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Ing. Química – Ing. en Alimentos – Lic. en Análisis Qcos y Bromatológicos - Año 2014
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ÁLGEBRA LINEAL
GUÍA de TRABAJOS PRÁCTICOS Nº5 – UNIDAD 5
Ej. Nº 1: Demuestre que el siguiente sistema no tiene solución.
2x 1  x 2  x 3  1

 x3  0
x1

x2 - x3  0

.
Ej. Nº 2: Determine todas las soluciones de cada sistema:
- x3  x 4 1
 x1

b) - x 1  x 2  x 4  0

x2
- x 4 1

x - x  x 3 - x 4  0
a)  1 2
 x1  x 2 - x 3 - x 4  1
Ej. Nº 3: Halle la solución de los siguientes sistemas utilizando el método de eliminación
gaussiana:
- 2x 3  2x 4  1
 x1
- 2x  3x  4x
1

2
3
a)  1
x2  x 3 - x 4  1

 3x1  x 2 - 2x 3 - x 4  3


b) 


 x 2  2x 3  1
2x 1
2x 2
- 3x 3  - 2
- x 2  2x 3
1
Ej. Nº 4: Determine todos los valores de”a” para los cuales el sistema resultante
a) no tenga solución
b) tenga una única solución
c) tenga una infinidad de soluciones
 x 1  x2  x 3  2

i)  2x1  3x 2  2x 3  5
2x  3x  (a 2  1) x  a  1
2
3
 1
 x 1  x2  x 3  2

ii)  x 1  2x 2  x 3  3
x  x  (a 2  5) x  a
2
3
 1
 x 1 - 2x 2  3x 3  2

iii)  x 1  x 2  x3  a
2x - x  4x  a 2
2
3
 1
Ej. Nº 5: Sean A = (1, 0, -1) , B = (0, 2, 1) , C = (1, 1, 1) y D = (3, -1, -1) . Determine si las
rectas
X=A+tC
y
X=B+sD
se intersecan y , si es así, encuentre su punto de
intersección.
Ej. Nº 6: Un sistema de ecuaciones lineales con más ecuaciones que incógnitas a veces se
denomina sobredeterminado .¿Puede ser consistente un sistema así?. Ilustre su respuesta con
un sistema específico de tres ecuaciones con dos incógnitas.
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Ej. Nº 7: Cada una de las ecuaciones del sistema determina un plano en R3. ¿Se intersecan los
dos planos?. Si lo hacen, describa su intersección.
x 1  4x 2 - 5x 3  0

2x1 - x 2  8x 3  9
1 / 2 1 / 4 1 / 3 


Ej. Nº 8: Sean las matrices: A = 1 / 2 1 / 4 1 / 3 ,
 0 1 / 2 1 / 3


 x1 
 
X =  x2 
x 
 3
y
 1
 
I =  1
 1
 
A X  X
Resuelva el sistema lineal  t
 I X 1
La matriz A de este ejemplo es una matriz de probabilidad. Estas matrices cuadradas tienen dos
propiedades: 1- todos sus elementos son no negativos
2- la suma de los elementos de cada columna es 1.
Esto significa que los vectores columna caracterizan una distribución discreta de probabilidades
El vector solución define también una distribución de probabilidades, llamada estacionaria. Este
tipo de distribuciones se estudia en las cadenas finitas de Markov.
Ej. Nº 9: Halle los valores de  y  para los que el rango de la matriz A es lo más pequeño
posible:
3  2 1 4 
 1


1
2  3
 2 1
A=  3 4 3
1  2


3
0

3 
 3


2 3 3  
 3
 x 1 - bx 2 - cx 3  0

Ej. Nº 10: Dado el sistema  - ax 1  x 2 - cx 3  0 ,
- ax - bx  x  0
1
2
3

Pruebe que
a
b
c


1
a 1 b 1 c 1
Ej. Nº 11: Utilice la regla de Cramer para resolver cada sistema:
 x  2x 2  1
a)  1
- 3x1  6x 2  2
 x1 - x 2  x 3  1

