Download Introducción a la lógica matemática

 MB0015_M1AA1L1_Logica
Versión: Septiembre 2012
Revisor: Leticia Pureco Reyes
Introducción a la lógica matemática por Iván Cruz Aceves
Existen diferentes situaciones en las que es indispensable reconocer cuando una situación o argumento,
es o no válido, y es en estas situaciones en donde podemos recurrir a la Lógica.
Cuando se habla de Lógica, es común realizar proposiciones que ayuden a analizar y estudiar las
relaciones lógicas entre diversos objetos por medio de afirmaciones, las cuales por su parte pueden ser
identificadas como sentencias evaluables capaces de tomar sólo 2 valores, sentencia falsa o sentencia
verdadera, teniendo como única restricción que no pueden ser ambas a la vez.
Proposición: Enunciado que puede clasificarse como falso o
verdadero.
Proposición Ambigua: Puede clasificarse de falsa o verdadera
según la percepción de la persona. (San Román, 1990).
Para una mejor conceptualización sobre proposiciones, se presentan los siguientes ejemplos:
a) México se encuentra en el continente Asiático.
Esta proposición es falsa debido a que México se encuentra en el continente
Americano.
b) 2 + 2 = 4.
Esta proposición es verdadera ya que dos más dos es cuatro.
c) 2n = número impar.
Esta proposición es falsa debido que toda potencia de 2 siempre será par.
d) ¿Por qué debo aprender Inglés?
Esta sentencia no es una proposición, ya que la clasificación depende de la percepción de la
persona que va a evaluarla.
e) La Física es más desafiante que la Filosofía.
Esta sentencia se puede calificar como una proposición ambigua, ya que la calificación depende de
la persona que la evalúe.
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por
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f) Correr hacia la meta.
Esta sentencia no es una proposición, ya que no se puede clasificar como falsa o verdadera.
g) 8 es menor que 9.
Esta proposición es verdadera.
h) 3 es mayor que 6.
Esta proposición es falsa.
i) 4 es menor que 6.
Esta proposición es verdadera.
j) Ayúdame.
Esta sentencia no es una proposición, debido a que no se puede clasificar como falsa o verdadera.
Después de haber analizado las proposiciones simples es momento de conocer las proposiciones
compuestas.
Proposición compuesta: Dos o más enunciados que se
unen haciendo uso de conectores como: “ y”, “o”, “si
entonces”, “si sólo sí”, por mencionar algunos. (San
Román, 1990).
Algunos ejemplos de proposiciones compuestas son:
a) Carlos tiene 25 años y Adriana tiene 30 años.
La sentencia anterior podríamos descomponerla en dos proposiciones:
1.- Carlos tiene 25 años.
2.- Adriana tiene 30 años.
b) Juan es menor que Pedro y mayor que Lourdes.
En el enunciado anterior podemos observar dos proposiciones que serían:
1.- Juan es menor que Pedro.
2.- Juan es mayor que Lourdes.
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c) Si Alejandro tiene promedio de 9 entonces obtendrá una beca.
En el enunciado anterior podemos identificar dos proposiciones que serían:
1.- Alejandro tiene promedio de 9.
2.- Obtendrá una beca.
d) Comes sopa de arroz o de pasta.
Las dos proposiciones que podemos identificar serían:
1.- Comes sopa de arroz.
2.- Comes sopa de pasta.
Cómo pudiste observar en los ejemplos anteriores las proposiciones pueden ser muy simples o
complejas según lo que se desee expresar.
Para facilitar la evaluación de las proposiciones compuestas podemos utilizar la lógica matemática, esta
permite representar las proposiciones por medio de símbolos que facilitan su representación. Los
símbolos utilizados en la lógica matemática son:
¬ Negación. ^ “Y”, “AND”. V “O”, “OR”. ‐> ”SI ENTONCES”, “IMPLICACIÓN CONDICIONAL”. <‐> “SI SOLO SI”, “BICONDICIONAL”. Ahora veamos cómo podemos representar mediante la lógica matemática las proposiciones:
a) 10 es mayor que 5 y 20 es menor que 25.
Esta sentencia es una proposición compuesta, y la podemos descomponer de la siguiente manera:
 10 es mayor que 5.
 20 es menor que 25.
Ahora vamos a utilizar la lógica matemática para representar las proposiciones anteriores asignando a
cada una de ellas una letra. Por lo general recurrimos a las letras “p” y “q” para representar las
proposiciones:
p= 10 es mayor que 5.
q= 20 es menor que 25.
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Construyendo nuevamente la proposición original utilizando los símbolos de la lógica matemática quedaría
de la siguiente manera: p “y” q o bien p ^ q.
b) Si hace mucho calor entonces hay juego de fútbol.
Identificación de las
proposiciones
simples.
Hace mucho calor.
Hay juego de futbol.
Asignación de las
proposiciones a una letra
del alfabeto.
p = Hace mucho calor.
q = Hay juego de futbol.
Conversión de la
proposición en
símbolos lógicos.
p -> q.
c) Si Juan no va a jugar en la noche, no podrá ganar dinero.
Identificación de las
proposiciones
simples.
