Download MODULO 1 1- NOCIONES TRIGONOMETRICAS: α = 2π (rad) α

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MODULO 1
1- NOCIONES TRIGONOMETRICAS:
1.1 Pitágoras y relaciones trigonométricas.
seno α =
cateto opuesto
hipotenusa
hip
coseno α = cateto adyacente
α
hipotenusa
tangente α = cateto opuesto
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto adyacente
tang α = sen α
cos α
Para recordar :
hip =
√ (cat op 2
+ cat ady 2 )
1.2 Angulos:
Para las aplicaciones eléctricas, los ángulos pueden representarse a través de distintas magnitudes. Entre
ellas se encuentran el grado sexagesimal y el radian.
Radian: relación entre el arco ab y su radio.
b
α [rad] = arco ab
radio bc
a
c
ángulo α
para un giro completo se obtendrá que:
α=
π·D
por lo tanto
α = 2π (rad)
D/2
Entonces 1 giro completo
α = 360 º
Por lo tanto:
2π (rad) = 360º
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2- Números Complejos:
Imag.
Forma Binómica
Forma Polar
Z=a+jb
·
Z = δ | ϕ
b
δ
ϕ
Real
a
Pasaje de binómica a Polar
= √ (a 2
+ b2)
tg ϕ = b / a
ϕ = arc tg ( b / a )
Pasaje de Polar a Binómica
Cos ϕ = a / δ
a = δ · cos ϕ
Sen ϕ = b / δ
b = δ · sen ϕ
PASAJE CON CALCULADORA CIENTIFICA:
De binómica a Polar
POL ( a, b ) =
RCL Tg
=
MODULO
ANGULO
De polar a binómica
REC ( δ , ϕ ) = COMPONENTE REAL ( a )
RCL Tg
= COMPONETE IMAGINARIO ( b )
OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS:
Suma y resta:
·
Z1 = a1 + j b1
·
Z2 = a2 + j b2
·
·
Z1 +/- Z2 = ( a1 +/- a2 ) + j ( b1 +/- b2 )
2
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Producto y Cociente
·
Z1 = δ1 | ϕ1
·
Z2 = δ2 |ϕ2
·
·
Z1 x Z2 =
δ1 x δ2
| ϕ1 + ϕ2
·
·
Z1 / Z2 =
δ1 / δ2
| ϕ1 − ϕ2
3- Corriente alterna. Generalidades
El suministro de la energía eléctrica a los distintos usuarios (industriales, comerciales, residenciales) se
realiza a través de corriente alterna, ya que esta corriente es fácil de generar y de transportar a largas
distancias. Esto último lo posibilita el empleo de transformadores elevadores y reductores, tal como vemos
a continuación:
Generador
Línea larga de transmisión
G
3
Usuarios
Transformador
Elevador
Transformador
Reductor
3.1 LEY DE INDUCCION ELECTROMAGNETICA
Las tensiones alternas se obtienen por inducción en los alternadores. Según la ley de inducción
electromagnética esto se produce por el movimiento de los bobinados dentro de un campo magnético o
por el movimiento del campo magnético frente a los bobinados fijos. Para que exista inducción
indefectiblemente debe haber una variación relativa del flujo magnético. Esta afirmación se apoya en la
ley de Faraday la cuál expresa:
3.2 LEY DE FARADAY
La fuerza electromotriz inducida en una bobina es directamente
proporcional al número de espiras del bobinado y a la variación del
flujo a través del tiempo. Esta f.e.m se opone a la causa que la
produce (debido a la inercia del flujo magnética) tal como lo indica la
ley de Lenz. Debido a esto la f.e.m inducida recibe el nombre de
FUERZA CONTRA ELECTROMOTRIZ.
La ley de Fraday se puede expresar a través de las siguientes ecuaciones:
f.e.m ≅ e (despreciando la caída interna en la bobina)
e = -N · ∆φ / ∆t
en dónde
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e
N
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Tensión inducida (v)
Nº de espiras de la bobina
∆φ
∆t
Variación del flujo magnético ( Wb ) Webber
Variación de tiempo (seg)
1 voltio = 1 Webber / 1 seg
ANEXO
La inductancia de una bobina (L) es su parámetro característico. La unidad fundamental es el henrio (H),
-3
-6
siendo los submúltiplos más empleados, el mili henrio (mH = 10 H) y el micro henrio (µH = 10 H)
Cuando alimentamos una bobina con corriente alterna, se origina una oposición a la misma (similar a la
resistencia) denominada reactancia inductiva.
