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Escuela Politécnica. Universidad de Alcalá
Asignatura:
PROPAGACIÓN Y ONDAS
Grado en Ingenieria Electrónica de Comunicaciones (G37)
Grado en Ingeniería Telemática (G38)
Grado en Ingeniería en Sistemas de Telecomunicación (G39)
PROBLEMAS
Sesión 1
1
1. Una línea de transmisión biplaca está formada por dos placas metálicas paralelas entre
las que se dispone un material dieléctrico. Las dimensiones de los diferentes elementos,
así como sus características electromagnéticas (permitividad, permeabilidad magnética
y conductividad) son las indicadas en la figura adjunta. Entre las placas conductoras se
aplica un generador de tensión de amplitud 𝑉0 y frecuencia 𝑓 , conectando la placa situada
en 𝑦 = 0 a masa.
Se quiere estudiar el comportamiento de esta línea y para ello se pide determinar la
ecuación de onda a resolver, la distribución de potencial, la potencia transmitida y las
expresiones de cálculo de los parámetros primarios. Nota: Suponer que se cumple que
𝑊 ≪ 𝑑 para evitar los efectos de borde.
Para facilitar la resolución del ejercicio siga los pasos siguientes:
1. Indicar qué ocurrirá si no se cumple que 𝑊 ≪ 𝑑.
2. Analice con qué coordenadas varía el potencial.
3. Justifique que el modo de propagación es un modo TEM.
4. Plantee la ecuación de onda (ecuación de Laplace) a resolver para determinar la
distribución del potencial.
5. Resuelva la ecuación de Laplace.
6. Aplique las condiciones de contorno para dar la expresión final de la distribución de
potencial.
7. Dibuje la distribución de potencial.
8. Determine las expresiones del campo eléctrico a partir del potencial.
9. Determine el campo magnético a partir del campo eléctrico teniendo en cuenta que
el modo de propagación es un TEM.
10. Dibuje las líneas de campo eléctrico y magnético sobre la estructura de la línea.
11. Determine los valores de los parámetros primarios de la línea, a partir de las expresiones correspondientes.
1. Como explicábamos en clase, las líneas de campo conectan cualquier
punto
∫𝑏
∫ 𝑎 de
⃗ 𝑑⃗𝑙 = 𝑏 𝐸 𝑑𝑙
un conductor con un cierto punto 𝑏 del otro. Ya que 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝑎 𝐸
𝑎
⃗
⃗
⃗
⃗
(las líneas de campo están definidas tal que 𝐸∣∣𝑑𝑙, de manera que 𝐸 𝑑𝑙 = 𝐸 𝑑𝑙) y es
constante, los caminos más largos implican valores muy bajos del campo eléctrico.
Si no se cumple que 𝑊 ≪ 𝑑, entonces la diferencia de recorridos no es tan grande,
y las líneas que conectan los bordes tienen una magnitud no despreciable. Es lo que
se denomina efecto borde, que en este caso de no cumplirse 𝑊 ≪ 𝑑, diremos que es
2
Figura 1: Geometría de la biplaca.
relevante.
La Figura 4 es el resultado de una simulación numérica de las líneas de campo en
una biplaca y aclara lo dicho arriba.
2. Fuera del apartado a) estamos suponiendo que 𝑊 ≪ 𝑑 y, por tanto, que no hay
efectos de borde y el campo solamente tiene una magnitud relevante en la zona
entre las placas. El campo eléctrico es perpendicular a la entrada y a la salida de
las placas y no se curva ya que suponemos que “ve” placas de dimensiones infinitas,
y por tanto, “ve” lo mismo a ambos lados, por lo que no hay razón para curvarse en
ninguna dirección.
3. La existencia de modos TEM es posible por la existencia de dos conductores, lo cual
es condición necesaria pero no suficiente. Que se genere uno u otro modo (TEM,
TE, etc) depende de cómo se alimenta la línea de transmisión.
En concreto, en nuestro caso, estamos suponiendo que no hay efectos de borde, pero
no solamente en los laterales de la línea de transmisión, sino tampoco en su entrada. Si hubiese componente longitudinal (=en 𝑧) del campo eléctrico o magnético,
tendríamos efectos de borde en la “boca” de la línea. Trabajar bajo la hipótesis de
ausencia de efectos de borde a la entrada de la línea implica hablar de modos TEM.
