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Geometría Analítica
Laboratorio #1
Enero 2015
Distancia entre dos puntos
I.- Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos dados.
1) A( 2, 2), B( 8, 2), C( 5, 10)
3)
R( 6, 5) S( 2, -3) T(3,-1)
2) U( -1, -1) V( 2, -3) W( 9, 4)
II.- Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles.
1) A( 2, 5) B( 8, -1) C( 10, 7)
2)
A( 2, -1) B( 5, 2) C( 2, 2)
III.- Demostrar que los puntos dados forman un triángulo rectángulo y calcular su área.
1) A( -3, 4) B( -8, 5) C( -6, 2)
2)
A( 3, -2) B( -2, 3) C(0, 4)
IV.- Demostrar que los puntos dados son colineales.
1) 𝐴(0,4), 𝐵 (3, −2 ) 𝑦 𝐶(−2, 8)
2) 𝐴(1,2) , 𝐵 (−3,10)𝑦 𝐶 (4, −4)
V.- Hallar las coordenadas del punto que equidista de los tres puntos dados.
1) J( 1 , 2 ) K( 5 , 0) L( 3 , 6)
2)
M( 5, 0) N( -3, 0) O( 0, -1)
VI.- Hallar.
1) Encuentre el punto A(x, -x/8) tal que la distancia que hay del punto B al C es el doble de la
distancia que hay del punto A al punto B, siendo B( -5, -3) y C( 3, 3).
2) Encuentre el punto A( x, x) tal que junto con los puntos B( 6, 1) y C( 4, 5) forma un
triángulo isósceles.
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Laboratorio # 2
Enero 2015
Pendiente, punto medio y razón
I.- Hallar la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos dados.
1)
A ( 1, 1) , B ( -4, 3)
2)
D ( -2, -2), C ( 1, 4)
II.- Hallar los ángulos interiores del triangulo cuyos vértices son los puntos dados.
1)
A (6, 2), B ( 2, 3), C ( -2, 2)
2)
D ( 3, 6), E ( 9, 0), F ( -1, 2)
III.- Resuelve los siguientes problemas.
1)
La pendiente de una recta que pasa por el punto A(3,2) es igual a 3/4 . Situar dos
puntos sobre la recta que disten 5 unidades del punto A.
2)
Una recta de pendiente -2 pasa por el punto C ( 5, 5) y por los puntos A y B. si la
ordenada de A es 1, y la abscisa de B es 3, ¿Cuál es la abscisa de A y la ordenada de B?
3)
Si A( 1, 1), B( 5, 3) y C( 3, 7) son los vértices de un triángulo.
a) Halle sus puntos medios.
b) El triángulo ABC es isósceles?
c) El triángulo formado por los puntos medios es isósceles?
d) Halle el área del triángulo ABC.
4)
Determina si las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos son paralelas,
perpendiculares, o ninguna de las dos:
a)
b)
c)
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Enero 2015
IV.- Hallar las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento determinado por 𝑃1
y 𝑃2 en la razón 𝑟 =
→
𝑃1 𝑃
→
.
𝑃 𝑃2
2
1) 𝑃1 ( −2 , 3) , 𝑃2 (3 , −2) , 𝑟 =
2) 𝑃1 ( −5 , 2) , 𝑃2 (1 , 4) , 𝑟 =
5
−3
5
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Laboratorio # 3
Enero 2015
Gráfica de una función
I.- Estudiando intersecciones con los ejes coordenados, simetrías, extensiones y asíntotas, trazar la gráfica de
la ecuación dada.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
II.- En el mismo sistema de coordenadas trazar la gráfica de las ecuaciones dadas. Resolver el sistema
algebraicamente.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
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Laboratorio # 4
Lugar Geométrico
I.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos
1) Su distancia al punto fijo A
Enero 2015
tales que:
es siempre igual a 4.
2) La diferencia de sus distancias a los puntos fijos B
y C
es igual a 6.
3) Su distancia al punto B ( -2, -4) siempre es igual a 8.
4) Equidiste de y = 4 y del punto G( 1, 1).
5) La distancia del punto P( x, y) al punto W( 1, 1) es el doble de la distancia del punto Q( 2x,
2y) al punto R( 3, 3).
II.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Dados los puntos
los
. Hallar la ecuación del lugar geométrico de
puntos de manera que el producto de las pendientes de PA y PB sea igual a la
pendiente de PC.
2) Dados los puntos
y
, hallar la ecuación del lugar geométrico de los
puntos P(x, y) de modo que la pendiente de PA sea el reciproco y de signo contrario de la
pendiente de PB.
3) Hallar P(x, y) tal que la diferencia de distancias de P a T (2, 2) y S (-2, -2) es siempre igual a
5.
4) Encuentre la ecuación del lugar geométrico tal que el producto de las distancia del punto
P(x, y) al punto R ( 1, 1) y del punto P( x, y) al punto Q ( -1, -1), es siempre igual a 1.
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Laboratorio # 5
Enero 2015
Línea Recta
I.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto T (2,3) y cuya abscisa al origen es igual
al doble de su ordenada al origen.
2) Hallar el valor de k de modo que la recta con ecuación
M (-2,4).
3) Hallar el punto de la recta
4) Dada la recta
rectas pasen por R( 2, -3).
que equidista de los puntos T
y
5) Encuentre la ecuación de la recta
por S
pase por el punto
y S
.