La reactancia de una bobina se expresa según la ecuación
XL (Ω)
XL (Ω) = 2π.f.L
f
(Hz)
Como vemos, la reactancia es directamente proporcional a la frecuencia. En consecuencia si alimentamos
una bobina con corriente continua (cuya f = 0), esta presentará una XL = 0.
3.3 PARAMETROS DE UNA ONDA SENOIDAL:
En una onda alterna senoidal distinguimos los siguientes parámetros:
•
•
•
•
•
•
•
Período: tiempo que dura un ciclo (T)
Frecuencia: Nº de ciclos transcurridos en un segundo (f)
Valor instantáneo: valor que corresponde a un instante determinado (v)
Valor de pico: máximo valor instantáneo del semiperíodo (Vp o Vmax)
Valor de pico a pico: valor tomado entre los valores de pico (Vpp)
Valor medio: promedio de los valores instantáneos (Vmed)
Valor eficaz: valor particular de una corriente alterna cuya disipación de potencia equivale al de una
corriente continua (Vef)
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Tal como vemos en la figura anterior, la onda senoidal se origina a partir de la rotación de un vector
(vector u). Dicho vector giratorio recibe el nombre de fasor. Por consiguiente en adelante
representaremos con fasores las ondas senoidales. La velocidad de giro del fasor determina la fcia. de la
senoide.
Las ondas senoidales se expresan mediante la siguiente ecuación:
v = Vmax . sen (ωt)
siendo
ω = 2π .f
En una onda senoidal se observa que:
Vmed = 0
en un semiperiodo : Vmed= 0.636 Vmax
Vef = 0,707. Vmax
Ejemplo:
Para una señal senoidal de 50 Hz de Frec. ( T = 20 mseg ) y 220 voltios eficaces determinar que valor
instantáneo corresponde a los siguientes intstantes de tiempo.
05
10
15
20
ms
ms
ms
ms
:
:
:
:
Ejemplo: 5 ms :
V=
V=
V=
V=
311v · sen ( 2 π · 50hz ·5x10 -3 seg )
311v · sen ( 2 π · 1/4 )
311v · sen π/ 2
311v · 1
V = VP = 311v
3.4 . Para recordar:
1- Se denomina a la resitencia elemento pasivo, ya que toda su potencia la disipa en forma de calor,
mientras que los capacitores y bobinas intercambian energía con la línea. Por éstos motivos se los
denomina elementos activos.
2- Impedancia : Es la resistencia total que oponen los elementos de un circuito eléctrico al paso de la
corriente alterna.
Impedancia de una bobina = reactancia inductiva
XL = 2π F L
Impedancia de un capacitor = reactancia capacitiva
XC = 1 / ( 2π FC)
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4 – CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA.
4.1 Circuito RL – serie
XL
uR
Z
i
+
u
R
ϕ
L
G
uL
R
2
2
Z (Ω) = √ (R + XL )
u = Umax.sen (ωt)
i = u/Z
uR = R.i
uL = XL.i
;
ϕ = arctg (XL/R)
i = Imax .sen(ωt-ϕ)
uR = UR max .sen (ωt-ϕ)
uL = UL max .sen (ωt-ϕ+90º)
De las ecuaciones anteriores se deduce que la tensión senoidal, aplicada a este circuito, da origen a
tensiones y corrientes senoidales. En un circuito RL (o inductivo) la corriente se encuentra atrasada ϕ
grados respecto de la tensión, esto se debe a la inercia del flujo magnético. Vemos además que la tensión
en la resistencia se encuentra en fase con la corriente mientras que la tensión en la bobina está
adelantada 90º.
