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Algebra Lineal
Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)
1. Indique si la matriz
2. Indique si el polinomio
4
−3
A=
2
1
p(x) = 11 − 2 x − 8 x3
es una combinación lineal de los polinomios:
es una combinación lineal de las matrices:
3 1
A1 =
0 4
A2 =
6
0
2
8
p1 (x) = 2 − x − 3 x3
p2 (x) = 1 + 2 x + 4 x2 + 4 x3
y
p3 (x) = −3 + x + 2 x2 + 3 x3
y
A3 =
4
0
−2
4
A
Cierto
B
Falso
Solución
Debemos ver si acaso existen escalares c1 , c2 y c3 tales que
A
Cierto
B
Falso
c1 p1 (x) + c2 p2 (x) + c3 p3 (x) = p(x)
(2)
Al sustituir los polinomios, desarrollar los productos y
agrupar respecto a las potencias de x el lado izquierdo,
lo anterior se convierte en:
Solución
Debemos ver si acaso existen escalares c1 , c2 y c3 tales que
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = A
(1)
Al desarrollar el lado izquierdo, lo anterior se convierte en:
"
# 3 c1 + 6 c2 + 4 c3 1 c1 + 2 c2 −2 c3
4 2
=
−3 1
0 c1 + 0 c2 + 0 c3 4 c1 + 8 c2 + 4 c3
Entonces para la igualdad se debe cumplir:
elemento
elemento
elemento
elemento
(1, 1) :
(1, 2) :
(2, 1) :
(2, 2) :
3 c1 + 6 c2 + 4 c3
1 c1 + 2 c2 −2 c3
0 c1 + 0 c2 + 0 c3
4 c1 + 8 c2 + 4 c3
=
=
=
=
4
2
−3
1
(2 c1 + 1 c2 −2 c3 ) +
(−1 c1 + 2 c2 + 1 c3 ) x+
(0 c1 + 4 c2 + 2 c3 ) x2 +
(−3 c1 + 4 c2 + 3 c3 ) x3 =
11 − 2 x + 0 x2 − 8 x3
por lo tanto, c1 , c2 y c3 deben balancear ambos miembros
de la igualdad, es decir deben cumplir:
constante :
coef. en x :
coef. en x2 :
coef. en x3 :
2 c1 + 1 c2 −3 c3
−1 c1 + 2 c2 + 1 c3
0 c1 + 4 c2 + 2 c3
−3 c1 + 4 c2 + 3 c3
= 11
= −2
=
0
= −8
Esto es un SEL que tiene como matriz aumentada:









c1
3
1
0
4
A1
c2
6
2
0
8
A2
c3
4
−2
0
4
A3
rhs
4
2
−3
1
A









para analizar el SEL no hace falta reducir: será inconsistente por el renglón 3. Concluimos que no existen escalares
c1 , c2 y c3 que cumplan la relación 1. Por tanto, es falso
que A sea combinación lineal de A1 , A2 y A3 esto es un SEL cuya aumentada es

c1
c2
c3
rhs

2
1
−2
11


−1
2
1
−2

A=

0
4
2
0


−3
4
3
−8
p1 (x) p2 (x) p3 (x) p(x)









Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
al reducirla obtenemos

c1
 1


 0

 0
0
c2
0
1
0
0
2
2. p4 (x) ∈ Gen {p1 (x)} cierto, porque



c1
rhs
c1
rhs



11
33  rref 
1
3


 −−−→ 
5
15 
0
0


p1 (x) p4 (x)
p1 (x) p4 (x)

c3 rhs
0
0 


0
0 

0 
1
0
1





da consistente (p4 (x) = 3 p1 (x))
3. p1 (x) ∈ Gen {p2 (x), p3 (x)} cierto, porque



c1
c2
c1
c2
rhs
rhs



5
6
11  rref 
1
0
1


 −−−→ 
5 
1
2
3
0
1


p2 (x) p3 (x) p1 (x)
p2 (x) p3 (x) p1 (x)





