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Bases Físicas del Medio
Ambiente
Inducción Magnética y Corriente
de Circuitos de Corriente
Alterna
Programa
• XIV. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Y CIRCUITOS DE
CORRIENTE ALTERNA (2h)
• Ley de inducción de Faraday. Ley de Lenz. Aplicaciones de la ley
de Faraday. Corrientes de Foucault. Inducción mutua.
Autoinducción. Circuito LR. Energía magnética. Circuitos LC y
LRC: oscilaciones eléctricas. Generadores de corriente alterna.
Corriente alterna en una resistencia. Corriente alterna en un
condensador. Corriente alterna en una bobina. Circuito LRC en
serie con un generador. Potencia. Resonancia.
Programa
• XIV. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Y CIRCUITOS DE
CORRIENTE ALTERNA (2h)
• Ley de inducción de Faraday. Ley de Lenz. Aplicaciones de la ley
de Faraday. Corrientes de Foucault. Inducción mutua.
Autoinducción. Circuito LR. Energía magnética. Circuitos LC y
LRC: oscilaciones eléctricas. Generadores de corriente alterna.
Corriente alterna en una resistencia. Corriente alterna en un
condensador. Corriente alterna en una bobina. Circuito LRC en
serie con un generador. Potencia. Resonancia.
Inducción Magnética
• Electricidad
y magnetismo hasta el momento:
r
– Er debido a una carga estacionaria
–
B
debido a una carga en movimiento (o una corriente)
• Para un lazo sin corriente
– Existe o no un campo magnético constante … no importa
• Como no tiene ningún momento magnético
• No experimenta
ninguna fuerza
r
• Ahora: ¿si B varía en tiempo?
– Produce una “Fuerza” Electromotriz
– (Experimentos en 1831)
• Importancia
– Corriente sin batería
– “Corriente inducida”
Michael Faraday (1791 – 1867)
El experimento de Faraday
• Al cerrar elrinterruptor
– Un campo B se forma en el hierro
– Fuerza electromotriz momentáneo
• En el instante que se cierra el interruptor
• Luego, en el instante que se abre
r
– En estos instantes, cambia B en el hierro
• Conclusión de Faraday
– Corriente inducidar(lazo secundario) debido a
– Campo magnético B variando
Ley de inducción de Faraday
dΦ B
ε =−
dt
Ley de inducción de Faraday
• Empíricamente: relación entre
r r
– Cambio de flujo magnético (Φ B = ∫ B d A ) en hierro
– Número (N) de espiras de igual superficie
dΦ B
ε = −N
– Fuerza electromotriz
dt
• Más generalmente, para un lazo tenemos:
dΦ B
ε =−
dt
Ley de inducción de Faraday:
Un caso sencillo
• Lazo en un campo magnético constante
dΦ B
ε =−
dt
d
ε = − (BA cos θ )
dt
• Una fuerza electromagnética se
puede generar si:
r
– Cambia la magnitud de B con tiempo
– Cambia la superficie A conr tiempo
– Cambia el ángulo θ entre B y el
vector normal a la superficie
– Combinación de los anteriores
A
Ley Faraday: Aplicaciones
Interruptor por fallas a tierra
• La corriente (220V, 50Hz) de la red
– Corrientes (alternas) opuestas en 1 y 2
• 1 Hasta el electrodoméstico (del enchufe en la pared)
• 2 Volviendo del electrodoméstico
– Flujo magnético (ΦB) en la bobina detectora = 0
• Si pasa algo con el electrodoméstico
– Cambia la corriente I2
– Varía ΦB en el anillo
Corriente
– Causa (según Faraday,) una ε en
de la red
la bobina detectora
• Detecta anormalidad
– Corta el circuito
– Protege al usuario
cortacircuitos
Bobina
Detectora
anillo de
hierro
Ley Faraday: Aplicaciones
Bobina de toma (guitarra eléctrica)
• Cuerda de guitarra eléctrica
