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ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
LÓGICA
PROPOSICIONAL
COMPETENCIA EN LÓGICA PROPOSICIONAL:
DESARROLLA CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS DE LA LÒGICA PROPOSICIONAL, PARA
TRANSFORMAR E INTERPRETAR, DE MANERA COHERENTE, EL LENGUAJE ORDINARIO EN
SU FUNCIÓN INFORMATIVA HASTA CONVERTIRLO EN LENGUAJE SIMBÓLICO-LÒGICA
PROPOSICIONAL, REEXPRESANDO LA INFORMACIÓN RECOGIDA DE LAS SITUACIONES
REALES ACONTECIDAS, PARA SU ANÁLISIS, SU APLICACIÓN EN LA SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS Y EN LA TOMA ASERTIVA DE LAS DECISIONES
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ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
SESIÓN N°01
evaluando primero las proposiciones
atómicas o simples y luego evalúa las
proposiciones compuestas o moleculares,
formadas mediante el uso de los conectivos
lógicos. El cálculo proposicional recurre a
símbolos:
variables
proposicionales,
conectivos lógicos u operadores lógicos
(constantes lógicas), reglas de formación de
expresiones (sintaxis), símbolos auxiliares o
signos de agrupación, valores veritativos
(valores de verdad).
LOGICA
La lógica es una ciencia muy importante
que sirve de apoyo a la matemática
moderna, aunque en la vida diaria, nos
ayuda a resolver situaciones que
ocurren a nuestro alrededor, como por
ejemplo: desentrañar el misterio de un
asesinato o determinar la paternidad de
un niño. Sin embargo, la lógica no está
en lo que acontece, no pertenece al
mundo concreto; sino surge de la mente
del hombre y refleja cierta estructura y
procesos mentales, productos de la
creación de la mente humana.
ENUNCIADOS
Enunciado.- Es una serie determinada de signos,
que forman un segmento lingüístico.
Usualmente es toda frase u oración. Ejemplos
de enunciados en la lengua española:
La Policía Nacional del Perú
La Policía nacional del Perú y la Fuerza
armada.
¡Alto!
¿Quién anda ahí?
Perro que labra no muerde
Mi auto nuevo
2+2=5
Todas las gallinas son aves
Dos más tres es igual a cinco
Prohibido hacer bulla
5x + y > 34
“x gira alrededor del sol”.
“x es mecánico”.
“x + y = 0”
“x es número real”.
“x es padre de y”.
“x > y”
“x + 3 = 7”
No obstante, el conocimiento o saber
lógico, no tan solo se usa dentro del
campo filosófico o del pensamiento, sino
en todas las formas del conocimiento,
dado que en todas las áreas se requiere
de un ordenamiento de los elementos
que implica un razonamiento.
Los principios y las reglas de la lógica,
se usan en la construcción del análisis
de un problema específico y nos
permiten establecer un orden de las
partes a tratar y hacer un razonamiento
que nos lleve a establecer un juicio
objetivo. Por ejemplo, si necesitas
calcular el área de un triángulo, ¿qué
harías?
Queda pues claro que en la vida diaria
del hombre común, así como en el
campo de la ciencia, la lógica nos da las
herramientas
necesarias
para
argumentar correctamente.
ENUNCIADOS ABIERTOS.
Son expresiones que contienen variables y
que no tienen la propiedad de ser verdadero
o falso.
Ejemplos:
x < 5 es un enunciado abierto, porque no
podemos afirmar que es “V” o “F”.
Solo cuando la variable “x” toma un
valor numérico se hace “V” o “F”.
Así tendremos:
Si x = 3 : 3 < 5 es “V”
Si x = 8 : 8 < 5 es “F”
Lógica Proposicional.- Es aquella parte de
la lógica formal que estudia las
proposiciones como un todo indiviso, como
bloques unitarios, con total abstracción de
su estructura interna. No analiza las
palabras individuales que componen la
proposición. Examina las conexiones
lógicas existentes entre las proposiciones
consideradas, es decir las conexiones
lógicas que existen entre las proposiciones
a través de los conectivos lógicos u
operadores lógicos. Toma en cuenta su
propiedad de ser verdaderas o falsas,
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PROPOSICIONES
Proposición.- Es un enunciado lingüístico
aseverativo (afirmativo o negativo) con
propósito
informativo,
libre
de
ambigüedades, que tiene la propiedad de
ser verdadero o falso, pero no ambos a la
vez. Expresan la afirmación o negación de
algo con respecto al referente. Afirmativa:
Admite cualidad o propiedad. Ejemplo: El
área del circulo es *r2”. Negativa: Rechaza
cualidad o propiedad. Ejemplo: El número
dos no es impar. La proposición describe
algún hecho o aspecto del universo fáctico o
formal
Ejemplo:
P: Lima es capital del Perú
Q: Mozart escribió Trilce
R: 4 + 9 = 13
Débil
ORDINARIO

Negación

.

p
pq
pyq
Disyunción
pq
poq
entonces
Replicador
pq
p si q

Bicondicional
pq
p si sólo si q
pq
Ni p ni q
pq
No p o no q
Negación
Conjuntiva
Binegación
Disyuntiva
El conectivo lógico “” es un operador para la
“negación conjuntiva”, llamada también
“Binegación”.
El conectivo lógico “” es un operador para la
“Binegación disyuntiva”, también se le llamada
“Negación alternativa”, o “Incompatibilidad”.
Proposición Negativa. “”
De manera general, la oración aseverativa
negativa en lengua cotidiana se caracteriza
por llevar la palabra “no” antes del verbo.
Ejemplos:
Paúl no es peruano.
El número 2 no es impar.
Estas oraciones aseverativas negativas se
representan en la lógica proposicional
utilizando una variable proposicional y el
operador monádico “” Desde el punto de
vista de la lógica proposicional estas
proposiciones se representan así:
p: no (Paúl es peruano).
q: no (El número 2 es impar).
El operador lógico “” se puede aplicar a una
proposición simple o atómica y también se
puede aplicar a otras proposiciones diádicas o
moleculares.
No p
Conjunción
pq
Nota:
Conectivos Lógicos y Operaciones Lógicas
CION
Opoq


Es aquella proposición que tienen conectivo
lógico u operador lógico. Los conectivos
lógicos u operadores lógicos se representan
o denotan así: “” , “”, “”, “”, “”,
“”, “”, “”, “”
Juan y Luís son deportistas.
Luís es ingeniero o médico.
O Franco se va al colegio o se va a pasear.
Si Juan el deportista, mantiene una dieta
estricta.
n es par si y sólo si n es múltiplo de 2.
LÓGICA
Implicación

-Proposición Compuesta o Molecular:
LÓGICO
pq
q
La Tierra es un planeta.
La Lunaessatélite de la tierra.
Paris es la capital de Argentina.
LENGUAJE
∆
Exclusiva

Existen dos tipos de proposiciones:
-Proposición Simple o Atómica:
Es aquella proposición que carece de
conectivo lógico u operador lógico. Pueden
ser predicativas o relacionales. Ejemplos:
SIMBOLIZA-
Disyunción
Si p
(V)
(F)
(V)
CONECTIVO OPERACIÓN

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Ejemplos
La expresión “no es el caso que”, “ es falso
que” se usan generalmente para negar
proposiciones compuestas. Ejemplo: No es el
caso que la casa sea negra y la puerta roja. En
este caso tenemos una proposición conjuntiva,
negada:  (p q). No es el caso que si llueve,
haga calor. En este caso tenemos una
proposición condicional, negada:  (r  s)
En el lenguaje lógico-matemático, la negación
de una negación equivale siempre a una
afirmación. Ejemplo: “no es verdad que no
está en casa” equivale a decir “está en casa” y,
en general “no-(no-A)” es lo mismo que “A”.
Es inobjetable que A A A.
No es innegable que no A AA.
En nuestra lengua natural, lengua española, no
siempre es así, sino que a veces, utilizamos la
acumulación de negaciones para dar mayor
énfasis a nuestra expresión. “No iré nunca” es
para nosotros más o menos lo mismo que
“nunca iré”.
Conectivo Lógico u Operador Lógico “”.
Es absurdo que el Edgar patee con las dos piernas.
No es cierto que el cuadrado sea un polígono.
Francisco Pizarro nunca descubrió América.
Nunca Francisco Pizarro descubrió América.
De ningún modo iré a tu casa.
Es inadmisible que 3 + 3 = 9.
No es verdad que toma refrescos.
Es objetable que salga a pasear.
Es falso que tenga dinero.
Es inconcebible que Martín salga desaprobado.
En modo alguno los ofidios poseen extremidades.
En forma alguna los peces son anfibios.
No hay cumplimiento de leyes.
No ocurre que María canta.
No acaece que el carro es blanco.
No es el caso que Luís sea propietario del
computador.
Es irrefutable que la suma de los ángulos internos
de un triángulo es 360 grados.
Es mentira que en el Perú hay democracia.
Jamás vayas al cine en la mañana.
Es imposible que exista vida en el planeta Venus.
Es incorrecto que 2 + 3 = 10.
Es erróneo que 1 6 = 9.
Nunca sucede que los peces no nadan en el aire.
Es incierto que los alumnos de primaria ingresan a
la universidad.
Es innegable que las ballenas tengan extremidades.
No es innegable que ballenas sean ovíparas.
De ninguna forma se da 5<2.
No es inobjetable cierto que el elefante no demora
20 meses para nacer.
No es falso que sea imposible que el pulpo sea
un molusco.
Tampoco el elefante demora 20 meses para
nacer.
Proposiciones Conjuntivas “”“ . “
Sean las oraciones aseverativas “Juan es
deportista” y “Luís es deportista.” Estas
oraciones la podemos reescribir mediante una
oración aseverativa compuesta “Juan y Luís
son deportistas”, en este caso, las oraciones
dadas han sufrido una transformación de
elisión, o sea, se han omitido una o más
palabras, pero se mantiene el sentido completo
de las oraciones aseverativas primigenias. En
el uso cotidiano de la lengua, de manera
general, no hablamos ni escribimos “Juan es
deportista y Luís es deportistas.” sino “Juan y
Función.- Negar una proposición afirmativa.
Regla Metalógica
Si p es verdadera, p es falsa; y viceversa.
Tabla de verdad:
p
V
F
p
F
V
Conectores equivalentes a “”.
