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UNIDAD 3
INTRODUCCION A LA TEORÍA DE PROBABILIDADES
A. Temas a cubrir




DEFINICIONES BASICAS: diferentes conceptualizaciones de probabilidad. Experimento
aleatorio- espacio muestral- eventos.
PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES. Características.
TEOREMAS BASICOS: Regla de la adición, Sucesos Mutuamente Excluyentes y no;
Regla de la multiplicación, Sucesos independientes y Dependientes.
Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes.
B. Bibliografía sugerida

MINIMA NECESARIA


"PROBABILIDAD” de Stephen P. SHAO (Capítulo 9). CUADERNILLO DE APUNTES Nº 1 – 2013.
“INTRODUCCION TEORICO-PRACTICA A LOS CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD" de
César A. BUSTOS y Ana M. ZAVALA (1996). Facultad de Ciencias Económicas-U.N.L.Pam.
CUADERNILLO DE APUNTES Nº 1 – 2013.

OPCIONAL






“ESTADISTICA ELEMENTAL” de Robert JOHNSON; Grupo Editorial Iberoamérica; 1988.
“ESTADISTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA”, de M. L. BERENSON y D. M. LEVINE;
Mc. Graw-Hill, 1991.
“FUNDAMENTOS DE ESTADISTICA PARA NEGOCIOS Y ECONOMIA", de NETER, WASSERMAN
y WHITMORE; C.E.C.S.A, 1973.
“ESTADISTICA ELEMENTAL – Lo esencial”, JOHNSON, Robert y Patricia KUBY, tercera
edición, THOMSON, México, 2007.
“PROBABILIDAD Y ESTADISTICA”, TRIOLA, Mario F., novena edición, PEARSON- Educación,
México, 2004.
Resto de bibliografía indicada en Unidad 1.
C. Actividad áulica principal
Actividad 1. Introducción a los conceptos básicos de probabilidad.
Evolución del concepto de probabilidades.
Tarea 1. En grupo de a dos o tres personas traten de responder, en forma intuitiva, a las
siguientes cuestiones y luego intente determinar el valor de “la probabilidad
asociada.
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1. Si tirás una vez un dado: ¿saldrá un número par?
*
*
*
Es imposible
Es posible
Es seguro
¿Por qué?...............................................................................
2. Si tirás una vez un dado: ¿saldrá el número 5?
*
*
*
Es imposible
Es posible
Es seguro
¿Por qué?...............................................................................
3. Si tirás una vez un dado: ¿saldrá un número menor que 7?
*
*
*
Es imposible
Es posible
Es seguro
¿Por qué?...............................................................................
4. Si tirás una vez un dado: ¿saldrá el número 8?
*
*
*
Es imposible
Es posible
Es seguro
¿Por qué?...............................................................................
5. María y Pablo juegan con un dado. Si sale 3 gana María y si sale 6 gana Pablo.
*
*
*
Tiene mas ventaja María
Tiene mas ventaja Pablo
María y Pablo tienen la misma probabilidad de ganar
¿ Por qué ?............................................
6. María y Pablo juegan con dos dados. Si la suma de los puntos es 4 gana Pablo y si suman 12 gana
María.
* Tiene mas ventaja María
* Tiene mas ventaja Pablo
* María y Pablo tienen la misma probabilidad de ganar
¿ Por qué ?..........................................
7. María y Pablo juegan con dos dados. Si la suma de los puntos es 4 gana Pablo y si suman 6 gana
María.
* Tiene mas ventaja María
* Tiene mas ventaja Pablo
* María y Pablo tienen la misma probabilidad de ganar
¿ Por qué ?.............................................
8. María tira una moneda tres veces. Pablo tira tres monedas una sola vez. Juegan a obtener “cara,
cara, cara”.
* Tiene mas ventaja María
* Tiene mas ventaja Pablo
* María y Pablo tienen la misma probabilidad de ganar
¿ Por qué ?..........................................
Tarea 2. Los conceptos de “Probabilidad”.
Recordemos lo visto en la Unidad 1, analizando el siguiente cuadro:
 El cálculo de probabilidades se inicia en el siglo XVII por los matemáticos italianos y
franceses, particularmente Fermat y Pascal, tratando de resolver problemas de juegos
de azar presentados por el caballero de MÉRÉ.
Se denomina a esta acepción Clásica ó de LAPLACE ya que éste a fines del siglo XVIII
y principios del XIX estructuró definitivamente la teoría de probabilidades en sus obras
“ENSAYO FILOSOFICO SOBRE LAS PROBABILIDADES” (1814) y “ TEORIA ANALÍTICA DE LA
PROBABILIDAD” (1818). Esta definición exige tres condiciones:
a) equiprobabilidad de resultados
b) los resultados son excluyentes
c) los resultados son todos conocidos
 Superando las limitaciones del punto anterior, dadas por las condiciones de los
incisos a – c, fue necesario recurrir a la experimentación y por lo tanto se llega al
concepto de probabilidad Frecuencial ó Empírica, que permite ser aplicada en
cualquier campo de la ciencia.
