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2.3 Identidades trigonométricas.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas.
Estas identidades son útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que
contengan funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a
los ángulos. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de
diferentes formas. Para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos la factorización
en conjunto con las identidades trigonométricas.
Si consideramos a un triángulo rectángulo cuyos ángulos son A, B y C, como las longitudes
de los lados opuestos a dichos ángulos a, b y c, la hipotenusa se designa como c y al ángulo
recto como C.
B
a
c es la hipotenusa, b
es el cateto opuesto y
a es el cateto
adyacente.
c es la hipotenusa, a es
el cateto opuesto y b es
el cateto adyacente.
c
C
Para el ángulo ≮B.
Para el ángulo ≮A.
A
b
Las funciones trigonométricas se definen como:
SenA 
c.o
h
Función inversa.
CscA 
h
c.o
CosA 
c.a
h
Función inversa.
SecA 
h
c.a
TanA 
c.o
c.a
Función inversa.
CotA 
c.a
c.o
Como las siguientes funciones son recíprocas se tienen las siguientes identidades
trigonométricas entre ellas.
1
SenA 
1
CscA
2
CosA 
1
SecA
3
TanA 
4
CscA 
1
SenA
5
SecA 
1
CosA
6
CotA 
1
CotA
1
TanA
Identidades del cociente.
Dividiendo el seno entre el coseno se tiene que:
𝑐𝑜
𝑺𝒆𝒏 𝑨
ℎ = (𝑐𝑜)(ℎ) = 𝑐𝑜 = 𝑻𝒂𝒏𝑨
= 𝑐𝑎
(𝑐𝑎)(ℎ) 𝑐𝑎
𝑪𝒐𝒔𝑨
ℎ
e inversamente, dividiendo el coseno entre el seno se obtiene:
𝑐𝑎
𝑪𝒐𝒔𝑨
ℎ = (𝑐𝑎)(ℎ) = 𝑐𝑎 = 𝑪𝒐𝒕𝑨
= 𝑐𝑜
(𝑐𝑜)(ℎ) 𝑐𝑜
𝑺𝒆𝒏𝑨
ℎ
De manera que las siguientes dos fórmulas, llamadas del cociente, son:
𝑺𝒆𝒏 𝑨
7
𝑪𝒐𝒔𝑨
= 𝑻𝒂𝒏𝑨
8
𝑪𝒐𝒔𝑨
𝑺𝒆𝒏𝑨
= 𝑪𝒐𝒕𝑨
Fórmulas de los cuadrados o pitagóricas.
Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que:
(𝑐𝑜)2 + (𝑐𝑎)2 = (ℎ)2 si dividimos toda la expresión entre (ℎ)2
(𝑐𝑜)2
(ℎ)2
+
𝑐𝑜 2
(𝑐𝑎)2
(ℎ)2
(ℎ)2
= (ℎ)2 si lo representamos de la siguiente manera:
𝑐𝑎 2
( ℎ ) + ( ℎ ) = 1 Finalmente tenemos que:
9
𝑺𝒆𝒏𝟐 𝑨 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝑨 = 𝟏
El procedimiento anterior se puede aplicar para el cateto opuesto y obtendremos la
siguiente identidad trigonométrica:
10
𝑪𝒔𝒄𝟐 𝑨 = 𝑪𝒐𝒕𝟐 𝑨 + 𝟏
El procedimiento anterior se puede aplicar para el cateto adyacente y obtendremos la
siguiente identidad trigonométrica:
11
𝑺𝒆𝒄𝟐 𝑨 = 𝑻𝒂𝒏𝟐 𝑨 + 𝟏
Ejemplos resueltos de identidades trigonométricas.
En los siguientes ejercicios comprobar que ambas expresiones son una identidad
trigonométrica.