No A // Nunca A // Jamás A // Tampoco A // Es
absurdo que A // Es imposible que A // No ocurre
que A // No es verdad que A // Es inadmisible que
A// No acaece que A // No es innegable que A //
Es erróneo que A // Es incierto que A // De
ninguna forma se da que A // No es el caso que A//
No es cierto que A // Es Inconcebible que A // Es
mentira que A // Es incorrecto que A // Es falso
que A // Es negable que A // Es refutable que A //
Es objetable que A // En modo alguno A // En
forma alguna A // De ningún modo A // De ninguna
manera A // Nunca sucede que A // Bajo ninguna
condición A // No siempre que A // No es
inobjetablemente cierto que A// No es innegable
que A // Nadie que sea A // No es que A // No se
da la posibilidad que A // No es inobjetable que A //
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Luís son deportistas.” Esta oración compuesta
Si A e incluso B // simultáneamente A con B //
en la lógica proposicional es una proposición
Tanto A como B // Aún cuando A , B  A B
// Tanto A como cuando B // Tomar A como
molecular con operador diádico “” o “.“
cuando B // A , B también // Siempre ambos
Siendo una proposición molecular la podemos
A con B // A vemos que también B //
representar
mediante
las
variables
proposicionales “p” para representar a la
proposición simple o atómica “Juan es
Ejemplos
deportista” y “q” para representar a la
proposición simple o atómica “LuísLa ETS
es PNP Puente Piedra y la ETS San Bartolo son
escuelas de formación policial.
deportista”, siendo el conector u operador
La PNP es una institución del estado y
diádico “” que representa a la conjunción
garantiza el orden interno.
“y” o su equivalente, de la lengua española.
Los alumnos de la ETS PNP Puente Piedra
Por consiguiente, en lógica proposicional, la
garantizarán la seguridad ciudadana además de
proposición molecular o compuesta con
ser ciudadanos responsables.
conectivo binario (diádico) “”, se representa
Juan y Luís son deportistas.
mediante la fórmula “pq”.
Es verano sin embargo hace frío.
Juan es médico y deportista.
Conectivo Lógico u Operador Lógico “”
La batalla ha terminado aunque la guerra
continúa.
“.”
Roxana no sólo bailo sino también cantó.
Función.- Se usan para aumentar información
Grau fue un héroe, Bolognesi también.
del mismo nivel. Algunos tienen un matiz
Lidia es muy sensual pero inocente.
enfático.
No sólo es aplicado también bondadoso.
Regla Metalógica o Principio Lógico
No sólo es sabio, también bueno.
Sólo
es
verdadera,
cuando
ambas
No sólo Pedro sino también Luís estudian.
proposiciones atómicas son verdaderas. Es
Que Pedro estudia es compatible con que Ana
falsa en todos los demás casos.”
estudia.
Tanto Pedro como Ana estudian.
Gustavo es profesor tanto como artista.
Claudia ingreso a la universidad al mismo
Tabla de verdad:
tiempo
p q
p  q
que José ingresó a la marina.
V V
V
El sueldo mínimo equivale a S/. 750, no
V F
F
obstante
F V
F
las familias hacen esfuerzos para conseguir
F F
F
más dinero.
El sol es una estrella además un planeta.
El número dos es par, también es primo.
Conectores equivalentes a “”
No sólo el número dos es par sino también
Y // también // además // así mismo //
número primo.
asimismo // del mismo modo que// aunque //
La boa es un ofidio al igual que carece de
sin embargo // así como // igualmente // pero//
extremidades.
al igual que // tal como // no obstante //
Así como trabajas, te alimentas.
incluso// a la vez también // al mismo tiempo
Te alimentas así como trabajas.
que // y al mismo tiempo // de la misma
Te alimentas así mismo trabajas.
manera // tanto como // además // aún cuando
// empero // sino // a pesar de //
Cierto A lo mismo que B // Así como A, B //
No sólo A también B // No sólo A sino
también B // Que A es compatible con que B //
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Proposiciones Disyuntivas
Inclusivas “”
Débiles
interacción social al compartir e intercambiar
mensajes con los individuos con quienes nos
relacionamos o entendemos.
o
Sean las oraciones aseverativas “Rosa pidió
ayuda a Raquel” o “Rosa pidió ayuda a
Juana”. Estas oraciones la podemos reescribir
mediante una oración aseverativa compuesta
“Rosa pidió ayuda a Raquel o a Juana”, en este
caso, las oraciones dadas han sufrido una
transformación de elisión, o sea, se han
omitido una o más palabras, pero se mantiene
el sentido completo de las oraciones
aseverativas primigenias. En el uso cotidiano
de la lengua, de manera general, no hablamos
ni escribimos “Rosa pidió ayuda a Raquel o
Rosa pidió ayuda a Juana” sino “Rosa pidió
ayuda a Raquel o a Juana.” Esta oración
compuesta en la lógica proposicional es una
proposición molecular con operador diádico
“”. Siendo una proposición molecular la
podemos representar mediante las variables
proposicionales “p” para representar a la
proposición simple o atómica “Rosa pidió
ayuda a Raquel.” y “q” para representar a la
proposición simple o atómica“Rosa pidió
ayuda a Juana.”, siendo el conector u operador
diádico “” que representa a la conjunción
“o” de la lengua española. Por consiguiente, en
lógica proposicional, la proposición molecular
o compuesta con conectivo binario (diádico)
“”, se representa mediante la fórmula “pq”.
Conectivo Lógico u Operador Lógico “”
Función.- Se usa para señalar la posibilidad de
elegir entre dos opciones. Esta alternativa es
débil porque las dos opciones son posibles.
Regla Metalógica.
Es verdadera, en todos los casos, excepto,
cuando ambas proposiciones atómicas son
falsas.
p
Tabla de verdad:
q
pp q  q
V V
V F
F V
F F
V
V
V
F
Conectores equivalentes a “”.
A o B // A excepto que B // A o también B // A
salvo que B // A al menos que B //A ya bien B
// A o a la vez B //A y / o B // A o incluso B // a
menos que A, B //A alternativamente B // A a
menos que B // A a no ser que B // A o además
B // A y bien o también B // A o incluso B // A o
sino B// A o bien B // A o en todo caso B //
Y bien A o también B // Salvo que A, B // a
menos que A, no B  A  B //
Ejemplos:
Nota:
En el lenguaje matemático, por convención,
“o” tiene siempre un significado incluyente.
Esto implica a veces una patente diferencia
con el uso del lenguaje ordinario que llama la
atención a quien esta convención no se le ha
hecho bien explícita y familiar. Ejemplo: “3 es
menor o igual que 5” es una expresión
matemática verdadera, aunque todos sabemos
bien que lo verdadero es que “3 es menor que
5”. “5 es menor o igual que 5” es una
expresión matemática verdadera, aunque todos
sabemos bien que lo verdadero es que “5 es
igual que 5”. Se podría expresar el sentido de
esta convención diciendo que el matemático en
su uso de la “o” se considera obligado a decir
la verdad, pero no se considera obligado a
decir nada más que la verdad. Lo cual, no es la
forma habitual de proceder en nuestra
De dos idiomas: inglés y francés, Charlie habla
por lo menos un idioma.
Luís es ingeniero o médico.
Se llama Francisco o Paco.
La historia es descriptiva o explicativa.
Carmen trabaja a menos que estudie.
Jorge es abogado salvo que sea ingeniero.
Descartes fue francés excepto que sea italiano.
A menos que ingreses, te compran carro.
José es responsable a menos que David también lo
sea.
Salvo que David sea responsable José lo es.
David es responsable o bien José lo es.
Estudias medicina o a la vez matemática.
Cantas o también bailas.
El triángulo es un polígono o también una figura
geométrica.
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Las figuras planas están formadas por líneas rectas o sentido excluyente de “O….o….”: “Saldremos
bien por líneas curvas.
por la tarde e iremos al cine o al parque de
atracciones” es lo mismo que decir “O iremos al
cine o al parque de atracciones.” En la lógica
Proposiciones
Disyuntivas
Fuertes
o
proposicional se representa mediante la fórmula
Exclusivas
“p  q”. Significa en este caso que, tiene lugar
“”
Sean las oraciones aseverativas “Franco va al
exactamente o se cumple una de las dos
colegio.” o “Franco se va a pasear.”, el sentido
proposiciones. Según este sentido “o p o q” sólo
semántico de una
es verdadera, cuando sólo una de las
es diferente al sentido semántico de la otra; con
proposiciones atómicas es verdadera. En otras
estas dos oraciones aseverativas podemos
palabras, “o p o q”es verdadera, si p es
formar una oración aseverativa compuesta, que
verdadera y q es falsa; si p es falsa y q es
nos denote un sentido semántico excluyente, es
verdadera; en todos los demás casos es falsa. En
decir, que se cumple uno y sólo uno de los dos
el lenguaje ordinario, cuando queremos poner
sentidos semánticos, los mismos que son
de manifiesto y de manera bien clara, que se
diferentes entre si, para lo cual, escribimos la
trata del sentido excluyente, usamos “o bien... o
oración aseverativa compuesta siguiente: “O
bien” o incluso nos hacemos más explícitos:
Franco va al colegio o Franco se va a pasear.”
“No insistas, haremos una sola cosa, vamos al
Esta oración compuesta la podemos reescribir
cine o vamos al parque de atracciones”. Como
así “O Franco se va
consecuencia de lo dicho hasta ahora, en el
al colegio o se va a pasear.” en este caso, la
lenguaje matemático, si se desea utilizar el
oración
compuesta
ha
sufrido
una
significado excluyente, es preciso hacerlo bien
transformación de elisión, o sea, se han omitido
explícito como se ha indicado, con frases tales
una o más palabras, pero se mantiene el sentido
como: “o bien p o bien q.”
completo de la oración compuesta primigenia.
En el uso cotidiano de la lengua, de manera
Conectivo Lógico u Operador Lógico “”
general, no hablamos ni escribimos “O Franco
Función.- Se usa para señalar la posibilidad
va al colegio o Franco se va a pasear.” sino “O
de elegir entre dos opciones. Esta alternativa
Franco se va al colegio o se va a pasear.” Esta
es fuerte porque una sola de las opciones
oración aseverativa compuesta, en la lógica
puede darse, se refuerza repitiendo “o” delante
proposicional, es una proposición molecular o
de cada proposición.
compuesta con operador diádico “”. Siendo
Regla Metalógica.
una proposición molecular
la podemos
Sólo es verdadera, cuando sólo una
representar mediante la variable “p” para
de las proposiciones atómicas es verdadera.
representar a la proposición simple o atómica
En todos los demás casos es falsa.
“Franco va al colegio.” y la variable “q” para
Tabla de verdad:
representar a la proposición simple o atómica
p
q
p  q
“Franco se va a pasear.”, siendo el conector u
operador diádico “” que representa a la
V V
F
conjunción “O…..o…..” de la lengua española,
V F
V
que denota sentido excluyente, es decir, que se
F V
V
cumple una y sólo una entre dos proposiciones.