 Por último aparece el concepto de probabilidad Subjetiva como contrario al de las
objetivas anteriores que permite solucionar problemas cuando no es posible recurrir a
la experimentación.
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Analicemos las tres distintas situaciones que se indican a continuación y traten de responder
a ellas.
a. En la próxima tirada de un dado: ¿Qué probabilidad hay de que salga
- un cero,
- un número impar?
b. Si se estudiaron 82 días, en la ciudad de Santa Rosa y en 57 de ellos ocurrió al
menos un accidente, estimar la probabilidad de que un día cualquiera no ocurra
accidente alguno en la ciudad.
c. Se pide a un Jefe de Producción que asigne probabilidades a los sucesos de que
una tarea particular se complete: anticipadamente, a tiempo o con retardo. El
dice que según su opinión, ya que no guarda registros de anteriores casos, en 1
de cada cuatro veces la tarea puede completarse anticipadamente; y en 2 de
cada 7 veces la tarea puede terminarse con retardo.
Actividad 2. Análisis de Conceptos Básicos, Propiedades y Reglas
Fundamentales.
Tarea 1: Teniendo en cuenta los conceptos anteriores, calcular, extrayendo una carta al
a.
b.
c.
d.
e.
azar, de un mazo de barajas españolas la probabilidad de obtener:
un dos
una copa
un valor par
un seis o un as
un seis o una espada
f. analizar las diferencias que existe entre la probabilidad desarrollada en d. y en e.
g. presentar los diagramas de Venn correspondientes para d. y e.
h. un no oro
i. un dos o un no dos
j. el seis de copa
k. un dos, sabiendo que el mazo es oro.
l.
analizar las diferencias que existe entre la probabilidad desarrollada en a. y en k.
m. indicar en cada inciso que tipo de evento se produce.-
Probabilidades Marginales, de Unión y Conjuntas. Ley general de la Adición y Ley
Especial de la Adición.
Existen varias herramientas para usar en la solución de problemas de probabilidad. Estas
herramientas incluyen: espacio muestral, diagramas de árbol, leyes de probabilidades,
matrices de probabilidades e intuición.
La matriz de probabilidades ayuda a mostrar, a través de un cuadro de doble entrada, las
probabilidades marginales y las probabilidades de intersección o conjuntas de un problema
dado.
Probabilidad Marginal: por lo general se calcula al dividir algún subtotal entre el total y se
denominan así porque se obtienen de los márgenes de la matriz.Probabilidad de Unión: se denota P (A U B). Es la probabilidad que el evento 1 (A) ocurra o
que el evento 2 (B) ocurra o que ocurran tanto A como B.
Probabilidad Conjunta: se denota como P(A ∩ B). Es la probabilidad de que ocurran ambos
eventos a la vez.
Regla General de la Adición:
p(AUB) = p(A) + p(B) – p(A∩B)
Regla Particular de la Adición: (Si A y B son mutuamente excluyentes):
p(AUB) = p(A) + p(B)
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Tarea 2: Volver a calcular probabilidades y comparar con lo realizado en la tarea 1. El
Ministerio de Cultura y Educación informa que, los establecimientos educativos
provinciales de nivel polimodal presentan la siguiente situación:
MODALIDAD
Economía y Gestión
Sociales
Naturales
Agropecuaria
Artística
MUJERES
500
1.500
1.300
250
450
VARONES
570
1.200
750
980
150
Calcular, eligiendo un alumno al azar, la probabilidad de :
a. que sea mujer
b. que estudie artística
c. que sea mujer y estudie naturales
d.
e.
f.
g.
h.
i.
que sea varón y estudie bajo la modalidad agropecuaria
que estudie sociales o sea varón
que sea mujer o estudie economía y gestión
que estudie artística o estudie economía y gestión
que sea varón o mujer
que sea mujer, sabiendo que estudia sociales. Comparar con a.
Tarea 3: Si se tiene un mazo de barajas españolas, calcular la probabilidad de obtener:
Debemos considerar que aquí vamos a trabajar con pruebas repetidas, es
decir el experimento se repite.
a. extrayendo dos cartas al azar, con reposición:
- que la primera sea un oro y la segunda un par.
- que ambas sean una figura.
- que una sea oro y la otra un basto.
b. extrayendo dos cartas al azar, sin reposición:
- que la primera sea un oro y la segunda una espada.