. Halle “a” y “b” tal que las dos
que es perpendicular a la recta que pasa por R
, mientras que la recta
pasa por P
y
.
II.- Para el triangulo cuyos vértices son los puntos A( -5 , 6 ) , B (-1 , -4) y C (3,2) , hallar:
1) Las ecuaciones de sus alturas
2) Las ecuaciones de sus medianas
3) Las ecuaciones de sus mediatrices
4) Demostrar que los puntos de intersección de las alturas, medianas y mediatrices son
colineales.
III.- Los siguientes puntos forman un triángulo, encuentre sus alturas, medianas, mediatrices y
áreas.
1) A
B
C
2) A
B
C
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Laboratorio # 6
Enero 2015
Familia de Rectas
I.- Escribir la ecuación de la familia de rectas que cumplen la condición dada.
1) Tienen pendiente igual a -8
2) De abscisa al origen igual a 3
3) El producto de sus ordenadas es igual a 3.
II.- Sin obtener el punto de intersección de las rectas, resuelve los siguientes ejercicios.
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
y
y por el punto B
.
2) Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta
intersección de las rectas
y
que pase por el punto de
.
3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
y
cuya distancia al origen es 2.
III.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos M (-1, -2), N (4, 2) y P (-3, 5).
2) Determine el valor de “k” para que la distancia del origen a
sea 2.
3) a) Halle la ecuación de la familia que pasa por el punto de intersección de las rectas
y
.
b) Halle el elemento de la familia que es perpendicular a
4) Halle el valor de “k” tal que la recta
equidista del punto Q (-8,1) a la
recta que pasa por P (-12,3) y R (-7,-2).
5) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta
y del punto R
.
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Laboratorio # 7
Enero 2015
Circunferencias
I.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria, determinar las coordenadas del centro y el valor del radio de
la circunferencia descrita por esta.
1)
4)
2)
5)
3)
II.- Hallar la ecuación de la circunferencia descrita por las condiciones dadas.
1) Tiene su centro en S
y pasa por el punto T
2) Es tangente a las rectas
.
3)
.
,
y tiene su centro sobre la recta
Pasa por los puntos A(,3) , B (6,2) y C (3,-1)
4) Pasa por el punto W
y es tangente a la recta
en el punto Z
5) Un diámetro es el segmento determinado por los puntos R
yS
.
III.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en Q
intersecciones de las circunferencias
y
y pasa por las
.
2) Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto P
a la circunferencia
.
3) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de las
circunferencias
y
y tiene su centro sobre la
recta y=x .
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Laboratorio # 8
Enero 2015
Transformación de coordenadas
I.- Determinar las coordenadas del punto P cuando los ejes coordenados son trasladados al nuevo origen O´.
1)
2)
II.- Encontrar el punto al cual debe trasladarse el origen de modo que la ecuación transformada no contenga
términos de primer grado. Trazar la gráfica correspondiente.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
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Laboratorio # 9
Enero 2015
Parábola
I.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la parábola. Hallar sus
elementos y trazar el lugar geométrico correspondiente.
1)
4)
2)
5)
3)
II.- Hallar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas.
1) Tiene su vértice en el origen, eje paralelo al eje “Y” y longitud del lado recto igual a 12.
2)
3)
4)
y directriz la recta
.
5)
6) Eje paralelo al eje y, y pasa por los puntos P(-2,1) , Q (3,4) y S (0,8)
III.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Hallar la ecuación de la recta de pendiente
vértice en T
y directriz la recta
que pasa por el foco de la parábola con
.
2) Hallar las intersecciones de la parábola
con la circunferencia
3) Determine los puntos de intersección de la parábola
.
y la recta
4) Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola
perpendicular a la recta
.
que es
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Laboratorio # 10
Enero 2015
Elipse
I.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la elipse, hallar sus
elementos y trazar la gráfica correspondiente.
1)
5)
2)
6)
3)
7)
4)
II.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas.
1)
2)
y pasa por W
3)
y
4)
5)
6)
y
,
.
, longitud del eje menor
, pasa por el punto T
, y pasa por Q
un vértice
.
.
.
y
III.- Resuelve los siguientes problemas.
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el centro de la elipse
y pasa por el punto A
.
2) Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el centro de la elipse
, se abre hacia abajo y pasa por el punto L
3) Halle la ecuación de la recta tangente a la elipse
.
.
que es paralela a la recta
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Enero 2015
Laboratorio # 11 Elipse
I.- Reducir la ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola, hallar
sus elementos y trazar su grafica.
1)
2)
3)
4)
5)
II.- Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface:
1) vértices
y focos
.
2)
3) Vértices en
, distancia focal igual a 7.
4) Vértices
, una de sus asíntotas es la recta
5) Tiene
6)
,
y
.
.
, su eje focal es el eje Y, y pasa por los puntos T
7) Determine los valores de “m “para que la recta
yS
.
cumpla con las condiciones
dadas:
a) Corte a la hipérbola
b) Es tangente a ella.
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Enero 2015
Laboratorio # 12 Ecuación General de Segundo Grado
I.-Hallar la transformada de la ecuación dada cuando los ejes coordenados se giran el
ángulo indicado.
1)
2)
;
II.- Mediante una rotación de los ejes coordenados transformar la ecuación dada en otra
que no contenga termino en x’y’.
1)
2)
3)
III.- Identificar el tipo de cónica representado por la ecuación dada. Reducir la ecuación a
su forma canónica y trazar la grafica correspondiente.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
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