da consistente (p1 (x) = 1 · p2 (x) + 1 · p3 (x))
4. p2 (x) ∈ Gen {p1 (x), p4 (x)} falso, porque



c1
c2
rhs
c1
c2
rhs



11
33
5
1
3
0
rref




 −−−→ 
5
15
2 
0
0
1


p1 (x) p4 (x) p2 (x)
p1 (x) p4 (x) p2 (x)
da inconsistente.
Concluimos que el SEL es inconsistente. Por tanto, no existen escalares c1 , c2 y c3 que cumplan la relación 2. Por tanto, es falso que p(x) sea una combinación lineal de p1 (x),
p2 (x) y p3 (x) 3. Si
p1 (x) = 11 + 5 x, p2 (x) = 5 + 2 x, p3 (x) = 6 + 3 x, p4 (x) = 33+15 x
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. p4 (x) ∈ Gen {p3 (x)}
3. p1 (x) ∈ Gen {p2 (x), p3 (x)}
5. p2 (x) ∈ Gen {p1 (x), p3 (x)}
2. p4 (x) ∈ Gen {p1 (x)}
4. Si
4. p2 (x) ∈ Gen {p1 (x), p4 (x)}
6. p1 (x) ∈ Gen {p4 (x)}
A1
=
Solución
A3
1. p4 (x) ∈ Gen {p3 (x)} falso, porque





c1
rhs
6
33
3
15
p3 (x) p4 (x)
da inconsistente.

=
6
4
15
7
6
2
A2
21
−7
A4
3
1
12
8
=
=
5
−3
12
4
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:

c1

 rref 
 −−−→  1

0

rhs

0 
1
1. A4 ∈ Gen{A2 , A3 }
3. A1 ∈ Gen{A2 , A3 }
5. A3 ∈ Gen{A1 , A2 }
Solución
2. A4 ∈ Gen{A3 }
4. A1 ∈ Gen{A4 }
6. A4 ∈ Gen{A1 }





Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
3
1. A4 ∈ Gen{A2 , A3 } cierto, porque









c1
3
5
1
−3
A2
c2
15
21
7
−7
A3
rhs
12
12
8
4
A4








 rref 
 −−−→ 






c1
1
0
0
0
A2
c2
0
1
0
0
A3
rhs
−6
2
0
0
A4









da consistente (A4 = −6 · A2 + 2 · A3 ).
2. A4 ∈ Gen{A3 } falso, porque











c1 rhs
c1
 1
15 12 




5 12  rref  0
 −−−→ 
 0
1
8 


 0
−3
4 
A3 A4
A3
rhs
0
1
0
0
A4









5. Qué valor debe tener a para que el polinomio:
da inconsistente.
p(x) = a − 2 x
3. A1 ∈ Gen{A2 , A3 } falso, porque

c1
 3


 5

 1

 −3
A2
c2
15
21
7
−7
A3
rhs
6
6
4
2
A1








 rref 
 −−−→ 






c1
1
0
0
0
A2
sea una combinación lineal de los polinomios:
c2
0
1
0
0
A3
rhs
−3
1
0
0
A1

rhs
1
3
0
0
A3









4. A1 ∈ Gen{A4 } cierto, porque se ve que
1
· A4
2
5. A3 ∈ Gen{A1 , A2 } falso, porque









c1
6
6
4
2
A1
c2
3
5
1
−3
A2
rhs
15
21
7
−7
A3








 rref 
 −−−→ 






c1
1
0
0
0
A1
c2
0
1
0
0
A2
es consistente (A3 = 1 · A1 + 3 · A2 ).
6. A4 ∈ Gen{A1 } cierto , porque se ve que
A4 = 2 · A1
Solución
Buscamos el valor de a que nos dé la consistencia de la
matriz aumentada:


