Download unidad iii - Campus Virtual ORT

INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
CURSO DE ESTADÍSTICA
UNIDAD III
DISTRIBUCIONES ESPECIALES
Experimentos aleatorios y sus repeticiones.
Cuando se realiza un experimento aleatorio y se está interesado en conocer si sucede o no un determinado
evento A, puede definirse una variable aleatoria discreta X, asignando a X el valor 1 en caso de que ocurra A,
y el valor 0 a X en caso contrario.
A menudo suele referirse como “éxito” a que ocurra el suceso de interés A, y como fracaso a que no ocurra.
Si se conoce la probabilidad p de éxito, la distribución de probabilidad está dada por:
1 (éxito)
p
X
P(x)
0
(fracaso)
1-p
En este caso el valor esperado es E(X) = p, y la varianza es V(X) = p(1-p).
Repeticiones independientes de un experimento aleatorio: proceso de Bernoulli
Se realizan repeticiones o ensayos independientes de un experimento.
En cada ensayo son posibles dos resultados: éxito con probabilidad p o fracaso con probabilidad 1 – p.
La probabilidad de éxito no cambia de un ensayo a otro, tampoco la probabilidad de fracaso.
Según se esté interesado en la cantidad de éxitos alcanzados para un número de ensayos fijo o en la cantidad
de ensayos que se realizan para lograr un éxito se tienen dos distribuciones diferentes:
Distribución Binomial
Es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X llamada variable binomial que aparece
en un proceso de Bernoulli en el que:
El número: n de ensayos o repeticiones está fijo.
La variable aleatoria X se define como:
X = el número de éxitos en los n ensayos. Es una variable discreta: Posibles valores de X: 0,1,2,3,... n.
La probabilidad de que haya k éxitos en los n ensayos, siendo k un valor posible: 0,1,2...n, está dada por:
P(X = k) =
n!
k
n k
resulta E(X) = np V(X) = np(1-p)
p (1 p )
k ! ( n k )!
Observación: k! Es el número “Factorial de k” designa al producto de los “k” primeros números naturales,
es decir: k! = k (k-1)(k-2)....3.2.1 = k (k-1)!
Notación: Para señalar que X es una variable binomial, se indica X ~ B(n, p).
Los valores numéricos de las probabilidades, suelen calcularse por medio de calculadora, tablas o utilizando
un software para computadora.
Por ejemplo con Excel:
1. Seleccionar una celda donde se desea que aparezca la probabilidad binomial
2. Seleccionar: Insertar, Función, Estadísticas, DISTR.BINOM esta función tiene cuatro argumentos:
DISTR.BINOM(núm_éxito;ensayos;prob_éxito;acumulado)
Núm_éxito es el número de éxitos en los ensayos. “ k ”
Ensayos es el número de ensayos independientes. “ n ”
Prob_éxito es la probabilidad de éxito en cada ensayo. “ p ”
Acumulado es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento acumulado es
VERDADERO, DISTR.BINOM devuelve la función de distribución acumulada, si es FALSO, devuelve la
función de probabilidad correspondiente al argumento núm_éxito.
Versión 2007
23
INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
CURSO DE ESTADÍSTICA
Distribución Geométrica
Es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X llamada variable geométrica que
aparece en un proceso de Bernoulli en el que:
Se cuenta el número de ensayos necesarios hasta que ocurra un suceso A por primera vez, es decir hasta
lograr el primer éxito, si hacen falta un número k de ensayos hasta el primer éxito, éste ocurrirá en el késimo ensayo, siendo fracasos los anteriores k-1.
X = el número de ensayos necesarios hasta lograr el primer éxito. Posibles valores de X: 1,2,3,........
La probabilidad de que se hayan necesitado k ensayos hasta lograr el primer éxito, siendo k un valor
1,2,3,....está dada por :
P(X = k) = p (1 – p )k - 1 y resulta:
P(X
m ) = 1- (1 – p )m ;
E(X) =
1
; V(X) =
p
1
p
p
2
Notación : X ~ G(p)
Distribución de Poisson
Es la distribución de probabilidad de una variable discreta X que se utiliza para indicar el número de
ocurrencias de un suceso A en un intervalo de tiempo (o de espacio). Se cumplen:
La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de igual longitud.
La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en
cualquier otro intervalo.
Valores posibles de X: 0,1,2,3.....................
