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Algebra Lineal Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014) 1. Indique si la matriz 2. Indique si el polinomio 4 −3 A= 2 1 p(x) = 11 − 2 x − 8 x3 es una combinación lineal de los polinomios: es una combinación lineal de las matrices: 3 1 A1 = 0 4 A2 = 6 0 2 8 p1 (x) = 2 − x − 3 x3 p2 (x) = 1 + 2 x + 4 x2 + 4 x3 y p3 (x) = −3 + x + 2 x2 + 3 x3 y A3 = 4 0 −2 4 A Cierto B Falso Solución Debemos ver si acaso existen escalares c1 , c2 y c3 tales que A Cierto B Falso c1 p1 (x) + c2 p2 (x) + c3 p3 (x) = p(x) (2) Al sustituir los polinomios, desarrollar los productos y agrupar respecto a las potencias de x el lado izquierdo, lo anterior se convierte en: Solución Debemos ver si acaso existen escalares c1 , c2 y c3 tales que c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = A (1) Al desarrollar el lado izquierdo, lo anterior se convierte en: " # 3 c1 + 6 c2 + 4 c3 1 c1 + 2 c2 −2 c3 4 2 = −3 1 0 c1 + 0 c2 + 0 c3 4 c1 + 8 c2 + 4 c3 Entonces para la igualdad se debe cumplir: elemento elemento elemento elemento (1, 1) : (1, 2) : (2, 1) : (2, 2) : 3 c1 + 6 c2 + 4 c3 1 c1 + 2 c2 −2 c3 0 c1 + 0 c2 + 0 c3 4 c1 + 8 c2 + 4 c3 = = = = 4 2 −3 1 (2 c1 + 1 c2 −2 c3 ) + (−1 c1 + 2 c2 + 1 c3 ) x+ (0 c1 + 4 c2 + 2 c3 ) x2 + (−3 c1 + 4 c2 + 3 c3 ) x3 = 11 − 2 x + 0 x2 − 8 x3 por lo tanto, c1 , c2 y c3 deben balancear ambos miembros de la igualdad, es decir deben cumplir: constante : coef. en x : coef. en x2 : coef. en x3 : 2 c1 + 1 c2 −3 c3 −1 c1 + 2 c2 + 1 c3 0 c1 + 4 c2 + 2 c3 −3 c1 + 4 c2 + 3 c3 = 11 = −2 = 0 = −8 Esto es un SEL que tiene como matriz aumentada: c1 3 1 0 4 A1 c2 6 2 0 8 A2 c3 4 −2 0 4 A3 rhs 4 2 −3 1 A para analizar el SEL no hace falta reducir: será inconsistente por el renglón 3. Concluimos que no existen escalares c1 , c2 y c3 que cumplan la relación 1. Por tanto, es falso que A sea combinación lineal de A1 , A2 y A3 esto es un SEL cuya aumentada es c1 c2 c3 rhs 2 1 −2 11 −1 2 1 −2 A= 0 4 2 0 −3 4 3 −8 p1 (x) p2 (x) p3 (x) p(x) Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases al reducirla obtenemos c1 1 0 0 0 c2 0 1 0 0 2 2. p4 (x) ∈ Gen {p1 (x)} cierto, porque c1 rhs c1 rhs 11 33 rref 1 3 −−−→ 5 15 0 0 p1 (x) p4 (x) p1 (x) p4 (x) c3 rhs 0 0 0 0 0 1 0 1 da consistente (p4 (x) = 3 p1 (x)) 3. p1 (x) ∈ Gen {p2 (x), p3 (x)} cierto, porque c1 c2 c1 c2 rhs rhs 5 6 11 rref 1 0 1 −−−→ 5 1 2 3 0 1 p2 (x) p3 (x) p1 (x) p2 (x) p3 (x) p1 (x) da consistente (p1 (x) = 1 · p2 (x) + 1 · p3 (x)) 4. p2 (x) ∈ Gen {p1 (x), p4 (x)} falso, porque c1 c2 rhs c1 c2 rhs 11 33 5 1 3 0 rref −−−→ 5 15 2 0 0 1 p1 (x) p4 (x) p2 (x) p1 (x) p4 (x) p2 (x) da inconsistente. Concluimos que el SEL es inconsistente. Por tanto, no existen escalares c1 , c2 y c3 que cumplan la relación 2. Por tanto, es falso que p(x) sea una combinación lineal de p1 (x), p2 (x) y p3 (x) 3. Si p1 (x) = 11 + 5 x, p2 (x) = 5 + 2 x, p3 (x) = 6 + 3 x, p4 (x) = 33+15 x Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas: 1. p4 (x) ∈ Gen {p3 (x)} 3. p1 (x) ∈ Gen {p2 (x), p3 (x)} 5. p2 (x) ∈ Gen {p1 (x), p3 (x)} 2. p4 (x) ∈ Gen {p1 (x)} 4. Si 4. p2 (x) ∈ Gen {p1 (x), p4 (x)} 6. p1 (x) ∈ Gen {p4 (x)} A1 = Solución A3 1. p4 (x) ∈ Gen {p3 (x)} falso, porque c1 rhs 6 33 3 15 p3 (x) p4 (x) da inconsistente. = 6 4 15 7 6 2 A2 21 −7 A4 3 1 12 8 = = 5 −3 12 4 Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas: c1 rref −−−→ 1 0 rhs 0 1 1. A4 ∈ Gen{A2 , A3 } 3. A1 ∈ Gen{A2 , A3 } 5. A3 ∈ Gen{A1 , A2 } Solución 2. A4 ∈ Gen{A3 } 4. A1 ∈ Gen{A4 } 6. A4 ∈ Gen{A1 } Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases 3 1. A4 ∈ Gen{A2 , A3 } cierto, porque c1 3 5 1 −3 A2 c2 15 21 7 −7 A3 rhs 12 12 8 4 A4 rref −−−→ c1 1 0 0 0 A2 c2 0 1 0 0 A3 rhs −6 2 0 0 A4 da consistente (A4 = −6 · A2 + 2 · A3 ). 2. A4 ∈ Gen{A3 } falso, porque c1 rhs c1 1 15 12 5 12 rref 0 −−−→ 0 1 8 0 −3 4 A3 A4 A3 rhs 0 1 0 0 A4 5. Qué valor debe tener a para que el polinomio: da inconsistente. p(x) = a − 2 x 3. A1 ∈ Gen{A2 , A3 } falso, porque c1 3 5 1 −3 A2 c2 15 21 7 −7 A3 rhs 6 6 4 2 A1 rref −−−→ c1 1 0 0 0 A2 sea una combinación lineal de los polinomios: c2 0 1 0 0 A3 rhs −3 1 0 0 A1 rhs 1 3 0 0 A3 4. A1 ∈ Gen{A4 } cierto, porque se ve que 1 · A4 2 5. A3 ∈ Gen{A1 , A2 } falso, porque c1 6 6 4 2 A1 c2 3 5 1 −3 A2 rhs 15 21 7 −7 A3 rref −−−→ c1 1 0 0 0 A1 c2 0 1 0 0 A2 es consistente (A3 = 1 · A1 + 3 · A2 ). 6. A4 ∈ Gen{A1 } cierto , porque se ve que A4 = 2 · A1 Solución Buscamos el valor de a que nos dé la consistencia de la matriz aumentada: c1 c2 c3 rhs 1 −1 −1 a −2 0 1 1 1 −1 4 0 1 1 1 0 p1 (x) p2 (x) p3 (x) p(x) es consistente (A1 = −3 · A2 + 1 · A3 ). A1 = p1 (x) = 1 + x2 + x3 p2 (x) = −1 + x − x2 + x3 p3 (x) = −1 + x + 4 x2 + x3 como la matriz tiene variables, no podemos utilizar rref; pero la consistencia está dada por la escalonada. Si escalonamos haciendo las operaciones elementales de renglón: 1.- R3 ← R3 − R1 2.- R4 ← R4 − R1 3.- R4 ← R4 − 2 R2 obtenemos: 1 0 0 0 −1 −1 a 1 1 −2 0 5 −a 0 0 4−a Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases 4 obtenemos la matriz 2 2 0 3 0 0 0 0 0 −2 −1 −12 −1 3 0 a + 10 por lo tanto, habrá consistencia si y sólo si no queda pivote en la columna de las constantes, es decir, si y sólo si 4 − a = 0; es decir, si y sólo si a = 4 6. Qué valor debe tener a para que la matriz: A= −12 3 −2 a sea una combinación lineal de las matrices: 0 2 A1 = 0 −3 3 2 A2 = −1 −1 −1 0 A3 = 0 1 Solución Requerimos encontrar el valor de a que nos garantice que sea consistente el sistema con aumentada c1 c2 c3 rhs 0 3 −1 −12 2 0 −2 2 0 −1 0 3 −3 −1 1 a A1 A2 A3 A por lo tanto, habrá consistencia si y sólo si no queda pivote en la columna de las constantes, es decir, si y sólo si a + 10 = 0; es decir, si y sólo si a = −10 7. Sobre el valor del parámetro x de la matriz −1 1 − 2 x A= 3+x −3 para que pertenezca al espacio que generan las matrices 0 −2 A1 = 1 0 A2 como la matriz contiene variables, no podemos utilizar rref; escalonaremos y aplicaremos la condición de consistencia. Haciendo las operaciones elementales de renglón A3 1. R1 ↔ R2 0 2 −2 −1 1 0 0 3 = = se puede decir que . . . 