c1
c2
c3
rhs

1
−1
−1
a 




−2 
0
1
1




1
−1
4
0 



1
1
1
0 
p1 (x) p2 (x) p3 (x) p(x)
es consistente (A1 = −3 · A2 + 1 · A3 ).
A1 =
p1 (x) = 1 + x2 + x3
p2 (x) = −1 + x − x2 + x3
p3 (x) = −1 + x + 4 x2 + x3








como la matriz tiene variables, no podemos utilizar rref;
pero la consistencia está dada por la escalonada. Si escalonamos haciendo las operaciones elementales de renglón:
1.- R3 ← R3 − R1
2.- R4 ← R4 − R1
3.- R4 ← R4 − 2 R2
obtenemos:
1
 0

 0
0


−1 −1
a
1
1 −2 

0
5 −a 
0
0 4−a
Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
4
obtenemos la matriz

2 2
 0 3

 0 0
0 0

0
−2
−1 −12 


−1
3
0 a + 10
por lo tanto, habrá consistencia si y sólo si no queda pivote en la columna de las constantes, es decir, si y sólo si
4 − a = 0; es decir, si y sólo si a = 4 6. Qué valor debe tener a para que la matriz:
A=
−12
3
−2
a
sea una combinación lineal de las matrices:
0
2
A1 =
0 −3
3
2
A2 =
−1 −1
−1 0
A3 =
0 1
Solución
Requerimos encontrar el valor de a que nos garantice que
sea consistente el sistema con aumentada


c1 c2 c3 rhs
 0
3 −1 −12 




2
0
−2 
 2


 0 −1
0
3 


 −3 −1
1
a 
A1 A2 A3
A
por lo tanto, habrá consistencia si y sólo si no queda pivote en la columna de las constantes, es decir, si y sólo si
a + 10 = 0; es decir, si y sólo si a = −10 7. Sobre el valor del parámetro x de la matriz
−1 1 − 2 x
A=
3+x
−3
para que pertenezca al espacio que generan las matrices
0 −2
A1 =
1
0
A2
como la matriz contiene variables, no podemos utilizar
rref; escalonaremos y aplicaremos la condición de consistencia. Haciendo las operaciones elementales de renglón
A3
1. R1 ↔ R2
0
2
−2
−1
1
0
0
3
=
=
se puede decir que . . .
2. R4 ← R4 +
3
2
R1
3. R4 ← R4 −
2
3
R2
A
para ningún valor pertence.
4. R4 ← R4 +
5
3
R3
B
hay una infinidad de valores.
Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
C
5
hay un único valor.
Solución
Buscamos los valores de x que nos garanticen que existen
constantes c1 , c2 y c3 tales que
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = A
es decir, que hagan que sea consistente la matriz aumentada:


c1 c2 c3
rhs
 0
0
1
−1 




0 1 − 2x 
 −2 −2


 1
2
0 3+x 


 0 −1
−3 
3
A1 A2 A3
A
como la matriz contiene variables, no podemos utilizar
rref; escalonaremos y aplicaremos la condición de consistencia. Haciendo las operaciones elementales de renglón
1. R2 ← R2 −
1
2
R1
2. R3 ← R3 +
1
2
R1
3. R4 ← R4 +
3
2
R1
4. R3 ← R3 −
5
3
R2
5. R4 ← R4 −
5
3
R2
6. R4 ← R4 −
22
16
8. Sobre el valor del parámetro x de la matriz
2 − 2 x −3 − x
A=
−2 + x
3x
para que pertenezca al espacio que generan las matrices
−2 −1
A1 =
1
3
R3
obtenemos la matriz

