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Tema 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza Material necesario: Escuadra Cartabón Regla Transportador de ángulos Compás Calculadora Libro de texto nuevo!!!!!!!!!!!!!! 8.1 Teorema de Pitágoras Página 172 Actividades 1. Comparando el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos, comprueba si cada triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo. a) 26 cm, 24 cm, 10 cm lado mayor 26cm 26 2 676 lados menores 10cm 10 2 100 24cm 24 2 576 100 576 676 Comparamos: 676 676 Entonces el triángulo es rectángulo. d) 15 dam, 17 dam, 8 dam lado mayor 17 dam 17 2 289 lados menores 15 dam 15 2 225 8 dam 82 64 225 64 289 Comparamos: 289 289 Entonces el triángulo es rectángulo. g) 33 m, 28 m, 33 m lados mayores 33 m 33 2 1089 33 m 33 2 1089 1089 1089 2178 lado menor 28 m 28 2 784 Comparamos 784 2178 Entonces es un triángulo acutángulo Tareas 15-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 1 Página 173 Actividades 2 Halla la longitud de la hipotenusa. 1 Conocemos los dos catetos y queremos calcular la hipotenusa: 1. a b2 c2 15 2 36 2 225 1296 1521 39 La hipotenusa mide 39 cm 3 Halla la longitud del cateto desconocido. Conocemos un cateto y la hipotenusa, hemos de calcular el otro cateto. c a2 b2 37 2 12 2 1369 144 1225 35 cm Tareas 16-04-2013: 4 y 5 de la página 173 8.2 Aplicaciones del Teorema de Pitágoras Tareas 16-04-2013: todos los ejercicios de la página 175 8.3 Figuras semejantes Ejemplo Consideramos los siguientes triángulos rectángulos construidos con el cartabón. 2 Consideramos los siguientes cocientes de los lados respectivos: a 7 1. 4 a 5 8. 06 b 1. 382 5 1. 4 5. 83 b c 4 1. 333 3 1. 3 c 3 Este número fruto del cociente de los lados de la segunda figura entre los respectivos de la primera es la razón de semejanza que transforma la primera figura en la segunda. Calculamos la áreas de nuestro triángulos rectángulos: 5 3 15 Área triángulo 1 base altura 7. 5 cm 2 2 2 2 7 4 Área triángulo 2 base altura 14 cm 2 2 2 Como antes hemos dividido grande entre pequeño, ahora hacemos lo mismo: 14 1. 866 7 1. 9 7. 5 Calculamos su raíz cuadrada 1. 9 1. 378 4 1. 4 Se cumple que la rázon de semejanza de las áreas es el cuadrado de la rázon de semejanza de los lados. Ejemplo Consideramos los siguientes prismas de base rectangular. Vamos a considerar los cocientes de los lados respectivos de los dos prismas (las medidas de los lados pequeños entre los grandes): 3 a 2. 24 0. 501 12 a 4. 47 3 b 0. 5 6 b 4 c 0. 5 c 8 Resulta que la razón de semejanza del primer prisma respecto del segundo es 0. 5. Vamos a calcular los volúmenes de los dos prismas: Volumen prisma pequeño 2. 24 3 4 26. 88 cm 3 Volumen prisma grande 4. 47 6 8 214. 56 cm 3 Ahora hacemos el cociente del pequeño entre el grande, pensando en volúmenes: 26. 88 0. 125 28 214. 56 Por otro lado, calculamos el cubo de la razón de semejanza: 0. 5 3 0. 125 Se cumple que la razón de semejanza de sus volúmenes es el cubo de la razón de semejanza de los lados. Tareas 23-04-2013: todas las actividades de la página 177 Tareas 23-04-2013: todas las actividades de la página 178 8.4 Planos, mapas, maquetas. Ejemplo de la página 179 Distancia Algeciras a Ceuta En el mapa 6 mm En la realidad 29 km 29 km 29000000 mm 29000000 4 833 300 6 6 mm 6 mm No nos queda 4500000 pues no hemos medido muy bien con la regla sobre el mapa. Distancia entre Ceuta y Melilla En el mapa 5 cm En la realidad 225 km 225 km 22500000 cm 22500000 4. 