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UNEFA
Cátedra: Lógica Matematica
Tema: Deducción Natural.
Profesora: Ana Rodríguez.
Reglas de inferencia:
En lógica, especialmente en lógica matemática, una regla de inferencia es un
esquema para construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones
sintácticas (recordar unidad I y II) entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una
aserción llamada conclusión.
Estas relaciones sintácticas son usadas en el proceso de inferencia, por el que se
llega a nuevas aserciones verdaderas a partir de otras ya conocidas. Las reglas también se
aplican a la lógica informal y a las discusiones, pero la formulación es mucho más difícil y
polémica.
Modus ponendo ponens:
Modus ponens (Latín: modo que afirmando afirma) es una regla de inferencia
simple que trabaja con la implicación:
Si P entonces Q.
P.
Entonces, Q.
Expresado en la notación de operadores lógicos:
p
p
‫כ‬
Un posible ejemplo en lenguaje natural:
Si llueve, voy al cine
llovió
Por lo tanto, fui al cine
q
q
El argumento tiene dos premisas. La primera es el condicional "P implica Q". La
segunda premisa indica que P es verdadera. De estas dos premisas se deduce la conclusión
de que Q también es verdadera.
P r o f e s o r a:
A n a
R o d r í g u e z
1
Modus tollendo tollens:
Modus tollens (del latín, modo que negando niega), también llamado razonamiento
indirecto. En lógica, es el nombre formal para la prueba indirecta o inferencia
contrapositiva. Usualmente se lo abrevia como "MTT".
La tautología Modus Tollens toma las siguientes formas de ley lógica:
Si P, entonces Q.
Q es falso.
Entonces P es falso.
En una notación diferente, utilizando operadores lógicos:
p
Un posible ejemplo en lenguaje natural:
Si llueve, voy al cine
No fui al cine
Por lo tanto, no llovió
‫ כ‬q
~q
~p
El argumento tiene dos premisas. La primera es el condicional "P implica Q". La
segunda premisa indica que Q es falsa. De estas dos premisas se deduce la conclusión de
que P debe ser falsa. Si P fuera verdadera, entonces Q lo sería, por la primera premisa, pero
no lo es, por la segunda.
Modus tollendo ponens:
Modus tollendo (Latín: modo que negando afirma) es una regla de inferencia
simple, en la que se trabaja con la disyunción
Es verdad P o Q o los dos.
Es falso P.
Entonces, Q es verdadero.
Expresado en la notación de operadores lógicos:
p
v q
~q
ó
v
q
~p
p
P r o f e s o r a:
p
q
A n a
R o d r í g u e z
2
Un posible ejemplo es:
Llueve o voy al cine
No fui al cine
Por lo tanto, llovió
Llueve o voy al cine
No llovió
Por lo tanto, fui al cine
En esta regla se elimina la disyunción si una de las variables aparece negada...
Adyunción o Adjunción:
Si tengo dos proposiciones cualesquiera como premisas la conclusión será, las dos
proposiciones unidas por la conjunción.
p
ó
~r
q
p
s
•
q
s
• ~r
Simplificación:
Esta regla es exactamente lo contrario de la anterior. Si tengo dos proposiciones
unidas por la conjunción, entonces puedo eliminar la conjunción, mi conclusión en este
caso será una de las variables que la conformaba. Evidentemente será aquella que necesite
para continuar...
(p
• q) ‫ כ‬p (tautología)
p
•
q
ó
s
P
• ~r
~r
Doble Negación:
Si tengo una proposición cualquiera como premisa puedo deducir su doble negación
y viceversa:
p = ~~ p
P r o f e s o r a:
A n a
ó
R o d r í g u e z
~~ p = p
3
Introducción de Signos por Definición o Definición de Signos:
En las reglas anteriores se trabaja únicamente con las variables y se deduce o se
infiere una conclusión, ahora conoceremos una serie de reglas que nos permitirán cambiar
los signos para modificar una fórmula a nuestra conveniencia. Es importante destacar que la
definición se refiere solo a los signos y no a las variables. La primera de estas reglas se
conoce con el nombre de:
Ley de Morgan:
Esquema de las leyes de Morgan:
~(p • q)
~ p v ~q
ó
~(p v
q)
~ p • ~q
Primera: Una conjunción negada (negación compleja), equivale a una disyunción de
negaciones. Y viceversa.