- que una sea un basto y la otra una copa
- que ambas sean espadas
Debemos considerar que las palabras “primera y segunda” y “una y otra”,
están indicando si se debe o no considerar un orden determinado de
resultados.
Regla de la Multiplicación
Regla General
p(A∩B) = p(A). p(B/A) = p(B) . p(A/B)
Regla Particular (Si A y B son independientes)
p(A∩B) = p(A) . p(B)
Tarea 4: Con los datos de la tarea 2, volver a calcular probabilidades.
I. Calcular, eligiendo tres alumnos distintos al azar, la probabilidad de :
a. que los 3 sean mujeres.
b. que uno estudie artística y los otros dos sociales.
c. que el primero sea mujer y el segundo y tercero varones.
d. que estudien uno bajo la modalidad agropecuaria, otro sociales y el otro naturales.
I. Recalcular, eligiendo tres alumnos con reposición.
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Actividad 3. Ejercicio completo de revisión de determinación de valores
probabilísticos e identificación de ellos.
1. Se tiene la siguiente tabla, referida a clientes del Banco DEL SUR.
En A, definimos el tipo de cliente:
A1 Familiar
A2 Comercial
A3 Industrial - A4 Institución Pública
En B definimos si el cliente ha utilizado o no, una nueva línea de créditos
recientemente abierta:
B1 Si
B2 No
A1
A2
A3
A4
B1
420
250
80
-
B2
580
350
70
50
I. Realización de un experimento
Calcular, eligiendo una carpeta de un cliente al azar, la probabilidad de:
Probabilidades Simples
a. que sea Comercial (Probabilidad Simple Marginal)
b. que sea Institución pública y haya utilizado crédito (Probabilidad Simple Conjunta).
c. que no sea familiar (Probabilidad Simple Marginal)
d. que no haya utilizado crédito (Probabilidad Simple Marginal)
e. que no haya utilizado crédito, sabiendo que es Familiar (Probabilidad Simple
Condicional)
f. que haya utilizado crédito y que sea Familiar (Probabilidad Simple Conjunta)
g. sabiendo que ha utilizado crédito, que sea Industrial (Probabilidad Simple
Condicional)
Recordar que las probabilidades condicionales, significan restricción al espacio
muestral original.
Regla de la Adición
h. que sea Industrial u Oficial
i. que sea Comercial o haya utilizado crédito en la última operatoria.
j. que sea Institución pública o no haya solicitado crédito.
k. que sea Institución pública o Comercial
l. que sea familiar o no haya utilizado créditos.
Recordar que en las probabilidades totales, cabe identificar que sea suceso
mutuamente excluyente o nó.
II. Realización de más de un experimento(Pruebas repetidas)
Regla de la Multiplicación
Recordar que en las probabilidades que surgen por regla de la multiplicación, cabe
1°) identificar que sea suceso dependiente o independiente.
2°) identificar que se especifique o nó orden determinada
Si se eligen dos clientes al azar, con reposición, calcular la probabilidad de:
a) que los dos sean comerciales.
b) que uno sea industrial y el otro oficial
c) que el primero sea industrial y el segundo comercial.
Si se eligen dos clientes al azar, sin reposición, calcular la probabilidad de:
d) que los dos sean comerciales.
e) que uno sea industrial y el otro oficial
f) que el primero sea industrial y el segundo comercial.
Si se eligen tres clientes al azar, con reposición, calcular la probabilidad de:
g) que los tres sean comerciales.
h) que uno sea industrial, otro familiar y otro oficial
i) que el primero sea industrial y el segundo y tercero comerciales.
Si se eligen dos clientes al azar, sin reposición, calcular la probabilidad de:
j) que los tres sean comerciales.
k) que uno sea industrial, otro familiar y otro oficial
l) que el primero sea industrial y el segundo y tercero comerciales.
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Actividad 4. Estudio individual o grupal “extraáulica”
En base a alguno de los textos incluidos en el cuadernillo 2 analizar y estudiar:
a. Probabilidad Condicional
b. Teorema de Bayes o de las “Probabilidades de las causas”
Actividad 5. Revisión y cierre primario del concepto de Estadística
a. Esquema provisorio de conceptos de probabilidades
Estadística
Teoría de Probabilidades
Definiciones
Reglas
Modelos
Teórico Clásico
Empíricos
Teóricos
Aplicaciones
Probabilidad es la medida de la posibilidad de ocurrencia de un fenómeno
b. Definición integradora de Estadística
Metodología cuantitativa
de la investigación científica, por excelencia
(para toma de decisiones en incertidumbre)
“Estadística es la ciencia formada por el conjunto de teorías y técnicas
cuantitativas que tienen por objeto la organización, presentación,
descripción, resumen y comparación de conjuntos de datos numericos,
obtenidos de poblaciones en su conjunto de individuos o fenomenos, o
bien de muestras que representan las poblaciones estudiadas, asi
como el estudio de su variacion, propiedades, realciones,
comportamiento probabilistico de dichos datos y la estimación
inferencia ó generalización de los resultados obtenidos de muestras
respecto a las poblaciones que aquellas representan. La Estadístca es
básica en la investigación científica, dada la necesidad de manejar y
tratar en ellas grandes cantidades, progresivamente creciente, de
datos ”.
