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Corriente en un transistor de efecto de campo
Sánchez Leandro Sebastián
Estudiante de Ingeniería Electrónica
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
[email protected]
Junio 2013
Resumen: En este informe se mostrara la utilidad del uso de las propiedades de funciones armónicas para el análisis del
comportamiento de los campos eléctricos generados en los transistores y el cálculo de la corriente de salida de los mismos.
Palabras clave: campo, canal, mapeo, longitud
I.
INTRODUCCIÓN
El cálculo de la corriente de salida de un transistor de efecto de campo, puede ser engorroso al momento de
describir el comportamiento de los campos eléctricos a lo largo del canal del transistor, por ese motivo se intenta,
a través del desarrollo de las propiedades de funciones armónicas la simplificación de las ecuaciones de corriente
del transistor.
El transistor de efecto de campo, FET por su nombre en inglés “Field Effect Transistor”, crea un campo
eléctrico, producido por la señal de entrada del mismo, que regula el paso de corriente a través del dispositivo.
Este campo es generado por una diferencia de potencial aplicada entre sus terminales de “control” del transistor.
Estos terminales, llamados Gate y bulk, se puede decir que son los terminales de un capacitor MOS, MetalOxido-Semiconductor, y son los que regulan el paso de corriente por el canal del transistor que unen el drain y
source del dispositivo semiconductor.
II. CALCULO DE CORRIENTE
El transistor FET, trabaja de forma diferente, dependiendo de las condiciones en las que se encuentra.
Se dice que trabaja en zona de tríodo o agotamiento, cuando VD<<VDsat y zona de saturación cuando
VD>>VDsat. Para el transistor trabaja en zona de Triodo se puede obtener una relación cuantitativa de la corriente
ID y el voltaje aplicado VD, utilizando un modelo en dos dimensiones, (suponemos que la profundidad es mucho
menor al largo “L” y ancho “a” del canal del transistor). Para el cálculo de la corriente que circula, debemos
tener en cuenta también, que la resistencia que se produce a lo largo del canal, varia conforme al estrechamiento
del mismo, pero como la corriente debe ser constante, la variación es de la tensión.
Teniendo en cuenta los valores de resistividad del canal, el tipo de material, sea tipo P o tipo N, la
concentración de impurezas del mismo, Nd o Na, y la movilidad de los portadores µe, (electrones), se puede
llegar a la siguiente ecuación de corriente:
𝐼𝐷 𝑑𝑥 = 2𝑧 𝑞 𝜇𝑒 𝑁𝑑 [𝑎 − 𝑤(𝑥)] 𝑑𝑉
Donde z es la mitad de la profundidad del canal, q es la carga del electrón y w(x) es la ecuación que describe
la anchura del canal a lo largo del mismo, Figura 1. Pero como w(x) es una ecuación continua y derivable a lo
largo del canal ya que responde a las características del material y la diferencia de potencial entre sus extremos,
podemos hacer el análisis desde el punto de vista de los campos eléctricos que interactúan en el dispositivo, y
aplicar la definición de funciones armónicas, se verifica que una función es analítica en un punto y en un entorno
reducido, y sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas y satisfacen la ecuación de Laplace:
hxx + hyy = 0.
Figura 1: (a) voltaje a lo largo del canal, (b) detalle de canal y zona de deplexión
Por este motivo como los campos eléctricos del transistor, Ex y Ey, son ecuaciones armónicas conjugadas
que satisfacen una condición de frontera no lineal, tenemos que:
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑦
−𝜕𝐸𝑥
=
,
=
𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑥
Para resolver este problema de la manera propuesta, es importante tener en cuenta la condición de la frontera
no lineal y la búsqueda de un sistema de coordenadas adecuado para la resolución. Figura 2.
Figura 2: (a) Esquema del dispositivo, (b) Sistema de coordenadas adecuado
Tomando como condiciones que el campo eléctrico en sentido de los electrones es cero en los extremos o
sea en los terminales de entrada y salida del canal, y en el canal:
𝐸𝑥 �𝐸𝑦 +
𝑉0
𝐼
�= −
ℎ
2µ𝜀0 𝜀𝑟
( 1)
El campo eléctrico en el sentido de las Y para cuando este se encuentra en el punto mas cercano al inicio del
canal, es -Vg/h la tensión aplicada en el Gate o en la compuerta del transistor que se ve afectada por el ancho del
aislante, en este caso el oxido de silicio. Y para el punto más lejano al inicio del canal, el campo eléctrico es de
(Vd-Vg)/h debido a la caída producida a lo largo del canal por la tención de drain y V0 es la diferencia de
potencial entre el sustrato del canal y el gate. Hay que tener en cuenta que para llegar a estas aproximaciones, se
dice que el gate se extiende lo suficientemente a lo largo de las x como para generar en la zona que nos interesa,
un campo homogéneo.