F F
F
Por consiguiente, en lógica proposicional, la
proposición molecular o compuesta con
Conectores equivalentes a “”.
conectivo binario (diádico) “”, se representa
A o exclusivamente B // A o sólo B // O A o B //Ya
mediante la fórmula “p q”. Otro ejemplo: Una
bien A ya bien B // A o solamente B // A no biimplica
niña se empeña en que su padre la lleve el
B // A no es equivalente B // A o
domingo por la mañana al parque de atracciones
prioritariamente B //A o únicamente B // A
y por la tarde al cine de su barrio. El padre le
excepto únicamente B // A excepto que B (en
dice “No, Saldremos por la tarde e iremos al
sentido excluyente) // A a menos que B (en
cine o al parque de atracciones”. Este es el
sentido excluyente) // A salvo que B (en sentido
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excluyente)// A alternativamente que B (en
sentido excluyente) // A o bien B (en sentido
excluyente) / O bien A o bien B // O A o tan
sólo B // O es A o es B//
Estas oraciones expresan una condición de
realización posible. La oración principal se
refiere a un hecho real, futuro y probable.
Si + presente del indicativo + presente del
indicativo: expresa una condición en el
presente que se quiere presentar como
probable de realizar.
Si vienes temprano, cenamos juntos.
Ejemplos
O Rodrigo nació en Europa o América.
De dos idiomas: inglés y francés, el policía habla
solo un idioma.
Charlie es un policía habla inglés pero no francés o
habla francés pero no inglés.
El Armero ordenó coger una pistola o un revolver
pero no ambos.
O Gabriel nació en Lima o en Arequipa.
O bien la luna es un planeta o bien un satélite.
Ocho es par o impar.
O Comerá galletas o sólo caramelos.
O por la mañana descansas o me voy a la
playa.
O 9 es múltiplo de tres o es múltiplo de 4.
O viajó el lunes o el martes.
O Tudela està vivo o está muerto.
O estudias o trabajas.
Si + presente del indicativo + futuro
perifrásico (ir + a + infinitivo): expresa una
condición en el futuro que se quiere presentar
como probable de realizar.
Si vienes temprano, vamos a cenar juntos.
Si + presente del indicativo + futuro
imperfecto del indicativo
Si vienes temprano, cenaremos juntos.
Si me llaman de la otra empresa, entonces
dejare este trabajo.
Si + presente del indicativo + imperativo
Si necesitas cualquier cosa, llámame.
La oración condicional construida con el
verbo en modo indicativo:
Proposiciones Condicionales o Implicativas
“”
Las oraciones condicionales son oraciones
compuestas que constan de dos oraciones
inseparables. La primera, se denomina oración
subordinada o prótasis, que formula o expresa
una condición para que se cumpla la acción de
la segunda oración, denominada oración
principal o apódosis, que expresa los efectos o
resultados.La oración subordinada expresa una
condición de la que depende el cumplimiento
de la oración principal. El conector más
característico o más frecuente para encabezar e
introducir una oración subordinada es la
conjunción condicional “si”: Si vas por la
autopista, tardarás menos.Si vienes entonces
te invitaré un postre. Si ahorro,podré irme de
vacaciones a Centroamérica.Si tuviera más
dinero, me iría a Centroamérica. Si hubieras
venido, te habrías divertido mucho.Si la
situación empeorara,habría que llevarlo al
hospital.Si quisieras,podrías hacerlo. Si
ahorrara un poquito más,podría irme de
vacaciones.
El verbo en modo indicativo, desde el punto de
vista semántico, es cuando el hablante asume
la acción del verbo como un hecho real y
objetivo, de cuya realización se siente muy
seguro, pues enuncia el hecho como pura
constatación de la realidad. Por ejemplo:
“Descargó la mercadería del coche.”,
“Cosecharemos el algodón.” “Los perros
asustan a los ladrones.” El hablante presenta
un hecho de validez general porque se apega a
la realidad. Su punto de vista es objetivo,
referencial, de actitud enunciativa o
aseverativa del hecho, como pura constatación
de la realidad. Cuando la oración condicional
se considera como un hecho real o necesario,
se emplea el modo indicativo del verbo.
Ejemplo: Si estudias, aprobarás.
Sea la oración condicional “Si el pejerrey es un
pez entonces el pejerrey tiene respiración
braquial.” Esta oración está compuesta por una
oración subordinada, llamada prótásis (la
condición): “Si el pejerrey es un pez” y la
oración principal, llamada apódosis (los
efectos): “entonces el pejerrey tiene respiración
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braquial.” La oración condicional primigenia la
podemos reescribir así “Si el pejerrey es un
pez entonces tiene respiración braquial.”, en
este caso, la oración compuesta original ha
sufrido una transformación de elisión, o sea, se
han omitido una o más palabras, pero se
mantiene el sentido completo de la oración
condicional primigenia. En el uso cotidiano de
la lengua, de manera general, no hablamos ni
escribimos “Si el pejerrey es un pez entonces el
pejerrey tiene respiración braquial.” sino“Si el
pejerrey es un pez entonces tiene respiración
braquial.” Esta oración condicional aseverativa
en la lógica proposicional es una proposición
molecular o compuesta con operador diádico
“” (Si …entonces…). Siendo una proposición
molecular la podemos representar mediante las
variables proposicionales “p” para representar a
la proposición simple o atómica “así “el
pejerrey es un pez” y “q” para representar a la
proposición simple o atómica “el pejerrey
tiene respiración braquial.”, siendo el
conector u operador diádico “” que representa
a la expresión “Si…entonces…” de la lengua
española, Por consiguiente, la proposición
compuesta o molecular, condicional “Si el
pejerrey es un pez entonces tiene respiración
braquial.” en la lógica proposicional se
representa mediante la fórmula “p  q”. En la
lengua natural, ordinaria o cotidiana existen
muchos sinónimos, tanto para la conjunción
condicional “si”, que es la que propone el
antecedente o condición suficiente; como para la
conjunción consecutiva
“entonces.”, que
propone el consecuente o condición necesaria.
Con el conocimiento de dichos sinónimos es
posible construir gran cantidad de proposiciones
implicativas.
siguiente: La primera proposición se llama,
“antecedente”, la segunda proposición se
llama, consecuente. Desde el punto de vista
cognitivo, la proposición antecedente formula
o expresa una condición para que se realice la
acción, efecto o resultado de la proposición
consecuente y la proposición consecuente
expresa acción, efecto o resultado, cuyo
cumplimiento se da, si previamente se cumple
la condición dada en la proposición
antecedente, es decir, la proposición
consecuente depende de la proposición
antecedente.
Regla Metalógica.
Sólo es falsa, cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso. En todos
los demás casos es verdadera.
Tabla de verdad:
p q
V V
V F
F V
F F
Sinonimos de “Entonces”
Aunque// así pues// así que// luego// en
consecuencia// consecuentemente// con que//
de manera que// pues// tanto que// por lo
tanto// se infiere// se deduce// implica// Por
eso// es obvio// por consiguiente// de allí que//
por ello// bien se ve que// sòlo si// solamente
si// únicamente si //exclusivamente si//
prioritariamente si//
donde:
q : Consecuente
V
F
V
V
Porque// Ya que/ Puesto que// Dado que//
Siempre que// Basta que// En el caso de que//
Cuando// Cada vez que// Con la condición de
que// Con tal de que/Pues// Es implicado por//
Teniendo en cuenta que// Sólo cuando// Es
suficiente//
q
p : Antecedente
 q
Sinonimos de “Si”
Conectivo Lógico u Operador Lógico “”
p
p
Conectores equivalentes a “”
A
implica
B//
A
luego
B//
A
consecuentemente B// A en consecuencia B//
A por tanto B// A solo si B// A de ahí que B//
A de manera que B// Si A entonces B// Con tal
que A entonces B// Basta que A entonces que
Función.- vincula dos proposiciones que
tienen la peculiaridad o característica
9
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B// Con la condición de que A entonces B//
Dado que A entonces B// Es implicado por A
entonces B// Puesto que A entonces B//
Cuando A así pues B// Pues A entonces B//
Porque A entonces B// Ni bien A entonces B//
Siempre que A entonces que B// Ya que A
entonces B// Porque A por eso B// Si A por eso
B// A menos que A, B// Siempre que A, B//
Una vez que A, B// Cada vez que A es porque
B// En vista que A es evidente que B// Si A,
B// En la medida que A de allí B// En la
medida que A de allí que B// En el caso de A
en este caso B// Cuando a así pues B// Cuando
A pues B// En virtud de que A es evidente
que B// En el caso de que A en tal sentido B//
Para A es condición necesaria B// Toda vez
que a en consecuencia B// Cada vez que A
entonces B// Con tal que A es obvio que B//
Dado A por eso B// Dado que A por eso B// En
cuanto A por tanto B// De A deviene B//
Siempre que A por consiguiente B// Siempre
que A es obvio que B// A es condición
suficiente para B// Ya que A bien se ve que B//
A impone a B// De A derivamos B// Si A, B//
En la medida que A de allí B// Puesto que A,
B// Es condición suficiente A para B//
Ejemplos
Si el alumno estudia entonces aprobará la
asignatura de Lógica.
Si el alumno estudia, aprobará el curso.
El alumno aprobará el curso si estudia.
Dado que el alumno estudia aprobará el curso.
Puesto que el alumno estudia aprobará el curso.
Si Juan el deportista, mantiene una dieta estricta.
Si hay vida en la nebulosa Andrómeda, existen
seres extraterrestres.
Ya que hay nubes, bien se ve que lloverá.
Cuando tenga visa, viajaré a los Estados Unidos.
Dado que sembré a tiempo por eso cosecharé
pronto.
Dado que mi tío es cruel por eso sus hijos sufren.
Dado que llegas tarde por eso te despedirán del
trabajo.
Cuando tenga pasaporte pues viajaré.
En la medida en que entrenes de allí que
triunfarás.
Con tal que trabajes es obvio que ganas dinero.
Siempre que
universidad.
estudies,
ingresaras
a
la
Bajo la condición de estudiar, ingresaré a la
universidad.
Una vez que yo estudié, debo ingresar.
Al estudiar, es posible que pueda ingresar.
El que Miriam trabaje en la Universidad
Nacional de Piura es condición suficiente para
qué este asegurada.
La detección del sida implica los análisis que
sean necesarios para detectar ésta enfermedad.
Estudió en el Instituto de Enseñanza Pre
Universitaria de la Universidad Nacional de
Piura (IDEPUNP) por lo tanto postularé a la
Universidad Nacional de Piura.
Ambas triunfarán, si María trabaja y Kasandra
estudia.
Cada vez que los metales se dilatan obviamente
el oro se dilata.
Porque el insecto es invertebrado por eso es
volador.
Los dinosaurios no se extinguieron solamente si
(entonces) evolucionaron.
La demanda aumenta únicamente porque
(entonces) los precios suben.
Porque la oferta aumenta, por eso los precios
disminuyen.
A menos que ingreses, te compraran carro.
Para construir la democracia es necesario
respetar la constitución.