5 10 6 4500000 5 5 cm 5 cm Aquí claramente hemos medido mejor sobre el mapa. Ejemplo de la página 180 Vamos a calcular la superficie de la cocina. La cocina es un rectángulo, por lo que su superficie será el largo por el ancho. El largo es 4 m en la realidad. ¿El ancho? En el plano el ancho de la cocina es 2. 4 cm. En la realidad será 2. 4 100 240. 0 cm 2. 40 m Por lo tanto, la superficie de la cocina será 4 2. 4 9. 6 m 2 PÁGINA 180 EJERCICIOS 2 En este plano, la distancia real entre los puntos A y B es de 120 m. Obtén la escala a la que está el plano y las distancias reales entre BC, BD y CA. En el plano la distancia entre los puntos A y B es 5 cm. 120 m 12000 cm 12000 La escala saldrá de 2400 5 5 cm 5 cm La escala es 1 : 2400 Distancia real BC Distancia en el plano BC 2 cm Distancia en la realidad es 2 2400 4800 cm 48 m Distancia real BD Distancia en el plano BD 4. 3 cm Distancia en la realidad es 4. 3 2400 10320. 0 cm 103. 2 m 4 Distancia real CA Distancia en el plano CA 6. 1 cm Distancia en la realidad es 6. 1 2400 Tareas 24-04-2013: 1,3 14640. 0 cm 146. 4 m 8.5 Teorema de Tales Página 181 Actividades Tareas 25-04-2013: todos los ejercicios de la página 181 8.6 Semejanza de triángulos Un criterio de semejanza de triángulos (página 182 triángulos a la izquierda) Triángulo Grande Triángulo pequeño ángulo A 40º ángulo A 40º ángulo B 110º ángulo B 110º ángulo C 30º ángulo C 30º lado AB lado A B lado BC lado B C lado CA lado C A Se comprobará de esa forma que: ángulo A ángulo A ángulo B ángulo B ángulo C ángulo C Y hemos de calcular las razones: AB AB BC BC CA CA Entonces la razón de semejanza es r 0. 6 Por lo tanto los tríangulos son semejantes. Tareas 30-04-2013; todos los ejercicios de la página 182 Ejemplo de semejanza de triángulos rectángulos 1º Ejemplo Vamos a construir dos triángulos rectángulos a partir de sus catetos: uno que tenga de catetos 2 y 3 cm ABC siendo el ángulo recto A otro que tenga de catetos 6 y 9 cm A B C siendo el ángulo recto A 5 Vamos a comprobar que son semejantes, para ello vamos a medir uno de los ángulos agudos. Medimos triángulo ABC A 90º C 35º triángulo A B C A 90º C 35º Entonces como tienen dos ángulos respectivos iguales, son semejantes. 2º Ejemplo Vamos a construir dos triángulos rectángulos a partir de un cateto y la hipotenusa: uno que tenga de catetos 3 cm y de hipotenusa 5 cm ABC siendo el ángulo recto A uno que tenga de catetos 6 cm y de hipotenusa 10 cm A B C siendo el ángulo recto A Vamos a comprobar que son semejantes, para ello vamos a medir uno de los ángulos agudos. Medimos triángulo ABC A 90º B 53º triángulo A B C A 90º B 53º Entonces como tienen dos ángulos respectivos iguales, son semejantes. Tareas 30-04-2013: todos los ejercicios de la página 183 8.7 Aplicaciones de la semejanza de triángulos Tareas 06-05-2013: todas las actividades de la página 184 PÁGINA 184 ACTIVIDADES 1. 6 Como estamos estudiando las sombras en el mismo momento, tenemos dos triángulos rectángulos que tienen la siguiente relación entre los ángulos respectivos: Â Â Ĉ Ĉ Entonces esos triángulos son semejantes. En particular se cumple que: CB AB AB CB Tareas 06-05-2013: todas las actividades de la página 185 8.8 Construcción de una figura semejante a otra Ejemplo 1 Construimos un cuadrilátero pequeño ABCD en la izquierda de la hoja, no al lado del margen. Pintamos un punto E junto al margen de la izquierda. Desde este punto trazamos semi-rectas que pasen por los vértices del cuadrilátero. Medimos los cuatro segmentos EA, EB, EC, ED para luego marcar puntos G, F, H, I sobre cada una de las semi-rectas respectivas de forma que se cumpla que: EG 2EA EF 2EB EH 2EC EI 2ED En ambos cuadriláteros medimos los lados. En el cuadrilátero ABCD medimos los