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Ing. Química – Ing. en Alimentos – Lic. en Análisis Qcos y Bromatológicos - Año 2014
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ÁLGEBRA LINEAL
GUÍA de TRABAJOS PRÁCTICOS Nº3 – UNIDAD 3
A = (aij)  Rm,n con la suma y la
Ej. Nº 1: Pruebe si el conjunto de las matrices
multiplicación por escalares es un espacio vectorial sobre R.
Ej. Nº 2:. Dé un ejemplo de una matriz:
a) real de orden 2 x 3
d) columna con 4 elementos
b) compleja de orden 3
e) diagonal perteneciente a R4,4
c) fila con tres elementos
f) triangular inferior de orden 4
Ej. Nº 3: Considere las matrices:
  1 1 0
 ;
A = 
 2  1 1
B = (bij)  R2,3
1 0 
 ; U =
, bij = i – j ; C = 
1  1
1
 
 2
 0
 
Indique si están bien definidas las siguientes expresiones, efectuando las operaciones en esos
casos:
a) A + 2B
c) CA
e) UUt
g) (ABt + BAt)/2
d) C3
b) A – C
f) UtUAC
i) UtAtBU
1 a b


Ej. Nº 4: Determine los valores de a , b y c para que la matriz S =  1 2 3  sea simétrica.
 2 c 3


2 
 3
 0 1
 y B = 
 .
Ej. Nº 5: Sean: A = 
  3  2
  1 0
a) Pruebe que A es idempotente.
1  1 1 


Ej. Nº 6: Si A = 1 1  1 y Y =
1  1 0 


b) Verifique que (A B)t = Bt At.
 3
 
 3  , encuentre un vector X  V3(R) tal que AX = Y ,
 2
 
si es que existe.
  1 1

 0 1
Ej. Nº 7: Sean: A = 
1 1
 , pruebe si A2 – B2 = (A + B) (A – B).
1 1
y B = 
Ej. Nº 8: Una industria construye una cierta máquina en dos modelos diferentes A y B. El
modelo A utiliza, entre otros componentes, 40 resistores, 30 capacitores y 70 diodos, mientras
que el modelo B utiliza 30 resistores, 20 capacitores y 90 diodos. La industria pretende fabricar
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en el mes de septiembre , 120 máquinas del modelo A y 180 máquinas del modelo B y en el
mes de octubre, 200 máquinas del modelo A y 100 máquinas del modelo B.
a) Calcule las cantidades de componentes de cada tipo, necesarias para la producción de los
modelos A y B en los dos meses.
b) Sabiendo que cada resistor cuesta $ 5, cada capacitor cuesta $ 8 y cada diodo cuesta $ 10,
calcule el costo total de fabricación de los dos modelos, relativos a esos componentes en los
dos meses.
1 2 
 .
 3  4
Ej. Nº 9: Sea A = 
a) Calcule A2 .
b) Halle f (A) si f(x) = 2x2 – 3x + 5.
c) Pruebe que A es un cero del polinomio g (x) = x2 + 3x – 10 .
1 2 
 . i) Calcule: a) A2.
Ej. Nº 10: Si A = 
4

3


b) A3. ii) Pruebe si A es un cero de
f(x) = 2x2 – 4x + 5 y de g(x) = x2 + 2x – 11 .
1 3 
 . Halle un vector columna U =
Ej. Nº 11: Dada A = 
4

3


 x
  no nulo tal que AU = 3U.
 y
Ej. Nº 12: Si una matriz cuadrada A es tal que At = - A , es llamada matriz antisimétrica. Se
a13 
 4  a a12


sabe que M =  a
b  2 a 23  es antisimétrica. Halle los elementos a12 , a13 y a23 .
 b
c
2c  8 

Ej. Nº 13: Resuelva la ecuación matricial para X  R2,2:
 2 1
 y B =
 1 0
A = 
2X + At = A + B2 , donde:
3 1

 .
1 2
Ej. Nº 14: Sea T : V  V definida por T(X) =  X ,   R . Pruebe que T es una
transformación lineal y recibe el nombre de homotecia de razón .
Ej. Nº 15: Argumente geométricamente que la transformación T en V2(R) que hace girar a
cada vector un ángulo  es una transformación lineal.
Ej. Nº 16: Sea S : C [a , b]  R definida por S(x) =

b
a
f ( x) dx . Demuestre que S es una
transformación lineal.
1
  4
1  
0  
Ej. Nº 17: Sea f : R  R una transformación lineal tal que f     2  y f     0 
 0  3
1  5 
 
 
2
3
 2
  3
Determine f   y f   .
 4
 7 
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Ej. Nº 18: Supongamos que T es una transformación lineal de R2 en P2 tal que:
 2
  1
a
y T  = 1 – x2. Encuentre T  y T  .
 3
b
2
 1
T  = 2 – 3x + x2
 1
Ej. Nº 19: Determine si T : R2,2  R2,2 es una transformación lineal:
a b a  b
  
a) T 
c d  0
0 

c  d 
a b  1
  
b) T 
 c d  b  c
a  d

1 
Ej. Nº 20: En cada uno de los siguientes casos se define una función T : R2  R2. Determine
cuáles son transformaciones lineales y, para ellas, defina los conjuntos N (T) , I (T) y calcule
sus dimensiones:
 x  x 
a) T 1    1 
 x 2   x1 
 x  x 
b) T 1    1 
 x2   0 
x   x 
c) T 1    1 
 x 2   x 2  1
 x   x2 
d) T 1    1 
 x2   0 
 x1   x1  2 x 2 
  

