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2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II
HOJA 3
Recuperación de MATEMÁTICAS I pendientes
Trigonometría
1) Calcula el resto de las razones trigonométricas del ańgulo
4
5
3
b) sen α=
5
a)
3π
≤α≤2 π
2
π ≤α≤π
2
cos α=
2) Si tg α=
α en cada caso:
3
3π
π≤α≤
4
2
π
≤α≤π
d) ctg α=−2
2
c)
tg α=
3
, y  está en el tercer cuadrante, halla las siguientes razones
4
trigonométricas:
tg π −α
2
b) tg ( π−α )
a)
(
tg ( −α )
3π
+α
d) tg
2
c)
)
(
3) Sabiendo que
a)
b)
sen α=a ; 0<α < π , calcula:
2
sen (α +π)
cos π −α
2
(
)
)
c)
d)
e)
f)
cos (π−α)
tg π −α
2
(
)
tg ( π+α )
sen ( 2 π−α )
4) ¿Es posible resolver la ecuación trigonométrica cos x = 3/2?
a) ¿Y la ecuación trigonométrica sen x = 3/2?
b) ¿Y la ecuación tg x = 3/2?
5) A partir de la igualdad
trigonométricas:
a) cos (α+β)
b) cos 2 α
cos (α−β)=cos α · cosβ+ sen α · sen β demuestra las relaciones
c)
d)
e)
sen (α +β)
sen (α−β)
sen 2 α
6) A partir de las igualdades sen (α+β)=sen α · cosβ+cos α · sen β y
cos (α+β)=cos α · cos β−sen α · sen β demuestra las siguientes relaciones trigonométricas
(expresa la tangente en función del seno y el coseno y divide numerador y denominador por
a)
tg(α+β)
b)
c)
tg (α−β)
cos α · cosβ ):
tg (2 α)
7) Demuestra las relaciones del ángulo mitad (partiendo de las del ángulo doble, haz 2 α=γ y
despeja):
γ
γ
γ
b) sen
a) cos
c) tg
2
2
2
8) Demuestra las expresiones para la suma de razones trignométricas (haz A=α+ β y
B=α−β . Observa que A +B=2 α ).
a) sen A + sen B
b) sen A – sen B
c) cos A + cos B
d) cos A – cos B
cos α +sen α
9) Demuestra la siguiente igualdad: sen π +α =
(4 )
√2
10) Sabiendo que el sen 100= a, calcula las razones trigonométricas de 200.
11) Resuelve la siguiente ecuación:
cos x · sen x=
1
2
2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II
HOJA 3
Recuperación de MATEMÁTICAS I pendientes
Trigonometría
12) Expresa el sen 3 en función de sen .
13) Demuestra la siguiente igualdad:
cos(+)cos(-) = cos2-sen2
14) Si cos=0,2 calcula las razones trigonométricas del ángulo
π
( 2 −2 α )
.
15) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
√ 3· sen x+ cos x=1
b)
2· sen2 x +cos x =1
c)
tg 2 x +3=2 · sec 2 x
SOLUCIONES
3
3
4
3
; tg α=−
b) cosα=− ; tg α=−
5
4
5
4
5
2 5
3
4
c) sen α=− ; cosα=−
d) sen α= √ ; cos α=− √
5
5
5
5
3π
4
4
3
3
π
+α =−
a) tg −α =
b) tg ( π−α ) =−
c) tg ( −α ) =−
d) tg
2
3
4
4
2
3
2
a) sen ( α +π ) =−a
b) cos π −α =a
c) cos ( π−α ) =−√ 1−a
2
2
2
1−a
1−a
d) tg π −α = √
e) tg ( π+ α )=a √
f) sen ( 2 π−α )=−a
2
2
a
1−a
No. No. Sí.
Ver ejercicio resuelto.
Ver ejercicio resuelto.
Ver ejercicio resuelto.
Ver ejercicio resuelto.
Ver ejercicio resuelto.
2
2 a √1−a
2
2
sen 20º =2 a √ 1−a ; cos 20º =1−2 a ; tg 20º =
2
1−2 a
π
x= +2 k π
4
3
sen 3 α=−4 sen α−3 sen α
Ver ejercicio resuelto.
23
4 √3
23 √ 3
sen π −2 α =−
; cos π −2 α =
; tg π −2 α =−
2
25
2
25
2
12
2π
k
π
a) x=0 +k π ; x= + 2k π
b) x=0 +k π ; x= +2 k π
c) x= π + π
3
3
4 2
1)
a) sen α=−
2)
(
3)
(
(
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
(
)
(
)
)
)
(
)
(
)
)