lados: En el cuadrilátero FGHI medimos los lados: BC CD DA 1 es la razón de semejanza Se cumple que AB HI IF GH 2 FG 7 Ejemplo 2 Construimos un triángulo grande ABC en la derecha de la hoja, cerca del margen. Pintamos un punto D junto al margen de la izquierda. Desde este punto trazamos semi-rectas que pasen por los vértices del triángulo. Medimos los tres segmentos DA, DB, DC para luego marcar puntos E, F, G sobre cada una de las semi-rectas respectivas de forma que se cumpla que: DA DE 4 DB DF 4 DC DG 4 En el triángulo ABC medimos los lados: En el triángulo EFG medimos los lados: Se cumple que AB AB BC BC CA CA 4 es la razón de semejanza EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 1. Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos: Como el triángulo ABC es rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras, es decir; hipotenusa 2 cateto 2 cateto 2 En particular en nuestro caso es: hipotenusa 2 14 30 44 cm 2 es el área del otro cuadrado. Tareas 08-05-2013: 1(figura derecha), 2 3 Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. a) 15 cm, 10 cm, 11 cm 8 Hay que calcular los cuadrados de los lados: 15 2 225 2 100 11 2 121 10 225 100 121 221 entonces es obtusángulo b) 35 m, 12 m, 37 m Hay que calcular los cuadrados de los lados: 35 2 12 2 37 2 1225 144 1369 1225 144 1369 entonces es rectángulo. 1369 Tareas 08-05-2013: 3(c,d,e,f,g) 4 Calcula el lado desconocido en cada triángulo: Como el triángulo es rectángulo se puede aplicar el Teorema de Pitágoras: b2 a2 c2 65 2 16 2 c 2 4225 256 c 2 c 2 4225 256 3969 c 3969 63 mm Tareas 08-05-2013: 4(figura izquierda), 5 7 Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5.8 cm, y uno de sus lados, 4cm. El triángulo ABC es rectángulo, por lo que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. 9 AC 2 AB 2 BC 2 5. 8 2 AB 2 4 2 33. 64 AB 2 16 AB 2 33. 64 16 17. 64 AB 17. 64 4. 2 cm El perímetro es la suma de todos los lados: 4. 2 2 4 2 8. 4 8 16. 4 cm Tareas 09-05-2013: 8 9 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, el lado oblicuo mide 10 dm. Calcula la altura. Podemos aplicar en el triángulo rectángulo BEC el Teorema de Pitágoras: BC 2 BE 2 CE 2 10 2 BE 2 6 2 100 BE 2 36 BE 2 100 36 64 BE 64 8 dm es la altura. Tareas 09-05-2013: 10,11 12 Halla la longitud x en cada uno de las siguientes figuras. C) Tenemos el triángulo rectángulo GHB donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: x sería la apotema del hexágono regular (perpendicular desde el centro del polígono a uno de sus lados) 10 GB 2 GH 2 HB 2 22 x2 12 4 x2 1 x2 4 1 3 x 3 1. 732 1 1. 7 km Atención: como se trata de un hexágono regular, el radio coincide con el lado. Además, la apotema divide al lado en dos partes iguales. Tareas 09-05-2013:12(a,b,d) 13 En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcular la medida de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo,...) . Si no es exacta, hállalo con una cifra decimal. a) Se trata de un trapecio rectángulo. Desconocemos uno de los lados, por lo que tendremos que calcularlo. Para poder aplicar el Teorema de Pitágoras, habremos de construir un triángulo rectángulo. Trazamos el tríangulo rectángulo AED; en el podemos aplicar el teorema de Pitágoras. AD 2 AE 2 DE 2 2. 9 2 2 2 DE 2 8. 41 4 DE 2 DE 2 8. 41 4 4. 41 DE 4. 41 2. 1 m Entonces el perímetro P 2. 9 20 18 2. 1 43. 0 m Área area del triángulo rectángulo área del rectángulo base altura base altura 2 2. 1 2. 1 18 2. 1 37. 8 39. 9 m 2 2 2 Tareas 13-05-2013: 13(b), 14 15 11 Área de los cuatro segmentos circulares área círculo área cuadrado 78. 5 50. 4 28. 1 cm 2 área círculo r2 5 2 25 78. 