– Fabricada de un metal magnetizable
– El imán permanente magnetiza una porción de la cuerda
• Al vibrar la cuerda con cierta frecuencia
– Flujo magnético (ΦB) variable debido al segmento magnetizado
– (Faraday) : fuerza electromotriz (ε) en la bobina de toma
• La ε alimenta a un amplificador
Dirección de la Corriente
Ley de Lenz
• La ley de Faraday indica signos opuestos para
– El cambio en el flujo magnético (ΦB)
– La ε inducida
• Físicamente, esto implica que
–
La corriente inducida es en la dirección que creé un
campo magnético que oponga el cambio de flujo
magnético (ΦB)
Fuerza Electromotriz Inducida y
el Campo Eléctrico
• El cambio en el flujo magnético (ΦB) induce
– Tanto una ε como una corriente en un lazo
– De la electrodinámica (Tema 12) sabemos que
• Una corriente eléctrica en un conductor se asocia con
• Un campo eléctrico en el conductor
r
E
• Conclusión: el cambio en ΦB induce un
• El campo eléctrico inducido no es conservativo
– Diferente al campo creado por cargas estacionarias
– Al fluctuar ΦB, en la dirección tangencial
dΦ B
ε =−
dt
r
E
El Campo Eléctrico inducido no es
conservativo
r
• Examinamos el trabajo hecho por E para que una
carga de prueba q da la vuelta una vez
– De la definición de potencial eléctrico W
– Paralelamente W = F∆d = qE 2πr
qε = (qE )2πr
• Igualando:
• (Faraday)
ΦB=BA =Bπr2
( )
= qε
ε
1 dΦ B
E=
=−
2πr
2πr dt
r
• E integrado por el camino cerrado:
r r
dΦ B
∫ E ⋅ ds = − dt
El campo eléctrico
inducido por un campo
magnético fluctuando:
No es conservativo.
No es electrostático.
r dB
=−
2 dt
Corriente de Foucault
• Placa metálica colgando de un pivote,
balanceándose entre polos de imán
• Velocidad
a la derecha; dos puntos
r
– A:
– B:
Br
B
aumentando conforme entre en el campo
reduciéndose conforme sale del campo
r
– Lenz: corrientes circulatorios
que oponen el ∆B
r
• El efecto neto de los FB frena
• Finalmente, deja de balacearse
• Conversión
– Energía cinética
– Energía interna
• Aplicaciones
– Frenos de metros
Pivote
B
r
B
r
FB
r
FB
A
Programa
• XIV. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Y CIRCUITOS DE
CORRIENTE ALTERNA (2h)
• Ley de inducción de Faraday. Ley de Lenz. Aplicaciones de la ley
de Faraday. Corrientes de Foucault. Inducción mutua.
Autoinducción. Circuito LR. Energía magnética. Circuitos LC y
LRC: oscilaciones eléctricas. Generadores de corriente alterna.
Corriente alterna en una resistencia. Corriente alterna en un
condensador. Corriente alterna en una bobina. Circuito LRC en
serie con un generador. Potencia. Resonancia.
Autoinducción
• Consideramos un circuito con:
– Interruptor (S)
– Resistencia (R)
– Fuerza Electromotriz (ε)
• El cerrar el interruptor,
– La corriente pasa de cero al máximo ε /R
– Pero no salta inmediatamente; ¿porqué?
• Como empiece a subir la corriente I
• Aumenta el flujo magnético (ΦB=IA) por el lazo
– Faraday: induce otra fuerza electromotriz (εL)
– Lenz: en el sentido opuesto
Fuerza Electromotríz
Autoinducida
Inductancia
L = µ o nA
• La corriente en una bobina quiere
mantenerse constante
– (a) Corriente y campo magnético
– (b) Aumento de corriente
• Fuerza electromotriz (ε)
• Reduce la corriente
– (c) Disminución de corriente
• Fuerza electromotriz (ε)
• Aumenta la corriente
• Faraday:
B = µ0 n I
en un solenoide
(Lección 13)
εL
dΦ B
d (BA )
=−
=−
dt
dt
d ((µ o nI ) A )