2. R4 ← R4 + 3 2 R1 3. R4 ← R4 − 2 3 R2 A para ningún valor pertence. 4. R4 ← R4 + 5 3 R3 B hay una infinidad de valores. Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases C 5 hay un único valor. Solución Buscamos los valores de x que nos garanticen que existen constantes c1 , c2 y c3 tales que c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = A es decir, que hagan que sea consistente la matriz aumentada: c1 c2 c3 rhs 0 0 1 −1 0 1 − 2x −2 −2 1 2 0 3+x 0 −1 −3 3 A1 A2 A3 A como la matriz contiene variables, no podemos utilizar rref; escalonaremos y aplicaremos la condición de consistencia. Haciendo las operaciones elementales de renglón 1. R2 ← R2 − 1 2 R1 2. R3 ← R3 + 1 2 R1 3. R4 ← R4 + 3 2 R1 4. R3 ← R3 − 5 3 R2 5. R4 ← R4 − 5 3 R2 6. R4 ← R4 − 22 16 8. Sobre el valor del parámetro x de la matriz 2 − 2 x −3 − x A= −2 + x 3x para que pertenezca al espacio que generan las matrices −2 −1 A1 = 1 3 R3 obtenemos la matriz −2 3 3 2 − 2x 0 3/2 −7/2 −4 0 0 16/3 17/3 0 0 0 15/8 observamos que el sistema es inconsistente independientemente del valor de x: no existe un valor de x que haga que A sea una combinación lineal de A1 , A2 y de A3 A2 = A3 = 3 1 3 −2 3 −2 −2 −3 se puede decir que . . . A hay una infinidad de valores. B para ningún valor pertence. C hay un único valor. Solución Buscamos los valores de x que nos garanticen que existen constantes c1 , c2 y c3 tales que c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = A es decir, que hagan que sea consistente la matriz aumentada: c1 c2 c3 rhs −2 3 3 2 − 2x 3 −2 −3 − x −1 1 1 −2 −2 + x 3 −2 −3 3x A1 A2 A3 A Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases como la matriz contiene variables, no podemos utilizar rref; escalonaremos y aplicaremos la condición de consistencia. Haciendo las operaciones elementales de renglón 1. R2 ← R2 − 2. R3 ← R3 + 3. R4 ← R4 + 4. R3 ← R3 − 5. R4 ← R4 − 6. R4 ← R4 − 1 2 R1 1 2 R1 3 2 R1 5 3 R2 5 3 R2 22 16 R3 obtenemos la matriz −2 3 3 2 − 2x 0 3/2 −7/2 −4 0 0 16/3 17/3 0 0 0 15/8 6 Debemos ver si todo polinomio p(x) = a + b x + c x2 es combinación lineal de p1 (x), p2 (x) y de p3 (x). Para ello debemos ver si siempre es consistente el sistema con matriz aumentada: c1 c2 c3 rhs 0 1 −1 a 1 1 0 b 1 0 1 c p1 (x) p2 (x) p3 (x) p(x) como la matriz contiene variables, no podemos utilizar rref; escalonaremos y aplicaremos la condición de consistencia. Haciendo las operaciones elementales de renglón 1. R1 ↔ R2 2. R3 ← R3 − R1 3. R3 ← R3 + R2 obtenemos la matriz 1 1 0 1 0 0 0 b −1 a 0 a−b+c observamos que el sistema es inconsistente independientemente del valor de x: no existe un valor de x que haga que A sea una combinación lineal de A1 , A2 y de A3 9. Indique si V = P2 , donde V = Gen p1 (x) = x + x2 , p2 (x) = 1 + x, p3 (x) = −1 + x2 A Falso B Cierto Solución observamos que la consistencia depende de la expresión a − b + c, es decir, depende de p(x): Si por ejemplo p(x) = 1 + 2 x + x2 (a = 1, b = 2 y c = 1: a − b + c = 0), p(x) si está en V (al ser combinación lineal de p1 (x), p2 (x) y p3 (x)); pero para p(x) = 1 + x + x2 (a = 1, b = 1 y c = 1 da a − b + c = 1 6= 0) no es combinación lineal de p1 (x), p2 (x) y p3 (x) (al dar inconsistente el SEL). Concluimos que el espacio generado por los polinomios p1 (x), p2 (x) y p3 (x) no es todo P2 : Es falso que V = P2 Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases y observamos que la consistencia depende de los valores de a, b, c y d; es decir, depende de A. Por lo tanto concluimos que no toda matriz A de M2×2 pertenece al generado por A1 . 10. Indique en cuáles opciones el conjunto dado sı́ genera a M2×2 : 1. A1 = 2. A2 = 3. A3 = 4. A4 = −1 3 3 3 −5 2 3 −5 6 3 −6 −2 1 −2 , , , −5 −1 , 1 −4 1 5 3 2 6 6 −2 −14 18 22 9 −4 , 2 −3 −24 −12 , , 7 −10 −2 0 −5 6 , −2 −1 18 44 , 15 −3 , 0 −2 −4 −6 , 3 0 , 0 4 6 −6 0 2 , 6 1 1 −4 −4 −5 Es importante observar que lo esencial del resultado anterior es el renglón de ceros a la izquierda de la aumentada: no se generó la totalidad de M2×2 porque tenı́amos este renglón a la izquierda. Si no hubiera ocurrido esto, la consistencia estaba garantizada independientemente de la matriz A. Y por tanto, en este caso se hubiera generado la totalidad de M2×2 . Por consiguiente, para responder la pregunta si un conjunto genera a todo el espacio del cual es parte, no formaremos la matriz aumentada con un elemento cualquiera: sólo pondremos como columnas los elementos del conjunto y reduciremos (o escalonaremos). Si se tiene por lo menos un renglón de cero, concluiremos que el conjunto no genera la totalidad del espacio. Si por otro lado, no tenemos renglones cero entonces el conjunto sı́ genera la totalidad del espacio. Esto nos facilitará mucho los cálculos porque a priori no tendremos variables en la matriz y podremos utilizar el comando rref. −5 −6 1 4 Solución 1. A1 no genera a M2×2 porque al intentar escribir una matriz 2×2 cualquiera a b A= c d como combinación lineal de los formamos la matriz aumentada c1 c2 c3 c4 −1 18 −24 −4 −2 18 0 3 3 22 −12 −6 3 −14 44 4 elementos de A1 y c5 1 a −4 b −4 c −5 d 2. A2 no genera a M2×2 que al ser escalonada obtenemos −1 0 0 0 18 52 0 0 −24 −54 −66/13 0 −4 −12 −6/13 0 1 −1 6/13 0 7 a 3a + b −18/13 a − 19/13 b + c −3 a − 14/3 b + 8/3 c + d porque el construir la matriz cuyas columnas son los elementos de A2 y reducir −5 3 2 −5 1 7 6 9 15 6 rref − −−→ −4 −10 −6 −4 −3 1 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 −1 2 1 0 0 0 0 aparece un renglón de ceros. 3. A3 sı́ genera a M2×2 porque el construir la matriz cuyas columnas son los elementos de A3 y reducir 6 1 3 −2 1 3 5 2 −2 3 1 0 −5 0 rref −−−→ 0 0 0 6 2 0 no aparece ningún renglón de ceros. 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases 8 el proceso en una TI): 5 0 escalonando X −−−−−−−−→ 0 0 5 −1 0 0 4 7/5 27/5 0 1 8/5 28/5 a + 40/27 Para no tener pivote en el último renglón a + 40/27 = 0, de allı́ que el único valor para el cual el conjunto no genera a M2×2 es para a es -40/27. 11. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto formado por las matrices 5 2 5 1 , 1 4 4 4 4 2 3 1 1 , 1 2 a no genere M2×2 . Respuesta: Solución Nuestro resultado clave de referencia para resolver el problema es el siguiente: Si W = Gen {v1 , . . . , vk } es un espacio generado con vectores en Rn , entonces: W = Rn si y sólo si al formar [v1 · · · vk ] y reducir (o escalonar) se tiene pivote en cada renglón. Lo que debemos hacer es vectorizar nuestras matrices para aplicar el resultado anterior. La matriz en cuyas columnas vectores es: 5 5 2 1 X= 1 4 4 4 entran nuestras matrices12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto 4 3 2 1 1 2 1 a Apliquemos operaciones elementales de renglón para escalonar nuestra matriz X (en las siguientes figuras se ilustra B = {p(x) = 1 + a x, q(x) = a + (−2 + 3 a) x} ⊆ P2 es linealmente dependiente. Solución La teorı́a indica que Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases 9 Un conjunto de vectores A = {a1 , . . . , ak } es linealmente independiente si y sólo si en la reducida o escalonada de [a1 · · · ak ] quedan k pivotes. Por consiguiente, debemos escalonar [p(x) q(x)] y obligar que no queden 2 pivotes. Al escalonar la matriz: a −2 + 3 a − a2 0 1 a R2 ←R2 −a R1 −2 + 3 a −−−−−−−−−→ 0 0 0 1 a 0 Para que no queden dos pivotes ser requiere que −2 + 3 a − a2 = 0; Las dos raı́ces de esta ecuación son a1 = 2 y a2 = 1. Por lo tanto; los únicos dos valores de a que hacen que el conjunto B sea linealmente dependiente son 1 y 2 13. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto formado por las matrices A1 = 2 3 3 3 2 1 , A2 = 3 2 2 1 a 5 Observamos que se tienen 3 pivotes y en la única columna sobre la cual podemos intervenir es la columna 4: el conjunto será linealmente dependiente si y sólo si en la cuarta columna no queda pivote: es decir, si y sólo si a = 26/5 14. Considera el conjunto A3 = 1 4 , A4 = 4 5 B = {p(x) = x + x2 , q(x) = 1 + x} ¿Cuáles opciones entre 1. s(x) = 1 2. r(x) = x 3. t(x) = 1 + x sea linealmente dependiente. Solución extienden B a una base para P2 ? La teorı́a indica que Solución La teorı́a indica que Un conjunto de vectores A = {a1 , . . . , ak } es linealmente independiente si y sólo si en la reducida o escalonada de [a1 · · · ak ] quedan k pivotes. Por consiguiente, debemos escalonar [A1 A2 A3 A4 ] y obligar que no queden 4 pivotes. Al escalonar la matriz: 2 3 3 3 3 2 2 1 1 2 4 1 4 2 a escalonando 0 −−−−−−−−−→ 5 0 5 0 3 1 −5/2 1/2 0 2 0 0 4 a−6 5−a 52/2 − 2 a Un conjunto de vectores A = {a1 , . . . , ak } es base para V si y sólo si en la reducida o escalonada de [a1 · · · ak ] queda la matriz identidad. Que quede pivote en cada columna indica que el conjunto es linealmente independiente; que quede pivote en cada renglón indica que el conjunto genera a V . 1. s(x) sı́ extiene B a una porque 0 [p(x) q(x) s(x)] = 1 1 base para P2 , 1 1 0 1 1 rref 0 −−−→ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases queda la matriz identidad. 