CE
IE
2DE
Al unir los cuatro puntos así determinados, nos queda la figura pedida.
Tareas 14-05-2013: 26
28 Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan.
Triángulo grande falta B
Triángulo pequeño falta B , Ĉ , a , b
En el triángulo grande aplicamos que la suma de los ángulos interiores es 180º :
B 180 33 51
180 84 96º
Como los triángulos son semejantes se cumple que los ángulos respectivos son iguales.
B
B 96º
Ĉ
Ĉ 51º
Sólo nos falta por calcular los lados del triángulo pequeño.
c
20 producto de medios es igual a producto de extremos c
20 51
51
c
51
40
40
2
25. 5 m
b
b
20 producto de medios es igual a producto de extremos b
20 73
73
40
40
73
36. 5 m
2
29 Explica por qúe estos dos triángulos isósceles son semejantes:
Se dice que un triángulos es isósceles si tiene dos lados iguales; por lo que, también se cumple
que tiene dos ángulos iguales.
En los triángulos que nos dan, se cumple que tienen el ángulo desigual que vale 20º. Por lo que
la suma de los otros dos será 180 20 160º, por lo que cada uno de ellos mide 160
80º.
2
Por lo tanto, tenemos dos triángulos que tienen sus tres ángulos respectivos iguales; entonces
esos dos triángulos son semejantes.
Tareas 16-05-2013:30
32 La altura de la puerta de la casa mide 3 m. ¿Cuál es la altura de la casa? ¿Y la del árbol más
alto?
¿Cuál es la altura de la casa?
En el dibujo la puerta mide 1 cm que en la realidad son 3 m.
En el dibujo la casa mide 2.6 cm que en la realidad son 2. 6 3 7. 8 m
¿Y la del árbol más alto?
En el dibujo el árbol más alto mide 2.5 cm que en la realidad son 2. 5 3 7. 5 m
33 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm por 15 cm. El lado menor de otro rectángulo
semejante a él mide 12 cm. Halla:
a) La razón de semejanza para pasar del primer al segundo rectángulo.
6
La razón de semejanza es 12
1. 2
5
10
Atención: se está pasando de una figura pequeña a otra más grande.
b) El lado mayor del segundo.
Como tenemos la razón de semejanza del pequeño al grande será 15 1. 2 18. 0 cm
c) Las áreas de ambos rectángulos.
Área rectángulo pequeño 10 15 150 cm 2
Área rectángulo grande 12 18 216 cm 2
13
Tareas 16-05-2013: 34
35 Se cae un poste de 14.5 m de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 m de él. ¿Cuál es la
altura a la que lo golpea?
Esquemáticamente tenemos el siguiente triángulos rectángulo:
Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular el cateto que falta:
AC 2 CB 2 AB 2
14. 5 2 CB 2 10 2
CB 2 210. 25 100
CB
110. 25
10. 5 m es la altura a la que golpea el edificio.
36 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de altura en medio de una cuerda de
34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. ¿A qué
distancia del suelo queda la estrella?
14