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EXAMEN DE MATEMÁTICAS
1º BACHILLERATO DE CIENCIAS
Temas 6, 7 y 8
(
)
5
1. Aplicando la fórmula de Newton calcula el valor de 2 − 3 . Da el resultado en la forma
radical más simple.
(1 punto)
2. a) Si permutamos las letras de la palabra EUCALIPTO, ¿cuántas de ellas, con sentido o no en
castellano, acaban en vocal?
(0,5 puntos)
b) ¿Cuántos números de 4 cifras (repetidas o no) pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7?
(0,5 puntos)
c) ¿Cuántas diagonales tiene un decágono?
(0,75 puntos)
3. Sabiendo que tan α = 5 y que 180º < α < 270º, calcula, dando el resultado exacto (en
función de raíz de 5: “sin utilizar calculadora”), el valor de:
a) sen α
b) cos(α + 90º)
c) tan(α – 90º)
d) sen 2α
Haz una representación gráfica apropiada.
(2 puntos)
4. En una circunferencia de diámetro AB = 20 cm se inscribe un
triángulo rectángulo de superficie 80 cm2. Halla la amplitud de los
sectores circulares AOC y BOC, siendo C el vértice
correspondiente al ángulo recto. Determina también los ángulos A
y B y el valor de sus catetos.
(2 puntos)
5. Dos barcos salen al mismo tiempo del puerto. Toman rumbos
que forman entre sí un ángulo de 58º. El primero navega a una velocidad de 35 km/h y el
segundo a 42 km/h. ¿Qué distancia les separa al cabo de 3 horas de navegación? (1,5 puntos)
6. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) 2 cos 3 x = 1
b) 4sen 2 x = 3
c) cos 2 x − sen 2 x + 0,5 = 0
(0,5 puntos)
(0,5 puntos)
(0,75 puntos)
Alcalá de Henares, 10 de febrero de 2015
JoséMMM
Soluciones:
(
)
5
1. Aplicando la fórmula de Newton calcula el valor de 2 − 3 . Da el resultado en la forma
radical más simple.
(
→ 2− 3
)
5
(1 punto)
 5
5
 5
=  ·25 −  ·24· 3 +  ·23· 3
0
 1
 2
( )
= 32 − 5·16· 3 +10·8·3 − 10·4·3
2
3  5
5
−  ·22· 3 +  ·2· 3
 3
 4
( )
( 3 ) + 5·2·9 − 9 ( 3 ) =362 − 209
( )
4
5
−  · 3
5
( )
5
=
3
2. a) Si permutamos las letras de la palabra EUCALIPTO, ¿cuántas de ellas, con sentido o no en
castellano, acaban en vocal?
(0,5 puntos)
→ Las permutaciones de las 9 letras de la palabra EUCALIPTO son P9= 9!
= 362880 .
De las 9 posibles terminaciones, cinco son vocales; por tanto, en vocal terminan:
5
·362880 = 201600
9
b) ¿Cuántos números de 4 cifras (repetidas o no) pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7?
(0,5 puntos)
→ Se trata de un problema de variaciones con repetición.
4
Su número será: VR7,4
= 7=
2401 .
c) ¿Cuántas diagonales tiene un decágono?
(0,75 puntos)
→ Las diagonales de cualquier polígono son los segmentos que
unen dos vértices no consecutivos. Por tanto, cada dos vértices
determinan una diagonal o un lado.
El número de segmentos que determinan los 10 vértices del
decágono son C10,2 (Obsérvese que la diagonal 1–5 es la misma
que la 5–1, por ejemplo). Como 10 de ellos son los lados, el resto
serán diagonales.
Por tanto, el número de diagonales de un decágono son: C 10, 2 − 10 = C10,2 − 10=
10·9
− 10= 35 .
2
3. Sabiendo que tan α = 5 y que 180º < α < 270º, calcula, dando el resultado exacto (en
función de raíz de 5: “sin utilizar calculadora”), el valor de:
a) sen α
b) cos(α + 90º)
c) tan(α – 90º)
d) sen 2α
Haz una representación gráfica apropiada.