SIERRA BRAVO, Restituto (1991), Diccionario práctico de
Estadística y técnicas de investigación científicas.
c. Conceptualización sistémica de Estadística
Estadística
Datos
Teoría de
Probabilidad
Métodos
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D. Ejercitación Práctica – áulica y extra-áulica
D.1.
1.
Identifique el tipo de probabilidad al que respondería el planteo y luego calcúlela.
a. Una empresa desea determinar la probabilidad de que sus inspectores vayan a rechazar
el siguiente lote de materias primas de un proveedor. Los datos reunidos en los libros de
registros de esta empresa muestran que en el pasado el proveedor envió a la
compañía 90 lotes y los inspectores rechazaron 10 de ellos, ¿Cuál es la probabilidad de
que los inspectores rechacen el siguiente lote?.
b. En la próxima jugada de ruleta: ¿Qué probabilidad hay de que salga
- un dos,
- un número par?
c. Se le pide al director de transporte de una importante empresa que proponga (indique
la que considera es) la probabilidad de que el envío de cierta mercadería llegue a
destino “en perfecto estado”, “con alguna pequeña falla” o “deteriorados”. Él
establece, de acuerdo a la experiencia que tiene en ese cargo, que 1 de cada 15
envíos llegan “en perfecto estado”, 4 de cada 5 llegan “con alguna pequeña falla” y
el resto “deteriorados”.
d. En un mazo de cartas españolas ¿Cuál es la probabilidad de que sea un oro al tomar al
azar una carta del mazo?
e. Si una compañía tiene 200 trabajadores y 70 son mujeres, ¿Cuál es la probabilidad de
que al seleccionar al azar una persona esta sea mujer?.
Analice todo lo que considere necesario.
2.
A continuación se enuncian algunos experimentos. En cada caso determinar el espacio
muestral:
a. Se lanza al aire una moneda.
b. Se lanza un dado
c. De una urna que contiene 6 bolillas, 4 negras y 2 blancas, se extrae una al azar.
d. En una encuesta a familias con dos hijos se anotan los sexos de los mismos
empezando por el mayor.
e. se lanzan dos monedas sucesivamente.
f. se lanzan dos dados sucesivamente y se calcula “el valor suma”.
g. de una caja que contiene 5 fichas numeradas del 1 al 5 se extrae una de ellas.
h. de la caja del punto anterior se extrae una ficha y sin reponer se extrae otra.
i. de la misma caja se extrae una ficha, se vuelve a la caja y se saca otra.
3.
Analice si la siguiente aseveración es cierta, falsa o incompleta:
"Probabilidad es un valor no negativo"
4.
En el lanzamiento de una moneda, analizando el fenómeno "cara":
a. ¿Cuál será el valor de la probabilidad empírica, después de muchos, digamos
500 lanzamientos?
b. ¿Cuál será el valor de la probabilidad según el concepto clásico?
c. Analice las diferencias.
5.
Si se tira un dado, que probabilidad hay de obtener:
a) un seis
;
b) un número par
;
c) un dos o un tres
;
d) Un dos o par
e) ¿Es posible aplicar en c. y en d., la regla: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(AB)? ¿Por qué?
6.
Según un estudio que realizó una empresa de recursos humanos se llegaron a los
siguientes resultados:
GENERO/TIPO
GERENCIAL
PROFESIONAL
TECNICO
OFICINISTA
HOMBRE
0.052
0.200
0.335
0.058
MUJER
0.019
0.084
0.110
0.142
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Calcular las siguientes probabilidades:
a. Se elige una persona al azar y resulta ser oficinista, ¿Cuál es la probabilidad de
que sea mujer?
b. De los profesionales se elige una persona ¿Cuál es la probabilidad de que sea
hombre?
c. Del grupo de las mujeres se elige una ¿Cuál es la probabilidad de que sea
profesional?
d. Si se elige una persona al azar ¿cuáles la probabilidad de que sea
1. gerencial u oficinista
2. profesional o técnico
7. Según una empresa cuya actividad es la venta de artículos electrónicos, 10% de todas las
familias de un determinado país tienen un fax y 52% tienen computadora personal.
