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PROBABILIDAD
EXPERIMENTOS
Al fijar las condiciones iniciales para un experimento se da lugar a dos tipos de
situaciones:
a) Experimentos determinísticos: se conoce el resultado. Por ejemplo: si suelto un lápiz
se cae.
b) Experimentos aleatorios: no se puede predecir el resultado. Por ejemplo: elegir un
día de la semana para ir al cine.
ESPACIO MUESTRAL (S) ó ( E )
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Por ejemplo:
Experimento: tirar un dado.
Espacio muestral: S = { 1;2;3;4;5;6}
Cualquier subconjunto de puntos muestrales se llama suceso:
en el ejemplo anterior podríamos definir los siguientes sucesos:
A = {obtención de cara par }= { 2;4;6}
B = {obtención de números menores que tres}= {1;2}
C = {obtención de cara impar}= {1;3;5}
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos sucesos A y B incluidos en un espacio muestral S son mutuamente excluyentes
cuando no pueden ocurrir simultáneamente.
Es decir
A y B mutuamente excluyentes si y solo si A ∩ B = ∅
Por ejemplo:
En el tiro del dado los sucesos A y C son mutuamente excluyentes.
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PROBABILIDAD
DEFINICION CLASICA DE LAPLACE
Dado un experimento aleatorio con resultados equiprobables y un suceso A incluido en
él, la probabilidad de que ocurra el suceso A se define como
P (A) =

de casos favorables del suceso A
numero

de casos posibles del exp erimento
numero
Supongamos que nuestro experimento es el lanzamiento de un dado. Los resultados
posibles son : 1;2;3;4;5 y 6. Si el suceso A es la aparición de número par:
P (A) =
3 1
=
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DEFINICION AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD
Dado el experimento ∈, S su espacio muestral asociado, A y B sucesos cualquiera del
mismo, se verifica:
I) 0 ≤ P (A) ≤ 1
II) P (S) = 1
III) Si A y B son sucesos que se excluyen mutuamente (no pueden ocurrir juntos, es
decir A ∩ B = ∅ ), entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
CONSECUENCIAS
I) P( ∅ ) = 0
(
II) P A ) = 1 - P(A); siendo A = S - A , el suceso complementario
SUCESOS INDEPENDIENTES
Es decir que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye
en la ocurrencia del otro.
P(A∩B) = P(A). P(B)
Los sucesos A y B; son, A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅ ; definidos en un espacio muestral S.
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PRÁCTICA 1- PROBABILIDAD
1-. Definir si los siguientes son experimentos aleatorios ó determinísticos:
a. Se arrojan dos monedas y un dado
b. Se elige un Licenciado en Administración Hotelera de una lista para
ingresar a trabajar a un determinado hotel.
2-.Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de eventos son mutuamente
excluyentes:
a. De un grupo de estudiantes se elige aleatoriamente un individuo: la persona
elegida “es mujer”, la persona elegida “es hombre”.
b. Un estudiante es seleccionado aleatoriamente de la Universidad de Belgrano,
la persona elegida es “hombre”, o “es mayor de 21 años”.
3-. Se arrojan dos monedas.
i) Defina el espacio muestral.
ii) calcular la probabilidad de obtener:
a. Exactamente una cara
b. Una cara y una seca
c. Dos caras
d. 3 caras
Rta: a) 0.5
b)0.5 c)0.25 d)0
4-. En una encuesta entre estudiantes para Administración Hotelera se obtuvieron los
siguientes datos acerca de “el principal motivo para ingresar a la institución donde está
matriculado”.
Motivo de la solicitud
Masculino
I
25
II
20
Femenino
35
20
Sexo
Siendo I: Calidad de la Institución y II : Costo o comodidad
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Si se selecciona un archivo aleatoriamente, determine las probabilidades de que el
individuo seleccionado
a. Sea de sexo femenino
b. La calidad de la Institución sea el principal motivo de su elección.
Rta a) 0.55
b) 0.6
5-. El siguiente cuadro resume la experiencia docente y la preparación profesional de los
profesores de una universidad pública.
Experiencia Docente
Preparación
Profesional
Inferior al grado de maestría
Grado de maestría o superior
Menos de
5 Años
75
55
o Más
40
30
Sea A el evento de que un profesor, seleccionado aleatoriamente, “tenga grado inferior a
la maestría” , y sea B “el profesor tiene menos de 5 años de experiencia”. Determine:
b. P(A ∪ B)
c.P( B )
a. P(A ∩ B)
VARIABLE ALEATORIA
Algunas definiciones
Variable aleatoria:
descripción numérica del resultado de un experimento aleatorio.