4. Las ecuaciones de los campos eléctrico y magnético en un modo TEM se ponen
como
⃗ =0
∇⊥ 𝐸
⃗ =0
∇⊥ × 𝐸
3
(1a)
(1b)
es decir,
∂𝐸𝑥 ∂𝐸𝑦
+
=0
∂𝑥
∂𝑦
∂𝐸𝑥 ∂𝐸𝑦
−
=0
∂𝑦
∂𝑥
ya que ∇⊥ = 𝑥ˆ∂/∂𝑥 + 𝑦ˆ∂/∂𝑦.
La ecuación (1b) implica que existe un potencial en función del cual se puede poner
el campo eléctrico
⃗ = −∇⊥ 𝑉
𝐸
(2)
de modo que (1a) junto con (2) se puede poner como
∇2⊥ 𝑉 = 0
(3)
∂ 2𝑉
∂ 2𝑉
+
=0
∂𝑥2
∂𝑦 2
(4)
es decir,
Cualquiera de las dos maneras de escribirla ((3) o (4)) se denomina ecuación de
Laplace.
⃗ a la que nos referimos es el campo eléctrico transversal 𝐸
⃗ 𝑥𝑦 o
Recordamos que la 𝐸
⃗ ⊥ de un modo TEM sin los términos de fase en 𝑧 y en 𝑡
𝐸
⃗ =
E
[𝐸𝑥 𝑥ˆ + 𝐸𝑦 𝑦ˆ] exp{𝑗(𝑤𝑡 − 𝛽𝑧)}
|
{z
}
⃗
⃗
⃗
𝐸(= 𝐸𝑥𝑦 = 𝐸⊥ )
(5)
5. Tenemos lo siguiente
⃗ 𝑦
𝐸∣∣ˆ
⎫

⎬

⃗ = −ˆ
𝐸
𝑥 ∂𝑉 − 𝑦ˆ ∂𝑉 ⎭
∂𝑥
∂𝑦
⇒ 𝑉 = 𝑉 (𝑦)
(6)
Aunque no habéis estudiado de manera sistemática cómo solucionar ecuaciones diferenciales, y menos aún en derivadas parciales, sí podemos solucionar la ecuación
de Laplace ya que tiene dos particularidades: i) no depende de 𝑦, como acabamos
de decir y queda como
∂ 2𝑉
=0
(7)
∂𝑦 2
y ii) se puede integrar fácilmente
∂ 2𝑉
∂𝑉
=0⇒
= 𝐶1 ⇒ 𝑉 = 𝐶1 𝑦 + 𝐶2
2
∂𝑦
∂𝑦
4
(8)
6. Ahora concretamos esta solución, genérica para todos los casos de campos conservativos en los que solamente hay dependencia en 𝑦, con nuestras condiciones de
contorno específicas:
𝑉 (𝑦 = 0) = 0 ⇒ 𝐶2 = 0
𝑉0
𝑉 (𝑦 = 𝑑) = 0 ⇒ 𝐶1 =
𝑑
Por tanto,
𝑉 (𝑦) =
𝑉0
𝑦
𝑑
(9)
7. La gráfica es la siguiente
8. De (2) tenemos
𝑉0
⃗ = −∇⊥ 𝑉 = −ˆ
𝐸
𝑦
𝑑
(10)
𝑉0
⃗ = −ˆ
E
𝑦 exp[𝑗(𝑤𝑡 − 𝛽𝑧)]
𝑑
(11)
y el campo completo será
9. El campo magnético viene dado por
⃗ = 1 𝑧ˆ × E
⃗ = 𝑥ˆ 𝑉0 exp[𝑗(𝑤𝑡 − 𝛽𝑧)]
H
𝜂
𝜂𝑑
(12)
10. Véase la Figura 4, en la que se representa el campo eléctrico y las superficies equipotenciales. El campo magnético será perpendicular al campo eléctrico y a la normal
al papel (que representa el eje 𝑧).
5
11. Hemos visto que la manera de relacionar voltaje e intensidad con los campos a la
hora de tratar una línea de transmisión en la que queremos llegar a las expresiones
de los parámetros primarios es poner las ecuaciones integrales que los relacionan con
los campos.
