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Probabilidad y Estadistica
Distribucion de Poisson y distribucion exponencial
El presente trabajo tiene como objetivo el
INTRODUCCIÓN
análisis y estudio de dos tipos de distribución como lo
La
Probabilidad,
como
rama
de
las
matemáticas que se ocupa de medir o determinar
es la distribución de Poisson y la distribución
exponencial, teniendo como finalidad presentar sus
cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un
características primordiales, calculo de la media, la
determinado suceso está basada en el estudio de la
varianza y su desviación estándar.
combinatoria y es fundamento necesario de la
DISTRIBUCIÓN DE POISSON.
estadística.
La creación de la probabilidad se atribuye a
Consideremos un problema que se puede
los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise
resolver por medio de la distribución binomial.
Pascal
algunos
Supongamos que inspeccionamos una longitud L de
matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en
alambre de acero esmaltado, para encontrar las
el
importantes
imperfecciones, que tiene, tales como rebabas,
contribuciones a su desarrollo. La probabilidad
rasgaduras, roturas, etc. Supondremos que , para cada
matemática comenzó como un intento de responder a
intervalo pequeño de longitud ∆L, la probabilidad de
varias preguntas que surgían en los juegos de azar,
una imperfección α. ∆L, donde α(alfa) es una
por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para
constante que depende de la calidad del alambre, y
que la probabilidad de que salga algún seis supere el
∆L es suficientemente pequeño para que se pueden
50%.
despreciar la probabilidad de hallar dos, o más,
y
siglo
Pierre
XVI,
de
Fermat,
habían
aunque
aportado
La probabilidad de un resultado se representa
imperfecciones en dicho intervalo. Nos interesa la
con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La
probabilidad de encontrar x imperfecciones en una
probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá
longitud L de alambre.
nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá
siempre.
Supongamos que hay n intervalos de longitud
∆L, esto es, n. ∆L, y además que la presencia de una
El cálculo matemático de probabilidades se
basa en situaciones teóricas en las cuales puede
imperfección
en
cualquier
intervalo
dado,
es
independiente de la presencia de imperfecciones en
configurarse un espacio muestral cuyos sucesos
cualquiera
elementales tengan todos la misma probabilidad. Por
considerar, entonces, que los n intervalos forman una
ejemplo, al lanzar un dado ideal, la probabilidad de
succión de n pruebas independientes con una
cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos dados, la
probabilidad constante α. ∆L de que se presente una
probabilidad de cada uno de los resultados es 1/36.
imperfección en cualquiera de las pruebas. Se deduce
de
los
otros
intervalos.
Podemos
en consecuencia que la probabilidad de hallar x
longitud L del alambre del tipo considerado, y
imperfecciones en una longitud n. ∆L de alambre es
corresponde
la
familia
de
las
llamadas
b (x; n, α. ∆L)=
DISTRIBUCIONES DE POISSON. Sustituyendo
⎛ n⎞
⎜⎜ ⎟⎟ (α ∆L) x (1 - α ∆L) n − x para x = 0, 1, ..., n .
⎝ x⎠
αL por el parámetro único λ, la ecuación general de
una Distribución de Poisson es
Como la hipótesis de que sea despreciable la
f ( x; λ ) = e
probabilidad de encontrar más de una imperfección
por intervalo, sólo es aceptable si ∆L es muy
pequeño, hallemos ahora el límite al que se aproxima
la
a
probabilidad
anteriormente
indicada
cuando ∆L → 0 . este nos dará la probabilidad
buscada de encontrar x imperfecciones en una
−λ
λx
x!
para x = 0, 1, 2, ...
Como esta distribución se define sobre un
espacio muestral infinito numerable, es evidente, por
la forma como se introduce que poniendo λ= np, nos
dará una buena aproximación de la distribución
binomial cuando n es grande y p pequeña.
longitud L de alambre considerado.
EJEMPLO 1:
L
por ∆L y simplificando la
Sustituyendo
n
Comparemos b(2; 100; 0.05) con f(2;5), donde
λ= np= 100(0.05) = 5.