Variable aleatoria discreta:
es aquella variable que puede asumir una cantidad finita de resultados posibles o, una
cantidad infinita numerable.
Variable aleatoria continua:
es aquella variable que puede asumir cualquier valor de un intervalo o de un conjunto de
intervalos de números reales.
Función de probabilidad:
regla que asigna probabilidades a cada valor que puede tomar la variable.
Función de densidad de probabilidad:
función que asigna probabilidades a los intervalos de valores de una variable aleatoria
continua. La probabilidad que le corresponde a un intervalo es el área sobre ese
intervalo y bajo la curva representativa de la función.
La función de probabilidad asigna probabilidades a cada elemento del recorrido y se
debe cumplir que:
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i ) p (xi ) ≥ 0
ii )∑ p(xi ) = 1
Rx
iii ) P ( X = x) = f ( x)
Cada probabilidad cero o más y la suma de las probabilidades en el recorrido de una
variable aleatoria discreta ser 1.
Función de Distribución:
definida para cualquier valor x ∈ ℜ, da la probabilidad acumulada hasta ese valor x.
Esperanza o media o valor esperado de una variable aleatoria:
medida de la localización central de la variable aleatoria.
Cálculo de la esperanza de una variable aleatoria discreta:
E ( x) = µ = ∑ xf ( x)
Propiedades del valor esperado:
1-E(c)=c
2-E(cx)=cE(x)
3-E(X+Y)=E(X)+E(Y)
4-E(X-Y)=E(X)-E(Y)
5-E(aX+B)=aE(X)+B
Varianza de una variable aleatoria:
medida de variabilidad o de dispersión de una variable aleatoria.
Cálculo de la varianza de una variable aleatoria discreta:
Var ( X ) = σ 2 = ∑ ( x − µ ) 2 f ( x) = E ( X 2 ) − E 2 ( X )
Desviación estándar de una variable aleatoria:
medida de variabilidad o de dispersión de una variable aleatoria, medida en la misma
unidad que las observaciones de la variable aleatoria en cuestión.
Cálculo del desvío estándar de una variable aleatoria:
σ = σ 2 = Var ( X )
Propiedades de la varianza
La varianza de una v.a. X es.
σ = E( X 2 ) − µ 2
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Propiedades:
2
1-V(c)=0=> V(c ) = E(c2 )- [E (c)] = c 2 − c 2 = 0
2-V(cx)= c 2V ( x) => V(c x)=
[
]
E (cx) 2 − [E (cX )]
= E (c 2 x 2 ) − [cE ( x)]
2
[
c 2 [E ( x)] = c 2 E ( x 2 ) − [E ( x)] 2
2
]
= c 2 E(x 2 ) -
2
= c 2V ( x) .
3-V(aX+B)= a 2V ( X )
PRÁCTICA 2-VARIABLE ALEATORIA
1-Clasifique las siguientes variables aleatorias en discretas o continuas:
a) X: la cantidad de ofertas de pasajes realizadas a buenos aires durante el mes de
diciembre.
b) R: Cantidad de horas de vuelo de Europa a Buenos Aires en el mes de enero.
c) M: cantidad de alumnos que fuman en un curso de la carrera de probabilidad y
Estadística de 2º año de la Facultad de Ciencias Económicas en la Lic. en
Administración Hotelera. de la Universidad de Belgrano.
d) Y: número de horas de televisión utilizadas en un determinado hotel De Mar de las
Pampas en el salón principal durante el mes de enero.
2-Diga cuál de las siguientes funciones es una función de probabilidad. Justifique su
respuesta, explicando también porqué rechaza a las otras dos.
Y
p 1 (y)
P 2 (y)
P 3 (y)
0
0.3
0.4
0.4
1
0.2
0.1
0.1
2
0.1
0.1
0.2
3
0.05
0.1
0.1
4
0.05
0.3
0.3
3-En la siguiente tabla se dan las distribuciones de probabilidad de los valores con los
que califican su satisfacción en el trabajo los empleados de cierta empresa, para los
cargos gerenciales y, para los cargos jerárquicos, no gerenciales. Las calificaciones van
desde 1-muy insatisfecho hasta 5-muy satisfecho.