10
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Si los jueces del poder judicial dictan
sentencias condenatorias, contrarias al texto
claro y expreso de la ley, envían a prisión a
personas, de manera irregular, violan el debido
proceso legal, las garantías judiciales, los
derechos fundamentales de la persona humana,
entonces los jueces del poder judicial están
cometiendo delito contra la administración de
justicia, en la modalidad de prevaricato.
Si los jueces del poder judicial dictan
sentencias contrarias al texto expreso de la ley,
no
motivadas,
ni
sustentadas
ni
fundamentadas, entonces los jueces del poder
judicial están violando las garantías judiciales
del condenado.
Proposiciones Replicativas “”
Es la proposición molecular que presenta en
orden invertido antecedente y consecuente,
con respecto a la proposición condicional:
“Consecuente….si Antecedente”. En símbolos
q  p (replicador), donde p es antecedente, q
es consecuente y es el conectivo lógico,
llamado “replicador”. Ejemplo: “Saldré, si
vienes a buscarme”, presenta el conectivo
lógico binario “”, q, consecuente y el
antecedente encabezado por si p. En
símbolos: q  p. La fórmula: q  p tiene
sentido, ya que el replicador () es el
Tabla de verdad
p q
p  q
V V
V
V F
V
F V
F
F F
V
Conectores equivalentes a “”
A porque B// A si B// A sólo cuando B// A se
concluye de B// A siempre que B// A es insuficiente
para B// A cada vez que B// A dado que B// A ya que
B// A puesto que B// A es condición de que B// A en
vista de que B// A pues B// A solo si B// A para B//
A pero si B// A suficiente que B// A es implicado
por B// A con tal de que B// A es condición
necesaria para B// A con la condición de que B//
Sólo si A , B// Cada vez A, B// Es condición
necesario A para B// a cada vez que B, A// Para A es
condición suficiente B// Cada vez que A es porque
B// Sólo A, si B// Para A es suficiente B// A supone
B//
Ejemplos.
El profesor no controló la asistencia, puesto
que (si) la oficina de dirección del colegio
estaba cerrada y no estaba el portero.
Pedro compró un libro sólo cuando (si) tenía
dinero.
Iré de viaje y me divertiré si me sacó la
lotería.
invertido del condicional. Ejemplo: Solo el pejerrey
tiene respiración braquial, si el pejerrey es un pez”.
Realizar la transformación de elisión, es decir,
omisión en la oración de una o más palabras para
una
construcción
gramatical
completa;
manteniendo el sentido completo de la oración:
“Sólo el pejerrey tiene respiración braquial, si
es un pez”. En símbolos: “q  p”. Proposición
atómica q, llamada consecuente: “El pejerrey tiene
respiración braquial”. Proposición atómica p,
llamada antecedente: “El pejerrey es un pez”.
Se pararon las luces porque (si) se
interrumpió el fluido eléctrico.
Roberto aprobará el curso puesto que(si) dio
un buen examen.
El número entero b es primo, si b es divisible
por 1 y por sí mismo.
Conectivo Lógico u Operador Lógico“”
Toledo será presidente siempre que(si) al
postular gane las elecciones.
Función: análogo al conectivo u operador
lógico“”
Habrá ingresantes dado que(si)hubieron
postulantes.
Regla Metalògica: Sólo es falsa, cuando el
antecedente es verdadero y el consecuente es
falso. En todos los demás casos es verdadera.
Existe la democracia porque(si) existen los
derechos humanos.
11
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Ingresará a la universidad porque(si) ha
estudiado.
Morirás si estas con sida.
Regla Metalógica:
“Sólo
es
verdadero,
cuando
ambas
proposiciones atómicas son verdaderas o
ambas son falsas. En los demás casos es
falsa.”
Compra libros porque(si) son útiles.
Tabla de verdad:
p
El sueldo mínimo equivale a s/. 750 no
obstante las familias hacen esfuerzos para
conseguir más dinero, ya que(si) el Perú está
pasando por un momento crítico.
No hay tuberculosis, puesto que(si) no hay
infección de bacilos.
Proposiciones Bicondiconales “”
Es la proposición compuesta que presenta el
conectivo lógico binario (diádico) “ … si y sólo
si ...”. En símbolos: p  q. Este conectivo
lógico se denomina bicondiconal. Como su
nombre lo indica significa dos condicionales,
es decir está compuesta por dos proposiciones
condicionales
que
tienen
ciertas
peculiaridades. Son dos proposiciones
condicionales que se caracterizan por ser una
reciproca de la otra; las mismas que están
enlazadas por el conectivo lógico binario “y”.
Ejemplo: “n es número par si y sólo si n es
múltiplo del número dos”. En símbolos: p 
q, se observa que hay dos proposiciones
condicionales, tales como: “Si n es número par
entonces n es múltiplo del numero dos” y “Si n
es múltiplo del número dos entonces n es
número par”. En símbolos: (p  q) (q  p)
o también (p  q)  (p  q). El uso de la
expresión “si y sólo si” es relativamente
reciente en el lenguaje matemático. En el
lenguaje más tradicional se expresaba “A es
condición necesaria y suficiente para B”, hoy
la expresión más usada y equivalente a la
anterior es “A si y sólo si B”.
V V
V F
F V
F F
pp q q
V
F
F
V
Conectores equivalentes a “”
A si y sólo B// A es equivalente a B// A siempre
que y sólo cuando B// A es lo mismo que B//
A por lo cual y según lo cual B// A se define
como B// A es idéntico a B// A es igual a B// A
igualmente B// A es igual entonces a B// A
siempre y cuando B// A si de la misma forma
B// A siempre que y sólo si B// A siempre que y
sólo cuando B// A del mismo modo que B// A es
condición suficiente y necesaria para B// A porque
y solamente si B // Es necesario y suficiente A
para que B// A es suficiente y B también// Si y
sólo si A entonces B // Si y sólo si A , B// A es
de la misma forma que B // A ya que y
solamente porque B//
Ejemplos.
Te graduarás de policía si y solo si apruebas todas
las asignaturas.
La Policía Nacional del Perú recuperará su
prestigio si y solo si los alumnos de la ETS PNP
son preparados sobre la base de valores.
Habrá cosecha siempre que y sólo cuando llueva.
Hace frío si de la misma forma hace calor.
5 < 8 si y sólo si 5 < 6 y 6 < 8
La demanda procede cuando y sólo cuando
es consistente.
Conectivo Lógico u Operador Lógico“”
Función: vincular dos proposiciones
condicionales, que tienen la peculiaridad o
característica de ser una reciproca de la otra;
las mismas que están enlazadas por el
conectivo lógico binario “y”.
q
Sí y sólo si n es par, n es múltiple 2.
Los rayos catódicos tienen carga negativa del
mismo modo los rayos anódicos tienen carga
positiva.
12
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La sugerencia de Rosa es idéntica a la orden
de Pablo.
1 = 2 -1 es equivalente a 3 - 2 = 4 - 3.
Es necesario y suficiente que Sandra viaje a
España para que estudie abogacía.
Estar con fiebre es igual entonces a estar
enfermo.
Toledo será presidente siempre que y sólo si
gana las elecciones.
La lógica se define como el estudio del
razonamiento correcto.
nombre de función de Nicod, aunque fue
descubierta por Sheffer, fue Nicod quien
insistió en su estudio. p  q es equivalente a
pqp q Ni p, ni q.
Conectivo Lógico u Operador Lógico“”
Función: vincular dos proposicionesnegadas,
cuya forma p  q es equivalente a la forma p
q, que son dos proposiciones negadas,
enlazadas por el conectivo lógico .
Regla Metalógica:
Sólo es verdadera, cuando ambas proposiciones
atómicas son falsas. En los demás casos es falsa.
Tabla de verdad
Habrá reforma sí y sólo hay cambio
estructural.
p q
V V
V F
F V
F F
Existe Estado de derecho si y sólo si se
respeta la constitución.
p  q
F
F
F
V
Iré al cine siempre y cuando vaya contigo.
Toda investigación es científica ya que y
solamente porque se fundamenta en datos
objetivos, probados o demostrados.
Proposiciones de Negación Conjunta o
Binegación “”
Es la proposición compuesta que presenta el
conectivo lógico binario  , para realizar la
operación lógica p  q, denominada
“Negación
Conjuntiva”
que
significa
“ni...ni…” . Ejemplo: Sean las proposiciones
atómicas “Lima es un puerto”, “Callao es una
laguna”. Le aplicamos a ambas proposiciones
el conectivo lógico “no…” y obtenemos las
proposiciones negativas siguientes: “Lima no
es un puerto”, “Callao no es una laguna”.
Reescribimos ambas proposiciones: no (Lima
es un puerto); no (Callao es una laguna).
Aplicamos a ambas proposiciones el conectivo
lógico binario “y”, y obtenemos la proposición
siguiente: no (Lima es un puerto) y no (Callao
es una laguna) que equivales a decir: Ni Lima
es un puerto, ni Callao es una laguna. A esta
proposición molecular se le denomina
“negación conjuntiva”, “negación conjunta” o
“Binegación”. En símbolos: p  q. A éste
conectivo lógico también se le conoce con el
Conectores equivalentes a “”
No A y no B// No A, ni B// Ni A, ni B//
Ejemplos
Ni cantas ni bailas.
No ingresó a la universidad y no postula a la católica.
Ni Colón conquistó el Perú ni Pizarro descubrió
América.
Ni viajará a México ni regresará a su país.
Ni Ricardo Palma fue el escritor, ni Mariatigui fue
poeta.
No ganarás la rifa y no ganarás el bingo.
Ni ganarás la rifa, ni ganarás el bingo.
Ni son proposiciones, ni son enunciados abiertos.
En el Perú ni hay trabajo, ni hay justicia.
Ni trabajas ni estudias
13
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Ni Cesar Vallejo es francés ni Antonio Machado es
boliviano.
Proposiciones de Negación Alternativa o
Binegación Disyuntiva o Incompatibilidad
“”
Es la proposición compuesta que presenta el
conectivo lógico binario (diádico) “”. El
conectivo lógico binario “” es utilizado para
realizar la operación lógica denominada
Negación alternativa o Binegación disyuntiva
o incompatibilidad, denotada por el símbolo:
p  q, se lee “no p o no q. La binegación
disyuntiva es la negación de las proposiciones
no p y no q, enlazadas al mismo tiempo por el
conectivo lógico . En símbolos:
pqp q. Ejemplo: Sean las proposiciones
atómicas “Yo compro el auto”, “Yo voy al
mercado”.
Le
aplicamos
a
ambas
proposiciones el conectivo lógico “no…” y
obtenemos las proposiciones negativas
siguientes: “Yo no compro el auto”, “Yo no
voy al mercado”. Aplicamos a ambas
proposiciones la elipsis, es decir suprimimos
en las proposiciones dadas aquellas palabras
que no son indispensables para la claridad de
las mismas. En éste caso suprimimos la
palabra “Yo”. Luego las proposiciones dadas
las podemos reescribir así: “no compro el
auto”, “no
voy al mercado”. A ambas
proposiciones le aplicamos el conectivo lógico
binario “o” (funciona como disyunción
inclusiva), y obtenemos la proposición llamada
negación alternativa, binegación disyuntiva o
incompatibilidad: “No compro el auto o no
voy al mercado”. En símbolos: p  q. A éste
conectivo lógico también se le conoce con el
nombre de función de Sheffer.
p  q p  qp q.