=−
dt
dI
εL = −L
dt
Ley de Lenz
εL
I subiendo
εL
I cayendo
Inductancia
Unidades y Significación
• Para la bobina
εL
dI
= −L
dt
• Inductancia: L = −
εL
dI
dt
La unidad de inductancia
es el Henry (H):
1H = 1 V / (1 A / 1 s)
1H = 1 V s / A
• Analogía:
– Recordar que R = ∆V / I representa una medida de la
oposición a la corriente
– Pues L = ∆V / (∆I/ ∆t) representa una medida de la
oposición al cambio en la corriente
Joseph Henry (1797 – 1878)
Circuitos de Corriente Alterna
• Circuitos: combinaciones de elementos
– Pilas, resistencias, y condensadores
– Alambres con resistencia despreciable
• Dos tipos de corriente, según alimentación
– Corriente Continua (CC): alimentación constante
• Ejm: la batería de un coche da 12V (cuando conectada)
– Corriente Alterna (CA): forma sinusoidal
• Los 220V (50Hz) de un enchufe de la pared
dI
dt
I
Inducción Mutua
• Consideramos el circuito siguiente
– La resistencia opone la corriente (pero hay corriente)
– La inductancia opone el cambio de corriente (pero hay)
– Entonces, hay un flujo magnético fluctuando, ΦB(t)
• Si se acerca otro circuito (sin corriente)
• Ahora, Φ21 es el flujo magnético en cada espira de
L2 inducido por la corriente en L1
• La inductancia mutua, M21 es el flujo magnético en
cada espira de L2 inducido por la corriente I1
M 12
N 2 Φ 12
≡
I1
R2
I1
R1 Φ
CA
~
L1
L2
Inducción Mutua
•
•
•
•
N 2 Φ 12
M 12 ≡
Hemos definido la inductancia mutua
I1
Fuerza electromotriz inducida en el 2º circuito
d ⎛ M 12 I 1 ⎞
dI 1
d Φ 12
⎟⎟ = − M 12
⎜⎜
= −N2
– Faraday: ε 2 = − N 2
dt ⎝ N 2 ⎠
dt
dt
Se puede demostrar (simetría) que M 12 = M 21 = M
M tiene unidades de Henry (H)
Inducción mutua: la fuerza
electromotriz inducida en una
bobina es proporcional al
cambio de corriente en la otra
R2
I1
R1 Φ
CA
~
L1
L2
dI 2 ε = − M dI 1
ε1 = −M
2
dt
dt
Programa
• XIV. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Y CIRCUITOS DE
CORRIENTE ALTERNA (2h)
• Ley de inducción de Faraday. Ley de Lenz. Aplicaciones de la ley
de Faraday. Corrientes de Foucault. Inducción mutua.
Autoinducción. Circuito LR. Energía magnética. Circuitos LC y
LRC: oscilaciones eléctricas. Generadores de corriente alterna.
Corriente alterna en una resistencia. Corriente alterna en un
condensador. Corriente alterna en una bobina. Circuito LRC en
serie con un generador. Potencia. Resonancia.
Circuitos LR
Inductores
• Una bobina en un circuito
– Auto inductancia importante
– Resiste cambios de corriente
– Elemento llamado un “inductor” (L)
• Cerrar interruptor (t=0); I(t) sube (¿cómo?)
dI
• Sabiendo que V L = L
dt
• Aplicamos la 2ª de Kirchhoff (mallas)
dI
ε − IR − L
=0
dt
ε
−I
Sea x =
R
dx = − dI
L dx
x+
=0
R dt
dx
R
= − dt
x
L
−
Rt
L
x = x0e
t
−
ε ⎛⎜
I = ⎜1 − e τ
R⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
L
τ =
R
Circuitos LR
Inductores
• Un inductor resiste un cambio de
corriente, incluso negativo
– Interruptor inicialmente en la ε
posición a (equilibrio)
I (0) =
R
– En t=0, cambia a posición b
• Circuito sin batería
• Aún hay corriente (2ª Ley de Kirchhoff)
– La ecuación del circuito
dI
− IR − L
=0
dt
– Tiene solución
I =
ε
R
e
−
t
τ
El inductor
almacena energía en
su campo magnético
I
Energía magnética en un inductor
• Para el circuito recién conectado
dI
ε − IR − L
=0
dt
• Multiplicando cada término por I:
I ε = I 2 R + LI
Potencia entregada
de la batería
