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Versión: Septiembre 2012
Revisor: Patricia Cardona Torres
Operaciones con números enteros Por: Oliverio Ramírez Juárez DI. Esta lectura aparecerá como opción para descargar en PDF, además el alumno podrá consultarlo como
Aparece en forma de lección, pero la lección original sufrió cambios, por eso indico que información debe
Aparecer en cada pestaña.
En la vida cotidiana es muy importante que sepas realizar las siguientes operaciones con enteros:
•
•
•
•
Suma.
Resta.
Multiplicación.
División.
DI Favor de buscar una imagen donde aparezcan los signos de suma resta, multiplicación y división
Para realizar operaciones con enteros es necesario aplicar las leyes de los signos.
Leyes de los signos Las leyes de los signos para la suma y resta se muestran en la Tabla 1:
“Si se tienen dos o más números
reales del mismo signo, se suman
sus valores absolutos y en el
resultado, se escribe el signo
común de dichos números” (Cuéllar,
2008, pag. 7).
+ - = Signo del número mayor
+ + = +
-
-
Signos diferentes se restan y se
escribe el resultado con el signo del
número mayor (Cuellar, 2008)
= +
- + = Signo del número mayor
Ejemplos:
Ejemplos:
+3 + 4 = +7
−3 − 4 = −7
+3 − 4 = −1
−3 + 4 = +1
Tabla 1. Leyes de los signos para la suma.
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
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Las leyes de los signos para la multiplicación son:
“Si se multiplican dos números
reales con signos iguales, el
producto es un número real
positivo” (Cuéllar, 2008, pag.
12).
“Si se multiplican dos números
reales con signos diferentes,
el producto es un número real
negativo” (Cuéllar, 2008, pag.
12).
(+)(+) = +
(-)(+) = -
(-)(-)
(+)(-)
= +
= -
Ejemplos:
Ejemplos:
+3 +4 = +12
−3 +4 = −12
−3 −4 = 12
+3 −4 = −12
Tabla 2. Leyes de los signos para la multiplicación.
Las multiplicación se puede representar de varias maneras
Es lo mismo:
4×5=(4)(5)=4·5
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Las leyes para la división se muestran en la Tabla 3.
“Si se dividen dos números
reales con el mismo signo, el
cociente tendrá signo positivo”
(Cuéllar, 2008, pag. 13).
“Si se dividen dos número
reales con signo diferente, el
signo del cociente será
negativo” (Cuéllar, 2008, pag.
13).
+/+ = +
-/-
-/+ = -
= +
+/-
Ejemplos:
= -
Ejemplos:
6
=3
2
−12
= −6
2
−25
=5
−5
100
= −10
−10
Tabla 3. Leyes de signos para le división.
Como menciona Allen (2010, p.17), “hay métodos
equivalentes para expresar una fracción”
Es lo mismo:
!
!
= 4 ÷ 5 = 5 4
Por ejemplo:
a) Sumas con números de igual signo, dan un resultado con dicho signo.
(+4) + (+3) = +7 (−9) + (−5) = −14 (+15) + (12) = + 27 (−30) + (−8) = −38 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o
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b) Sumas con números de diferente signo, dan un resultado con el signo del número mayor.
(−5) + (+8) = +(8 − 5) = +3 (−9) + (+4) = − (9 − 4) = − 5 c)
(+21) + (−16) = + (21 − 16) = +5 Números con el mismo signo, dan un resultado con signo positivo.
−20
(+2)(+3) = +6 = +2 −10
+12
= +4 +3
(− 4)(− 8) = +32 d)
Número con signo contrario, dan un resultado con signo negativo.
−25
+5 (+ 5)(− 3) = −15 = − 5 +32
= −16
−2
(− 6)(+ 7) = −42 Recuerda que el signo + puede omitirse, mientras que el
signo – no se omite. Por lo que:
(+5)(-3) =(5)(-3)
Jerarquía de las operaciones En algún momento te puedes encontrar esta situación:
2 + 4×5
¿Qué operación es la que realizarías primero?
Si primero sumas el resultado es:
6×5 = 30
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Y si primero multiplicas el resultado es:
2 + 20 = 22
Como puedes observar los resultados obtenidos son diferentes, dependiendo de la operación que
realices primero.
Entonces te preguntarás:
¿Cuál es la respuesta correcta?
¿Qué operación se debe hacer primero?