Función: vincular dos proposicionesnegadas,
cuya forma p  q es equivalente a la forma
p q, que son dos proposiciones negadas,
enlazadas por el conectivo lógico .
Regla Metalógica:
Sólo es falsa, cuando ambas proposiciones
atómicas son verdaderas. En los demás casos
es verdadera.
TABLA DE VERDAD
pq
p  q
VV
VF
FV
FF
F
V
V
V
Conectores equivalentes a “”
No A excepto que no B// A es incompatible con B//
No A a menos que no B//
Ejemplos
No compro auto o no voy al mercado.
No juego por alianza o no es su futbolista.
No comentes o no respondo de mí.
No eres pintor o no eres artista.
No es divisor de 20 o no es número primo.
Los cetáceos no respiran por braquias o no son
terrestres.
1. Escribe “e" si es un enunciado y “p” si es
proposición en:
a) 3 es mayor que 2.
…e y p….
b) ¡Viva el Perú!
…e…….
c) Prohibido hacer bulla.
.…e……
d) 5 < 6
…e y p..
e) Cuatro es divisible por 2. …e y p….
Con la incompatibilidad lo único que se quiere
decir es que una misma persona no puede
ser, a la vez, dos cosas; así en el ejemplo "es
incompatible ser juez y abogado", se
manifiesta que una persona no puede actuar
a la vez como juez y como abogado, por
tanto,
de
ser
verdaderas
las
dos
proposiciones atómicas, la molecular tendría
el valor de falso.
f)
Quito es la capital de Bolivia. …e y p…
g) 7  5
…e y p..
h) César Vallejo escribió “Los dados
eternos”
…e y p …
i) Copérnico es el autor de la teoría
heliocéntrica.
…e y p….
j)
Conectivo Lógico u Operador Lógico“”
14
x
3
…e y p..
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k) Si me pagan en la UNMSM, entonces
viajaré al Cuzco.
…e y p..
l) José C. Mariátegui es autor de “El
artista y la Época” o “Temas de
Educación” ..e y p…
m) No es el caso que un número sea
divisible entre dos y que no sea par.
…e y p..
n) Si a un número par le sumo otro número
par, entonces el número resultante es
también par.
..e y p…
o) ¿Quién es el Rector de la UNMSM?
…e….
2. Escribe “C” si es una proposición
compuesta o molecular y “S” si es
proposición simple o atómica:
(V ) Solamente cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso, la
proposición condicional es falsa.
( V) Basta que el consecuente sea verdadero
para que la proposición condicional sea
verdadera.
A) FV
03. Señale verdadero (V) o falso (F):
(V ) “Si y sólo sí” es una
bicondicional
conectiva
( F )Basta que uno de los componentes de una
proposición conjuntiva sea verdadero,
para que la proposición conjuntiva sea
verdadera.
A) VV
B) VF
C) FV D) FF
E) No se puede determinar
04. Es una proposición que admite el valor V sólo
cuando las dos proposiciones componentes
son verdaderas:
A) Conjunción
B) Disyunción débil
C) Disyunción fuerte
D) Implicación
E) Negación
2) 9 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 2 y 3.
……C………..
3) Cuando tenga visa, viajaré a los
Estados Unidos. ………C………..
4) Dado que sembré a tiempo por eso
cosecharépronto. .………C…………
05. Es una proposición en la cual basta que una de
las proposiciones sea verdadera, para que toda
ella sea verdadera
A) Conjunción
B) Disyunción Débil
C) Bicondicional
D) Implicación
E) Negación
No compro auto o no voy al mercado.
………C..………..
6)
C) VV D) VF
E) No se puede determinar
1) Pizarro jugó, aunque estuvo lesionado.
……C………….
5)
B) FF
No eres pintor o no eres artista.
……..C….……….
06. Es una proposición que es verdadera sólo
cuando las dos proposiciones tienen el mismo
PROBLEMAS PROPUESTOS
valor de verdad.
01. Señale verdadero (V) o falso (F):
( F ) Basta que el antecedente sea falso para
que la proposición condicional sea falsa.
( F )Una proposición bicondicional es
A)
Disyunción
B)
Bicondicional
C)
Conjunción
D)
Implicación
E)
Negación
verdadera solamente cuando sus dos
componentes son verdaderas.
07. Es una proposición falsa sólo cuando forman la
combinación V y F, en ese orden.
A) VV
B) VF
C) FV
D) FF
E) No se puede determinar
02. Señale verdadero (V) o falso (F):
15
A)
Disyunción
B)
Bicondicional
C)
Conjunción
D)
Implicación
E)
Negación
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r q es V
08. Dada la proposición : “Si estudio, triunfo.
q V t es F
Estudio, por lo tanto triunfo”. Corresponde a un
esquema:
Determine los valores de verdad de p, q, r y t
A)
Tautológico
B)
Consistente
C)
Contradictorio
D)
Indeterminado
E)
Falso
A) VVVV
B) VVFF
D) FVFF
E) FFFF
C) VFVF
12. Si la proposición compuesta:
( p q)  (r V t ) es falsa
09. Dada la proposición: “Si llueve, el suelo se
Indicar las proposiciones que son verdaderas:
moja”. Los valores de la matriz principal de su
tabla de verdad son:
A) p y r
B) p y q
C) r y t
A)
FVFV
B)
VFVF
C)
VVVV
13. Si la proposición: ( p  q)  r, es falsa,
D)
VFVV
determinar, ¿Cuáles de las proposiciones son
E)
FFVV
falsas?
D) q y t
E) p; r y t
A) p y q
B) p y r
C) p; q y r
D) q y r
E) r y q
10. Si la proposición : “No es cierto que, estudiemos y no
aprobemos”,
es
verdadera,
entonces
podemos
14. Los valores de verdad de las proposiciones p,
q, r y s son respectivamente V, F, F, V.
Obtener los valores de verdad de:
( V ) [(p V q) V r ]  s
(V ) r (s  q)
(F ) (p V r)  (r s)
afirmar.
A)
Aprobamos y no estudiamos
B) No es el caso que, estudiamos o aprobamos
C) Estudiamos o no aprobamos
D) Aprobamos o no estudiamos
E) Estudiamos y aprobamos
11.
A) VFF
C) FFF
E) VVF
Si se sabe que:
p  r es F
16
B) VVV
D) FVV
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correspondencia con la en la realidad
objetiva, /Juan tiene dos manos/.
SESIÓN N° 02
En otras palabras, la propiedad
designada
como
"verdad"
o
“falsedad” es la medida en que las
proposiciones atómicas corresponden
a la realidad a la que se refieren.
Nada más, pero también nada menos.
VALORES DE VERDAD Y TABLAS DE VERDAD
Valores Veritativos (Valores de
Verdad).- Son símbolos denotados
(indicados) por: “V” que representa
el valor de “verdadero” y “F” que
representa el valor de “falso”;
también pueden utilizarse los
símbolos de “1” para representar el
valor de “verdadero” y “0” para
representar el valor de “falso”.
Estos signos no son signos lógicos
sino metalógicos.
Parecería aceptable que la polaridad
"verdadero- falso" sólo es relevante a
las proposiciones cuyo contenido
forma parte de la naturaleza, de la
realidad empíricamente verificable.
El punto que me interesa subrayar es
que de todo lo que los seres humanos
nos decimos unos a otros cada día,
sólo una pequeña fracción cae dentro
de la jurisdicción de la polaridad
“verdadero-falso”; el resto de lo que
nos decimos puede ser inspirado,
patético, torpe, valorativo o de
opinión,
optimista,
profundo,
inquisitivo, emotivo, exhortativo,
dubitativo interrogativo, desiderativo,
exclamativo, refranes, fantástico o
ficticio: de la literatura, de los
comics, de las supersticiones, de la
religión, de los mitos o leyendas;
pero no tienen (ni puede tener)
relación alguna con la verdad. Hay
resistencia a aceptar este concepto
restringido de verdad. Este concepto
restringido de verdad excluye áreas
del pensamiento humano tales como:
la filosofía, la religión, la demagogia
y ciertos tipos de literatura fantástica
o poética. Lo que quiero decir es que
la polaridad “verdadero- falso” no
consume la totalidad de las vivencias
humanas y que afortunadamente
existen muchas otras aperturas para
canalizar la enorme riqueza de la
existencia del Homo sapiens. El
calificativo de "verdadero" o de
“falso” sólo debería aplicarse a las
proposiciones que o describen,
refieren con fidelidad o que no
describen, no refieren con fidelidad
fenómenos naturales específicos. Y
Una
proposición
simple
o
atómicadesde el punto devista
semántico tiene un sólo valor de
verdad, puede ser o verdadero “V”
o falso “F”, pero no ambos a la vez.
Esquemáticamente lo expresamos
así:
p
V
F
¿Cuándo decimos que una
proposición atómica es “V” y
cuándo decimos que es “F”?
Decimos que una proposición
atómica es verdadera “V” cuando
dicha
proposición
guarda
correspondencia con los hechos o
realidad objetiva, ejemplo: la
proposición “El cisne es blanco”, es
verdadera
sólo
si,
guarda
correspondencia con la realidad
objetiva, /el cisne es blanco/.
Decimos que una proposición
atómica es falsa “F” cuando dicha
proposición
no
guarda
correspondencia con los hechos o
realidad objetiva, ejemplo: la
proposición “Juan tiene cinco
manos”, es falsa sólo si, no guarda
17
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como éste es el oficio específico de la
ciencia, mi conclusión es que la
polaridad “verdadero-falso” sólo
puede aplicarse al conocimiento
científico.
de las reglas metalógicas que permite
establecer el valor de verdad de un
esquema o fórmula proposicional,
considerando todas las combinaciones
posibles de los valores de verdad de
las variables que la componen. Las
tablas de verdad son interpretaciones
semánticas de las posibilidades de
verdad “V” y falsedad “F” que tienen
las proposiciones compuestas. El
número de posibilidades (opciones)
de verdad “V” y falsedad “F” que
tienen las proposiciones compuestas
es igual a 2n. Donde n indica el
número de proposiciones simples
(variables
proposicionales)
que,
intervienen como componentes de la
proposición molecular. En símbolos:
opciones = 2n. La tabla de verdad
Valores de Verdad para las
proposiciones moleculares
La única manera de determinar la
relación entre la verdad de las
proposiciones
compuestas
o
moleculares y la de sus componentes
(proposiciones
atómicas)
es
definiendo el significado de los
conectivos lógicos u operadores
lógicos por estipulación semántica.