Potencia “perdida”
(calor) en la
resistencia
dI
dt
Potencia
almacenada en el
campo magnético
del inductor
dU
dI
∫ dt = L∫I dt
1
U = LI 2
2
Energía que se
almacena en un
inductor
El Circuito LC
I
• Condensador inicialmente cargado
con Qmax, y se cierra interruptor:
• Examinamos lar energía
Q 2 max
– En t=0, en el E del condensador U =
2C
– Crece una corriente (I), para descargar C
1
U = LI
– Al crecer, almacena energía en L
• La energía total2 almacenada es constante
1
U =UC +UL
+ LI 2
2
1
dU
d ⎛Q
Q dQ
dI
2 ⎞
⎜⎜
=
+ L I ⎟⎟ =
+ LI
dt
dt ⎝ 2 C 2
C dt
dt
⎠
=
Q max
2C
2
Q
d 2Q
+L
=0
2
dt
C
2
=0
2
El Circuito LC
• Circuito determinado por una
ecuación diferencial de orden 2:
Q
d 2Q
+L
=0
2
C
dt
• La solución es clásica
Q = Q max cos (ω t + ϕ )
• Desfase entre
– Corriente
– Carga del condensador
ω =
1
LC
I
El Circuito RLC
• Más realista: el circuito también
tiene resistencia
– “Pierde” energía en la R (calor)
– No sigue oscilando indefinidamente
• Aún así, la solución
es parecida:
2
I
1
U =UC +UL
+ LI 2
2
dU
d ⎛Q
1
Q dQ
dI
2 ⎞
⎜⎜
=
+ L I ⎟⎟ =
+ LI
= −I 2R
dt
dt ⎝ 2 C 2
C dt
dt
⎠
Q max
=
2C
2
Q
d 2Q
+ IR + L
=0
2
C
dt
Q
dQ
d 2Q
+R
+L
=0
2
C
dt
dt
El Circuito RLC
Q
dQ
d 2Q
+R
+L
=0
2
C
dt
dt
I
• Otra solución clásica:
−
Rt
2L
cos ω d t
1
2 2
⎡ 1
⎛ R ⎞ ⎤
ωd = ⎢
−⎜
⎟ ⎥
⎢⎣ LC ⎝ 2 L ⎠ ⎥⎦
Q = Q max e
damped=amortiguada
Críticamente amortiguada (Lección 5):
Rc =
4L
C
Programa
• XIV. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Y CIRCUITOS DE
CORRIENTE ALTERNA (2h)
• Ley de inducción de Faraday. Ley de Lenz. Aplicaciones de la ley
de Faraday. Corrientes de Foucault. Inducción mutua.
Autoinducción. Circuito LR. Energía magnética. Circuitos LC y
LRC: oscilaciones eléctricas. Generadores de corriente alterna.
Corriente alterna en una resistencia. Corriente alterna en un
condensador. Corriente alterna en una bobina. Circuito LRC en
serie con un generador. Potencia. Resonancia.
Generadores de Corriente Alterna
Corriente alterna en una resistencia
• Fuente de alimentación que suministra un
voltaje alterna v = V max sin ω t
• Leyes se aplican igualmente
v − vR = 0
– Kirchhoff:
v R V max
=
sin ω t = I max sin ω t
– Ohm: i =
R
R
V max
I max =
R
+
La corriente v
y el voltaje
están en fase
~
+
R
vR
-
Potencia de Corriente Alterna
• A largo plazo, <iR> = 0, (cambios de sentido)
• Papel energético de R
– Conversión de energía : eléctrica a interna
– No depende del sentido de la corriente
• A largo plazo, para la potencia promedia de R
2
Ρmed = I rms R
– La corriente efectiva; corriente rms
– Analógicamente
Vrms
Vmax
= 0.707 Vmax
=
2
I rms
Ρ = IV
2
Ρ=I R
I max
= 0.707 I max
=
2
Corriente Alterna en un Condensador
v C = v = V max sin ω t
• Leyes se aplican igualmente
– Kirchhoff: v − v C = 0
– Def. de Capacidad: q = Cvc
d
( q = CV max sin ω t )
dt
iC = ω CV max cos ω t
Identidad trigonométrica
π ⎞
⎛
iC = ω CV max sin ⎜ ω t + ⎟
2⎠
⎝
V max
I max =
“Reactancia capacitativa”
XC
Unidades = ¡ ohmios !
XC
1
=
ωC
La corriente adelanta
al voltaje en 90° en un
condensador
Corriente Alterna en un Inductor
v L = v = V max sin ω t
• Leyes se aplican igualmente
di
v
−
v
=
0
v−L
=0
– Kirchhoff:
L
dt
di
V max
L
= V max sin ω t
di =
sin ω t
∫
∫
dt
L
V max
V max
=
−
cos ω t
iL =
sin (ω t )dt
∫
ωL
L
V max
π ⎞
⎛
sin ⎜ ω t − ⎟
iL =
ID Trig.
2⎠
⎝
V max ω L
I max =
Reactancia inductiva
XL
Unidades = ¡ ohmios!