Calificación Cargos gerenciales Cargos jerárquicos
1
0.05
0.04
2
0.09
0.10
3
0.03
0.12
4
0.42
0.46
5
0.41
0.28
a) Tabule las funciones de distribución de las dos variables en estudio.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado con cargo gerencial exprese su
satisfacción en el trabajo con una calificación de por lo menos 4?
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c) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado con cargo jerárquico, no gerencial,
esté muy satisfecho en su trabajo?.
d) Calcule la calificación media para los empleados con cargos gerenciales y, la
calificación media, para los empleados con cargos jerárquicos, no gerenciales.
e) Calcule la varianza y desvío estándar para los empleados con cargos gerenciales
y, también para los empleados con cargos jerárquicos, no gerenciales.
f) ¿Qué grupo de empleados expresa mayor satisfacción?
4-La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de la demanda mensual de
determinado producto: en una cadena hotelera
Demanda
300
400
500
600
Probabilidad
0.20
0.30
0.35
0.15
a) Defina la variable de estudio.
b) Calcule la probabilidad de que la demanda mensual sea de a los sumo 200.
c) Calcular la demanda media pedida mensualmente.
d) Calcular la varianza y desvío estándar de la variable.
5- Un servicio voluntario de emergencias en un determinado hotel utilizadas en un mes
tiene la siguiente ley de probabilidad:
y
0
1
2
p(y)
0.1
0.5
0.4
a) Calcule la probabilidad de que se realicen exactamente una llamada de emergencia.
b) El servicio le cuesta al hotel $10 cada vez que se utiliza. Encuentre la media del
costo mensual.
Rta: a) 0.4
b)E( c )=13
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VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
(a) Distribución normal estandarizada
2
1 − z2
f ( z) =
e
−∞ < z < ∞
2π
F ( z) =
P [ Z < z] = f ( z)
; E (Z) = 0
σ (Z) = 1
Z ∼N ( 0, 1)
(b) Distribución normal general
f ( x) =
1
b 2π
e
1  x −a 
− 

2 b 
2
−∞ < x < ∞
σ (X) = b
E(X) = a
X∼N(a,b)
x−a
. La transformación de X en Z, restándole su esperanza y dividiéndola
b
por el desvío estándar, se denomina estandarización.
Se verifica que:
Sea Z =
E(Z) = 0
σ (Z ) = 1
VARIABLE ALEATORIA NORMAL
PRACTICA
1-a) Sea Z una variable aleatoria con distribución N (0,1) , hallar:
a1) P[Z <1]
Rta. 0.8413
a2) P[Z >1]
Rta. 0.1587
a3) P[-1.5 < Z < 0.5]
Rta. 0.6247
a4) P[ |Z | < 0.5 ]
Rta. 0.3830
b) Sea X una variable aleatoria con distribución N (10, 2), hallar:
b1) P[8 < X < 12]
Rta. 0.6826
b2) P[ X < 13 ]
Rta. 0.9332
2-El tiempo de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan las comidas para
una determinada red hotelera en una carretera tienen una demoran que sigue una
distribución normal de media 50 minutos y desvío 8 minutos.
¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos?
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3-Cierto tipo de acumulador eléctrico perteneciente a un Hotel dura en promedio 3 años,
con una desviación stándard de 0.5 años. Suponiendo que las duraciones del aparato
están normalmente distribuidas, obtenga la probabilidad de que un acumulador dado
dure menos de a 2.3 años.
Rta:0.0808
4-Durante los últimos años ha crecido el volumen de acciones negociadas en la Bolsa
hotelera. El volumen diario promedio fué de 646 milllones de acciones (Barron’s, enero
de 2003). La distribución de probabilidad del volumen diario es aproximadamente
normal, con un desvío de unos 100 millones de acciones.
a)¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado sea menor de 400 millones?
b)¿Qué porcentaje de las veces el volumen negociado es mayor de 800millones de
acciones?
5.- La duración de una pintura impermeabilizante de terrazas, es una variable normal
con media 4 y desvío 1. Calcular:
La probabilidad de que un trabajo efectuado con esa pintura dure :
a)menos de 4,5 años. b) Más de 6 años c) Entre 5 y 7 años. Rta: a) 0,6915 b) 0,0228 c)
0,1573
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