Download guía de estudio de matemáticas v - Universidad de Londres

UNIVERSIDAD NACIONAL AUT ÓNOMA DE MÉXICO
Clave1244 Universidad de Londres Preparatoria , A.C.
Clave: 1500 Asignatura:_ Matemáticas V
GUÍA DE ESTUDIO
Profesora:_ Hugo Daniel Lazcano Rodríguez
Escribir las definiciones y/o fórmulas del anexo I
Desarrollar los siguientes reactivos
1. Considerando que el conjunto A son todos los números mayores o iguales a 0
pero menores a 10 y que el conjunto B son todos los números par mayores de 0 y
menores 10 realce el producto cartesiano BXA
2. Se desea colocar una escalera que mide 20m de tal forma que alcance una
ventana que se encuentra a 30 metros de altura ¿A qué distancia de la pared
deberá estar la escalera para que alcance sin que sobre o falte altura?
3. Se tiene un triángulo cuya base mide 8m y su altura mide 5m. Utilizando el
teorema de Pitágoras y las identidades sen, cos y tan determine los tres lados y
los tres ángulos de un triángulo
4. ¿Cuál es el resultado de las siguientes ecuaciones?
a) 2x= 35
b) Log (4x) = 20
5. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos A(2, 5) y B( 7, -1).
6. Con base en los puntos A(0,8) ; B (7,2) y C (-4,-8)
a) Realice la gráfica de 20 intervalos ubicando y uniendo los puntos para
formar un triángulo
b) Calcule la distancia entre los puntos AB, BC y CA
c) Determine y ubique el punto medio de las rectas AB,BC y CA
d) Calcule la pendiente de las rectas AB,BC y CA
e) Calcule el valor de la ordenada al origen b de las rectas AB,BC y CA
f) Expresa las rectas AB, BC y CA en función y=mx+b
g) Transforma las funciones anteriores a ecuaciones AX+BY+C=0
h) Calcula el ángulo entre las rectas ABC, BCA, y CAB
i) Expresa y grafica la ecuación de las tres mediatrices
j) Expresa y grafica la ecuación de las tres alturas
k) Expresa y grafica la ecuación de las tres medianas
l) Expresa y grafica la ecuación de las tres bisectrices
m) Remarca con color rojo el baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro.
n) Dibuja la recta de Euler
7. Con base en la ecuación 2x2+6x-10
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Realiza la grafique de [-6,0]
Calcula y ubica el vértice
Calcula y ubica el Foco
Calcula y ubica el Lado Recto
Calcula y ubica la Directriz
Calcula y ubica los ejes de simetría en X
Calcula y ubica los ejes de simetría en Y
8. Halle la ecuación general, de una circunferencia con radio 6 y centro (3, -4) y
grafíquela en un intervalo [0,6].
9. Con base en la ecuación
(𝑥−4)2
81
+
(𝑦−6)2
100
=1
a) Grafica la función desde [-5,13] con un avance de 0.5. La gráfica con 20
intervalos en eje X y Y
b) Calcula el valor de a y represéntalo en la grafica
c) Calcula el valor de b y represéntalo en la grafica
d) Calcula el valor de c y represéntalo en la grafica
e) Calcula los vértices superiores e inferiores y represéntalos en la grafica
f) Calcula los vértices horizontales y represéntalos en la grafica
g) Calcula los dos focos y represéntalos en la grafica
h) Ubica el centro de la figura cónica representada
i) Calcula y ubica los ejes de intersección en X
j) Calcula y ubica los ejes de intersección en Y
10. Con base en la ecuación
(𝑥−10)2
64
−
(𝑦−16)2
30
=1
a) Grafica la función desde [10,22] con un avance de 0.5. La gráfica con 20
intervalos en eje X y Y
b) Calcula el valor de a y represéntalo en la gráfica