Por ejemplo, la regla metalógica de la
negación, de la conjunción, de la
disyunción débil, disyunción fuerte,
del condicional, de la biimplicación,
de la binegación y de la binegación
disyuntiva definen por estipulación
semántica el significado de sus
respectivos conectivos lógicos u
operadores lógicos, es decir, el
comportamiento de un operador
lógico suele definirse mediante su
correspondiente regla metalógica. Las
reglas metalógicas, que estipulan el
significado, uso, comportamiento de
los conectivos lógicos, son verdaderas
definiciones semánticas, a manera de
postulados de significación. La
verdad o falsedad de una proposición
molecular
puede
conocerse
universalmente sin la necesidad de la
evidencia empírica; depende de las
reglas metalógicas que estipulan el
uso de los conectivos lógicos
presentes
en
la
proposición
compuesta.
De esta manera, la
verdad
de
las
proposiciones
moleculares
depende
de
las
significaciones atribuidas a los
conectivos lógicos.
permite hallar la matriz principal que
define al esquema proposicional. Por
ejemplo, si esta matriz resulta
tautológica, es decir, en todos los
mundos posibles es verdadero el
operador principal, el razonamiento
dado será valido.
Considerando la distribución de los
valores de verdadero y falso, en la
matriz principal de la tabla de verdad de
las fórmulas proposicionales, éstas se
clasifican en: tautológicas, contingentes
y contradictorias.
Fórmulas proposicionales tautológicas
(T). Son aquellas cuya matriz principal
contiene únicamente valores de verdadero.
Las tablas de verdad son una
representación esquemática o gráfica
18
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 p  qq r 
Fórmulas proposicionales contingentes o
consistentes (Q). Son aquellas cuya matriz
principal contiene tanto valores de verdadero
como de falso.
Ejercicio 2. Evaluar la fórmula:
(pq)(qr
Fórmulas proposicionales contradictorias
(). Son aquellas cuya matriz principal
contiene únicamente valores de falso.
PROBLEMAS APLICACIÓN
1. Sean p: “José es estudioso ” , y q: “José
es alto ”. Escribir las siguientes
proposiciones en forma simbólica, con p
y q:
a) José es estudioso y es alto.
……pq….
b) José no es estudioso o no es alto.
…pq...
c) No es verdad que José es alto o
estudioso.
…qp….
d) Es falso queJosé es alto o que es
estudioso.
…qp..
e) José es alto, pero no es estudioso.
…qp….
Evaluación de fórmulas mediante tablas de
verdad
Evaluar una fórmula mediante las
tablas de verdad consiste en obtener
los valores de verdad (V y F) del
2. Simbolizar: "José estudia y trabaja, pero
practica fútbol"
operador lógico o conectivo lógico
principal de la fórmula, a partir de
todas las opciones de verdad o
a)
b)
c)
d)
e)
falsedad que tiene cada una de las
variables proposicionales.
Ejercicio 1. Evaluar la fórmula:
19
(p  q)  r
p  (q  r)
pq
pqr
(p  q)  r
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~ [ ( ~ p y q)  ( ~ r  ~ s) ]
3. Simbolizar: "No es el caso que, Rubén
canta y toca cajón"
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
~ p q
~p V q
~p  ~ q
~(p  q)
p V ~q
f fff
fvvf
fvfv
vvff
9. Se sabe que la negación de :
P  ( ~ q V r ) ; e s verdadera ,
entonces el valor de verdad de:
( q  r )  { ( q r )  t } e s :
Obs. t no esta definida
a)V
b)F
c) VóFd)NA
4. Simbolizar: "No es el caso que, hace frío y
no se congele"
a) ~(p  ~ q)
b) ~p  ~ q
c) p  ~q
d) ~p V ~ q
e) ~(p V ~q)
10.Los valores de verdad de p,q, r son :
~[(~ p V q) V ( r  q)]  [ ( ~pV q)  ( q  ~ p)]si
el enunciado es verdadero
a) f f v
b) v v f
c) v f f
d) v f v
e) f ff
5. Simbolizar: "Es falso que si el ciclotrón
bombardea al átomo, entonces no se acelera
la velocidad de los protones".
a) ~p  ~q
b) ~p  q
c) ~(p  ~q)
d) ~p  q
e) (p  ~q)
f)
6. Sean p “ Gabriel es estudioso ” , y q
“Gabriel es alto ”. Escribir los siguientes
enunciados en forma simbólica con “ p y q “.
a)Gabriel es estudioso y es alto p Λ q
b) Gabriel no es estudioso o no es alto -p v-q
c) No es verdad que Gabriel es bajo o
estudiosop v q
d) No es el caso que Gabriel es alto o que es
estudioso –(p v q)
e) Gabriel es alto pero no es estudioso
pq
11. Si la proposición ( p  ~q)  ( r  ~ s)
es falsa , el valor de verdad de las
proposiciones : q , p , r , s
respectivamente son
a) f v vv
b) f v f f
c) v vvv
d) v f v v
12. De la falsedad de:
( p  ~ q ) V ( ~ r  ~ s), se deduce
que:
a ) ~ (~ q V ~ s)  ~ p
b ) ~ (~ r  s)  ( ~ p  ~ q)
c) P  ~ [ q  ~(s  r ) ]
Sonrespectivamente :
a) f f v
b) v v f
c) v f f
d) v f v
e) f ff
13. Si ( p ) = V
( ~ q) = F
(r) =V
Determinar el valor de verdad o falsedad
a ) [ ( p q )  ( ~ r V q ) ] ~ q
b) [ ( ~ p  r )  ( q V p ) ]
c) [ ( p  r ) V x ]  ( ~ q  ~ r )
7. Completa :
a) V v F = V
b) F vF =F
c) V  V= V
d) F Λ F= F
e) V  F=F
f) F v V=V
g) V Λ V= V
h) F  V=F
i) F  V=V
j) V Λ F=F
8. Si la proposición es verdadero, hallar el
valor de cada variable en:
14. Si se sabe que :
20
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S p = V,r  s = F , q  p  f
Determinar el valor de los siguientes
diagramas:
a) ( ~ r  q)  ( s  p )
b) [ ( p V ~ s) r ]  ~ r
c) ( p  ~ q ) V ( ~ r  ~ s )
c.
d.
e.
23) Sea el esquema: (A V
correspondiente es:
1. VVVV
2. Consistente
3. VFVV
4. Contradictoria
5. Tautológica.
15. Si la negación de la siguiente formula
lógica es verdadera , hallar los valores
de verdad de cada uno de ellos.
~{( p s )  [ ( p  r ) V ( ~ qs)] }
a) f fff
b) f v v f
c) f v f v
d) v v f f
e) v f ff
Son ciertas:
A) 2 y 3
D) 2 y 4
B), la matriz
B) 1 y 5
C) Sólo 4
E) Sólo 5
24) Si la proposición:
(p q)  (rs] es falsa, el valor de verdad
de q, p, r, s ( en ese orden es)
16. Mediante la aplicación de las reglas metalógicas
de los operadores o conectivos lógicos y el uso
de tablas de verdad ejecute la evaluación de las
fórmulas lógicas siguientes:
pq
pq
pq
p q
pq  r
p q  r)
(p q)  (r  s 
(p  q)  r
{[p  r q]  r  s}  q
{[ p  s q]  r q}  [(
p ( r  s]
11) [(pq)  (pr)  (p p)]  [(q  s]
12) {[(p q)  (r  s)]  (p  s)}  ( r  q)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
A) FVVV
D) FVFF
B) VVVF
C) VFVV
E) VVFF
25) Determine si las siguientes proposiciones son
tautologías o contradicciones.
I.
( r  s)  ( r s)
II. [(p V q)  p] p
III. (pq)[(pq)(pVq)p]
A) C, T, C
B) T, C, T
C) T, T,T
D) C, C, C
E) C, C,T
26) Hallar la tabla de verdad de :
(p  q) (q V p)
A) VVFF
D) VFFF
{[(p q)  (r  s)]  (p vs)}  ( r  q)
{(p q)  [ p(q r)]}(r p)
(p  q)  (r  s)
[(p  q) q]  p
[(p  q r] r
[(pq) q r)]  (p r)
[(pq) q r)]  (p vr)
p  (q  r)
21) Evalúe el siguiente esquema: pq. El
B) VVFV
C) VFFV
E) VVVF
27) Si :
[(p  q)  (p p)]  [(r s)  q]
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Es verdadera, cuáles son los valores de p, q, r,
s respectivamente.
A) VFFF
D) FVVV
B) VFVV
C) FVFF
E) Sin solución
28) Si se sabe que:
[(p  r)  q]  [(p V p) V (p q)]
esquema es de tipo :
A) Contradictorio
B) Consistente
C) Tautológico
D) Indeterminado
E) B y D
es verdadera, hallar los valores de p,q,r
A) VVV
B) FFF
C) FVF
D) VFV
E) No se determina
29) Si la proposición:
[(p  q) (p V w)]  s es falsa, se afirma que la
siguiente proposición:
[s V( p W) ] V (p  q)
es:
A) Verdadera
22) Simplificar:
(p q)  ( q V p)
a.
b.
Contingencia
p
q
Tautología
Contradicción
21
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B)
C)
D)
E)
Falsa
No se afirma nada
Toma ambos valores de verdad
Faltan datos
A) I y II
C) II y III
B) I y III
D) Todas
E) Sólo II
31) Si la proposición:
( p q) (p  r) es verdadera
30) Si la siguiente proposición compuesta es falsa:
( p q)  (q r)
Luego:
¿Cuántas son verdaderaS?
I.
( s  r)  ( p V s)
II. (s  q )  (p V r)
III. ( q  r) V ( p  r)
I. (p  q) no es falsa
II. q V s es verdadera
III. q  p es verdadera
A) Sólo I
D) I y III
B) Sólo II
C) I y II
E) Todas
Son ciertas:
LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS
I. LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS
6.2.
Leyes Lógicas.- Son fórmulas lógicas
cuyas tablas de verdad tienen por
resultado únicamente valores de verdad
“verdaderos”. También se les denomina
“tautologías”.
[( p  q)  q]  p
4.
LEYES DE TRANSITIVIDAD O
SILOGISMO HIPOTÉTICO
7.1.DEL CONDICIONAL
Características fundamentales de la ley
lógica:
[(p  q)  (q  r)]  (p  r)
7.2.DEL BICONDICIONAL
1) La ley permanece al plano
teórico; 2)
Su enunciado es
susceptible de verdad o falsedad;
3) Se expresa en el interior del
cálculo lógico; 4) Su expresión es
un enunciado lógico; 5) La ley
pertenece al lenguaje lógico. 6) La
ley usa los functores o conectivos
u operadores lógicos.
[(p  q)  (q  r)]  (p  r)
5.
[(p  q)  (r  s) (p  r)]  (q s )
6.
LEYES LÓGICAS IMPORTANTES
1.