−2
3
3 2 − 2x
 0 3/2 −7/2
−4 


 0
0 16/3 17/3 
0
0
0 15/8

observamos que el sistema es inconsistente independientemente del valor de x: no existe un valor de x que haga que
A sea una combinación lineal de A1 , A2 y de A3 A2
=
A3
=
3
1
3
−2
3
−2
−2
−3
se puede decir que . . .
A
hay una infinidad de valores.
B
para ningún valor pertence.
C
hay un único valor.
Solución
Buscamos los valores de x que nos garanticen que existen
constantes c1 , c2 y c3 tales que
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = A
es decir, que hagan que sea consistente la matriz aumentada:


c1 c2 c3
rhs
 −2
3
3 2 − 2x 




3 −2 −3 − x 
 −1


 1
1 −2 −2 + x 


 3 −2 −3
3x 
A1 A2 A3
A
Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
como la matriz contiene variables, no podemos utilizar
rref; escalonaremos y aplicaremos la condición de consistencia. Haciendo las operaciones elementales de renglón
1. R2 ← R2 −
2. R3 ← R3 +
3. R4 ← R4 +
4. R3 ← R3 −
5. R4 ← R4 −
6. R4 ← R4 −
1
2 R1
1
2 R1
3
2 R1
5
3 R2
5
3 R2
22
16 R3
obtenemos la matriz

−2
3
3 2 − 2x
 0 3/2 −7/2
−4

 0
0 16/3 17/3
0
0
0 15/8
6
Debemos ver si todo polinomio p(x) = a + b x + c x2 es
combinación lineal de p1 (x), p2 (x) y de p3 (x). Para ello
debemos ver si siempre es consistente el sistema con matriz aumentada:


c1
c2
c3 rhs

0
1
−1
a 




1
1
0
b 




1
0
1
c 
p1 (x) p2 (x) p3 (x) p(x)
como la matriz contiene variables, no podemos utilizar
rref; escalonaremos y aplicaremos la condición de consistencia. Haciendo las operaciones elementales de renglón

1. R1 ↔ R2



2. R3 ← R3 − R1
3. R3 ← R3 + R2
obtenemos la matriz

1 1
 0 1
0 0

0
b

−1
a
0 a−b+c
observamos que el sistema es inconsistente independientemente del valor de x: no existe un valor de x que haga que
A sea una combinación lineal de A1 , A2 y de A3 9. Indique si V = P2 , donde
V = Gen p1 (x) = x + x2 , p2 (x) = 1 + x, p3 (x) = −1 + x2
A
Falso
B
Cierto
Solución
observamos que la consistencia depende de la expresión
a − b + c, es decir, depende de p(x): Si por ejemplo
p(x) = 1 + 2 x + x2 (a = 1, b = 2 y c = 1: a − b + c = 0),
p(x) si está en V (al ser combinación lineal de p1 (x), p2 (x)
y p3 (x)); pero para p(x) = 1 + x + x2 (a = 1, b = 1 y c = 1
da a − b + c = 1 6= 0) no es combinación lineal de p1 (x),
p2 (x) y p3 (x) (al dar inconsistente el SEL). Concluimos
que el espacio generado por los polinomios p1 (x), p2 (x) y
p3 (x) no es todo P2 : Es falso que V = P2 Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
y observamos que la consistencia depende de los valores de a, b, c y d; es decir, depende de A. Por lo tanto
concluimos que no toda matriz A de M2×2 pertenece
al generado por A1 .
10. Indique en cuáles opciones el conjunto dado sı́ genera a
M2×2 :
1.
A1 =
2.
A2 =
3.
A3 =
4.
A4 =
−1
3
3
3
−5
2
3
−5
6
3
−6
−2
1
−2
,
,
,
−5
−1
,
1
−4
1
5
3
2
6
6
−2
−14
18
22
9
−4
,
2
−3
−24
−12
,
,
7
−10
−2
0
−5
6
,
−2
−1
18
44
,
15
−3
,
0
−2
−4
−6
,
3
0
,
0
4
6
−6
0
2
,
6
1
1
−4
−4
−5
Es importante observar que lo esencial del resultado
anterior es el renglón de ceros a la izquierda de la aumentada: no se generó la totalidad de M2×2 porque
tenı́amos este renglón a la izquierda. Si no hubiera
ocurrido esto, la consistencia estaba garantizada independientemente de la matriz A. Y por tanto, en
este caso se hubiera generado la totalidad de M2×2 .
Por consiguiente, para responder la pregunta si un
conjunto genera a todo el espacio del cual es parte, no formaremos la matriz aumentada con un elemento cualquiera: sólo pondremos como columnas los
elementos del conjunto y reduciremos (o escalonaremos). Si se tiene por lo menos un renglón de cero,
concluiremos que el conjunto no genera la totalidad
del espacio. Si por otro lado, no tenemos renglones
cero entonces el conjunto sı́ genera la totalidad del
espacio. Esto nos facilitará mucho los cálculos porque a priori no tendremos variables en la matriz y
podremos utilizar el comando rref.
−5
−6
1
4
Solución
1. A1 no genera a M2×2
porque al intentar escribir una matriz 2×2 cualquiera
a b
A=
c d
como combinación lineal de los
formamos la matriz aumentada