Ej. Nº 21: Sea T : R  R definida por T x 2    x1  x3  . Encuentre: N (T) , I (T) y una
 x   x  2x 
3
 3  1
base para cada uno de dichos espacios. ¿Es T un isomorfismo?.
3
3
Ej. Nº 22: Encuentre el núcleo y la imagen del operador diferencial D : P3  P2 definido por
D (p(x)) = p’(x).
1  0 
 0  1
Ej. Nº 23: Sea T : R2  R2 la transformacion lineal tal que T     y T     ,
1  0 
 1  1
demuestre que tanto el núcleo como la imagen de T son rectas que pasan por el origen.
Encuentre las ecuaciones de estas rectas.
0 1

Ej. Nº 24: Sea T : R2,2  R2,2 la transformación lineal T(A) = AB – BA , donde B = 
0 0
Describa el núcleo de T.
Ej. Nº 25: Sea la transformación lineal T : R2  R2 definida por la regla:
 x1   x1  x2 
   
 , encuentre la matriz asociada a T:
 x 2    2 x1  4 x2 
 0   1 
a) en la base canónica de R2.
b) en la base A =  ,   de R2.
 1   2 
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 x1 
   x  2 x2 
3
2
 .
Ej. Nº 26: Dada la transformación lineal T : R  R definida por: T x 2    1
 x   x1  x3 
 3
a) Halle N (T) , I (T) y una base para estos espacios. b) Encuentre la matriz asociada a T
1  1   1 
     
respecto de las bases A = 1;  1 ;  0  y B =
1  0   0 
     
 2   0 
3
2
 ,   de R y R respectivamente.
 0   1 
1
0
0
   1
  0
  1
Ej. Nº 27: Si T1    ; T 1     y T 0     , determine la matriz de la
1 1
  1   1
1 0
 
 
 
transformación lineal con respecto a las bases canónicas de R3 y R2. Si X = (-1 1 2)t
determine T(X).
Ej. Nº 28: Defina la matriz asociada a la rotación según un ángulo  con respecto a la base
canónica y determine AT para el caso en que  = 60º.
 x1 
   x  x2 
 de R3 en R2 y
Ej. Nº 29: Sean las transformaciones lineales: T1  x 2    1
 x   x3 
 3
x 
T2  1   x1  x 2 de R2 en R, y sean A = I1 , I 2 , I 3 , B =
 x2 
 1   0 
 ,   y C = 3 bases de
 0    2 
R3 , R2 y R respectivamente.
a) Detrmine: i) M(T1). ii) M(T2). iii) M(T2 o T1). b) Pruebe que M(T2 o T1) = M(T2) M(T1).
Ej. Nº 30: Calcule la inversa de A , si existe, aplicando la definición:
5 
 2

  3  7
a) A = 
  4  5

6 
 5
b) A = 
2 
 3
 es la inversa de A =
 5 / 2  3 / 2
Ej. Nº 31: Pruebe si B = 
 3 4

 .
5 6
Ej. Nº 32: Halle la inversa de las siguientes matrices triangulares:
 3 2

A = 
0 1
2 0 0 


B = 0 5 0 
 0 0  3


2 1 0 


C =  0 1  1
0 0 1 


Ej. Nº 33: Analice si el conjunto M formado por todas las matrices de la forma:
1 a b


A =  0 1 c  con a, b, c  R, es o no un grupo multiplicativo.
0 0 1


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Ej. Nº 34: Halle, si es posible, la inversa de cada una de las siguientes matrices:
1 4 2


A = 3 7 9
1 5 1


1 1 5 


B =  4 10 16
2 5 8 


1

1
C= 
2

1

0
1
0
1
0
0
1
1
1

1
0

1 
Ej. Nº 35: Se llama matriz de permutación a una matriz n x n con un elemento en cada fila y
cada columna igual a uno y todos los otros elementos iguales a cero. Por ejemplo:
 0 1 0


A =  0 0 1
 1 0 0


0

1
B= 
0

0

y
1
0
0
0
0
0
0
1
0

0
1

0 
Halle la inversa de cada una de estas matrices dadas. ¿Qué conclusiones puede sacar?.
 1 2  2

1
Ej. Nº 36: Muestre que A =  2 1 2  es una matriz ortogonal.
3

 2 2 1 
Ej. Nº 37: En V2(R) calcule la matriz de cambio de base de la base canónica { I1, I2} por la
base { J1, J2} y calcule la matriz de cambio de base de { J1, J2} por la base canónica si:
  1
a) J1 =   , J2 =
0
 1
 
 1
1
b) J1 =   , J2 =
 1
0
 
 2
Ej. Nº 38: Sea V = R3 y S = { X1, X2, X3}, T = { Y1, Y2, Y3} bases para R3 , donde
 2
1
 
 
X1 =  0  , X2 =  2  , X3 =
1
0
 
 
1
 
1
1
 
6
 
y Y1 =  3  , Y2 =
 3
 
 4
 
  1 , Y3 =
 3
 
5
 
5 .
 2
 
a) Halle la matriz de transición de la base T en la base S.
b) Halle la matriz de transición de la base S en la base T.
c) Obtenga las coordenadas de X = (4 -9 5)t con respecto a la base S:
i) utilizando la matriz de transición.
ii) en forma directa.
Ej. Nº 39: Si V = P1 y S = { u1, u2}, T = { q1, q2} bases para P1 , donde u1 = t ; u2 = t - 3 ;
q1 = t - 1 ; q2 = t + 1, a) Calcule la matriz de transición de la base T en la base S.
b) Si u = 5 t + 1 verifique que [u]S = PS←T [u]T.
Ej. Nº 40: En el espacio de los polinomios de grado ≤ 3, calcule la matriz de cambio de base de
{1, 1+x, (1+x)2 , (1+x)3} por {1, x, x2 , x3}.
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