• q
~(~p v ~q )
p
p
ó
v
q
~(~ p • ~q)
Segunda: Una conjunción equivale a la negación compleja de una disyunción de
negaciones).
Explicación: Como ya se habrán dado cuenta esta regla nos permite cambiar la
conjunción por la disyunción (ya a estas alturas saben que la conjunción es el punto y que
la disyunción es la v!!! ¿o no?); el procedimiento para definir estos signos consiste en negar
el alcance del signo, ¿Qué como hacemos eso? Con el paréntesis. Acuérdense el paréntesis
le resta alcance a toda la fórmula y le resta alcance al signo de operación...
Nuestro segundo paso consiste en negar los términos o variables de la conjunción, o
de la disyunción (eso va a depender de cómo se nos presente la fórmula originalmente). Y
en tercer lugar cambiar el signo.
Definición de Implicación:
Esquema de la definición de implicación:
p
v q
~p ‫ כ‬q
P r o f e s o r a:
ó
A n a
R o d r í g u e z
‫כ‬
~p v
p
q
q
4
Explicación: Según esta regla, si tenemos una disyunción podemos cambiarla por una
implicación; siempre y cuando neguemos la primera variable que aparece, (únicamente la
primera), es decir, la que se va a convertir en nuestro antecedente.
Por ejemplo:
~(~p
~(p
v ~q)
‫~ כ‬q)
En la fórmula anterior partimos de una negación compleja, y esta queda
exactamente igual, porque donde cambia es en la Ley de Morgan. Lo mismo ocurre con la
segunda variable; de acuerdo con la regla esa variable queda igual, lo que cambió es el
signo de operación y la primera variable que originalmente estaba negada, si la niego dos
veces ¿qué ocurre? Por la ley de doble negación queda afirmada.
Deducción Natural
En esta unidad hemos aprendido un grupo de reglas que nos permiten pasar de una
serie de afirmaciones a otra afirmación. Por ejemplo de la afirmación p ‫ כ‬q; si se cumple la
variable p, se puede deducir la variable q. (Modus Ponens)
La idea central de la deducción natural consiste en demostrar que una conclusión
se deduce lógicamente de un conjunto de hipótesis, es decir, siguiendo una serie de pasos
sucesivos, cada uno permitido por una regla; es posible alcanzar la conclusión deseada. Si
es así, se ha demostrado que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas dadas.
Con el manejo de estas pocas reglas hemos comenzado el camino preciso para
realizar deducciones formales. Una deducción formal es una sucesión de proposiciones o
pasos, en la cual cada paso o es una hipótesis o está deducido directamente de las hipótesis.
Podríamos decir que las reglas de la deducción son similares a las reglas de un
juego, donde la demostración de una conclusión x es nuestro juego en si y las reglas del
juego son las leyes de inferencia. En la deducción nosotros podemos hacer cualquier
movimiento, es decir, dar cualquier paso siempre y cuando esté permitido por alguna regla,
y debemos justificar cada paso dado indicando la regla seguida. Recordemos que el
objetivo que nos proponemos alcanzar en este juego, es demostrar que la conclusión
establecida se puede justificar de las hipótesis.
El propósito de cada movimiento que hacemos cuando aplicamos alguna regla, es
avanzar un paso hacia nuestro objetivo, pero es necesario recordar que: cada paso ha de ser
permitido por alguna regla de inferencia.