c1
c2
c3 c4
 −1
18
−24
−4


−2
18
0
 3

 3
22 −12 −6
3 −14
44
4
elementos de A1 y

c5
1 a 


−4 b 

−4 c 
−5 d
2. A2 no genera a M2×2
que al ser escalonada obtenemos





−1
0
0
0
18
52
0
0
−24
−54
−66/13
0
−4
−12
−6/13
0
1
−1
6/13
0
7
a
3a + b
−18/13 a − 19/13 b + c
−3 a − 14/3 b + 8/3 c + d





porque el construir la matriz cuyas columnas son los
elementos de A2 y reducir
−5
 3

 2
−5



1
7
6
9
15
6 
rref 
−
−−→ 

−4 −10 −6 
−4 −3
1
1
0
0
0
0
1
0
0

−1 −1
2
1 

0
0 
0
0
aparece un renglón de ceros.
3. A3 sı́ genera a M2×2
porque el construir la matriz cuyas columnas son los
elementos de A3 y reducir
6
 1

 3
−2

1
3
5
2


−2 3
1
 0
−5 0 
rref
 −−−→ 
 0
0 0 
6 2
0
no aparece ningún renglón de ceros.
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0 

0 
1
Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
8
el proceso en una TI):
5

0
escalonando
X −−−−−−−−→ 
 0
0

5
−1
0
0
4
7/5
27/5
0

1

8/5


28/5
a + 40/27
Para no tener pivote en el último renglón a + 40/27 = 0,
de allı́ que el único valor para el cual el conjunto no genera
a M2×2 es para a es -40/27.
11. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices
5 2
5 1
,
1 4
4 4
4
2
3
1
1
,
1
2
a
no genere M2×2 .
Respuesta:
Solución
Nuestro resultado clave de referencia para resolver el problema es el siguiente:
Si W = Gen {v1 , . . . , vk } es un espacio generado
con vectores en Rn , entonces: W = Rn si y sólo
si al formar [v1 · · · vk ] y reducir (o escalonar) se
tiene pivote en cada renglón.
Lo que debemos hacer es vectorizar nuestras matrices para
aplicar el resultado anterior.
La matriz en cuyas columnas
vectores es:

5 5
 2 1
X=
 1 4
4 4
entran nuestras matrices12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
4
3
2
1

1
2 

1 
a
Apliquemos operaciones elementales de renglón para escalonar nuestra matriz X (en las siguientes figuras se ilustra
B = {p(x) = 1 + a x, q(x) = a + (−2 + 3 a) x} ⊆ P2
es linealmente dependiente.
Solución
La teorı́a indica que
Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
9
Un conjunto de vectores A = {a1 , . . . , ak } es
linealmente independiente si y sólo si en la reducida o escalonada de [a1 · · · ak ] quedan k pivotes.
Por consiguiente, debemos escalonar [p(x) q(x)] y obligar
que no queden 2 pivotes. Al escalonar la matriz:

a
−2 + 3 a − a2 
0


1
a
R2 ←R2 −a R1


−2 + 3 a −−−−−−−−−→ 0
0
0

1
 a
0
Para que no queden dos pivotes ser requiere que −2 +
3 a − a2 = 0; Las dos raı́ces de esta ecuación son a1 = 2 y
a2 = 1. Por lo tanto; los únicos dos valores de a que hacen
que el conjunto B sea linealmente dependiente son 1 y 2
13. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices
A1 =
2
3
3
3
2
1
, A2 =
3
2
2
1
a
5
Observamos que se tienen 3 pivotes y en la única columna
sobre la cual podemos intervenir es la columna 4: el conjunto será linealmente dependiente si y sólo si en la cuarta
columna no queda pivote: es decir, si y sólo si a = 26/5 14. Considera el conjunto
A3 =
1
4
, A4 =
4
5
B = {p(x) = x + x2 , q(x) = 1 + x}
¿Cuáles opciones entre
1. s(x) = 1
2. r(x) = x
3. t(x) = 1 + x
sea linealmente dependiente.
Solución
extienden B a una base para P2 ?
La teorı́a indica que
Solución
La teorı́a indica que
Un conjunto de vectores A = {a1 , . . . , ak } es
linealmente independiente si y sólo si en la reducida o escalonada de [a1 · · · ak ] quedan k pivotes.
Por consiguiente, debemos escalonar [A1 A2 A3 A4 ] y obligar que no queden 4 pivotes. Al escalonar la matriz:
2
 3

 3
3

3
2
2
1
1
2
4
1


4
2


a  escalonando  0
−−−−−−−−−→ 
5 
0
5
0
3
1
−5/2 1/2
0
2
0
0

4
a−6 

5−a 
52/2 − 2 a
Un conjunto de vectores A = {a1 , . . . , ak } es
base para V si y sólo si en la reducida o escalonada de [a1 · · · ak ] queda la matriz identidad.
Que quede pivote en cada columna indica que el
conjunto es linealmente independiente; que quede pivote en cada renglón indica que el conjunto
genera a V .
1. s(x) sı́ extiene B a una
porque

0
[p(x) q(x) s(x)] =  1
1
base para P2 ,
1
1
0


1
1
rref
0  −−−→  0
0
0
0
1
0

0
0 
1
Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
queda la matriz identidad.
10
D
Ni W1 ⊆ W2 , ni W2 ⊆ W1
2. s(x) sı́ extiene B a una base para P2 ,
Solución
porque

0
[p(x) q(x) r(x)] =  1
1
1
1
0


0
1
rref
1  −−−→  0
0
0
0
1
0

0
0 
1
Para poder responder debemos ver como se comparan entre si:
1. W1 ⊆ W2 es falso,
queda la matriz identidad.
3. t(x) no extiene B a una base para P2 ,
porque al reducir
porque

0
[p(x) q(x) t(x)] =  1
1
1
1
0


1
1
rref 

−
−
−
→
1
0
0
0
0
1
0
−1
1 
0


1 0
rref 
[v4 v5 v6 |v1 v2 v3 ] −−−→ 0 1
0 0
1/3 0
0 0
0 1
0
0
2
0


−1
queda un pivote a la derecha indicando que falla la
contención (de hecho, la posición de ese pivote indica
que v1 ∈
/ W2 ).
no queda la matriz identidad.
2. W1 ⊆ W2 es falso, porque al reducir