Suponga que 91% de todas las familias que tienen fax también tienen computadora
personal. Se selecciona al azar una familia de ese país:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la casa tenga fax y una computadora personal?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la casa tenga fax o una computadora personal?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la casa tenga fax y no tenga una computadora
personal?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la casa no tenga fax ni una computadora personal?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que la casa no tenga fax pero sí una computadora
personal?
8. Hace unos años un programa televisivo convocaba a colegios secundarios a competir
por un viaje a Bariloche. En cada emisión, después de superar una cierta cantidad de
tareas, los veinte primeros probaban suerte eligiendo una llave (elegida al azar) e
intentando abrir un cofre dentro del cual estaba el premio.
Previamente se determinaba por sorteo el orden en que cada colegio probaba suerte.
Los alumnos que obtenían los primeros turnos festejaban en tanto que los últimos
mostraban su desencanto.
Que opina Ud. ¿Había motivos verdaderos para la tristeza de unos y la alegría de otros?
9. El cuadro siguiente muestra las opiniones de 2.500 empleados de una compañía respecto
a una propuesta sobre aumento de prestaciones en vez de incremento salarial durante
la revisión del contrato colectivo de trabajo:
Opinión a favor
No tiene opinión
En contra
Hombre
800
200
500
Mujer
400
100
500
a.
b.
c.
d.
e.
Calcular las probabilidades de que un trabajador seleccionado al azar:
Esté en contra.
Esté en contra, considerando que es varón
¿Son mutuamente excluyentes los eventos “en contra” y “mujer”?
Presentar y luego calcular una situación que para resolverla requiera de la Regla de
la Adición:
1) Para sucesos mutuamente excluyentes;
2) Para sucesos mutuamente no excluyentes.
Presentar y luego calcular una situación que para resolverla requiera de la Regla de
la Multiplicación:
1) Para sucesos dependientes;
2) Para sucesos independientes.
10. Un edificio tiene dos ascensores. La probabilidad de que en un cierto momento funcione
el ascensor A es de 0,90. Por su parte la probabilidad de que funcione el ascensor B es
0’80 y la de que funcionen los dos es 0,72. Si en un día de 40 grados llegamos al edificio
para visitar un amigo que vive en el décimo piso.
Calcular y Analizar:
¿Cuál es la probabilidad de que no debamos subir por la escalera?
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11. – Regla de Bayes
Esta regla es una fórmula que extiende el uso de la ley de probabilidades condicionales
para permitir la revisión de probabilidades originales con nueva información.
P(Xi/B) = .
P(Xi) . P(B/Xi)
.
P(X1) . P(B/X1) + P(X2) . P(B/X2) + ... + P(Xn) . P(B/Xn)
Los numeradores de la regla de Bayes y la ley de probabilidad condicional son los mismos.
La nueva característica que usa la regla de Bayes se encuentra en el denominador de la
regla, y este denominador se conoce como la fórmula de probabilidad total, podemos
decir, que representa un promedio ponderado de las probabilidades condicionales, con los
valores de las probabilidades previas del evento correspondiente.
En particular, los estadísticos usan la regla de Bayes para revisar probabilidades en vista de
que hay nueva información.
Resolvamos en función del breve análisis anterior
Un tipo particular de cinta para impresora es producida solamente por dos empresas, “Todo
Impresoras” y “Tinta.com”. Suponga que “Todo Impresoras” produce 65% de las cintas del
mercado y “Tinta.com” produce el 35%. Además sabemos que el 8% de las cintas
producidas por “Todo Impresoras” son defectuosas y el 12% de las cintas de “Tinta.com” son
defectuosas.
Un estudio contable compra una cinta nueva:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que “Todo Impresoras” produjo la cinta?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que “Tinta.com” produjo la cinta?
c. ¿Cuál es la probabilidad conjunta de productos defectuosos?
d. La cinta se prueba y resulta defectuosa.
¿Cuál es la probabilidad de que:
1. “Tinta.com” produjo la cinta? ¿ y
2. de qué “Todo Impresoras” produjo la cinta?
12.
Un almacén recibe pedidos de cierto artículo de tres proveedores distintos O, P y Q. El 50%
del total se le compra a O mientras que a P y a Q se les compra el 25% a cada uno. El
porcentaje de artículos en malas condiciones que proporciona O, P y Q es 5, 10 y 12%
respectivamente.
Si los artículos se almacenan sin importar quién es el proveedor y se escoge uno al azar:
a. Determine la probabilidad de que sea defectuoso.
b. Si es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido despachado por el
proveedor Q?
c. Presentar un Diagrama con toda la información.
13. La siguiente tabla muestra un resumen de las características solicitadas en 940 órdenes
de provisión en una planta fabril:
PROCESADOR DE ALTA
VELOCIDAD
NO
SI
MEMORIA ADICIONAL
NO
SI
514
68
112
246
I. Si se extrae una orden al azar hallar la probabilidad de que, por ella se haya solicitado:
a.
b.
c.
d.