De la ecuación (1), podemos ver que hay una función, que llamaremos H(Ex,Ey)
𝐻�𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 � = 2𝐸𝑥 �𝐸𝑦 +
𝑉0
𝐼
�= −
ℎ
µ𝜀0 𝜀𝑟
Y su conjugada armónica G(Ex,Ey),
𝐺�𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 � = �𝐸𝑦 +
𝑉0 2
� − 𝐸𝑥2
ℎ
Como Ex y Ey son armónicas conjugadas con respecto a los ejes coordenados, también lo son G y H. Por lo
tanto encontrando las armónicas conjugadas G y H tales que H sea nula en los extremos del canal y valga –
I/(με0εr) en el canal y G:
𝑉0 − 𝑉𝑔 2
𝐺→�
� 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞
ℎ
𝐺→�
𝑉0 + 𝑉𝑑 − 𝑉𝑔 2
� 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞
ℎ
Ahora bien, se hace un mapeo w, como en la Figura 3, que simplifique los cálculos a solo encontrar las
funciones G y H en el plano w, de manera que H cumpla las condiciones anteriores como H=0 ahora para v=0 y
u<0, y valga –I/(με0εr) para v=0 y u>0. Como también:
𝑉0 − 𝑉𝑔 2
� 𝑐𝑜𝑛 𝑤 = 𝑒 𝑏𝐿
ℎ
𝐺=�
𝐺=�
𝑉0 + 𝑉𝑑 − 𝑉𝑔 2
� 𝑐𝑜𝑛 𝑤 = 1
ℎ
Con las condiciones anteriores ya podemos determinar que H y G deben tener las siguientes características,
𝐻= −
Y así determinar la corriente:
𝐺=
𝐼=
𝐼 𝑎𝑟𝑔(𝑤)
𝜋µ𝜀0 𝜀𝑟
2
𝐼 ln|𝑤| 𝑉0 + 𝑉𝑑 − 𝑉𝑔
�
�
𝜋µ𝜀0 𝜀𝑟
ℎ
2µ𝜀0 𝜀𝑟
𝑉𝑑
�𝑉0 − 𝑉𝑔 + � 𝑉𝑑
𝐿ℎ
2
Figura 3: sucesión de mapeo para simplificar el calculo
(2)
Como se pudo observar en la figura 3 el mapeo de la función en el plano z se hace mediante una bilineal que
se describe de la siguiente manera:
𝑤=
𝜋 𝐿
𝜋𝐿
𝑒 ℎ �2+𝑍� − 𝑒 ℎ
𝜋 𝐿
𝑒 ℎ �2+𝑍� − 1
Experimentalmente se verifica que la relación entre el campo eléctrico y la velocidad de los portadores está
dada por vn = - μnE y vh = +μpE donde μn y μp son denominadas las movilidades de los electrones y huecos
respectivamente. El campo eléctrico constante aplicado a un electrón libre en el espacio, produce una aceleración
constante F = −qE, y por lo tanto una velocidad lineal con respecto al tiempo.
Las movilidades de huecos y electrones no son constantes, sino que varían de acuerdo al dopaje de la
muestra de Silicio. Cuanta más impureza haya presente en el material, mayor será la probabilidad de que un
electrón/hueco interactúe con la red cristalina produciendo colisiones. Es por ello que el dopado neto de la
muestra ocasiona una reducción de la movilidad de los portadores. Por lo tanto cuando trabajamos con
transistores dopados P o dopados N, los comportamientos son diferentes.
A su vez de la ecuación (2), podemos ver que la corriente depende de la longitud del canal, el grosor del
oxido de silicio y los voltajes aplicados al dispositivo, como la tensión de drain y gate, pero también de la
movilidad de los electrones o huecos, dependiendo del el nivel del dopado del silicio con el que se fabrica el
transistor.
En la figura 4, se puede observar las diferentes zonas de trabajo del transistor dependiendo de la tensión de
drain y sus respectivas corrientes de drain con tensiones de gate-source
III. CONCLUSIONES
En este informe se pudo ver la diferencia en el cálculo de las componentes de trabajo de un transistor de
efecto de campo con herramientas diferentes como el uso de funciones armónicas y el mapeo de funciones en el
plano z al plano w, donde una función armónica que tiene un valor constante a lo largo de un tramo de la frontera
de una región es mapeada en una función armónica en el plano w.
Así logramos llegar al mismo resultado del comportamiento de la corriente de un transistor FET, sin hacer
el cálculo integral de la corriente a lo largo del canal teniendo en cuenta las variaciones del campo eléctrico y
resistividad del silicio. De esta manera se evidencia la importancia del uso de funciones armónicas en la
ingeniería y la aplicación de transformaciones lineales.
REFERENCIAS
[1] G. James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación, 2002.
[2] G. Calandrini, Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de Variable
Compleja, Segundo cuatrimestre de 2002.
[3] P. Julián, Introducción a la Microelectrónica: Principios,Modelos y Circuitos Digitales CMOS,
Septiembre 2009.