540 78. 5 cm 2 área cuadrado l 2 7. 1 2 50. 41 50. 4 cm 2 Como no lo conocemos, hemos de aplicar el Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo. Como estamos trabajando en un cuadrado, el triángulo DCE es rectángulo isósceles (DE EC . DC 2 EC 2 DE 2 DC 2 5 2 5 2 25 25 50 DC 50 7. 071 1 7. 1 cm Perímetro segmento circular Perímetro círculo Perímetro cuadrado 31. 4 28. 4 59. 8 cm Perímetro círculo 2 r 2 5 31. 416 31. 4 cm Perímetro cuadrado 4 7. 1 28. 4 cm Tareas 13-05-2013: 16,17,18 Tareas 14-05-2013: 24 25 Dibuja en tu cuaderno una figura como la siguiente y amplíala el doble de su tamaño proyectándola desde el punto exterior, E: Trazamos semi-rectas partiendo de E y pasando por cada uno de los cuatro vértices de la punta de flecha. Medimos las distancias AE, BE, CE, DE. Sobre cada una de las semi-rectas determinamos,respectivamente, puntos F, G, H, I de forma que: 12 FE 2AE GE 2BE HE 2CE IE 2DE Al unir los cuatro puntos así determinados, nos queda la figura pedida. Tareas 14-05-2013: 26 28 Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan. Triángulo grande falta B Triángulo pequeño falta B , Ĉ , a , b En el triángulo grande aplicamos que la suma de los ángulos interiores es 180º : B 180 33 51 180 84 96º Como los triángulos son semejantes se cumple que los ángulos respectivos son iguales. B B 96º Ĉ Ĉ 51º Sólo nos falta por calcular los lados del triángulo pequeño. c 20 producto de medios es igual a producto de extremos c 20 51 51 c 51 40 40 2 25. 5 m b b 20 producto de medios es igual a producto de extremos b 20 73 73 40 40 73 36. 5 m 2 29 Explica por qúe estos dos triángulos isósceles son semejantes: Se dice que un triángulos es isósceles si tiene dos lados iguales; por lo que, también se cumple que tiene dos ángulos iguales. En los triángulos que nos dan, se cumple que tienen el ángulo desigual que vale 20º. Por lo que la suma de los otros dos será 180 20 160º, por lo que cada uno de ellos mide 160 80º. 2 Por lo tanto, tenemos dos triángulos que tienen sus tres ángulos respectivos iguales; entonces esos dos triángulos son semejantes. Tareas 16-05-2013:30 32 La altura de la puerta de la casa mide 3 m. ¿Cuál es la altura de la casa? ¿Y la del árbol más alto? ¿Cuál es la altura de la casa? En el dibujo la puerta mide 1 cm que en la realidad son 3 m. En el dibujo la casa mide 2.6 cm que en la realidad son 2. 6 3 7. 8 m ¿Y la del árbol más alto? En el dibujo el árbol más alto mide 2.5 cm que en la realidad son 2. 5 3 7. 5 m 33 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm por 15 cm. El lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 12 cm. Halla: a) La razón de semejanza para pasar del primer al segundo rectángulo. 6 La razón de semejanza es 12 1. 2 5 10 Atención: se está pasando de una figura pequeña a otra más grande. b) El lado mayor del segundo. Como tenemos la razón de semejanza del pequeño al grande será 15 1. 2 18. 0 cm c) Las áreas de ambos rectángulos. Área rectángulo pequeño 10 15 150 cm 2 Área rectángulo grande 12 18 216 cm 2 13 Tareas 16-05-2013: 34 35 Se cae un poste de 14.5 m de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 m de él. ¿Cuál es la altura a la que lo golpea? Esquemáticamente tenemos el siguiente triángulos rectángulo: Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular el cateto que falta: AC 2 CB 2 AB 2 14. 5 2 CB 2 10 2 CB 2 210. 25 100 CB 110. 25 10. 5 m es la altura a la que golpea el edificio. 36 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de altura en medio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. ¿A qué distancia del suelo queda la estrella? 14