Juan va a jugar en la
noche.
podrá ganar dinero
Asignación de las
proposiciones a una letra
del alfabeto.
p = Juan va a jugar en la
noche.
q = Podrá ganar dinero.
Conversión de la proposición en
símbolos lógicos.
Debido a que ambas proposiciones
aparecen negadas en la sentencia
inicial deberán aparecer de igual
manera en la conversión.
¬p -> ¬q.
d) Vamos al cine solo si me pagan.
Identificación de las
proposiciones
simples.
Vamos al cine.
Me pagan.
Asignación de las
proposiciones a una letra
del alfabeto.
p = Vamos al cine.
q = Me pagan.
Conversión de la proposición en
símbolos lógicos.
p <-> q
Hasta este momento hemos conocido cómo convertir una proposición compuesta utilizando la lógica
matemática. Ahora estudiaremos cómo evaluar una proposición compuesta haciendo uso de las tablas
de verdad que utiliza la lógica matemática.
Antes de conocer las tablas de verdad es importante retomar que una proposición puede clasificarse
como falsa (0) o verdadera (1).
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Tablas de verdad Negación.
p
¬p
0
1
1
0
Tabla 1. Tabla de verdad de la negación.
p
0
0
1
1
(“y” / “and”).
q
p^q
0
0
1
0
0
0
1
1
Tabla 2. Tabla de verdad del operador AND.
p
0
0
1
1
(“o” / “or”)
q
pvq
0
0
1
1
0
1
1
1
Tabla 3. Tabla de verdad del operador OR.
p
0
0
1
1
“Implicación”/“Si entonces”
q
p -> q
0
1
1
1
0
0
1
1
Tabla 4. Tabla de verdad de la implicación.
“Bicondicional”/“Si sólo si”.
P
q
p <-> q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Tabla 4. Tabla de verdad del operador bicondicional.
Ahora utilizaremos las tablas de verdad para evaluar las proposiciones por ejemplo:
1) Si tenemos la proposición : 10 es mayor que 5 y 20 es menor que 25.
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Dado que se tiene como conector “y” deberemos utilizar la tabla correspondiente a ese símbolo lógico
que sería:
p
0
0
1
(“y” / “and”).
q
0
1
0
1
1
Ahora bien tenemos que:
p^q
0
0
0
1
p= 10 es mayor que 5. (verdadero).
q= 20 es menor que 25. (verdadero).
Tabla 2. Tabla de verdad del operador
AND.
Por lo que verificaremos los valores asignados al último renglón de la tabla obteniendo que p^q es
verdadero.
2) Si tenemos la proposición: México pertenece al continente americano y ha ganado un mundial.
Dado que el conector que se está utilizando es y deberemos aplicar la tabla:
p
0
0
1
(“y” / “and”).
q
0
1
0
1
1
Ahora bien tenemos que:
p^q
0
0
0
1
p= México pertenece al continente americano. (verdadero).
q= Ha ganado un mundial. (Falso).
Tabla 2. Tabla de verdad del operador
AND.
Por lo que verificaremos los valores asignados al penúltimo renglón de la tabla obteniendo que p^q es
falso en este caso.
Utilizando las tablas de verdad podremos generar una cantidad infinita de combinaciones y basta con
apoyarnos en las tablas para determinar si una proposición compuesta es falsa o verdadera.
Algunos ejemplos de lo anterior son:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p^q
0
0
0
1
¬(p^q)
1
1
1
0
¬p ^ q
0
1
0
0
Tabla 5. Uso del operador AND y la negación.
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p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
pvq
0
1
1
1
¬(p v q)
1
0
0
0
p ^ ¬q
1
0
1
1
Tabla 6. Uso del operador OR y la negación.
En caso que nuestra proposición estuviera compuesta por tres proposiciones se tendrían que considerar
las posibles combinaciones para poder determinar la tabla de verdad de la proposición a evaluar tal
como se muestra en la siguiente tabla.
Determinar la tabla de verdad para la proposición: p^q^r.
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
p^q^r
0
0
0
0
0
0
0
1
Tabla 6. Tabla de verdad para la preposición p^q^r.
Como pudiste darte cuenta al incrementar las variables el número de combinaciones también se
incrementan.
La fórmula para determinar la cantidad de combinaciones
de una tabla de verdad según el número de variables es
igual a:
Combinaciones = 2
n
Donde n es el número de variables o proposiciones que se
desean evaluar.
Es importante tomar en consideración que las tablas de verdad son de gran utilidad para demostrar la
veracidad de una proposición.
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Referencias Gutiérrez, E. y Larios, R. (1998). Fundamentos de Matemáticas y Lógica.
[Versión electrónica]. México: Instituto Politécnico Nacional. Disponible en
la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca digital de la UVEG.
Johnsonbaugh, R. y Palmas, O. (1999). Matemáticas discretas. [Versión
electrónica]. México: Prentice Hall. Disponible en la base de datos
Bibliotechnia de la Biblioteca digital de la UVEG.
San Román, J. (1990). Lógica matemática y computabilidad. [En línea].
Recuperado el 5 de noviembre de 2011 en
http://books.google.com.mx/books?id=tjnBpzdCtb8C&printsec=frontcover&hl=es
&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=fals
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