- x3  0
b)  2x1

2x 2  x 3  - 1

Ej. Nº 12: Utilice la regla de Cramer para determinar todos los valores de k para los cuales el
sistema lineal:
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 x 1 - 2x 2  2 x 3  9

k
 2x1  x 2
 3x - x - x  - 10
1
2
3

tiene la solución en la cual x2 = 1.
Ej. Nº 13: Un aspecto importante del estudio de la transferencia de calor es determinar la
distribución de temperatura de estado estacionario para una placa delgada, cuando se conoce la
temperatura alrededor de sus bordes. Suponga que el flujo de calor en la dirección perpendicular
es despreciable. Sean T1 , T2 , T3 y T4 las temperaturas en los 4 nodos interiores de la figura. La
temperatura en un nodo es aproximadamente el promedio de los 4 nodos más cercanos ( a la
izquierda, arriba, a la derecha y abajo). Por ejemplo:
T1 
10  20  T2  T3
.
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a) Escriba el sistema de cuatro ecuaciones cuya solución produzca las estimaciones para T1, T2,
T3 y T4 .
b) Resuelva el sistema utilizando una matriz escalonada.
Ej. Nº 14: Una herramienta matemática importante en Ingeniería es el ajuste de curvas.
Supongamos que tenemos en el plano dos puntos cuyas coordenadas sean distintas, es evidente
que existe una sola recta que pasa por dichos puntos. Del mismo modo, si tenemos tres puntos de
coordenadas distintas, habrá una sola parábola que pase por dichos puntos y, en general,
habiendo n puntos de coordenadas distintas, tendremos solamente un polinomio de grado n-1 que
pase por dichos puntos.
Por ejemplo, tomemos los puntos (1, 6) , (5, 11) y (2, -5); entonces, habrá una parábola
y  ax 2  bx  c que pase por dichos puntos en la medida que se cumplan las condiciones:
6 = a (1)2 + b (1) + c
11 = a (5)2 + b (5) + c
-5 = a (2)2 + b (2) + c
Ordene el sistema formado y resuélvalo por el método de Gauss-Jordan.
Ej. Nº 15: Encuentre el polinomio que se ajusta a los puntos: (0, 5) , (1, -2) , (3, 3) y (4, -2)
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utilizando el método de Gauss-Jordan.
Ej. Nº 16: Al balancear reacciones químicas tales como la de la fotosíntesis:
CO 2  H 2 O  C 6 H12O 6  O 2
se buscan enteros positivos x1 , x2 , x3 y x4 que no tengan un divisor común diferente de 1, de
manera que en:
x1 CO 2  x 2 H 2 O  x3 C 6 H12O 6  x 4 O 2
se cumpla el principio de identidad, es decir, el número de átomos de cada elemento químico
involucrado es el mismo en cada miembro de la reacción. Esto conduce a un sistema de
ecuaciones homogéneas. Este sistema tiene más incógnitas que ecuaciones, por lo que se espera
un número infinito de soluciones. Será necesario escoger valores que cumplan con los requisitos
establecidos anteriormente.
Ej. Nº 17: Haga el balance de las siguientes ecuaciones químicas:
a) x1 NH 3  x 2 O 2  x 3 NO  x 4 H 2 O
b) x1 CO  x 2 CO 2  x 3 H 2  x 4 CH 4  x 5 H 2 O
Ej. Nº 18: Uno de los métodos para resolver sistemas lineales de igual cantidad de ecuaciones
que de incógnitas es a partir de la inversa de la matriz de coeficientes, Este método es útil en
problemas industriales. Esto significa que si se utilizan como entrada n valores (que se pueden
ordenar como la matriz X de n x 1), entonces se obtienen n valores como salida (que se pueden
ordenar como la matriz B de n x1) mediante la regla A X = B. La matriz A está íntimamente
ligada al proceso. Así, supongamos que un proceso químico tiene cierta matriz asociada a él.
Cualquier cambio en el proceso puede producir una nueva matriz, pero la estructura interna del
proceso no nos interesa, El problema que aparece con frecuencia en el análisis de sistemas es el
de determinar la entrada por utilizar para obtener la salida deseada, Es decir, queremos resolver
el sistema lineal A X = B para X, al variar B. Si A es una matriz cuadrada no singular, una
forma eficiente de manejar esto es la siguiente:
Calculamos A-1 una vez, y siempre que modifiquemos B, determinamos la solución
correspondiente X formando A-1 B.
2 1 3 


Considere un proceso industrial cuya matriz es: A =  3 2  1 . Determine la matriz de
2 1 1 


 30 
12
 
 
entrada para cada una de las matrices de salida: a)  20
b)  8  .
 10 
14
 
 
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