Sustituyendo en las expresiones correspondientes,
expresión resultante para
tenemos
b(x; n, α. ∆L), obtenemos:
b( x; n, α ∆L) =
n! ⎛ αL ⎞
⎜ ⎟
x!(n - x)! ⎝ n ⎠
x
⎛ αL ⎞
⎜1 −
⎟
n ⎠
⎝
n− x
n− x
n(n − 1)(n − 2).....(n − x + 1)
αL ⎞
⎛
b( x; n, α ∆L) =
(αL) x ⎜1 ⎟
x
n ⎠
x!n
⎝
⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ x - 1 ⎞
⎟
⎜1 - ⎟⎜1 - ⎟....⎜1 n− x
αL ⎞
n ⎠
n ⎠⎝ n ⎠ ⎝
⎛
(αL) x ⎜1 b( x; n, α ∆L) = ⎝
⎟
x!
n ⎠
⎝
si ahora hacemos n → ∞, obtenemos
⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ x - 1 ⎞
⎟→1
⎜1 - ⎟⎜1 - ⎟....⎜1 n ⎠
⎝ n ⎠⎝ n ⎠ ⎝
esto
e
-αL
(αL)
x!
n− x
x
y es interesante notar que el error es menor que
0.003. una regla práctica aceptable es usar la
distribución de poisson para hallar probabilidades
binomiales
si
n≥20
y
p≤0.05.(si
n≥100,
la
aproximación es excelente, mientras sea np≤10).
αL
−x
⎡⎛ αL ⎞ nαL ⎤ ⎛
αL ⎞
−αL
= ⎢⎜1 ⎟ ⎥ ⎜1 ⎟ →e
n ⎠ ⎥ ⎝
n ⎠
⎢⎣⎝
⎦
y, por lo tanto, la probabilidad binomial se aproxima a
⎛ αL ⎞
⎟
⎜1 −
n ⎠
⎝
⎛100 ⎞
⎟⎟(0.05) 2 (0.95) 98 = 0.081
b(2;100,0.05) = ⎜⎜
⎝2 ⎠
52
f (2;5) = e −5
= 0.084
2!
DEFINICIÓN FORMAL DE LA DISTRIBUCIÓN
DE POISSON.
para x = 0, 1, 2, ...
Sea X una variable aleatoria discreta que
puede tomar los valores 0,1,2,.. tal que la función de
Esta es la distribución de probabilidad que
buscamos de obtener x imperfecciones en una
probabilidad de X esté dada por:
f ( x) = P( X = x) =
λx e −λ
x!
Media
µ =λ
Varianza
σ2 =λ
Desviación típica
σ= λ
para x = 0, 1, 2 ,....
donde λ es una constante positiva dada. Esta
distribución se llama Distribución de Poisson (en
Coeficiente de sesgo
memoria de S.D. Poisson, quien la descubrió a
principios del siglo XIX) y una variable aleatoria con
esta distribución se dice que está distribuida con la
distribución de Poisson.
Coeficiente de curtosis
M (t ) = e λ ( e −1)
t
momentos
Función característica
de e − λ para diferentes valores de λ , o utilizando
logaritmos.
λ
α 4 = 3 + (1 + 1 λ )
Función generatriz de
Los valores de f(x) en la ecuación pueden
obtenerse usando la siguiente tabla, que da los valores
α3 = 1
φ ( w) = e λ ( e
tw
-1)
La media y la varianza de la distribución de
Poisson p(x;λt) tiene el valor λt.
Para verificar que en realidad la media tenga
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE
ese valor , podemos escribir:
POISSON.
∞
e−µ µ x ∞ e−µ µ x
e − µ µ x −1
x.
= µ∑
∑
x! x =1
x!
x =0
x =1 ( x − 1)!
ahora bien, sea y = x - 1 lo que da
1. El número de resultados que ocurren en un
intervalo o región especifica es independiente
del número que ocurre en cualquier otro
intervalo o región del especio disjunto. De
esta forma vemos que el proceso de Poisson
no tiene memoria.
