Download Álgebra Lineal Ma843

Álgebra Lineal
Ma843
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
Departamento de Matemáticas
ITESM
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
Álgebra Lineal - p. 1/12
Problema Fundamental
El problema fundamental del álgebra lineal es el de
resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Ax = b
Por ello es que casi la totalidad del curso debe
estar centrado en este problema:
Los conceptos importantes se introducirán
en su relación al problema fundamental.
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
O bien son una aplicación relevante del problema
fundamental.
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
Álgebra Lineal - p. 2/12
Conceptos Clave/Aplicaciones
El curso de Algebra Lineal gira en torno a
conceptos que surgen en los sistemas de
ecuaciones lineales:
■ eliminación gaussiana
■ combinación lineal
■ espacio generado
■ dependencia/independencia lineal
■ base-dimensión
■ transformación lineal
O bien son una aplicación relevante del Álgebra
Lineal.
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
Álgebra Lineal - p. 3/12
Eliminación Gaussiana
■
En general, los mejores métodos de solución
están basados en reducir la matriz aumentada
mediante operaciones elementales de renglón.
[a1 a2 · · · ak |b]
■
■
El algoritmo de eliminación gaussiana es el
algoritmo número uno para resolver un sistema
de ecuaciones lineal general.
Todo sistema de cómputo matemático
razonablemente bueno trae implementado un
método de reducción de matrices: normalmente
rref es el nombre del comando. Row Reduced
Echelon Form.
Los métodos de solución
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
Álgebra Lineal - p. 4/12
Combinación Lineal
■
Resolver
[a1 a2 · · · ak |b]
equivale a buscar escalares c, c2 , . . . ,ck tales que
c 1 a1 + c 2 a2 + · · · + c k ak = b
■
(Los ci son los valores de las incógnitas!)
Un sistema de ecuaciones lineales es
consistente si y sólo si el vector de constantes es
una combinación lineal de las columnas de la
matriz de coeficientes.
Entendimiento de la solución encontrada
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
Álgebra Lineal - p. 5/12
Espacio Generado
■
El sistema de ecuaciones lineales
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
[a1 a2 · · · ak |b]
tiene solución si y sólo si
b ∈ Gen (a1 , a2 , . . . , ak )
■
El espacio generado por las columnas de la
matriz de coeficientes.
Un espacio generado por un conjunto de
vectores equivale al conjunto de soluciones a un
sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
Condición de consistencia
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
Álgebra Lineal - p. 6/12
Dependencia/Indepencia Lineal
■
Si el sistema [a1 a2 · · · ak |b] es consistente:
[a1 a2 · · · ak |b]
tiene dos soluciones diferentes si y sólo si
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
[a1 a2 · · · ak |0]
tiene otra solución diferente de solución 0.
Es decir, si y sólo si las columnas de la matriz de
coeficientes forman un conjunto linealmente
dependiente.
Condición de unicidad/infinitud de soluciones
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
Álgebra Lineal - p. 7/12
Reducción-Extensión
■
Si ak es combinación lineal de a1 , a2 ,. . . ,ak−1
entonces
Gen (a1 , . . . , ak ) = Gen (a1 , . . . , ak−1 )
Es decir, es posible reducir el conjunto
generador y seguir generando el mismo espacio
cuando el conjunto es linealmente dependiente.
■
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
Si {a1 , a2 , . . . , ak−1 } es linealmente
independiente y si ak ∈
/ Gen (a1 , . . . , ak−1 )
entonces {a1 , a2 , . . . , ak } es un conjunto
linealmente independiente. Es decir, es posible
extender un conjunto linealmente independiente
si él no genera el total.
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
Álgebra Lineal - p. 8/12
Base-Dimensión
■
■
Los procesos de solución basados en la
aumentada requieren un ordenamiento en las
variables: los conceptos de base y de dimensión
permiten entender las diferencias y
coincidencias de las soluciones generales
encontradas cuando se resuelve un sistema con
diferentes ordenamientos de las incógnitas.
El conjunto de soluciones a un sistema de
ecuaciones lineales se describe minimalmente
mediante una base del espacio generado
asociado: el número mínimo de vectores
requeridos para construir mediante una
combinación lineal es la dimensión del espacio
de solución.
Entendimiento de las diferencias
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
Álgebra Lineal - p. 9/12
Transformación lineal
■
El conjunto de soluciones a un sistema de
ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si el
vector de constantes pertenece al rango de la
transformación lineal. Siendo consistente, tiene
solución única si y sólo si la transformación lineal
es inyectiva.
Entendimiento a un nivel abstracto
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
Álgebra Lineal - p. 10/12
Conclusiones hacia atrás
■
■
La forma escalonada reducida de una matriz es
única: pues ella representa si cada columna es o
no combinación lineal de las columnas
anteriores y en caso de serlo indica cuáles son
los coeficientes de la combinación lineal.
El ordenamiento en las incógnitas en el proceso
de solución de un sistema no afecta las
conclusiones generales del análisis del sistema:
La argumentación relacionada con los conceptos
de espacios generados y espacios vectoriales y
sus propiedades da una referencia teórica para
la conmutatividad.
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
Álgebra Lineal - p. 11/12
Conclusiones esperadas
■
■
■
La teoría del álgebra lineal enriquece el solución
y análisis de un sistema de ecuaciones lineales.
El uso de matrices y sus aplicaciones en
diferentes áreas de ingeniería es algo valioso:
permite una formulación simple y a la vez
poderosa para dar solución a problemas, aunado
a eso se tiene fácil acceso a diferentes
instrumentos de manipulación de matrices como
programas o calculadoras.
La herramienta teórica del álgebra lineal tiene la
belleza, fortaleza y uso de una columna dórica
de la Grecia Clásica o un arco parabólico de
Gaudí.
Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico
El Problema
Claves
. . . gaussiana
. . . combinación
. . . generado
. . . dependencia
. . . r/e
. . . base
. . . transformación
. . . de regreso
Conclusiones
Álgebra Lineal - p. 12/12