Estas magnitudes pueden representarse según el siguiente diagrama fasorial:
UL
90º-ϕ
U
ϕ
I
UR
Del diagrama fasorial deducimos que:
Ut = √ (U R2 + U L2)
4.2 Circuito RC – serie
Reactancia capacitiva: El capacitor también ofrece una oposición al paso de una corriente alterna. En este
caso la reactancia es inversamente proporcional a la frecuencia, tal como lo expresa la siguiente ecuación:
XC (Ω)
XC (F) = 1 / 2π.f.C
f
(Hz)
En corriente continua (f = 0) la reactancia capacitiva tiende a ∞.
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A continuación analizamos el funcionamiento del circuito RC
R
-ϕ
uR
i
+
u
R
Z
XC
G
C
uC
2
2
Z (Ω) = √ (R + XC )
;
ϕ = - arctg (XC /R)
u = Umax.sen (ωt)
i = u/Z
uR = R.i
uC = XC.i
i = Imax .sen(ωt+ϕ)
uR = UR max .sen (ωt+ϕ)
uC = UC max .sen (ωt+ϕ-90º)
De las ecuaciones anteriores se deduce que la tensión senoidal, aplicada a este circuito, da origen a
tensiones y corrientes senoidales. En un circuito RC (o capacitivo) la corriente se encuentra adelantada ϕ
grados respecto de la tensión, esto se debe a que inicialmente el capacitor se encuentra descargado, lo
cuál da origen rápidamente a una corriente de carga. Vemos además que la tensión en la resistencia se
encuentra en fase con la corriente mientras que la tensión en el capacitor está atrasada 90º.
Estas magnitudes pueden representarse según el siguiente diagrama fasorial:
UR
I
ϕ
U
ϕ - 90º
UC
Del diagrama fasorial deducimos que:
U = √ (UR 2 + UC 2)
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4.3 Circuito RLC – Serie
uR
i
+
u
2
2
Z (Ω) = √ {(R + (XL-XC ) }
R
C
G
uC
ϕ = arctg (XL-XC )/R
L
uL
u = Umax.sen (ωt)
i = u/ Z
uR = R.i
uC = XC.i
uL = XL.I
i = Imax .sen(ωt+ϕ)
uR = UR max .sen (ωt+ϕ)
uC = UC max .sen (ωt+ϕ-90º)
uL = UL max . sen (ωt+ϕ+90º)
De las ecuaciones anteriores se deduce que la tensión senoidal, aplicada a este circuito, da origen a
tensiones y corrientes senoidales. En un circuito RLC la corriente se encuentra desfasada ϕ grados
respecto de la tensión, esto se debe a la combinación de los efectos inductivo y capacitivo. Vemos
además que la tensión en la resistencia se encuentra en fase con la corriente mientras que la tensión en la
bobina está desfasada 180º con respecto a la del capacitor.
Estas magnitudes pueden representarse en el siguiente diagrama fasorial:
(supongo XL >XC)
UL
UL-UC
90º-ϕ
U
-ϕ
UC
I
-ϕ-90º
UR
Del diagrama fasorial deducimos que:
2
2
U = √ {UR + (UL -UC ) }
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5 – Ejercitación
a)
b)
c)
d)
e)
Una tensión alterna de 150 Hz tiene un período de ................. (ms).
El valor de pico de una tensión alterna, cuyo valor eficaz es de 220 v, es ................(v).
¿Porqué el valor medio de una onda alterna es cero?
¿A que equivale el valor eficaz de una onda alterna?
Los parámetros de una bobina real son: L = 50 (mH) ; R = 5 (Ω). Determinar la corriente por
ella cuando la tensión de alimentación es:
-
f)
g)
u = 30.sen (314.t)
u = 17.sen (157.t)
Si la bobina anterior se alimenta con continua, ¿cuál debe ser el valor de la tensión
para que se mantenga la corriente?.
Calcular el valor eficaz de la tensión en cada componente. Hacer el diagrama fasorial.
uR
i
+
u
h)
R
L
G
uL
R = 10 (Ω)
L = 10 (mH)
u = 100.sen (1000.t)
Obtener el valor eficaz de la tensión de la tensión en cada componente. Hacer diagrama
fasorial.
uR
i
+
u
R
G
C
uC
R = 5 (Ω)
C = 200 (µF)
u = 100.sen (1000.t)
i)
Si el circuito anterior se alimenta con una tensión con una tensión continua de 100 (v),
¿cuánto vale la tensión en cada componente?
j)
En un circuito RLC serie calcular la tensión en cada componente. Hacer
diagrama fasorial.