7.
LEY DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS
O MODUS TOLLENS
LEYES DEL MODUS TOLLENDO PONENS
O SILOGISMO DISYUNTIVO
6.1.
LEY DEL DILEMA SIMPLE
[(p  r)  (q  r) (p  q)] r
[(p  q)  q]  p
3.
LEY DEL DILEMA DESTRUCTIVO
[(p  q)  (r  s)( q s)]  ( p r)
LEY DEL MODUS PONENDO PONENS O
MODUS PONENS
[(p  q)  p]  q
2.
LEY DEL DILEMA CONSTRUCTIVO
[(p  q)  p]  q
22
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SESIÓN 03
conclusión correcta a partir de unas premisas
dadas. . El uso de las reglas de inferencia
garantizan la validez o legitimidad del acto
llamado “operación deductiva” o “inferencia”.
Las características fundamentales de las
reglas lógicas son:
a.
La regla se sitúa en el plano práctico, dice
Las Argumentaciones
cómo debe hacerse una operación
deductiva.
Un argumento o razonamiento es un sistema
b. Su enunciado es normativo, prescriptivo, y,
de proposiciones (dos o más) en el que una de
por eso, la regla puede ser buena o mala,
ellas, llamada conclusión, se pretende que esté útil o inútil, eficiente o deficiente.
fundada en o se infiera de la/s otra/s, llamada/sc. Se expresa al exterior del cálculo, justifica,
premisa/s. La argumentación puede ser inductiva o garantiza la legitimidad o validez de
deductiva.
la deducción.
Un razonamiento deductivo es un sistema de
d. Su expresión es enunciado metalógico.
e. La regla pertenece al metalenguaje.
proposiciones (dos o más) en el que se
f. La regla menciona los functores u
pretende que una de ellas, llamada
operadores lógicos.
“conclusión”, se infiera o derive con el
g. A toda regla lógica le corresponde su
carácter de necesidad de la/s premisa/s.
respectiva ley lógica.
Ejemplo de un razonamiento deductivo: “El
REGLAS DE INFERENCIA IMPORTANTES
ladrón entró por la puerta o la ventana. Por
la puerta no entró, como lo ha demostrado la
1. REGLA DEL MODUS PONENDO PONENS O
MODUS PONENS (MPP)
investigación policial. Por lo tanto, el ladrón
entró por la ventana.” Tomando el
A partir de un condicional y la afirmación
razonamiento deductivo del ejemplo dado,
de su antecedente, es legítimo inferir u
líneas arriba, procedemos a formalizarlo
obtener su consecuente
Esquema:
como fórmula lógica, teniendo como
AB
resultado la fórmula de la lógica
A
proposicional: [(p  q) p]  q), que es una
ley lógica (tautología) denominada “Modus
B
Tollendo Ponens o Silogismo Disyuntivo.”
EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
2.
Razonamiento Deductivo u operación de
deducción es aquella operación que consiste en
que dadas ciertas proposiciones, llamadas
“premisas” se obtenga, se infiera, se derive se
deduzca con el carácter de necesidad una
proposición, llamada “conclusión.”, es decir, se
pretende que una de ellas, llamada “conclusión”,
se infiera en forma necesaria de la/s premisa/s.
Una deducción es una secuencia de enunciados,
los cuales pueden ser o bien premisas o bien se
han obtenido de la aplicación de un conjunto de
reglas de inferencia a enunciados anteriores.
REGLA DEL MODUS TOLLENDO
TOLLENS O MODUS TOLLENS (MTT)
A partir de un condicional y negación de su
consecuente, es legítimo inferir u obtener la
negación de su antecedente.
Esquema:
AB
B
 
3. REGLA DEL MODUS TOLLENDO
PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO
(SD)
A partir de una disyunción débil y la negación
de uno de sus disyuntivos, es legítimo inferir u
obtener el otro disyuntivo. Esquemas:
Reglas de Inferencia.- Son normas, prescripciones,
licencias que indican cómo debe hacerse la
operación de deducción, a fin de obtener una
23
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A B A B
~B
~ A
A B
consecuente de los dos condicionales dados.
Esquema:
A  B
C  B
A C
B
4. REGLAS DE TRANSITIVIDAD O
SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)
Los componentes de los razonamientos
deductivos son las premisas (proposiciones que
implican a la conclusión), la conclusión
(proposición implicada por las premisas) y las
expresiones
derivativas.
Las
expresiones
derivativas tienen por objeto indicar cuál es la
AB
conclusión y cuáles son las premisas. No siempre
BC
figuran en los razonamientos, algunas veces están
A  C
implícitas. Son de dos tipos: las que se anteponen
a la conclusión, como “luego”, “por tanto”, “por
A partir de dos bicondicionales, de la forma
AB, BC, es legítimo inferir u obtener el consiguiente”, etc., y las que se colocan después
de la conclusión, antepuestas a alguna de las
bicondicional de la forma AC. Esquema:
premisas, como “ya que”, “puesto que”, “dado
A  B
que”, “como” y otras.
BC
A partir de dos condicionales, donde el
consecuente del primero es el antecedente
del segundo, es legítimo inferir u obtener el
condicional formado por el antecedente del
primero y el consecuente del segundo.
Esquema:
A  C
Un signo lógico que hace las veces de las
expresiones derivativas (que separa a las
premisas de la conclusión) es una barra “
_______/“ que se coloca después de las
premisas encolumnadas, al lado derecho se
escribe la conclusión.
5. REGLA DEL DILEMA CONSTRUCTIVO
Dados dos condicionales y la disyunción
de sus antecedentes, es legítimo inferir u
obtener
la disyunción
de sus
consecuentes. Esquema:
En los ejemplos que siguen a continuación
se podrá observar la barra, que hace las
veces de las expresiones derivativas. Los
siguientes ejemplos ilustran los dos tipos de
expresiones derivativas.
A B
C  D
AC
B  D
6. REGLA DEL DILEMA DESTRUCTIVO
Ejemplo 1. “El ladrón “José” entró por la
puerta o por la ventana. Por la puerta no
entró, como lo ha demostrado la
investigación policial. Por lo tanto,
(expresión derivativa que se antepone a la
conclusión) el ladrón “José” entró por la
ventana.”
Los
componentes
del
razonamiento deductivo dado son:
Dados dos condicionales, y la disyunción de
la negación de sus consecuentes, es
legítimo inferir u obtener la disyunción de
las negaciones de sus antecedentes.
Esquema:
A B
CD
B D
 A
C
Premisa 1: El ladrón “José” entró por la
puerta o por la ventana.
7. REGLA DEL DILEMA SIMPLE
Dados dos condicionales, que tienen el mismo
consecuente, y la disyunción
de sus
antecedentes, es legítimo inferir u obtener el
24
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temperatura está a 1000 C entonces el agua
hervirá. La temperatura está a 1000 C. Por
consiguiente, el agua hervirá.” Este sistema
de proposiciones formalizadas, equivalente
al sistema de proposiciones inicialmente
dado, también podemos verla o percibirla
como una representación del argumento o
razonamiento
deductivo
dado.
Los
componentes, reestructurados, de éste
razonamiento deductivo son:
Premisa 1: Si la temperatura está a 1000 C
entonces el agua hervirá.
Premisa 2:
Por la puerta no entró./
Conclusión: Por lo tanto, el ladrón “José”
entró por la ventana.
Formalizando el razonamiento deductivo,
dado, tenemos:
Premisa 1:
Premisa 2:
pq
__ p / Conclusión: q
Premisa 2: La temperatura está a 1000 C./
Conclusión: Por consiguiente, El agua
hervirá.
Formalizando el razonamiento deductivo,
dado, tenemos:
Premisa 1: p q.
Premisa 2: _p_____/ Conclusión: q.
La regla lógica, “Modus PonendoPonens”,
prescribe lo siguiente: “A partir de un
condicional y la afirmación de su
antecedente es legítimo inferir su
consecuente.”
La regla lógica “Modus TollendoPonens o
Silogismo
Disyuntivo”
prescribe
lo
siguiente: “A partir de una disyunción débil
y la negación de uno de sus disyuntivos es
legítimo inferir u obtener el otro
disyuntivo”, de esta manera
justifica,
garantiza la legitimidad o validez de la
operación de deducción. Es decir, este
conjunto
de
proposiciones
están
relacionadas de modo tal, que la
proposición, llamada conclusión: “El ladrón
“José” entró por la ventana.” Está fundada
o se infiere de las otras dos proposiciones,
llamadas premisas. En éste caso, la regla
lógica del modus tollendoponens o
silogismo disyuntivo, nos autoriza, nos
prescribe ha inferir u obtener la conclusión:
“El ladròn“José” entró por la ventana.” En
símbolos:
Ejemplo 3. “Si hace calor, Juan va a la
piscina. Si Juan va a la piscina, arregla la
casa después de almorzar. Luego, si hace
calor, se arregla la casa después de
almorzar.”Procedemos a formalizarlo como
fórmula lógica, teniendo como resultado la
fórmula de la lógica proposicional [(pq) 
(q r)]  (pr), que es una ley lógica
(tautología) denominada “Ley Lógica
Silogismo Hipotético o Transitividad” Este
conjunto de proposiciones, formalizadas,
también podemos verlas o percibirlas como
una
representación
del
argumento
orazonamiento deductivo, dado. Los
componentes, reestructurados, de éste
razonamiento deductivo son:
Premisa 1:
Si hace calor, Juan va a la piscina.
Premisa 2:
Si Juan va a la piscina, arregla la casa
después de almorzar.
A  B,
_A__/  B
Ejemplo 2. “El agua hervirá, dado que
(expresión derivativa que se coloca después
de la conclusión) si la temperatura está a
1000 C entonces el agua hervirá. La
temperatura está a 1000 C” Al formalizarlo,
tenemos como resultado la fórmula lógica:
q  [(pq)  p], que es una ley lógica
(tautología) denominada “Ley Lógica del
Modus Ponendo Ponens.” Procedemos a
reestructurar el razonamiento deductivo
dado, para obtener un razonamiento
deductivo equivalente, tal como: “Si la
Conclusión:
Luego, si hace calor, se arregla la casa
después de almorzar.
25
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Formalizando el razonamiento deductivo,
dado, tenemos:
Premisa 1: p  q.
Premisa 2: q  r/ Conclusión: p r.
3. Si Juan va a la Unión, se encuentra con
Pedro. Juan va a la Unión.
4. Si llovió anoche, las pistas están mojadas.
Llovió anoche.
5. Si voy de paseo, me encuentro con Ana.
Voy de paseo.
6. Si la policía hace patrullaje urbano,
captura a los delincuentes. La policía hace
patrullaje urbano.