2. La probabilidad de que ocurra un solo
resultado durante un intervalo muy corto o en
una región pequeña es proporcional a la
∞
E ( X ) = ∑ x.
e −µ µ y
=µ
y!
y =0
∞
E(X) = µ ∑
puesto que
∞ p ( y, µ ) = 1
e −µ µ y
=∑
y!
y =0
y =0
∞
∑
la varianza de la distribución de Poisson se obtiene al encontra primero
∞
∞
e −µ µ x
e −µ µ x
e −µ µ x−2
= ∑ x.( x − 1)
= µ2∑
x!
x!
x =0
x =2
x = 2 ( x − 2)!
al hacer y = x - 2, tenemos
∞
E[X(X - 1)] = ∑ x.( x − 1)
e −µ µ y
= µ2
y!
x=2
∞
E[X(X - 1)] = µ 2 ∑
de aquí :
σ 2 = E[X(X - 1)] + µ − µ 2 = µ 2 + µ − µ 2 = µ = λt.
longitud del intervalo o al tamaño de la región
y no depende del número de resultados que
ocurren fuera de este intervalo o región.
EJEMPLOS:
1.
Durante un experimento de laboratorio el
3. La probabilidad de que ocurre más de un
número promedio de partículas radioactivas que
resultado en tal intervalo corto o que caiga en
pasan a través de un contador de un milisegundo es
tal región pequeña es insignificante.
cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que seis
partículas entren al contador en un milisegundo
dado?
Solución:
al usar la distribución de Poisson con x = 6 y λt = 4
p(6;4) =
2.
el siguiente teorema y corolario dan la media, la
6
5
e -4 4 6
varianza y la desviación estándar de la distribución
= ∑ p( x;4) − ∑ p ( x;4) = 0.8893 − 0.7851 = 0.1042
6!
x =0
x =0
exponencial
El número promedio de camiones tanque que
llega cada día a cierta ciudad portuaria es 10. Las
µ=β
σ2 = β2
σ =β
instalaciones en el puerto pueden manejar a lo más 15
camiones tanque por día. ¿cuál es la probabilidad de
que en un día dado los camiones se tengan que
APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
regresar?.
Solución:
Ejemplo 1:
Sea X el número de camiones tanque que
Suponga que un sistema contiene cierto tipo de
llegan
Al usar la distribución de Poisson desde x=0 a
x=15 y encontrando el complementario tenemos el
componente cuyos tiempo de falla en años está dada
por T. La variable aleatoria T se modela bien
mediante la distribución
resultado:
exponencial con tiempo
medio para la falla ß=5. Si se instalan cinco de estos
componentes en diferentes sistemas. ¿Cuál es la
e −10 .10 X
= 0.95
p(x;10) = ∑ p ( x;4) = ∑
X!
x =0
x =0
15
15
probabilidad de que al menos dos aún funcionen al
final de ocho años?
p=0.95 representa la probabilidad de recibir de 0 a 15
camiones, es decir, no rebasa la capacidad de las
instalaciones. El complementario p’=0.05 es la
probabilidad de rebasar la capacidad, es decir, de
devolver camiones.
variable
aleatoria
continua
X
tiene
función de densidad está dada por:
donde β > 0
funcione después de ocho años está dada por:
P(T>8)=
1 ∞ −t 5
e dt = e −8 5 = 0.2
∫
8
5
En
una
distribución exponencial, con parámetro ß, si su
⎧ 1 −x β
⎪ e ,
f ( x) = ⎨ β
⎪0
⎩
La probabilidad de que un componente dado aún
CONCLUSION
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
La
Solución:
⎫
x>0
⎪
⎬
en cualquier otro caso⎪⎭
el
estudio
de
la
probabilidad,
específicamente de las distribuciones binomiales,
podemos encontrar diversas formas de distribución,
dependiendo de las características de los valores
estudiados.
Para la distribución de Poisson se plantea una
probabilidad de un hecho a partir de un valor
promedio conocido, estudiado previamente y de un
dato a evaluar.
Igualmente
se
puede
realizar
con
la
distribución exponencial, aunque esta expresión esta
en función de un valor exponencial.
FUENTES CONSULTADAS
’ WALPOLE, Meyers. Probabilidad y
estadística. 6° edición.
’ Enciclopedia Encarta 2001. Microsoft
Corporation.