(2 puntos)
1
1
1
1
⇒ cos 2 α = ⇒ cos α = −
⇒ 1+ 5 =
, pues en el tercer
2
2
6
cos α
6
cos α
cuadrante el coseno es negativo.
1 5
5
De sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α = 1 − = ⇒ sin α = −
. (El seno también es negativo).
6 6
6
→ a) De 1 + tan 2 α =
b) cos ( α + 90º ) = − sin α =
5
(Puede verse gráficamente).
6
Y también: cos ( α + 90º ) = cos α·cos 90º − sin α·sin 90º = cos α·0 − sin α·1 = − sin α
sin ( α − 90º )
c) tan ( α − 90º ) =
=
cos ( α − 90º )
1
6 =− 1
5
5
−
6
d) sin ( 2α=
) 2sin α·cos α =
 5  1 
5
= 2  −
= 2
=
  −

36
6
 6 
5
3
´
4. En una circunferencia de diámetro AB = 20 cm se inscribe un triángulo rectángulo de
superficie 80 cm2. Halla la amplitud de los sectores circulares AOC y BOC, siendo C el vértice
correspondiente al ángulo recto. Determina también los ángulos A y B y el valor de sus catetos.
(2 puntos)
→ El área del triángulo es:
AB·h
20·h
S=
⇒ 80
=
⇒=
h 8 cm.
2
2
Con ese valor de h y redibujando el
triángulo (izquierda), donde r = 10 cm y
los triángulos BOC y AOC son isósceles, se tendrá:
h 8
sin α= =
= 0,8 ⇒ α= arcsin 0,8= 53,13º ⇒ β = 126,87º.
r 10
En el triángulo isósceles AOC, con los ángulos A y C iguales, se cumple que
Aˆ + Cˆ +=
Aˆ 63, 43º ; y como Aˆ + Bˆ = 90º ⇒ Bˆ = 26,57º .
α 180º ⇒ 2 Aˆ + 53,13º
= 180º ⇒=
El valor de los catetos se obtiene observando que en los triángulos rectángulos BPC y APC, se
cumple:
8
h
8
h
h
⇒ AC =
= 8,94 cm
sin Bˆ =
⇒ BC =
=
= 17,89 cm; sin Aˆ =
sin 63, 43º
AC
BC
sin Bˆ sin 26,57º
5. Dos barcos salen al mismo tiempo del puerto. Toman rumbos que forman entre sí un ángulo
de 58º. El primero navega a una velocidad de 35 km/h y el segundo a 42 km/h. ¿Qué distancia
les separa al cabo de 3 horas de navegación? (1,5 puntos)
→ La situación es la que se muestra en la figura
adjunta.
Al cabo de tres horas el primer barco se encuentra a
126 km del punto de partida, el segundo a 105 km y,
por el teorema del coseno, la distancia entre ellos será:
AB =
1262 + 1052 − 2·126·105·cos 58º ≈ 113, 49 km
6. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) 2 cos 3 x = 1
b) 4sen 2 x = 3
c) cos 2 x − sen 2 x + 0,5 = 0
(0,5 puntos)
(0,5 puntos)
(0,75 puntos)
 60º + k·360º
 20º + k·120º
1
1
→ a) 2 cos 3 x = 1 ⇒ cos 3 x = ⇒ 3 x =arccos ⇒ 3 x =
⇒ x =
2
2
300º + k·360º
100º + k·120º
3
3
→ b) 4sen 2 x = 3 ⇒ sin 2 x = ⇒ sin x =
±
⇒x=
{60º ,120º , 240º ,300º} , en todos los casos
4
2
+ k · 360º
(
)
→ c) cos 2 x − sen 2 x + 0,5 = 0 ⇒ cos 2 x − 1 − cos 2 x + 0,5 = 0 ⇒ 2 cos 2 x − 0,5 = 0 ⇒
1
1
⇒ cos 2 x ==
0, 25
⇒ cos x =
± ⇒ x = {60º ,120º , 240º ,300º} , en todos los casos + k · 360º
4
2
Alcalá de Henares, 10 de febrero de 2015
JoséMMM