1 2
rref
[v1 v2 v3 |v4 v5 v6 ] −−−→  0 0
0 0
−1 0
0 1
0 0
0
0
1

0
1/3 
1
queda un pivote a la derecha indicando que falla la
contención (de hecho, la posición de ese pivote indica
que v4 ∈
/ W2 ).
15. Considere los vectores:
v1
v2
v3
v4
v5
v6
=
=
=
=
=
=
−2 + 5 x + 2 x2
−4 + 10 x + 4 x2
2 − 5 x − 2 x2
−12 + 9 x − 9 x2
−6 x + 4 x2
−4 − 3 x + x2
y los subespacios generados:
W1
W2
=
=
Gen {v1 , v2 , v3 }
Gen {v4 , v5 , v6 }
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A
W1 = W2
B
Sólo W1 ⊆ W2
C
Sólo W2 ⊆ W1
Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
16. En M2×2 considere los vectores:
v1
v2
v3
v4
v5
v6
=
=
=
=
=
=
porque al reducir
5 E1,1 − 3 E1,2 + 6 E2,1 − 2 E2,2
−5 E1,1 − 3 E1,2 + 2 E2,1 + 3 E2,2
−3 E1,1 + 2 E1,2 − 3 E2,1 + 3 E2,2
−10 E1,1 − 24 E1,2 + 28 E2,1 + 9 E2,2
10 E1,1 − 12 E1,2 + 20 E2,1 − 3 E2,2
−30 E1,2 + 40 E2,1 + 5 E2,2
y los subespacios generados:
W1
W2
= Gen {v1 , v2 , v3 }
= Gen {v4 , v5 , v6 }
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A
Ni W1 ⊆ W2 , ni W2 ⊆ W1
B
Sólo W2 ⊆ W1
C
W1 = W2
D
Sólo W1 ⊆ W2
11
1 0 5/6
0 1 5/6
rref 
[v4 v5 v6 |v1 v2 v3 ] −−−→ 
 0 0
0
0 0
0


−1/12
1/4 0
5/12 −1/4 0 

0
0 1 
0
0 0
queda un pivote a la derecha indicando que falla la
contención (de hecho, la posición de ese pivote indica
que v3 ∈
/ W2 ).
2. W1 ⊆ W2 es cierto, porque al reducir

1 0 0
0
1 0
rref 
[v1 v2 v3 |v4 v5 v6 ] −−−→ 
 0 0 1
0 0 0
3
5
0
0
3
1
0
0

5
5 

0 
0
no queda ningún pivote a la derecha indicando que
la contención es cierta.
Solución
Recuerde que significa Ei,j : son matrices de ceros, excepto
que en la posición (i, j) tienen un 1. El contexto indicará el
tamaño de la matriz. A tener como referencia las matrices
2 × 2, M2×2 , tenemos
1
0
0
=
1
E1,1 =
E2,1
0
0
E1,2 =
0
0
0
0
E2,2 =
0
0
1
0
0
1
por tanto, al hacer las multiplicaciones y sumar tendremos:
5 −3
v1 = 5 E1,1 − 3 E1,2 + 6 E2,1 − 2 E2,2 =
6 −2
−5 −3
v2 = −5 E1,1 − 3 E1,2 + 2 E2,1 + 3 E2,2 =
2
3
−3 2
v3 = −3 E1,1 + 2 E1,2 − 3 E2,1 + 3 E2,2 =
−3 3
−10 −24
v4 = −10 E1,1 − 24 E1,2 + 28 E2,1 + 9 E2,2 =
28
9
10 −12
v5 = 10 E1,1 − 12 E1,2 + 20 E2,1 − 3 E2,2 =
20
−3 17. En M2×2 considere los vectores:
0 −30
v6 = −30 E1,2 + 40 E2,1 + 5 E2,2 =
v1 = 10 E1,2 − 16 E2,1 + 22 E2,2
40
5
v2 = −10 E1,2 + 16 E2,1 − 22 E2,2
v3 = −5 E1,2 + 8 E2,1 − 11 E2,2
Para poder responder debemos ver como se comparan env4 = −6 E1,1 − 2 E1,2 − 7 E2,1 + 7 E2,2
tre si:
v5 = 2 E1,1 − E1,2 + 5 E2,1 − 6 E2,2
1. W1 ⊆ W2 es falso,
v6 = −2 E1,1 − 4 E1,2 + 3 E2,1 − 5 E2,2
Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
no está en W1 es por ejemplo v4 (la ubicación del pivote a
la derecha nos indica el vector que no pertenece al espacio
generado a la izquierda). En resumen, nuestra situación se
describe como:
y los subespacios generados:
W1
W2
12
= Gen {v1 , v2 , v3 }
= Gen {v4 , v5 , v6 }
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A
Sólo W2 ⊆ W1
B
Ni W1 ⊆ W2 , ni W2 ⊆ W1
C
W1 = W2
D
Sólo W1 ⊆ W2
W1 ⊆ W2 y W2 6⊆ W1
W2
v4
W1
Solución
Las siguientes figuras ilustran los cálculos en una TI. Observe que es más cómodo capturar los vectores como renglones en una matriz y después transponerla. Observe también que las matrices deben vectorizarse.
Para poder comparar los espacios generados en términos
de si uno de ellos contiene al otro utilizaremos nuestro
resultado clave de comparación:
Para dos espacios generados W1
=
Gen {a1 , . . . , an } y W2 = Gen {b1 , . . . , bm },
un espacio contiene al otro si y sólo si contiene
a los generadores:
W1 ⊆ W2 si y sólo si cada ai ∈ W2
Otra cosa que debemos recordar es que
la matriz de ceros que tienen un uno en
ası́
0 10
v1 =
v2 =
−16 22
0 −5
v3 =
v4 =
8 −11
2 −1
v5 =
v6 =
5 −6
la matriz Ei,j es
la posición (i, j),
0 −10
16 −22
−6
−7
−2
7
−2
3
−4
−5
−2
−6
0
0
2
6
0
0