El primer paso de este proceso consiste en simbolizar nuestro enunciado e
identificar nuestras hipótesis, así como la conclusión. Otra de las cosas que debemos
recordar es que los puntos y seguidos dividen nuestras hipótesis y que el punto y aparte es
P r o f e s o r a:
A n a
R o d r í g u e z
5
el que divide a la conclusión de nuestras hipótesis, que además también puede estar
señalada por signos de interrogación o por la frase “por tanto”. (El símbolo ∴ representa la
conclusión ya simbolizada).
Ejemplo:
Si la ballena es un mamífero, toma oxigeno del aire. Si toma su oxigeno del aire, no
necesita branquias. La ballena es un mamífero y habita en el océano.
Por tanto no necesita branquias.
Lo primero que debemos hacer es identificar las proposiciones, de manera que
quede totalmente clara cada una de nuestras variables:
p: la ballena es un mamífero
q: toma su oxigeno del aire
r: necesita branquias
s: Habita en el océano
Entonces...
La primera hipótesis es: p ‫ כ‬q
La segunda hipótesis es: q ‫~ כ‬r
La tercera hipótesis es: p • s
La conclusión es: ~r
La deducción se puede escribir como se indica a continuación
1H p ‫ כ‬q
2H q ‫~ כ‬r
3H p • s
∴ ~r
Luego comenzamos a aplicar nuestras reglas a
las hipótesis...
4 p
5 q
6 ~r
Simp H 3
MP H 1, 4
MP H 2, 5 = ∴
El paso 4: “p”, corresponde a una simplificación de la hipótesis 3, recordemos que
si no disponemos de ninguna variable con la cual trabajar para aplicar alguna regla y
tenemos una conjunción en una de las hipótesis, lo más lógico sería simplificarla para
tomar la variable que necesitemos para aplicar alguna otra regla.
En caso de que tampoco podamos realizar una simplificación ¿Qué podemos hacer?
Podemos cambiar el signo, ¿Cómo? Con una regla de transformación, como la Definición
de Implicación o la Ley de Morgan...
P r o f e s o r a:
A n a
R o d r í g u e z
6
El paso 5: “q”, corresponde a un Modus Ponens entre la hipótesis 1, que es una
implicación y la variable “p” que obtuvimos en la simplificación que llevamos a cabo en el
paso 4...
Por último el paso 6: “~r”, se obtiene gracias a otro Modus Ponens, ahora entre la
hipótesis 2 y la variable “q” que obtuvimos en el paso anterior, dando como resultado
nuestra conclusión deseada, y puesto que este es el objetivo de nuestra deducción, el
ejercicio está terminado.
Ahora les toca a ustedes...
Simbolicen los siguiente ejercicios y apliquen las leyes que correspondan!
#1. Tengo cigarrillos o tengo fósforos. Tengo encendedor. Es falso que tengo encendedor y
fósforos.
Por tanto, tengo cigarrillos.
#2. Las vacas no hacen sus nidos en las copas de los árboles o no pueden jugar al fútbol. Si
los hipopótamos entonan bellas canciones de amor, las vacas hacen sus nidos en las copas
de los árboles y pueden jugar al fútbol. Si las ballenitas saltan de rama en rama, los
hipopótamos entonan bellas canciones de amor. No sucede que las ballenitas no saltan de
rama en rama y que las parejas de gansos no se pasean románticamente por el parque.
¿Es falso que si las parejas de gansos se pasean románticamente por el parque, los
hipopótamos entonan bellas canciones de amor?
El primer ejercicio tiene un grado fácil de dificultad, y bueno el segundo es un poco
menos fácil, pero yo se que “si pueden” hacerlo, les adelanto que para comenzar deben
aplicar una Ley de Morgan en la primera hipótesis y de ahí en adelante bueno aplicar las
reglas que estudiamos en clase...
Mucha suerte!!!!!!
P r o f e s o r a:
A n a
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