c) Calcula el valor de b y represéntalo en la gráfica
d) Calcula el valor de c y represéntalo en la gráfica
e) Calcula los vértices y represéntalos en la gráfica
f) Calcula los dos focos y represéntalos en la gráfica
g) Ubica el centro de la figura cónica representada
h) Calcula y ubica los ejes de intersección en X
i) Calcula y ubica los ejes de intersección en Y
Formulario de Matemáticas V
Intervalo de gráfica
𝑋𝑖𝑛𝑡
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠
𝑌𝑖𝑛𝑡
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
=
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠
=
Teorema de Pitágoras
2
ℎ = √𝑐𝑜 2 + 𝑐𝑎2
2
𝑐𝑜 = √ℎ2 − 𝑐𝑎2
2
𝑐𝑎 = √ℎ2 − 𝑐𝑜 2
Razones trigonométricas
𝑐𝑜
ℎ
𝑐𝑎
𝐶𝑜𝑠𝛼 =
ℎ
𝑆𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜
𝑇𝑎𝑛𝛼 =
=
𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑎
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°
𝑆𝑒𝑛𝛼 =
Ley de senos
𝐴
𝐵
𝐶
=
=
𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑆𝑒𝑛𝛽 𝑆𝑒𝑛𝛾
Ley de Cosenos
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐
∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼
Transformación de grados
a radianes
180° = 1𝜋 𝑅𝑎𝑑
1𝜋
1° =
𝑅𝑎𝑑
180
180°
1 𝑅𝑎𝑑 =
𝜋
Distancia entre dos puntos de
una recta
D=X2-X1
Distancia entre dos puntos en un
plano
𝑑 = √(𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑥1)2
Punto a una razón Dada
𝑥1 + 𝑥2 ∗ 𝑟 𝑦1 + 𝑦2 ∗ 𝑟
Pr(
,
)
1+𝑟
1+𝑟
Paralelismo
𝑚1 = 𝑚2
Formula de la recta
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Recta:
Y= mx + b
Valor b
Despejando
Punto Medio
𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2
𝑃𝑚 = (
,
)
2
2
Dominio
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑅𝑎í𝑧: ≥ 0 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛: ≠ 0
Rango
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
∞𝟐
∞𝟏
∞
=
∞
=𝟎
=𝟏
𝟏
𝟐
∞
∞
∞
Mediana
- Punto Medio
-Vértice Opuesto
Criterios Semejanzas
de triangulos
LAL(Lado-AnguloLado)
LLL(Lado- Lado – Lado)
LLA (Lado-LadoÁngulo)
Ángulo entre dos rectas
𝑚2 − 𝑚1
𝛼 = tan−1 (
)
1 + 𝑚1 ∗ 𝑚2
Punto Medio
𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2
𝑃𝑚 (
,
)
2
2
Formula de la pendiente
𝑦2 − 𝑦1
𝑚=
𝑥2 − 𝑥1
Coordenadas Polares
2
𝑟 = √𝑦 2 − 𝑥 2
2
𝑟 = √𝑐𝑎2 − 𝑐𝑜 2
𝑦
𝛼 = tan−1 ( )
𝑥
Pendiente
𝑦2 − 𝑦1
𝑚=
𝑥2 − 𝑥1
Pendiente Perpendicular
1
𝑥1 − 𝑥2
𝑚𝑝𝑒𝑟𝑝 = −
𝑜
𝑚 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑦2 − 𝑦1
Intersección eje X
(X , 0 )
Intersección en eje Y
(0 , Y )
Altura
Mediatriz
-Perpendicular
- Perpendicular
-Vértice Opuesto
- Punto Medio
Bisectriz
|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶1| |𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶2|
=
𝟐
𝟐
√𝐴2 + 𝐵2
√𝐴2 + 𝐵2
Parábola
Función
(x-h)=4p(y-k)2
Ecuación
F(x)= ax2+bx+c
Vértice (V) / eje de simetría
𝑏
Xsim= h = −
2𝑎
Y = k = f(Xsim)
Lado Recto
LR= 4P
Foco
Directríz
(h, k+p)
(h, k-p)
Circunferencia
Función
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
Centro
C (h , k)
Elipse
Función
(𝒙 − 𝒉)𝟐 (𝒚 − 𝒌)𝟐
+
=𝟏
𝒂𝟐
𝒃𝟐
Centro
C(h, k)
Vértices superiores e inferiores
Vsuperior (h, k+b)
Vinferior (h, k-b)
Vertices horizontales
Vizq (h-a, k)
Vder (h+a, h)
Focos
Fizq (h-b, k)
Fder (h+b, k)
Valores a, b, c
2
a= √𝑎2
2
b= √𝑏 2
2
2
c= √𝑎2 − 𝑏 2 𝑜 √𝑏 2 − 𝑎2
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 𝑟𝑎í𝑧 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