10 D Ni W1 ⊆ W2 , ni W2 ⊆ W1 2. s(x) sı́ extiene B a una base para P2 , Solución porque 0 [p(x) q(x) r(x)] = 1 1 1 1 0 0 1 rref 1 −−−→ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Para poder responder debemos ver como se comparan entre si: 1. W1 ⊆ W2 es falso, queda la matriz identidad. 3. t(x) no extiene B a una base para P2 , porque al reducir porque 0 [p(x) q(x) t(x)] = 1 1 1 1 0 1 1 rref − − − → 1 0 0 0 0 1 0 −1 1 0 1 0 rref [v4 v5 v6 |v1 v2 v3 ] −−−→ 0 1 0 0 1/3 0 0 0 0 1 0 0 2 0 −1 queda un pivote a la derecha indicando que falla la contención (de hecho, la posición de ese pivote indica que v1 ∈ / W2 ). no queda la matriz identidad. 2. W1 ⊆ W2 es falso, porque al reducir 1 2 rref [v1 v2 v3 |v4 v5 v6 ] −−−→ 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1/3 1 queda un pivote a la derecha indicando que falla la contención (de hecho, la posición de ese pivote indica que v4 ∈ / W2 ). 15. Considere los vectores: v1 v2 v3 v4 v5 v6 = = = = = = −2 + 5 x + 2 x2 −4 + 10 x + 4 x2 2 − 5 x − 2 x2 −12 + 9 x − 9 x2 −6 x + 4 x2 −4 − 3 x + x2 y los subespacios generados: W1 W2 = = Gen {v1 , v2 , v3 } Gen {v4 , v5 , v6 } ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? A W1 = W2 B Sólo W1 ⊆ W2 C Sólo W2 ⊆ W1 Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases 16. En M2×2 considere los vectores: v1 v2 v3 v4 v5 v6 = = = = = = porque al reducir 5 E1,1 − 3 E1,2 + 6 E2,1 − 2 E2,2 −5 E1,1 − 3 E1,2 + 2 E2,1 + 3 E2,2 −3 E1,1 + 2 E1,2 − 3 E2,1 + 3 E2,2 −10 E1,1 − 24 E1,2 + 28 E2,1 + 9 E2,2 10 E1,1 − 12 E1,2 + 20 E2,1 − 3 E2,2 −30 E1,2 + 40 E2,1 + 5 E2,2 y los subespacios generados: W1 W2 = Gen {v1 , v2 , v3 } = Gen {v4 , v5 , v6 } ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? A Ni W1 ⊆ W2 , ni W2 ⊆ W1 B Sólo W2 ⊆ W1 C W1 = W2 D Sólo W1 ⊆ W2 11 1 0 5/6 0 1 5/6 rref [v4 v5 v6 |v1 v2 v3 ] −−−→ 0 0 0 0 0 0 −1/12 1/4 0 5/12 −1/4 0 0 0 1 0 0 0 queda un pivote a la derecha indicando que falla la contención (de hecho, la posición de ese pivote indica que v3 ∈ / W2 ). 2. W1 ⊆ W2 es cierto, porque al reducir 1 0 0 0 1 0 rref [v1 v2 v3 |v4 v5 v6 ] −−−→ 0 0 1 0 0 0 3 5 0 0 3 1 0 0 5 5 0 0 no queda ningún pivote a la derecha indicando que la contención es cierta. Solución Recuerde que significa Ei,j : son matrices de ceros, excepto que en la posición (i, j) tienen un 1. El contexto indicará el tamaño de la matriz. A tener como referencia las matrices 2 × 2, M2×2 , tenemos 1 0 0 = 1 E1,1 = E2,1 0 0 E1,2 = 0 0 0 0 E2,2 = 0 0 1 0 0 1 por tanto, al hacer las multiplicaciones y sumar tendremos: 5 −3 v1 = 5 E1,1 − 3 E1,2 + 6 E2,1 − 2 E2,2 = 6 −2 −5 −3 v2 = −5 E1,1 − 3 E1,2 + 2 E2,1 + 3 E2,2 = 2 3 −3 2 v3 = −3 E1,1 + 2 E1,2 − 3 E2,1 + 3 E2,2 = −3 3 −10 −24 v4 = −10 E1,1 − 24 E1,2 + 28 E2,1 + 9 E2,2 = 28 9 10 −12 v5 = 10 E1,1 − 12 E1,2 + 20 E2,1 − 3 E2,2 = 20 −3 17. En M2×2 considere los vectores: 0 −30 v6 = −30 E1,2 + 40 E2,1 + 5 E2,2 = v1 = 10 E1,2 − 16 E2,1 + 22 E2,2 40 5 v2 = −10 E1,2 + 16 E2,1 − 22 E2,2 v3 = −5 E1,2 + 8 E2,1 − 11 E2,2 Para poder responder debemos ver como se comparan env4 = −6 E1,1 − 2 E1,2 − 7 