Memoria adicional.
Procesador A.V. y memoria adicional.
Memoria adicional si se sabe que se solicitó procesador de alta velocidad.
Procesador de alta velocidad si se sabe que no se solicitó memoria adicional.
II. Si se extraen dos órdenes al azar sin reposición hallar la probabilidad de que, por ellas
se haya solicitado:
a. En ninguna memoria adicional.
b. Al menos en una memoria adicional.
c. Menos de una tenga solicitado procesador de alta velocidad.
d. En la segunda orden no se haya solicitado procesador de alta velocidad.
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III.
Plantear y resolver con esta situación la Regla de Bayes.
IV.
que probabilidades se encuentran involucradas en la resolución de III Analizar
detalladamente
V.
Finalmente plantear una situación, en otro ámbito de la organización para resolver
por la Regla de Bayes
14. El director de una agencia de empleos desea estudiar varias características de sus
solicitudes de trabajo.
Para el análisis se ha seleccionado una muestra de 200 aspirantes. Setenta de ellos han
estado en sus trabajos actuales por lo menos 5 años, 105 solicitantes son graduados de
universidades y 50 no son ni graduados de universidades ni han permanecido en sus
trabajos por más de 5 años.
a. Presentar la información en un diagrama de Venn.
b. Determinar cuál es la probabilidad de que un solicitante elegido al azar sea:
* Graduado universitario.
* Graduado universitario y haya mantenido su trabajo actual durante menos de 5
años.
* Sea graduado o haya mantenido su trabajo actual por lo menos 5 años.
c. Determinar si ser graduado y mantener el empleo más de 5 años son eventos
mutuamente excluyentes o no.
D.2. Respuestas de autocontrol y Adicionales
D.1.1. Identifique el tipo de probabilidad al que respondería el planteo y luego calcúlela.
a. Casos totales: 90 (lotes enviados)
Casos favorables: 10 (lotes rechazados)
p(rechazo) = casos favorables/casos totales = 10/90
Probabilidad empírica o frecuencial
b. p(dos)= 2/37
p(par) = 18/37
Probabilidad clásica
c. En perfecto estado = 1/15
Con alguna pequeña falla = 4/5 ó 12/15
Deteriorados = 1 – 1/15 – 4/5 = 15/15 – 1/15 -12/15 = 2/15
Probabilidad subjetiva
D.1.2. determinación del espacio muestral:
a. Se lanza al aire una moneda. Ω (cara;cruz)
b. Se lanza un dado Ω(1; 2; 3; 4; 5; 6)
c. De una urna que contiene 6 bolillas, 4 negras y 2 blancas, se extrae una al azar. Ω (N; N; N; N; B; B)
d. En una encuesta a familias con dos hijos se anotan los sexos de los mismos empezando por el mayor. Ω
(MM; MV;VM;VV)
e. se lanzan dos monedas sucesivamente. Ω (cara-cara;cara-cruz;cruz-cara;cruz-cruz)
D.1.4.
a. Al repetir el experimento aleatorio muchas veces, el número de veces que saldrá “cara”
tenderá a la mitad de los lanzamientos: 250. p (cara) = 250 casos favorables/500 casos
totales.
b. p(cara) = 1/2
c. Por la Ley de los Grandes Números el resultado obtenido en a. prueba empíricamente lo que
postula la probabilidad clásica b.
D.1.6.
GENERO/TIPO
HOMBRE
MUJER
TOTALES
GERENCIAL
0,052
0,019
0,071
PROFESIONAL
0,200
0,084
0,284
TECNICO
0,335
0,110
0,445
OFICINISTA
0,058
0,142
0,200
0,645
0,355
1,000
TOTALES
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a.
b.
c.
d.1.
d.2.
p(Mujer/Oficinista) = P(Mujer y Oficinista)/P(Oficinista)= 0,142/0,200 = 0,71
p(Hombre/Profesional) = P(Hombre y Profesional) / P(Profesional) = 0,200/0,284 = 0,7042
p(Profesional/Mujer) = P(Profesional y Mujer) / P (Mujer) = 0,084/0,355 = 0,2366
p(Gerencial) + P (Oficinista) = 0,071 + 0,200 = 0,271
p(Profesional) + P(Técnico) = 0,284 + 0,445 = 0,729
D.1.8.
Se puede demostrar que todos tienen la misma probabilidad de ganar, que es igual a 1/20.