Para poder contestar estas preguntas, es necesario que sepas que las operaciones aritméticas tienen
una jerarquía, es decir, algunas operaciones se realizan primero que otras:
“Efectuar primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
Efectuar sumas y restas de izquierda a derecha” (Wisniewski & Gutiérrez, 2011, p. 29).
Con base en lo anterior, puedes contestar las preguntas formuladas, y llegar a la conclusión de que en
este caso primero tienes multiplicar y después sumar, por lo que la respuesta correcta es:
2 + 4×5 = 2 + 20 = 22
Existen unos signos llamados de agrupación. Éstos ayudan a aclarar la jerarquía de las operaciones:
•
•
•
( ) Paréntesis.
[ ] Corchetes.
{ } Llaves.
Las operaciones dentro de los signos de agrupación se deben de resolver en este orden: primero las
operaciones dentro de paréntesis ( ), luego las operaciones dentro de corchetes [ ], y al final las que se
encuentran dentro de llaves { }. Y “si hay varios símbolos de agrupamiento […], uno dentro de otro,
primero se efectúan las operaciones de los símbolos interiores y luego los exteriores” (Wisniewski &
Gutiérrez, 2011, p. 29).
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Ejemplo 1 Resolver la siguiente ecuación.
73 +
26
+2
2
5
Primero tienes que resolver la operación que está dentro de los paréntesis
73 +
!"
!
13 + 2
5
Después se resuelve la operación dentro del paréntesis [13 + 2]
73 +
15
5
Y por último se realiza la operación con mayor jerarquía, en este caso es la división:
73 + 3 = 76
Ejemplo 2 En el siguiente caso puedes observar que primero se realiza la multiplicación y después la resta.
(𝟐)(𝟓) – ( 𝟑 )(𝟒 ) = 𝟏𝟎 – 𝟏𝟐 = − 𝟐 Ejemplo 3 50 40
– + (5)(2)
2 5
Primero efectúa las divisiones y la multiplicación, y posteriormente, la suma y la resta. ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o
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50 40
– + (5)(2) = 25 – 8 + 10 = 35 – 8 = 27 2
5
¡Practica las operaciones básicas de números enteros! Instrucciones:
En la parte izquierda del programa es necesario que actives las opciones.
Sumar, restar, multiplicar, dividir, triple y negativos.
Problemas de situaciones cotidianas Los problemas aritméticos aparecen con bastante frecuencia en tus actividades diarias. Los empleas
cuando vas al banco, cuando pagas en el supermercado y comparas ofertas, o al medir tiempo,
distancia, temperatura, etcétera.
Observa el siguiente caso:
Guadalupe recibió ingresos mensuales durante el mes de agosto por los siguientes conceptos:
$6,000 por sueldo, $1,500 por la renta de una casa, $1,450 por intereses bancarios; y realizó los
siguientes gastos: $2,000 en alimentación, $950 en servicios de teléfono y luz, $1,500 en gastos
personales de su familia, $1,700 por gastos escolares de su hija. ¿Cuál fue su saldo al final del
mes?
Solución
Para responder a la pregunta, debes tomar los ingresos como números positivos y los gastos como
números negativos.
La operación debe quedar así:
6000 + 1500 + 1450 − 2000 − 950 − 1500 − 1700 = +8950 − 6150 = +2800. Por lo tanto, el saldo al final del mes fue de 2800.
Esto quiere decir que luego de pagar sus cuentas, a Guadalupe le sobraron $2,800.00 del total de sus
ingresos.
Si ahora sus ingresos son: $7,500 por sueldo, $1,250 por la renta de una casa, $980 por intereses
bancarios; y realizó los siguientes gastos: $800 en alimentación, $250 en servicios de teléfono y luz,
$1,150 en gastos personales de su familia
¿Cuál fue su saldo al final del mes?
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Referencias Allen, A. (2010). Matemáticas I. México: Pearson educación. [Versión en línea].
Recuperado el 31 de mayo de 2012, de la base de datos de
Bibliotechnia de la biblioteca Digital de la UVEG.
Cuéllar, J.A. (2008). Matemáticas I Álgebra (2ª. ed.). México: McGraw-Hill.
Martínez, M. A. (1996). Aritmética y Álgebra. México: McGraw-Hill.
Wisniewski, P. M., & Gutiérrez, A. L. (2011). Introducción a las matemáticas
universitarias. México: McGraw-Hill Interamericana. Recuperado el 22
de junio de 2012, de la base de datos de Bibliotechnia de la e-libro
Digital de la UVEG.
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