X L = ωL
La corriente en un
inductor está
siempre retrasada
90º del voltaje
Corriente Alterna en
Condensadores e Inductores
REACTANCIAS
• Para un condensador
– Muy alta frec. wC Æ ∞,
1
XC =
ωC
XC Æ 0
• Actúa como un corto circuito
I max
V max
=
XC
– Muy baja frec. (corriente directa)
• wC Æ 0,
XC Æ ∞ (un circuito abierto)
• Para un inductor
X L = ωL
– Muy alta frec. wL Æ ∞, XL Æ ∞
– Muy baja frec. wL Æ 0, XL Æ 0
I max
V max
=
XL
El Circuito RLC
• Se aplica un voltaje CA
• Corre una sola corriente
– Por R, i estaría en fase con v (φ = 0º)
– Por C, i estaría adelantada (φ = 90º)
– Por L, i estaría retrasada (φ = -90º)
v = V max sin ω t
• ¿Qué efecto domina? Método:
• Suponer i = I max sin (ω t + ϕ ) y examinar los v:
= V R sin ω t
v R = I max R sin ω t
π ⎞
⎛
v L = I max X L sin ⎜ ω t + ⎟ = V L cos ω t
2⎠
⎝
π ⎞ = −V cos ω t
⎛
v C = I max X C sin ⎜ ω t − ⎟
C
2⎠
⎝
Magnitudes
relativos
El Circuito RLC
• Tenemos tres tensiones
v R = V R sin ω t
v L = V L cos ω t
v C = −V C cos ω t
v = V max sin ω t
• Tensiones en dos componentes independientes:
– En fase con la fuente (v): efecto de R
– 90º de desfase: combinación de efectos de L y C
ω =π/2
– Tratamiento vectorial
VL
ω
VR
VC
VL-VC
Imax
ω =-π/2
ω=0
Vmax
φ
VR
El Circuito RLC
• Suma vectorial:
V max =
V R + (V L − V C )
V max =
(I max R )2 + (I max X L − I max X C )2
2
2
R + (X L − X C )
V max = I max
Z ≡
2
2
• Impedancia:
v = V max sin ω t
I max =
V max
R 2 + (X L − X C )
2
R 2 + (X L − X C )
ω =π/2
2
VL
ω
Unidades = ¡ ohmios !
VR
VC
VL-VC
Imax
ω =-π/2
φ
VR
ω=0
ϕ = tan
Vmax
−1
XL − XC
R
Potencia en el Circuito RLC
• Potencia eléctrica instantánea:
Ρ = iv = I max sin (ω t − ϕ ) V max sin ω t
– Una función complicada del tiempo
– No es muy interesante resolver
v = V max sin ω t
• Su promedio sí
ID Trig.
más Trig.
Promedio
(integrar)
sin (ω t − ϕ ) = sin ω t cos φ − cos ω t sin φ
1
Ρ = I max V max cos φ
Para la resistencia (en fase):
2
V R = V max cos ϕ = I max R
1
Ρ=
(
2
2 I rms
)(
Ρ = I rms V rms cos φ
“factor de potencia”
)
2V rms cos φ
Ρ = I rms V rms
La “perdida” de potencia en
un circuito LRC se debe
puramente a la(s)
resistencia(s) en el circuito
Resonancia en el Circuito RLC
• Un circuito RLC está en resonancia
cuando tenga una frecuencia que
maximiza la corriente Irms
• En general tenemos
V rms
V rms
=
I rms =
2
Z
R 2 + (X L − X C )
– Tanto XL como XC dependen de la frecuencia ω
– Resonancia cuando XL iguale XC (y así φ=0)
• Frecuencia de resonancia
ω0 =
1
LC
La frecuencia de la fuente
de alimentación iguala la
frecuencia natural del
circuito
Conceptos/Ecuaciones a Dominar
dΦ B
ε =−
• Ley de inducción de Faraday
dt
• Ley de Lenz: Corriente inducida en la dirección que creé un campo
magnético que oponga el cambio de flujo magnético (ΦB)
r
• Campos E ; conservativo (carga estática) y no (Faraday)
Corriente de Foucault
•
•
•
•
L = µ o nA
Autoinducción e inducción mutua
dI
Inductores
VL = L
Circuitos LR, LC, RLC dt
Circuitos CA (Irms, Potencia, resonancia)
ε L = −L
dI
dt
ε1 = −M
dI 2
dt