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Formulario Estadística I
Depto. Estadística, Inv. Operativa Aplicadas y Calidad
ETSICCP
FORMULARIO ESTADÍSTICA I
Media muestral: x =
∑ xi
Desviación típica muestral: S =
N
∑ (x i − x ) 2
Mediana:
Si N es impar ⇒ valor de la posición (N+1)/2
Si N es par
⇒ media de los valores que ocupan las posiciones N/2 y (N/2+1)
Cuartiles:
C1 es primer cuartil si:
C3 es tercer cuartil si:
Nº datos ≤ C1 es mayor o igual que N/4
Nº datos ≤ C3 es mayor que 3N/4
Nº datos ≥ C1 es mayor o igual que 3N/4
Nº datos≥ C3 es mayor que N/4
Varianza muestral:
s2
Covarianza
muestral: Coeficiente
de
correlación
cov xy
(x i − x )(yi − y )
∑
rxy =
cov xy =
Sx S y
N −1
Recta de regresión:
Y = a + bX
b=r
Sy
N −1
muestral:
a = y - bx
Sx
s2residuos= s2y(1-r2xy)
Varianza residual:
 σ2
V= 1
cov12
Matriz de varianzas-covarianzas:
cov12 

σ 22 
P(A+B)= P(A) + P(B) – P(AB)
P(A1A2A3…AN)= P(A1) — P(A2/A1) — P(A3/A1A2) — … — P(AN/A1A2…AN-1)
P(A1+…+An)= Σ(P(Ai)) - Σ(P(AiAj)) + Σ(P(AiAjAk)) +…+ (-1)n+1Σ(P(A1…An)
P(A k )P(B / A K )
P(AB)
Teorema de BAYES P(A k / B ) =
P(A / B) =
P(B)
∑ P(A i )P(B / A i )
Teorema de la probabilidad total:
P(B)= P(A1)P(B/A1) +…+ P(An)P(B/An)
Función de distribución: F(x ) = P(X ≤ x )
Función de Probabilidad: P(X= xi)
Función de densidad: f (x ) =
Esperanza matemática:
Si X es DISCRETA E(h (x )) = ∑ h (x i )P(X = x i )
Si X es CONTINUA
dF(x )
dx
E (h (x )) =
∞
∫ h(x )f (x )dx
−∞
Varianza poblacional: σ = E ( X – m )
2
Media poblacional:
m= E(X)
Coeficiente de variación: CV = σ(X)/E(X)
Covarianza poblacional:
Coef. de correlación poblacional
2
ρ12 =
2
σ12
= E (( X1 − m1 )( X 2 − m2 ))
Si Y= t1X1 ± t2X2
Bernouilli: X∼Be (p)
Binomial: X∼B(n, p)
Geométrica:
X ∼ G( p)
Poisson:
X ∼ Ps (λ)
2
σ12
σ11σ 22
E(Y) = t1m1 ± t2m2
σ2(Y) = t12 σ112 + t22 σ222 ± 2 t1 t2 cov12
P( A) = p
 = 1 si A
X
P( A ) = 1 − p
= 0 si A
n
P (X = x ) =   p x (1 − p )n − x
x
P (X = x ) = (1 − p) x −1 p
P (Po (λ ) = x ) = e − λ
λx
x!
E (X) = p
σ 2 (X) = p(1 − p)
E (x ) = np
E(X) =
1
p
σ 2 (x ) = np (1 − p )
σ 2 (X) =
1− p
p2
E (X ) = σ 2 (X ) = λ
1
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Depto. Estadística, Inv. Operativa Aplicadas y Calidad
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON
Ejemplos: Si X~ Po(λ=0.02), entonces Pr(X ≤ 1) = 0.9998
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TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON
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TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON
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FORMULARIO ESTADÍSTICA I - 2ª parte
Uniforme: X∼U(a, b)
f (x ) =
Exponencial: X~ Exp(α)
f (x) =
X ~ N(m, σ )
2
X ~ LogNormal(µ,σ2)
Log-Normal:

σ
 µ+

2

2
E (X ) = e




⇔
1
σ 2π
e
a+b
2
1
E (X ) =
α
f ( x ) = αe −αx
F( x ) = 1 − e
Normal:
E (X ) =
1
b−a
σ2 (X) =
σ 2 (X ) =
− αx
−
(b − a )2
12
1
α2
P(X>x) = e-αx
( x −m)2
(-∞<x<+∞)
2σ2
Y= Ln(X) ~ N(µ,σ2)
Mediana (X ) = e µ
CV (X ) =
σ( X )
= eσ − 1
E(X)
2
Gumbel:
Función de densidad :
donde z=
γ = 0.5572156649
F(x)=
Weibull:
F(x)=
INFERENCIA PARAMÉTRICA: Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales:
x−m
x−m
~ N(0,1)
~ t N −1
σ/ N
S/ N
( N − 1)
S2
σ
2
~ χ N2 −1
Intervalo de confianza para m (con σ conocida):
σ
σ 

, x + Z (α )
 x − Z (α )

N
N 

Intervalo de confianza para m (σ desconocida):
Con P( |t N-1| > tN-1(α)) = α
Intervalo de confianza para σ:

S
S 
, x + t N −1 (α )
 x − t N −1 (α )

N
N 





(N − 1)S2
g2
,
(N − 1)S2 
g1


Con gi tal que: P(g1 < χ N-1 < g2)= 1-α
INFERENCIA PARAMÉTRICA: Test de Bondad de Ajuste
2
Para Variables Cualitativas
k
(Oi − Ei )
(ni − npi )
=∑
~ χ k2−1
Ei
npi
i =1
i =1
k
χ2 = ∑
2
2
Para Variables Cuantitativas
k
(Oi − Ei )
(ni − npi )
=∑
~ χ k2−1− r
Ei
npi
i =1
i =1
k
χ2 = ∑
2
2
6