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Problemas de ecuaciones:
1. Sean dos cubos cuyas aristas se diferencian en 2 cm. y sus volúmenes en 56 cm3. Calcula las
aristas.
2. Si los dos lados de un rectángulo se alargan en 2 cm. cada uno, el perímetro vale 24 cm.
Sabiendo además que la diferencia de los lados es 2 cm. ¿cuánto miden los lados del
rectángulo?
3. Calcula las dimensiones de un rectángulo conociendo su diagonal 17 m. y su superficie 120 m2.
4. La diagonal de un rectángulo mide 26 cm. y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo.
5. La diagonal de un rectángulo mide 26 m. y su superficie 240 m2. Halla los lados del rectángulo.
6. Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 1296.
7. Halla dos números consecutivos cuyo producto es 380.
Problemas de ecuaciones:
1. Sean dos cubos cuyas aristas se diferencian en 2 cm. y sus volúmenes en 56 cm 3 . Calcula
las aristas.
Solución:
Llamamos x a la arista del primer cubo.
Llamamos y a la arista del segundo cubo.
x− y =2 
 x = 2 + y;
3
x − y 3 = 56 
(2 + y )3 − y 3
x− y =2 

x 3 − y 3 = 56 
= 56 ; 2 3 + 3·4· y + 3·2· y 2 + y 3 − y 3 = 56 ; 8 + 12 y + 6 y 2 = 56 ;
6 y 2 + 12 y + 8 − 56 = 0; 6 y 2 + 12 y − 48 = 0; y 2 + 2 y − 8 = 0;
y=
− 2 ± 4 + 32 − 2 ± 6  y1 = 2
=
⇒ La única solución que nos sirve es y = 2; x = 4
;
2
2
 y 2 = −4
Por tanto, las soluciones serán 4 y 2
2. Si los dos lados de un rectángulo se alargan en 2 cm. cada uno, el perímetro vale 24 cm.
Sabiendo además que la diferencia de los lados es 2 cm. ¿cuánto miden los lados del
rectángulo?
Solución:
Llamamos x al lado mayor.
Llamamos y al lado menor.
2·( x + 2 ) + 2·( y + 2 ) = 24 

x− y =2

2 x + 4 + 2 y + 4 = 24  2 x + 2 y = 24 − 8 2 x + 2 y = 16  x + y = 8 



x = 2+ y
x− y =2
x− y =2

 x − y = 2  x − y = 2
6
2 + y + y = 8; 2 y = 8 − 2 ; 2 y = 6 ; y = ; y = 3
2
x = 2 + 3; x = 5
Por tanto, las soluciones serán 5 y 3
3. Calcula las dimensiones de un rectángulo conociendo su diagonal 17 m. y su superficie 120
m2.
Solución:
Llamamos x al lado mayor.
Llamamos y al lado menor.
x 2 + y 2 = 17 2 
120
 x=
y
x· y = 120 
x 2 + y 2 = 17 2 

x· y = 120 
2
 120 
14400
14400 + y 4
2

 + y 2 = 289 ;
+ y = 289 ;
= 289 ; 14400 + y 4 = 289 y 2 ;
2
2
y
y
 y 
y 4 − 289 y 2 + 14400 = 0;
 2 450
 y =
= 225 ⇒  1
 y1 =
2
289 ± 83521 - 4·14400 289 ± 161

 y2 = −
=
⇒
y2 =
2
2
 y 2 = 128 = 64 ⇒  y 3 =

 2
2
 y4 = −

225 = 15
225 = −15
64 = 8
64 = −8
Por tanto, las soluciones serán 8 y 15
4. La diagonal de un rectángulo mide 26 cm. y el perímetro 68 cm. Halla los lados del
rectángulo.
Solución:
Llamamos x al lado mayor.
Llamamos y al lado menor.
x 2 + y 2 = 26 2 

2 x + 2 y = 68 
x 2 + y 2 = 26 2 
 x = 34 − y
x + y = 34 
(34 − y )2 + y 2 = 676; 34 2 - 2·34·y + y 2 + y 2 = 676; 1156 - 68y + 2 y 2 = 676;
2 y 2 − 68 y + 480 = 0
120

 y1 = 4 = 30
68 ± 4624 - 4·480 68 ± 2704 68 ± 52
=
=
⇒
y=
16
4
4
4
 y2 =
=4
4

Por tanto, las soluciones serán 4 y 30
5. La diagonal de un rectángulo mide 26 m. y su superficie 240 m2. Halla los lados del
rectángulo.
Solución:
Llamamos x al lado mayor.
Llamamos y al lado menor.
x 2 + y 2 = 26 2 
240
 x=
y
x· y = 240 
x 2 + y 2 = 26 2 

x· y = 240 
2
 240 
57600
57600 + y 4
2

 + y 2 = 676 ;
676
+
=
= 676 ; 57600 + y 4 = 676 y 2 ;
y
;
2
2
y
y
 y 
4
2
y − 676 y + 57600 = 0;
 2 1152
 y =
= 576 ⇒  1
 y1 =
2
676 ± 456976 - 4·57600 676 ± 476

 y2 = −
=
⇒
y2 =
2
2
 y 2 = 200 = 100 ⇒  y 3 =

 2
2
 y4 = −

Por tanto, las soluciones serán 24 y 10
6. Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 1296.
Solución:
Llamamos x al primer número.
Llamamos y al segundo número.
x + y = 78 

x· y = 1296 
576 = 24
576 = −24
100 = 10
100 = −10
x + y = 78 
1296
 x=
x· y = 1296 
y
1296
1296 + y 2
+ y = 78;
= 78; 1296 + y 2 = 78 y ; y 2 − 78 y + 1296 = 0;
y
y
108

y
=
= 54
1
78 ± 6084 − 4·1296 78 ± 900 78 ± 30 
2
y=
;
=
=
48
2
2
2
 y2 =
= 24
2

Por tanto, las soluciones serán 24 y 54
7. Halla dos números consecutivos cuyo producto es 380.
Solución:
Llamamos x al primer número.
Llamamos y al segundo número.
x +1 = y 
380
 x=
x· y = 380 
y
x +1 = y 

x· y = 380 
380
380 + y
+ 1 = y;
= y ; 380 + y = y 2 ; − y 2 + y + 380 = 0;
y
y
38

− 1 ± 1 + 4·380 − 1 ± 1521 − 1 ± 39  y1 = − 2 = −19
=
=
y=
;
− 40
−2
−2
−2
 y2 =
= 20
−2

Por tanto, las soluciones serán − 20 y − 19 y también 19 y 20