∫ 𝑏
⃗ 𝑦 = − 𝑉0 (−𝑑) = 𝑉0
OK, ya lo sabíamos
(13)
𝐸𝑑⃗
𝑉0 = −
𝑑
𝑎
∮
∫
∫
∫
∫
∫
𝑉0
⃗
⃗
𝑊 (14)
𝐼=
𝐻𝑑𝑙 =
𝐻𝑑𝑙 +
𝐻𝑑𝑙 +
𝐻𝑑𝑙 +
𝐻𝑑𝑙 =
𝐻𝑑𝑙 =
𝜂𝑑
𝐶𝑎
𝐶1
𝐶2
𝐶3
𝐶4
𝐶1
donde hemos supuesto que no la corriente es despreciable fuera de la cara interna
⃗ en último término.
de las placas por serlo 𝐸
Figura 2: Circuito de integración de corriente alrededor de uno de los conductores.
También tenemos que
∮
∫
∫
∫
𝑑𝑄
𝑉0
′
𝑄 =
=
𝜎𝑑𝑙 =
𝜎𝑑𝑙 = 𝜀
𝐸𝑑𝑙 = 𝜀𝜂
𝐻𝑑𝑙 = 𝜀𝜂𝐼 = 𝜀 𝑊
|{z}
𝑑𝑧
𝑑
𝐶𝑎
𝐶1
𝐶1
𝐶1
𝐶 ′ 𝑉0
𝑊
⇒ 𝐶 ′ = 𝜀 [𝐹/𝑚]
(15)
𝑑
y que
∫ 𝑏
∫ 𝑏
∫
𝜇 𝑏
𝜇
𝑑Φ
′
⃗
Φ =
=
𝐵𝑑⃗𝑠 = 𝜇
𝐻𝑑𝑦 =
𝐸𝑑𝑦 = 𝑉0
|{z}
𝑑𝑧
𝜂 𝑎
𝜂
𝑎
𝑎
𝐿′ 𝐼
𝜇 𝑉0
𝑑
⇒ 𝐿′ =
= 𝜇 [𝐻/𝑚]
(16)
𝜂 𝐼
𝑊
6
Figura 3: Sección de ancho 𝑑𝑧 de los conductores y significado de la carga 𝑄′ y el flijo Φ′
por unidad de longitud.
Estos resultados serían los correspondientes al caso de línea sin pérdidas. ¿Cómo se
ven afectados al introducir pérdidas?
(
𝑉0
1 ′)
𝑉0
𝑊 → 𝐶′ +
𝐺 𝑉0 = 𝑄′ = 𝜀𝑐 𝑊
𝑑
𝑗𝑤
𝑑
𝜎𝑑
𝜀𝑐 = 𝜀 − 𝑗
𝑤
𝐶 ′ 𝑉0 = 𝑄′ = 𝜀
(17)
(18)
de donde volvemos a obtener, igualando parte real y parte imaginaria con parte real
y parte imaginaria a cada lado, la ecuación (15) por la parte real y
𝐺′ = 𝜎𝑑
𝑊
𝑑
(19)
por la parte imaginaria.
⃗ finita para que
En cuanto a las pérdidas en el conductor, una 𝜎𝑐 finita implica una 𝐸
⃗ 𝑧 ). Es decir, que como la 𝐼 ocurre en la dirección 𝑧, las pérdidas en
haya 𝐼 (𝐽⃗𝑧 = 𝜎𝑐 𝐸
el conductor, a diferencia de las pérdidas en el dieléctrico, implican que no podemos
tener un modo TEM (diremos que es un cuasi-TEM). Para obtener la 𝑅′ no podemos
modificar la ecuación del flujo de una manera a como hemos modificado la ecuación
de la carga ya que la formulación puramente TEM no es estrictamente válida. De
ahí que obtengamos la 𝑅′ de
𝑅′ =
1
1
=
𝜎𝑐 𝛿 𝑊
𝜎𝑐 ⋅ Área efectiva
7
(20)
donde 𝛿 es la distancia de penetración en un conductor de conductividad finita y es
igual a
√
2
(21)
𝛿=
𝑤𝜇𝜎𝑐
de donde
1
𝑅 =
𝑊
′
√
𝑤𝜇
2𝜎𝑐
(22)
Tanto las ecuaciones (18) como (21) se suponen conocidas de la asignatura de Física.
8
9
Figura 4: Las líneas de campo eléctrico están indicadas por líneas rojas. Las verdes señalan las líneas equipotenciales. Se
comprueba que la densidad de líneas es muy baja fuera de la zona entre las placas. El convenio de la representación de
líneas de campo es tal que se dibuja una baja densidad de las mismas donde el campo tiene un valor de módulo bajo.