Ejemplo:
1) 1/20 (el primero tiene 1 llave favorable sobre 20 llaves en total)
2) 19/20 * 1/19 (el segundo tiene 19/20 probabilidad de que no gane el anterior por una llave
sobre 19 restantes)
3) 19/20 * 18/19 * 1/18 (el tercero tiene 19/20 por 18/19 que los anteriores no ganen, por
una llave sobre 18 restantes). Así sucesivamente:
4) 19/20 * 18/19 * 17/18 *1/17
5) 19/20 * 18/19 * 17/18 *16/17 * 1/16
Así sucesivamente, si lo expresamos con fórmulas, todos los participantes de la final tienen el
siguiente cociente para el cálculo de probabilidades de obtener la llave ganadora. Siendo n
(cantidad de finalistas) y x (el número de orden para elegir la llave):
El numerador es equivalente a:
(n-1)! / (n –x)!
El denominador es equivalente a:
n!/ (n-x)!
Por lo que llegamos al cociente (n -1)! / n!
Que es igual a: (n -1)!/n.(n-1)!
Probabilidad de cada uno de los finalistas resulta igual a: 1/n
D.1.11. – Regla de Bayes
Causas
0,65
0,35
1,00
Todo Impresoras
Tinta.com
Efectos
0,08
0,12
a. p(Todo Impresoras) = 0,65
b. p(Tinta.com) = 0,35
c. D = defectuosa; TI = Todo Impresoras; TC = Tinta.com
P(D)=P(TI y D) + P(TC y D) = P(TI) x P(D/TI) + P(TC) x P(D/TC) =
= 0,65 x 0,08 + 0,35 x 0,12 = 0,094
d. La cinta se prueba y resulta defectuosa,. ¿Cuál es la probabilidad de que
1. “Tinta.com” produjo la cinta?
P(TC/D) =
P(TC y D)
P(TC) x P(D/TC)
=
=
P(TI y D) + P(TC y D) P(TI) x P(D/TI) + P(TC) x P(D/TC)
P(TC/D) =
P(TI/D) =
0,35 x 0,12
=
0,65 x 0,08 + 0,35 x 0,12
0,042
0,094
2. de qué “Todo Impresoras” produjo la cinta?
P(TI y D)
P(TI) x P(D/TI)
=
=
P(TI y D) + P(TC y D) P(TI) x P(D/TI) + P(TC) x P(D/TC)
P(TI/D) =
0,65 x 0,08
= 0,052 = 0,5532
0,65 x 0,08 + 0,35 x 0,12 0,094
D.1.12.
Si los artículos se almacenan sin importar quién es el proveedor y se escoge uno al azar:
Proveedor Causas
Efectos
O
0,50
0,05
P
0,25
0,10
Q
0,25
0,12
1,00
a. Determine la probabilidad de que sea defectuoso.
P(Defectuoso) = P(O y Defectuoso) + P(P y Defectuoso) + P(Q y Defectuoso)
P(D) = P(O) x P(D/O) + P(P) x P(D/P) + P(Q) x P(D/Q)
P(D) = 0,50 x 0,05 + 0,25 x 0,10 + 0,25 x 0,12
P(D) = 0,08
b. Si es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido despachado por el proveedor Q?
P(Q/Defectuoso) = P (Q y Defectuoso) / P (Defectuoso)
El denominador ya lo calculamos en el incisio a.
P(Q/Defectuoso) = P(Q) x P(D/Q) / P(D)
P(Q/Defectuoso) = (0,25 x 0,12)/0,08 = 0,03/0,08 = 0,375
El 37,5% de los artículos defectuosos son provistos por Q
=
0,4468
Facultad de Ciencias Económicas y Jurídicas - Contador Público
Estadística - Curso 2014
49
c. Presentar un Diagrama con toda la información.
D.1.13. La siguiente tabla muestra un resumen de las características solicitadas en 940 órdenes de provisión
en una planta fabril:
MEMORIA ADICIONAL
PROCESADOR DE ALTA
VELOCIDAD
NO
514
112
626
NO
SI
TOTAL
SI
68
246
314
TOTAL
582
358
940
I. Si se extrae una orden al azar hallar la probabilidad de que, por ella se haya solicitado:
a. Memoria adicional. P(Memoria Adicional SI) = 314/940
b. Procesador A.V. y memoria adicional.
P(PAV y MA) = P(PAV) x P(MA/PAV) = 358/940 x 246/358 = 246/940
c. Memoria adicional si se sabe que se solicitó procesador de alta velocidad.
P(MA/PAV) = 246/358 ó también
P(MA y PAV)/P(PAV) = (246/940)/(358/940) = 246/358
d. Procesador de alta velocidad si se sabe que no se solicitó memoria adicional.