Hipérbola
Función
(𝒚 − 𝒌)𝟐 (𝒙 − 𝒉)𝟐
+
=𝟏
𝒂𝟐
𝒃𝟐
Centro
C(h, k)
Vértices
Vsuperior (h, k+a)
Vinferior (h, k-a)
Focos
Fsup (h, k+c)
Fder (h, k-c)
Valores a, b, c
2
a= √𝑎2
2
b= √𝑏 2
2
c= √𝑎2 + 𝑏 2
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 𝑟𝑎í𝑧 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
Anexo I: Definiciones
1. Relaciones y funciones
1.1. Creación de una gráfica
1.1.1.Eje de las Abscisas
1.1.2.Eje de las ordenadas
1.1.3.El origen
1.1.4.Coordenadas
1.2. Producto Cartesiano
1.2.1. A X B
1.2.2. B X A
1.3. Tipos de funciones
1.3.1. Crecientes
1.3.2.Decrecientes
1.3.3.Continuas
1.3.4. Discontinuas
1.3.5.Algebraicas
1.3.6. Trigonométricas
1.4. Dominio de una función
1.5. Rango de una función
2. Funciones trigonométricas
2.1. Razones trigonométricas
2.1.1. Seno
2.1.2. Coseno
2.1.3. Tangente
2.2. Resolución de Triángulos Rectángulo
2.2.1. Cateto Opuesto
2.2.2. Cateto Adyascente
2.2.3. Hipotenusa
2.2.4. Ángulo de Referencia
2.2.5. Teorema de Pitágoras
2.3. Funciones Trigonométricas
2.3.1. Seno [f(x)= A*Sen(B*x)]
2.3.2.Coseno [f(x)= A*cos(B*x)]
2.3.3. Tangente [f(x)= A*Tan(B*x)]
2.3.4.Dominio de las tres anteriores
2.3.5. Rango de las tres anteriores
2.3.6. Amplitud de las tres anteriores
2.3.7. Desfasamiento de las tres
anteriores
3. Funciones Exponenciales y logarítmicas
3.1. Características de la función f(x) = ex
3.1.1. Dominio de la función
3.1.2. Rango de la función
3.2. Características de las alteraciones de la
función f(x) = ex
3.2.1. f(x) = -ex
3.2.2. f(x) = a*ex
3.2.3. f(x) = ebx
3.2.4. f(x) = e-x
3.3. Características de la función f(x) = ln (x)
3.3.1. Dominio de la función
3.3.2. Rango de la función
3.4. Características de las alteraciones de la
función f(x) = ln(x)
3.4.1. f(x) = -ln(x)
3.4.2. f(x) = a*ln(x)
3.4.3. f(x) = ln (bx)
3.5. Características de la función f(x) =
log(x)
3.5.1.Dominio de la función
3.5.2. Rango de la función
3.6. Características de las alteraciones de la
función f(x) = ln(x)
3.6.1. f(x) = -log(x)
3.6.2. f(x) = a*log(x)
3.6.3. f(x) = log (bx)
3.7. Ecuaciones Exponenciales
3.7.1. Despeje del valor de x en
ecuaciones con ex
3.7.2.Despeje del valor de x en
ecuaciones con ln(x)
3.7.3. Transformación y despeje del
valor de x en ecuación log (x)
3.8. Funciones de Potencias f(x)=xn
3.8.1.Definición de potencia
3.8.2.Definición de Exponente
3.8.3.Dominio de la función
3.8.4.Rango de la función
3.9. Características de las alteraciones de la
función f(x) xn
3.9.1. f(x) = x-n
3.9.2.f(x)= a*xn
3.9.3.f(x) = xbn
4. Sistemas de coordenadas y algunos
conceptos básicos
4.1. Recta Numérica
4.1.1.Números Positivos
4.1.2.El cero
4.1.3.Números Negativos
4.1.4.Coordenadas Cartesianas
4.1.5. Coordenadas Polares
4.1.6.Distancia entre dos punto en una
recta de una dimensión
4.2. El plano
4.2.1.Distancia entre dos puntos en un
plano
4.2.2.Punto que divide a la mitad un
segmento (Punto Medio)
4.2.3.Punto que divide un segmento a
una razón dada
4.2.4.Ángulo entre dos rectas
5. Discusión de ecuaciones algebraicas
5.1. Diferencia entre función y ecuación
5.2. Punto de intersección con los ejes
5.3. Eje de simetría
5.4. Asíntota
5.4.1.Asíntota Vertical
5.4.2.Asíntota Horizontal
5.5. Conjunto Solución
6. Ecuación de Primer Grado
6.1. Definición de la Recta
6.1.1.Función de la recta
6.1.1.1.