1.- (𝑆𝑒𝑛𝐴)(𝑆𝑒𝑐𝐴) = 𝑇𝑎𝑛 𝐴
aplicando
1
(𝑆𝑒𝑛𝐴) (
)
𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑆𝑒𝑛𝐴
)
𝐶𝑜𝑠𝐴
(
2.- (𝑆𝑒𝑛𝐴)(𝐶𝑜𝑡𝐴) = 𝐶𝑜𝑠𝐴
aplicando
5
𝐶𝑜𝑠𝐴
(𝑆𝑒𝑛𝐴) (
)
𝑆𝑒𝑛𝐴
= 𝑇𝑎𝑛 𝐴
= 𝑇𝑎𝑛 𝐴
aplicando
𝐶𝑜𝑠𝐴
)
𝑆𝑒𝑛𝐴
= 𝐶𝑜𝑠𝐴
eliminando SenA
(𝐶𝑜𝑠𝐴) = 𝐶𝑜𝑠𝐴
7
3.- (𝑆𝑒𝑐𝐴 + 1)(𝑆𝑒𝑐𝐴 − 1) = 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
4.- 𝑆𝑒𝑛2 𝐴 + 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 + 𝑇𝑎𝑛2 𝐴 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝐴
aplicando
Aplicamos diferencia de cuadrados esto es:
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎2 − 𝑏 2 )
𝐴−1
2)
= 𝐶𝑜𝑠𝐴
(𝑆𝑒𝑛𝐴) (
(𝑇𝑎𝑛𝐴) = 𝑇𝑎𝑛 𝐴
(𝑆𝑒𝑐 2
8
1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝐴 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝐴
2
= 𝑇𝑎𝑛 𝐴
aplicando
aplicando
10
2
10
𝑆𝑒𝑐 2 𝐴 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝐴
(𝑇𝑎𝑛2 𝐴) = 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
5.- 𝑆𝑒𝑛2 𝐴 + 3 = 4 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴
aplicando
9
𝑇𝑎𝑛𝐴
𝐶𝑜𝑡𝐴
6.-
9
2
1 − 𝐶𝑜𝑠 𝐴 + 3 = 4 − 𝐶𝑜𝑠 𝐴
efectuando suma
4 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 = 4 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝐴
= 𝑇𝑎𝑛2 𝐴 aplicando
y
7
𝑆𝑒𝑛𝐴
𝐶𝑜𝑠𝐴 = 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑆𝑒𝑛𝐴
Efectuar
multiplicación
𝑆𝑒𝑛 2 𝐴
𝐶𝑜𝑠2 𝐴
aplicando
= 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
8
7
𝑇𝑎𝑛2 𝐴 = 𝑇𝑎𝑛2 𝐴
7.- 𝑆𝑒𝑐𝐴 − 𝐶𝑜𝑠𝐴 = (𝑇𝑎𝑛𝐴)(𝑆𝑒𝑛𝐴)
aplicando 5
1
− 𝐶𝑜𝑠𝐴 = (𝑇𝑎𝑛𝐴)(𝑆𝑒𝑛𝐴)
𝐶𝑜𝑠𝐴
resolver como suma de
fracciones
1−𝐶𝑜𝑠2 𝐴
𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑆𝑒𝑛2 𝐴
𝐶𝑜𝑠𝐴
= (𝑇𝑎𝑛𝐴)(𝑆𝑒𝑛𝐴) aplicando
9
= (𝑇𝑎𝑛𝐴)(𝑆𝑒𝑛𝐴) Descomp. Sen2A
𝑆𝑒𝑛𝐴
(𝑆𝑒𝑛𝐴)
𝐶𝑜𝑠𝐴
= (𝑇𝑎𝑛𝐴)(𝑆𝑒𝑛𝐴) apl.
(𝑇𝑎𝑛𝐴)(𝑆𝑒𝑛𝐴) = (𝑇𝑎𝑛𝐴)(𝑆𝑒𝑛𝐴)
7
8.- (𝑆𝑒𝑐𝐴)(𝐶𝑠𝑐𝐴) = 𝑇𝑎𝑛𝐴 + 𝐶𝑜𝑡𝐴
5
6
1
1
)(
)
𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑆𝑒𝑛𝐴
(
1
(𝑆𝑒𝑛𝐴)(𝐶𝑜𝑠𝐴)
=
7
=
8
𝑆𝑒𝑛𝐴
𝐶𝑜𝑠𝐴
+
𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑆𝑒𝑛𝐴
𝑆𝑒𝑛2 𝐴+𝐶𝑜𝑠2 𝐴
(𝑆𝑒𝑛𝐴)(𝐶𝑜𝑠𝐴)
Resolver
fracciones
aplicando
1
1
=
(𝑆𝑒𝑛𝐴)(𝐶𝑜𝑠𝐴) (𝑆𝑒𝑛𝐴)(𝐶𝑜𝑠𝐴)
9
Ejercicios para resolver en clase.
En los siguientes ejercicios comprobar que ambas expresiones son una identidad
trigonométrica.
1.- (𝑪𝒐𝒔𝑨)(𝑪𝒔𝒄𝑨) = 𝑪𝒐𝒕𝑨
2.- 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝑨 =
3.- (𝑪𝒐𝒔𝑨)(𝑻𝒂𝒏𝑨) = 𝑺𝒆𝒏𝑨
4.- (𝑺𝒆𝒏𝑨)(𝑺𝒆𝒄𝑨) = 𝑻𝒂𝒏𝑨
5.- (𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝑨)(𝟏 + 𝑪𝒐𝒔𝑨) = 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝑨
6.- 𝟐 − 𝑻𝒂𝒏𝟐 𝑨 = 𝟑 − 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝑨
𝑪𝒐𝒔𝑨
𝑺𝒆𝒄𝑨