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Formulario Estadística I Depto. Estadística, Inv. Operativa Aplicadas y Calidad ETSICCP FORMULARIO ESTADÍSTICA I Media muestral: x = ∑ xi Desviación típica muestral: S = N ∑ (x i − x ) 2 Mediana: Si N es impar ⇒ valor de la posición (N+1)/2 Si N es par ⇒ media de los valores que ocupan las posiciones N/2 y (N/2+1) Cuartiles: C1 es primer cuartil si: C3 es tercer cuartil si: Nº datos ≤ C1 es mayor o igual que N/4 Nº datos ≤ C3 es mayor que 3N/4 Nº datos ≥ C1 es mayor o igual que 3N/4 Nº datos≥ C3 es mayor que N/4 Varianza muestral: s2 Covarianza muestral: Coeficiente de correlación cov xy (x i − x )(yi − y ) ∑ rxy = cov xy = Sx S y N −1 Recta de regresión: Y = a + bX b=r Sy N −1 muestral: a = y - bx Sx s2residuos= s2y(1-r2xy) Varianza residual: σ2 V= 1 cov12 Matriz de varianzas-covarianzas: cov12 σ 22 P(A+B)= P(A) + P(B) – P(AB) P(A1A2A3…AN)= P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1A2) … P(AN/A1A2…AN-1) P(A1+…+An)= Σ(P(Ai)) - Σ(P(AiAj)) + Σ(P(AiAjAk)) +…+ (-1)n+1Σ(P(A1…An) P(A k )P(B / A K ) P(AB) Teorema de BAYES P(A k / B ) = P(A / B) = P(B) ∑ P(A i )P(B / A i ) Teorema de la probabilidad total: P(B)= P(A1)P(B/A1) +…+ P(An)P(B/An) Función de distribución: F(x ) = P(X ≤ x ) Función de Probabilidad: P(X= xi) Función de densidad: f (x ) = Esperanza matemática: Si X es DISCRETA E(h (x )) = ∑ h (x i )P(X = x i ) Si X es CONTINUA dF(x ) dx E (h (x )) = ∞ ∫ h(x )f (x )dx −∞ Varianza poblacional: σ = E ( X – m ) 2 Media poblacional: m= E(X) Coeficiente de variación: CV = σ(X)/E(X) Covarianza poblacional: Coef. de correlación poblacional 2 ρ12 = 2 σ12 = E (( X1 − m1 )( X 2 − m2 )) Si Y= t1X1 ± t2X2 Bernouilli: X∼Be (p) Binomial: X∼B(n, p) Geométrica: X ∼ G( p) Poisson: X ∼ Ps (λ) 2 σ12 σ11σ 22 E(Y) = t1m1 ± t2m2 σ2(Y) = t12 σ112 + t22 σ222 ± 2 t1 t2 cov12 P( A) = p = 1 si A X P( A ) = 1 − p = 0 si A n P (X = x ) = p x (1 − p )n − x x P (X = x ) = (1 − p) x −1 p P (Po (λ ) = x ) = e − λ λx x! E (X) = p σ 2 (X) = p(1 − p) E (x ) = np E(X) = 1 p σ 2 (x ) = np (1 − p ) σ 2 (X) = 1− p p2 E (X ) = σ 2 (X ) = λ 1 Formulario Estadística I ETSICCP Depto. Estadística, Inv. Operativa Aplicadas y Calidad TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON Ejemplos: Si X~ Po(λ=0.02), entonces Pr(X ≤ 1) = 0.9998 2 Formulario Estadística I ETSICCP Depto. Estadística, Inv. Operativa Aplicadas y Calidad TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON 3 Formulario Estadística I ETSICCP Depto. Estadística, Inv. Operativa Aplicadas y Calidad TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON 4 Formulario Estadística I ETSICCP Depto. Estadística, Inv. Operativa Aplicadas y Calidad TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON 5 Formulario Estadística I Depto. Estadística, Inv. Operativa Aplicadas y Calidad ETSICCP FORMULARIO ESTADÍSTICA I - 2ª parte Uniforme: X∼U(a, b) f (x ) = Exponencial: X~ Exp(α) f (x) = X ~ N(m, σ ) 2 X ~ LogNormal(µ,σ2) Log-Normal: σ µ+ 2 2 E (X ) = e ⇔ 1 σ 2π e a+b 2 1 E (X ) = α f ( x ) = αe −αx F( x ) = 1 − e Normal: E (X ) = 1 b−a σ2 (X) = σ 2 (X ) = − αx − (b − a )2 12 1 α2 P(X>x) = e-αx ( x −m)2 (-∞<x<+∞) 2σ2 Y= Ln(X) ~ N(µ,σ2) Mediana (X ) = e µ CV (X ) = σ( X ) = eσ − 1 E(X) 2 Gumbel: Función de densidad : donde z= γ = 0.5572156649 F(x)= Weibull: F(x)= INFERENCIA PARAMÉTRICA: Distribuciones en el muestreo de poblaciones normales: x−m x−m ~ N(0,1) ~ t N −1 σ/ N S/ N ( N − 1) S2 σ 2 ~ χ N2 −1 Intervalo de confianza para m (con σ conocida): σ σ , x + Z (α ) x − Z (α ) N N Intervalo de confianza para m (σ desconocida): Con P( |t N-1| > tN-1(α)) = α Intervalo de confianza para σ: S S , x + t N −1 (α ) x − t N −1 (α ) N N (N − 1)S2 g2 , (N − 1)S2 g1 Con gi tal que: P(g1 < χ N-1 < g2)= 1-α INFERENCIA PARAMÉTRICA: Test de Bondad de Ajuste 2 Para Variables Cualitativas k (Oi − Ei ) (ni − npi ) =∑ ~ χ k2−1 Ei npi i =1 i =1 k χ2 = ∑ 2 2 Para Variables Cuantitativas k (Oi − Ei ) (ni − npi ) =∑ ~ χ k2−1− r Ei npi i =1 i =1 k χ2 = ∑ 2 2 6