R = 10 (Ω)
L = 10 (mH)
C = 150 (µF)
U = 220 (v)
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MODULO 2 : Corrientes trifásicas
1 – Corriente alterna trifásica. Generalidades
A diferencia de la corriente alterna monofásica, la CA trifásica se compone de tres ondas desfasadas 120º
una de otra. Es por ello que el generador trifásico se compone por una parte móvil ( rotor ), donde se
produce un campo magnético constante, y una parte fija ( estator ), donde se encuentran dispuestas
simétricamente las 3 bobinas de fase. Esta bobinas son idénticas y ocupan c/u de ellas 1/3 de perímetro
del estator., quedando por lo tanto una separación de 120º entre bobina y bobina.
Funcionamiento:
Cuando el rotor gira por efecto de una máquina motriz ( motor diesel, turbinas hidráulica, térmicas etc.), se
produce una variación de flujo en las bobinas del estator induciéndose en ellas fem. senoidales iguales
pero desfasadas 120º una de otras como se ve en la siguiente gráfica.
Curvas de tensión en los terminales
de un generador
Modelo de un generador trifásico.
Formas de onda de CA trifásica. Desfas ajes
VR
120º
VT
w
120º
120º
Vr = Vmax. sen (wt )
Vs = Vmax. sen (wt – 120º)
Vt = Vmax. sen (wt + 120º)
VS
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2- Definiciones:
•
•
•
•
•
V fase:
V linea:
I Linea:
I fase:
I neutro:
Es la tensión que existe entre un conductor de linea y el neutro. ( en baja tensión 220v ).
Es la que se obtiene entre dos conductores de linea. ( en baja tensión 380v ).
Es la corriente que circula por los conductores de linea.
Es la corriente que circula por la carga.
Es la corriente que circula por el conductor neutro o retorno.
3- Tensiones y corrientes simétricas:
Un sistema trifásico es simétrico cuando los módulos son iguales y el desfasaje es de 120º
VR
120º
VT
|Vr| = |Vs| = |Vt|
²
120º
120º
VS
NOTA: Un sistema trifásico es asimétrico cuando los módulos son distintos, el desfasaje no es de 120º o
ambas cosas a la vez.
Secuencia: Es el orden en el que se van sucediendo los fasores:
Ejemplo:
Secuencia directa
RST - RST
Secuencia indirecta.
RTS - RTS
REGIMEN EQUILIBRADO:
Una carga es equilibrada ciando no existe corriente por el neutro.
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•
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3.1 Conexión estrella simétrica: ( con y sin neutro )
En una carga simétrica, las tres
corrientes se compensan mutuamente al
llegar al neutro, por lo que la In = 0
( Interruptor cerrado)
Ecuaciones:
ZR = ZS = ZT
IR= Vro / Zr
IS= Vso / Zs
IT= Vto / Zt
IN = IR + IS + IT = 0
VL = √3 Vf
NOTA : La conexión estrella SIN NEUTRO
se emplea para alimentar motores
trifásicos. Como la In en el punto anterior
es nula, se puede quitar el neutro. En la
práctica toda conexión debe llevar neutro
para independizar las fases ante una
eventual falla..
EJEMPLO:
La ausencia del neutro en caso que se cortase la fase S, ocasionaría que las tensiones varíen por lo que
ahora :
VRT = 380v
VZ1 = VZ2 =
190v
( si el circuito estuviese
cerrado V en cada carga = 220v )
Figura:
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•
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3.2 Conexión triángulo simétrico:
Las intensidades de linea se dividen en los puntos terminales, de manera que deberán ser mayores que la
I de fase, que son las que circulan por c/u de los ramales de la carga.
En una conexión triángulo con carga
asimétrica, la corriente de linea es √3
veces más intensa que la de fase
En este tipo de conexión:
V fase = V linea
IL = √3 I fase
Ist = Vst / Zst
Itr = Vtr / Ztr
Irs = Vrs / Zrs
VRS = 380v (0º)
VST = 380v (120º)
VTR = 380v (-120º)
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