E2,1 + 7 E2,2 tre si: v5 = 2 E1,1 − E1,2 + 5 E2,1 − 6 E2,2 1. W1 ⊆ W2 es falso, v6 = −2 E1,1 − 4 E1,2 + 3 E2,1 − 5 E2,2 Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases no está en W1 es por ejemplo v4 (la ubicación del pivote a la derecha nos indica el vector que no pertenece al espacio generado a la izquierda). En resumen, nuestra situación se describe como: y los subespacios generados: W1 W2 12 = Gen {v1 , v2 , v3 } = Gen {v4 , v5 , v6 } ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? A Sólo W2 ⊆ W1 B Ni W1 ⊆ W2 , ni W2 ⊆ W1 C W1 = W2 D Sólo W1 ⊆ W2 W1 ⊆ W2 y W2 6⊆ W1 W2 v4 W1 Solución Las siguientes figuras ilustran los cálculos en una TI. Observe que es más cómodo capturar los vectores como renglones en una matriz y después transponerla. Observe también que las matrices deben vectorizarse. Para poder comparar los espacios generados en términos de si uno de ellos contiene al otro utilizaremos nuestro resultado clave de comparación: Para dos espacios generados W1 = Gen {a1 , . . . , an } y W2 = Gen {b1 , . . . , bm }, un espacio contiene al otro si y sólo si contiene a los generadores: W1 ⊆ W2 si y sólo si cada ai ∈ W2 Otra cosa que debemos recordar es que la matriz de ceros que tienen un uno en ası́ 0 10 v1 = v2 = −16 22 0 −5 v3 = v4 = 8 −11 2 −1 v5 = v6 = 5 −6 la matriz Ei,j es la posición (i, j), 0 −10 16 −22 −6 −7 −2 7 −2 3 −4 −5 −2 −6 0 0 2 6 0 0 1 3 0 0 ¿W1 ⊆ W2 ? es cierto, porque al reducir 1 0 rref [v4 v5 v6 |v1 v2 v3 ] −−−→ 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 no aparecen pivotes a la derecha, concluimos que sı́ se cumple la contención es decir, W1 ⊆ W2 . 18. Considere los vectores: ¿W2 ⊆ W1 ? es falso, porque al reducir 1 0 rref [v1 v2 v3 |v4 v5 v6 ] −−−→ 0 0 −1 −1/2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −1/6 −1/3 −1/3 1/3 0 0 0 0 aparecen pivotes a la derecha, concluimos que no se cumple la contención es decir, W2 6⊆ W1 . Un vector de W2 que v1 v2 v3 v4 v5 = = = = = −3 − 6 x − x2 − 3 x3 2 + 6 x2 + 4 x3 4 + 3 x − 4 x2 − x3 −2 − 3 x + 10 x2 + 5 x3 −6 − 18 x2 − 12 x3 y suponga que W = Gen {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases Indique qué opciones contienen vectores que no se pueden remover del generador y que el conjunto restante siga generando W 13 3. v1 , v3 no se pueden remover simultáneamente, porque en la reducida de: 1 0 0 1 [v2 v3 v5 |v1 v4 ] → rref 0 0 0 0 1. v1 , v4 2. v2 , v5 3. v1 , v3 4. v2 , v3 −3 0 0 0 0 0 1 0 1 −1 0 0 queda un pivote a la derecha. 5. v2 6. v1 Solución Para remover simultáneamente los vectores indicados, debemos ver si simultáneamente son combinación lineal de los vectores que se quedarán en el conjunto generador. 1. v1 , v4 no se pueden remover simultáneamente, porque en la reducida de: 1 0 0 1 [v2 v3 v5 |v1 v4 ] → rref 0 0 0 0 −3 0 0 0 0 0 1 0 1 −1 0 0 queda un pivote a la derecha. 2. v2 , v5 sı́ se pueden remover simultáneamente, porque en la reducida de: 1 0 0 0 1 0 [v1 v3 v4 |v2 v5 ] → rref 0 0 1 0 0 0 no queda ningún pivote a la derecha. 0 1 1 0 0 −3 −3 0