P(PAV/No MA) = 112/626 ó también
P(PAV y No MA)/P(No MA) = (112/940)/(626/940) = 112/626
II. Si se extraen dos órdenes al azar sin reposición hallar la probabilidad de que, por ellas se haya solicitado:
a. En ninguna memoria adicional. Caso Favorable: No MA; No MA
P(No MA) x P(No MA) = 626/940 x 625/939
b. Al menos en una memoria adicional.
Casos Favorables: i. MA MA; ii. MA NoMA; iii. NoMA MA
P(MA) x P(MA) + P(MA) x P(No MA) + P(No MA) x P(MA) =
314/940 x 313/939 + 314/940 x 626/939 + 626/940 x 314/939 =
c. Menos de una tenga solicitado procesador de alta velocidad.
Caso Favorable: No PAV; No PAV
P(No PAV) x P(No PAV) = 382/940 x 381/939
d. En la segunda orden no se haya solicitado procesador de alta velocidad.
Casos Favorables: i. No PAV No PAV ;ii. PAV No PAV
P(No PAV) x P(No PAV) + P(PAV) x P(No PAV)
582/940 x 581/939 + 358/940 x 582/939
III. Plantear y resolver con esta situación la Regla de Bayes.
Causas
Efectos con Memoria Adicional
Procesador A.V.
358/940 = 0,38
246/358 = 0,68
No Procesador A.V.
582/940 = 0,62
68/582 = 0,12
1,00
Presentación gráfica:
Si se sabe que tiene Memoria Adicional ¿Cuál es la probabilidad que tenga Procesador de Alta Velocidad?
P(PAV/MA) = P(PAV y MA) / (P(PAV y MA) + P(No PAV y MA) =
P(PAV) x P(MA/PAV)
P(PAV) x P(MA/PAV) + P(No PAV) x P(MA/No PAV)
0,38 x 0,68
0,2584= 0,7764
=
0,38 x 0,68 + 0,62 x 0,12
0,3328
Si lo resolvemos con todos los decimales:
0,38 x 0,68
0,2617= 0,7834
=
0,38 x 0,68 + 0,62 x 0,12
0,3340
D.1.14.
a.
=
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Estadística - Curso 2014
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b. Determinar cuál es la probabilidad de que un solicitante elegido al azar sea:
* Graduado universitario. P(GU) = 105/200
* Graduado universitario y haya mantenido su trabajo actual durante menos de 5 años. P(GU y TA) = 25/200
*
Sea graduado o haya mantenido su trabajo actual por lo menos 5 años. P(GU o TA) = P(GU) + P(TA) –
P(GU y TA)
P(GU o TA) = 105/200 + 70/200 – 25/200 = 150/200
c. Determinar si ser graduado y mantener el empleo más de 5 años son eventos mutuamente excluyentes o no. Son
eventos mutuamente NO excluyentes, hay
D.3.
Reflexiones, resumen y conceptos básicos aprendidos y a
aprehender
Retomamos la idea de que el concepto “estadística” se puede abrir en otros tres conceptos
fundamentales: los datos, los métodos y la Teoría de Probabilidades.
En las unidades anteriores habíamos comenzado a profundizar los conceptos: datos y
métodos. En esta avanzamos un poco sobre el tema de “Teoría de probabilidades”
 Comenzamos a “jugar” con situaciones a resolver intuitivamente.
 Luego retomamos la evolución histórica de las probabilidades. Aquí cabe prestar
atención sobre un hecho fundamental: el hombre en su avance histórico-intelectual,
tardo casi 70 u 80 siglos para “descubrir” el concepto de “probabilidad”, un concepto
cotidiano (y no solo por los juegos de azar, que por supuesto existieron en las
civilizaciones de la Edad Antigua).
 Cuando se intuye este concepto, ello ocurre en el campo de los “juegos de azar”. Por lo
tanto la primera acepción de Probabilidad se da en un contexto de sucesos simétricos,
de equiprobabilidad y de valores a resultar conocidos.
 Cuando eso deja de ocurrir ya sea ante artefactos “no perfectos” de juego o porque es
necesario su transferencia a otros campos del conocimiento, se ve la necesidad de
recurrir a la experimentación. Las frecuencias relativas de los resultados en un
experimento se transforman en la nueva acepción de probabilidad.
 Finalmente aparece un concepto no objetivo de probabilidad cuando, por distintas
causas, es imposible generar frecuencias relativas; entonces cuenta la opinión de
“conocedores” o “expertos” para determinar “subjetivamente” los posibles valores de
probabilidad.
El análisis de las distintas reglas de probabilidad lo aproximamos “intuitivamente” a partir
primero de situaciones de juegos de azar, simétricos, y luego ante otras situaciones en
diferentes campos del conocimiento.
No obstante a quienes les interese abordarlo desde un punto de vista más matemático, se
recomienda la lectura (y revisión) y luego la aplicación del “Análisis Combinatorio”.