Pendiente
6.1.1.2.
Ordenada al orígen
6.2. Ecuación general dela recta
6.3. Conversión de función a ecuación de la
recta
6.4. Conversión de Ecuación a función de la
recta
6.5. Paralelismo entre dos rectas
6.6. Perpendicularidad entre dos rectas
6.7. Baricentro
6.7.1.Ecuación y obtención de la
mediana
6.8. Circuncentro
6.8.1.Ecuación y obtención de la
mediatriz
6.9. Ortocentro
6.9.1.Ecuación y obtención de las altura
6.10.
Recta de Euler
6.11.
Ecuación de la bisectriz
7. Ecuación General de Segundo Grado
7.1. Funciones Cónicas
7.2. Excentricidad
8. Circunferencia
8.1. Ecuación y propiedades de la
Circunferencia
8.2. Conversión de ecuación a función de la
circunferencia
8.3. Coordenada del Centro
8.4. Definición de Radio
8.5. Definición de diámetro
8.6. Puntos de intersección en el eje X
8.7. Puntos de intersección en el eje Y
8.8. Alteraciones y propiedades de la
circunferencia
8.8.1.(ax-h)2 + (y-k)2= r2
8.8.2.(x-h)2 + (by-k)2= r2
8.8.3.(x-h)2 + (y-k)2= cr2
9. Parábola
9.1. Función y propiedades de la parábola
9.2. Definición y obtención del Vértice
9.3. Definición y obtención del Foco
9.4. Definición y obtención de Lado Recto
9.5. Definición y obtención de la Directriz
9.6. Punto de intersección en el eje Y
9.7. Punto de intersección en el eje X
9.8. Alteraciones y propiedades de la
parábola
9.8.1. f(x) = Ax2+x+1
9.8.2.f(x) = -x2+x+1
9.8.3.f(x) = x2+Bx+1
9.8.4.f(x) = x2-x+1
9.8.5.f(x) = x2+x+C
9.8.6.f(x) = x2+x-1
9.9. Elipse
9.10.
9.11.
9.12.
9.13.
9.14.
9.15.
9.16.
9.17.
9.18.
9.19.
9.20.
Función y propiedades de la Elipse
Definición y obtención del valor a
Definición y obtención del valor b
Definición y obtención del valor c
Definición y obtención de los Vértices horizontales
Definición y obtención de los Vértices verticales
Definición y obtención de los Focos
Definición y obtención del centro
Punto de intersección en el eje Y
Punto de intersección en el eje X
Alteraciones y propiedades de la elipse
9.20.1.
9.20.2.
9.21.
9.22.
9.23.
9.24.
9.25.
9.26.
9.27.
9.28.
9.29.
9.30.
9.31.
(𝑨𝑥−ℎ)2
𝑎2
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
+
+
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
(𝑩𝑦−𝑘)2
𝑏2
=1
=1
Hipérbola
Función y propiedades de la hipérbola
Definición y obtención del valor a
Definición y obtención del valor b
Definición y obtención del valor c
Definición y obtención de los Vértices
Definición y obtención de los Focos
Definición y obtención del centro
Punto de intersección en el eje Y
Punto de intersección en el eje X
Alteraciones y propiedades de la hipérbola
9.31.1.
9.31.2.
(𝑨𝑥−ℎ)2
𝑎2
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
−
−
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
(𝑩𝑦−𝑘)2
𝑏2
=1
=1