1
3 

0 
0
¿W1 ⊆ W2 ? es cierto, porque al reducir
1

0
rref
[v4 v5 v6 |v1 v2 v3 ] −−−→ 
 0
0

0 1
1 2
0 0
0 0
no aparecen pivotes a la derecha, concluimos que sı́ se
cumple la contención es decir, W1 ⊆ W2 .
18. Considere los vectores:
¿W2 ⊆ W1 ? es falso, porque al reducir
1
0
rref 
[v1 v2 v3 |v4 v5 v6 ] −−−→ 
 0
0

−1 −1/2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
−1/6 −1/3
−1/3
1/3 

0
0 
0
0
aparecen pivotes a la derecha, concluimos que no se cumple la contención es decir, W2 6⊆ W1 . Un vector de W2 que

v1
v2
v3
v4
v5
=
=
=
=
=
−3 − 6 x − x2 − 3 x3
2 + 6 x2 + 4 x3
4 + 3 x − 4 x2 − x3
−2 − 3 x + 10 x2 + 5 x3
−6 − 18 x2 − 12 x3
y suponga que
W = Gen {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases
Indique qué opciones contienen vectores que no se pueden remover del generador y que el conjunto restante siga
generando W
13
3. v1 , v3 no se pueden remover simultáneamente,
porque en la reducida de:
1 0
 0 1
[v2 v3 v5 |v1 v4 ] → rref 
 0 0
0 0

1. v1 , v4
2. v2 , v5
3. v1 , v3
4. v2 , v3
−3
0
0
0
0
0
1
0

1
−1 

0 
0
queda un pivote a la derecha.
5. v2
6. v1
Solución
Para remover simultáneamente los vectores indicados, debemos ver si simultáneamente son combinación lineal de
los vectores que se quedarán en el conjunto generador.
1. v1 , v4 no se pueden remover simultáneamente,
porque en la reducida de:
1 0
 0 1
[v2 v3 v5 |v1 v4 ] → rref 
 0 0
0 0

−3
0
0
0
0
0
1
0

1
−1 

0 
0
queda un pivote a la derecha.
2. v2 , v5 sı́ se pueden remover simultáneamente,
porque en la reducida de:
1 0 0
 0 1 0
[v1 v3 v4 |v2 v5 ] → rref 
 0 0 1
0 0 0

no queda ningún pivote a la derecha.
0
1
1
0

0
−3 

−3 
0