Resolución
Formalización: (p  qp
La regla lógica, “Silogismo Hipotético o
Transitividad”, prescribe lo siguiente: “A
partir de dos condicionales, donde el
consecuente del primero es el antecedente
del segundo es legítimo inferir el
condicional formado por el antecedente del
primero y el consecuente del segundo”
Razonamiento
P1: p  q
¿Cuándo un conjunto de proposiciones no
es un razonamiento deductivo? Cuando no
hay ninguna proposición, de las dadas, que
se afirme sobre la base de las otras.
Tomemos como ejemplo las proposiciones
siguientes: “Llueve mucho. Será mejor que
no salgamos. Podemos postergar la
excursión para mañana.” Efectuando la
formalización se tiene la siguiente fórmula:
P2: p_____/q: La policía captura a los
delincuentes.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus PonendoPonens.
7. Si el Atestado Policial prueba que
estafaste, serás privado de tu libertad. El
Atestado Policial prueba que estafaste.
Resolución
Formalización: (p  qp
Razonamiento
p q  r. Si bien estas proposiciones están
relacionadas en cuanto al contenido, no hay
ninguna que se afirme sobre la base de las
otras. En consecuencia, no se trata de un
razonamiento deductivo.
P1: p  q
P2: p_____/q: serás privado de tú libertad
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus PonendoPonens.
Conclusión y premisas son términos
relativos. Una misma proposición puede ser
premisa en un razonamiento deductivo y
conclusión en otro. Esta circunstancia
origina
cadenas
de
razonamientos
deductivos.
8. Si los terremotos son fenómenos
naturales, los terremotos obedecen a
leyes físicas. Los terremotos son
fenómenos naturales.
9. Si Gabriel es un alumno-policía que
práctica buenos hábitos, será un policía
disciplinado y responsable. Gabriel es un
alumno-policía que práctica buenos
hábitos.
PROBLEMAS LÓGICOS
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL
MODUS PONENDOPONENS
[(p  q)  p]  q
10.Si hay igualdad de oportunidades, hay
justicia social. Hay igualdad de
oportunidades.
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
11. Si las computadoras bajan de precio, las
personas
se
educaran.
Las
computadoras bajan de precio.
1. Si Venus es un planeta entonces Venus
brilla con luz refleja. Venus es un
planeta.
2. Si son las cinco, la oficina está cerrada.
Son las cinco.
26
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12. Dado que los objetos caen, existe
gravedad. Los objetos caen.
6.
Si Pedro compró el libro entonces es
propietario del libro. Pedro no es
propietario del libro.
7.
Si un objeto flota en el agua entonces es
menos denso que el agua. No es menos
denso que el agua.
13. Si Luís no ha pasado de año, no viaja a
la Argentina. Luís no ha pasado de año.
14. Si el papel de tornasol se vuelve rojo, la
solución es un ácido. El papel de
tornasol se vuelve rojo.
8.
Si eres bondadoso y honrado, serás
premiado. No serás premiado.
9. Si  = 1500 entonces Sen = ½. Sen ½.
10. Si Víctor es un graduado universitario
entonces Víctor no es mecánico. Víctor
es mecánico.
15. Si el satélite entra en órbita, el proyecto
espacial será un éxito. El satélite entra
en órbita.
A. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL
MODUS TOLLENDO TOLLENS
[(p q)  q]  p
11. Teniendo en cuenta que hace frió, bien
se ve que la gente se abriga. La gente
no se abriga.
12. Si hoy es día de pago, iré de compras.
No iré de compras.
13. Si Pedro se encuentra en casa, la luz
está encendida. La luz no está
encendida.
14. Si vienes, me voy. No me voy.
15. Si estudio lógica matemática, mejoro mi
razonamiento deductivo. No mejoro mi
razonamiento.
16. Si son las siete de la mañana, el avión
partió. El avión no partió.
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
1.
2.
Dado que los objetos caen entonces
existe gravedad. No es cierto que los
objetos caén.
Si es estrella, ese astro tiene luz propia.
Ese astro no tiene luz propia.
Resolución
Formalización: (p  q (q)
Razonamiento
P1: p  q
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL
MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO
DISYUNTIVO
[(p  q)  p]  q
[( p  q)  q]  p
P2: q _____/p: no es estrella.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus TollendoTollens.
3.
Si llueve, la ropa se moja. La ropa no se
moja. Resolución
Formalización: (p  q (q)
Dadas las premisas infiera o derive una
Razonamiento
conclusión.
P1: p  q
P2: q _____/p: no llueve.
1.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus TollendoTollens.
2.
3.
4.
Si Carlos no viaja a Tumbes, no se
encontrará con Gabriel. Carlos se
encontró con Gabriel.
5.
Si Juan no ésta en clase entonces está
de servicio. Juan no está de servicio.
4.
27
Me llamo Julio o Jorge. No me llamo
Julio.
No viajo a Trujillo o no viajo a Arequipa.
Viajo a Arequipa.
El policía viajó en auto o avión. El policía
no viajó en avión.
Las Fuerzas Operativas de la Policía
Nacional del Perú van al Estadio
Nacional o al Mercado de Santa Anita.
Las Fuerzas Operativas de la Policía
Nacional no van al Estadio Nacional.
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5.
Maria juega Voley o Básquet. Maria no
juega básquet.
6. El paciente tiene sarampión o tifoidea.
El paciente no tiene sarampión.
7. En Piura llueve o hace calor. En Piura no
llueve.
8. El sol es estrella o satélite. El sol no es
satélite.
9. En Irak hay guerra o paz. En Irak no hay
paz.
10. Fujimori será extraditado o liberado.
Fujimori no será liberado.
11. Los funcionarios policiales trabajan con
hipótesis o refutaciones de hipótesis.
Los funcionarios policiales no trabajan
con refutaciones de hipótesis.
evita realizar acciones delictivas.
Resolución
Formalización: [(pq)  r]  (r s)
Razonamiento
P1: (pq)  r
P2: r s /(pq)  s: Si un policía es
profesional y ético, entonces evita
realizar acciones delictivas
2.
Si se denuncia la comisiòn de un delito,
la policìaefectùa la investigaciòn.Si la
policía efectúa la investigación,
establece la responsabilidad de los
involucrados. Resolución
Formalización: (p  q)  (q r)
12. El reo es culpable o inocente del delito
que se le imputa. El reo no es inocente
del delito que se le imputa.
Razonamiento
13. 13. El ladrón entró por la puerta o la
ventana. Por la puerta no entró, como
lo ha demostrado la investigación
policial.
Conclusión: p  r: Si se denuncia la
comisión de un delito, entonces la
policía establece la responsabilidad de
los involucrados.
P1: p  q
P2: q r /p  r:
14. Maritza se dedica a la función policial o
se dedica a la función jurisdiccional.
Maritza no se dedica a la función
jurisdiccional.
3.
Si Elizabeth viaja a Estados Unidos,
visitará a su papá. Si visita a su papá,
pasará buenas vacaciones.
4.
Si los ladrones asaltan el Banco de la
Nación, el cajero aprieta el botón de
alarma. Si el cajero aprieta el botón de
alarma, la patrulla policial interviene a
los ladrones.
5.
Si el Gobierno está a favor de las
nacionalizaciones de las empresas, está
en contra de la empresa privada. Si el
Gobierno está en contra de la empresa
privada, es comunista.
DEL BICONDICIONAL:
[(p  q)  (q  r)]  (p  r)
6.
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
1. Si un policía es profesional y ético, es
responsable de su buena conducta. Si
es responsable de su buena conducta,
Si Bertrand Russell fue neopositivista,
conformó el Circulo de Viena. Si
conformó el Circulo de Viena, confiaba
en la Lógica Simbólica.
7.
Si Luisa obtiene buenas notas, le dan
una beca. Si le dan una beca, viaja a
Colombia.
15. El accidente de tránsito fue causado por
ebriedad del chofer o falla mecánica del
vehículo. El accidente de tránsito no fue
causado por falla mecánica, de acuerdo
a la investigación policial.
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DE
SILOGISMO HIPOTÈTICO O TRANSITIVIDAD
DEL CONDICIONAL:
[(p  q)  (q  r)]  (p  r)
28
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8.
9.
P1: p  q
Si hay abundancia de peces, habrá
abundante harina de pescado. Si hay
abundante harina de pescado, se
incrementa la exportación.
P2: r s
P3: p  r / (q s): Las ciencias
progresan o los pueblos se
empobrecen.
Si sube la gasolina, subirá la harina de
trigo. Si sube la harina de trigo, subirá
el precio del pan.
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL
DILEMA DESTRUCTIVO
Dados los razonamientos deductivos
siguientes. Verifique, si dichos
razonamientos son válidos o inválidos,
utilizando cualesquiera de las técnicas de
validación que se le ha enseñado y usted ha
aprendido.
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL
DILEMA CONSTRUCTIVO
Dados los razonamientos deductivos
siguientes. Verifique, si dichos
razonamientos son válidos o inválidos,
utilizando cualesquiera de las técnicas de
validación que se le ha enseñado y usted ha
aprendido.
1.
2.
Si llueve, jugaremos ajedrez. Si el
campo está seco, jugaremos fútbol. O
llueve o el campo está seco. / O
jugaremos al ajedrez o fútbol.
Si voy al cine, no estudio. Si no voy a la
fiesta, viene Felipe a Estudiar. Voy al
cine o no voy a la fiesta. / No estudio
o viene Felipe a estudiar. Resolución
Si me encuentro con Pedro, voy a
Chosica. Si me encuentro con Eduardo,
voy a Barranco. No voy a Chosica o no
voy a Barranco. / O no me encuentro
con Pedro o no me encuentro con
Eduardo.
2.
Si voy a Chosica, no me encuentro con
Pedro. Si me encuentro con Eduardo,
no voy a Barranco. O me encuentro con
Pedro o voy a Barranco. / O voy a
Chosica o me encuentro con Eduardo.
Resolución
Formalización:
(p q)  (rs)  (q s )
Formalización:
Razonamiento
(p q)  (rs)  (p r )
P1: p  q
Razonamiento
P2: r s
P1: p q
3.
1.
P2: r s
P3: q  s / (pr): No voy a Chosica
o no me encuentro con Eduardo.
P3: p r / (q s): No estudio o
viene Felipe a estudiar.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Dilema destructivo.
Si te dedicas a la ciencia, serás un
científico. Si cultivas las artes, serás un
artista. O no serás un científico o no serás
un artista. / O no te dedicas a las
ciencias o no cultivas las artes. Resolución
Formalización:
Si se mantiene la paz, las ciencias
progresan. Si se fomenta la guerra, los
pueblos se empobrecen. O se mantiene
la paz o se fomenta la guerra. / Las
ciencias progresan o los pueblos se
empobrecen. Resolución
Formalización: (p  q)  (r s)  (p r )
(p  q)  (rs)  (qs )
Razonamiento
Razonamiento
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P1: p  q
P2: r s
P3: q s / (pr): No te dedicas a la
ciencia o no cultivas las artes.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Dilema destructivo.
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