Si el valor esperado o cantidad promedio de ocurrencias en un intervalo es un número >0, la probabilidad de
que A suceda k veces en el intervalo dado, siendo k = 0,1,2,3.......... está dada por:
k
P( X = k ) =
Notación : X ~ P (
e
k!
resulta
E(X) =
, V(X) =
)
Los valores numéricos de las probabilidades, suelen calcularse por medio de calculadora, tablas o utilizando
un software para computadora.
Por ejemplo con Excel:
1. Seleccionar una celda donde se desea que aparezca la probabilidad Poisson.
2. Seleccionar: Insertar, Función, Estadísticas, POISSON esta función tiene tres argumentos:
POISSON(x;media;acumulado)
X es el número de sucesos.
Media es el valor numérico esperado.
Acumulado es un valor lógico que determina la forma de la distribución de probabilidad devuelta. Si el
argumento acumulado es VERDADERO, POISSON devuelve la probabilidad de Poisson de que un suceso
aleatorio ocurra un número de veces comprendido entre 0 y x inclusive; si el argumento acumulado es
FALSO, la función devuelve la probabilidad de Poisson de que un suceso ocurra exactamente x veces.
En muchos casos es el valor esperado en un intervalo unitario. Si se desea conocer la probabilidad de que el
suceso A ocurra k veces en un intervalo de longitud t >0, la variable a considerar ahora será X t que tendrá
una distribución de Poisson con parámetro t. X t ~ P ( t ).
Versión 2007
24
INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
CURSO DE ESTADÍSTICA
Distribución normal
Es la distribución más importante, corresponde a una variable continua que toma todos los valores reales y tal
que E(X) = , V(X) = 2. La desviación estándar es . El gráfico de su función de densidad es simétrico, el
área total bajo la curva es 1, y casi toda el área está comprendida entre x = - 3 y x = + 3 . A ambos lados
de , el área es 0.5.
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-3
-2
-1
0
1
-
2
3
+
Notación: Se indica X ~ N( , )
Distribución normal estándar
Corresponde al caso en que
= 0, y
= 1. Si bien hay un número ilimitado de distribuciones de probabilidad
X
normal, sin embargo, si X ~ N( , ), entonces, Z
~ N(0,1). Así las probabilidades pueden
calcularse sobre la base de la distribución normal estándar:
a
X
b
a
P( a < X ≤ b ) = P (
)=P(
Z
b
)
Esta igualdad se utiliza cuando se calculan probabilidades normales con tabla.
Si se utiliza Excel:
1. Seleccionar una celda donde se desea que aparezca la probabilidad normal
2. Seleccionar: Insertar, Función, Estadísticas, DISTR.NORM esta función tiene cuatro argumentos:
DISTR.NORM(x; media; desv_estándar; acum)
x es el argumento para el cual se desea obtener el valor de la función de distribución o el de la función de
densidad.
Media es la media de la distribución.
Desv_estándar es la desviación estándar de la distribución.
Acum es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento acum es VERDADERO, la
función DISTR.NORM devuelve la función de distribución acumulada; si es FALSO, devuelve la función de
densidad de probabilidad.
Distribución Uniforme
Es la distribución de una variable continua X que toma todos los valores en el intervalo [a, b]. Su función de
densidad f (x) es constante en [a, b] :
1
f ( x)
b
0
si x
a, b
si x
a, b
a
resulta
E(X) = (a+b)/2 , V(X) = (a-b)2 / 12.
La función de distribución de una variable aleatoria uniforme en el intervalo [a, b] es:
Versión 2007
25
INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
CURSO DE ESTADÍSTICA
0
x-a
F ( x)
si
x
a
si
a
x
si
b
x
b
b-a
1
Notación: Se indica : X~U[a,b]. Representa la analogía continua a la distribución de probabilidad discreta en
que los valores son igualmente probables.
Distribución exponencial
Es la distribución de una variable continua que toma solo valores no negativos. Esta variable aparece cuando
se considera el tiempo necesario para que un suceso A ocurra por primera vez.
e
Su función de densidad es f ( x )
0
x
si x
0
si x
0
Su función de distribución acumulada F(x) = P( X
0
F ( x)
1-e
si
x
.
x ) es:
0
resulta también
- x
si
x
E(X) = (1 / ), V(X) = (1 /
2
).
0
ε
Notación: Se indica X ~ ( ).
Los valores numéricos de las probabilidades, suelen calcularse por medio de calculadora, o utilizando un
software para computadora.
Por ejemplo con Excel: se puede utilizar siguiendo los pasos anteriores la función estadística : Gamma(1, )
donde es igual a la media es decir = 1/ .
Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial
Si X = tiempo que transcurre hasta que A ocurre por primera vez (o sea entre dos ocurrencias consecutivas
de A), y si
Yt = número de veces que ocurre A en el intervalo [0, t], se distribuye Poisson, Y t P( t),
Entonces X se distribuye exponencialmente con promedio = 1/ y la siguiente relación es válida:
P(X t) = P (Yt 1).
Versión 2007
26
INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
CURSO DE ESTADÍSTICA
PRÁCTICA 3
1. ¿Cuál de los siguientes es un experimento binomial?
a) Se reparten cuatro cartas, una a la vez extraídas sin reposición. , de una baraja americana de 52 naipes. Sea
X el número de ases extraídos
b) Se seleccionan cuatro cartas, una a la vez con reposición. , de una baraja
americana de 52 naipes. Sea X el número de ases extraídos.
2. En una ciudad se sabe que el 30% de los habitantes tiene cierto tipo de grupo sanguíneo. Se selecciona al
azar un grupo de 8 personas. Calcular, indicando la variable aleatoria que se utiliza, su distribución y sus
parámetros, las siguientes probabilidades:
a) Probabilidad de que por lo menos 2 tengan ese tipo de sangre. Rta: 0,7447
b) Probabilidad de que haya a lo sumo 3 tengan ese tipo de sangre. Rta: 0,8059
c) Probabilidad de que sólo uno de los seleccionados tenga ese tipo de sangre. Rta: 0,1977
Realice los cálculos correspondientes a) Utilizando Excel. b) Utilizando una tabla.
3. Una empresa compra remeras a un fabricante, a las que le imprimirá su propia marca. El fabricante asegura
que éstas prendas han sido inspeccionadas y que sólo el 10% puede tener algún defecto. Las prendas llegan en
cajas de 12. Sea x el número de remeras defectuosas encontradas en cualquier caja.
a) Enumere la distribución de probabilidad y trace el histograma de x.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja no contenga remeras defectuosas? Rta: 0,2824
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja no contenga más de una remera defectuosa? Rta:
d) Encuentre la media: y la desviación standard: de x. Rta: = 1,2 ; = 1,0392
e) Dada una caja cualquiera ¿Qué proporción de remeras defectuosas está entre
y + ? Rta:
60,67%
f) ¿Qué proporción de la distribución está entre - 2 y + 2 ? Rta: 97,44%
4. Dos de cada cinco chocolatines de una marca determinada, traen una sorpresa. Una señora compra un
chocolatín de esa marca para su hijo, y ante la insistencia del niño por obtener la sorpresa, acuerda con él,
que comprará un chocolatín por día hasta que obtenga la sorpresa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que compre chocolatines durante sólo 2 días? Rta: 0,24
a) ¿Cuál es la probabilidad de que compre chocolatines por lo menos durante 4 días? Rta: 0,216
5. Cierta clase de plantas florecen una vez por año, con flores rojas. Se sabe que hay una probabilidad de 1/5
de que se produzca una mutación, y aparezcan flores de color rojo
a) Calcular la probabilidad de que se produzca una mutación después de 4 años Rta: 0,4096
b) Calcular la probabilidad de que se produzca una mutación después de 4 años pero antes de los 7 años.Rta:
0,1475
6. Jimena debe llenar extensos formularios a mano sin equivocarse, lo que consigue en el 75% de las veces.
Ante el primer error deberá descartar ese formulario y completarlo nuevamente.
a) ¿Cuántos formularios espera llenar sin haber cometido ningún error? Rta: 4
b) ¿Qué probabilidad tiene Jimena de llenar exactamente 6 formularios seguidos sin equivocarse?
Rta: 0,0445
7. El número de colonias de bacterias de cierto tipo en unas muestras de agua contaminada tiene una
distribución de Poisson con una media de dos por centímetro cúbico.
a) Si se toman en forma independiente cuatro muestras de un centímetro cúbico de esta agua, encuentre la
probabilidad de que al menos una muestra tenga una o más colonias de bacterias.
b) ¿Cuántas muestras de un centímetro cúbico deben seleccionarse para tener una probabilidad de
aproximadamente 0.95, de encontrar al menos una colonia de bacterias?
Rta: 0.9997
b) n=2
Versión 2007
27
INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
CURSO DE ESTADÍSTICA
8. Los pasajeros de las aerolíneas llegan al azar e independientemente a la sección de documentación en un
gran aeropuerto internacional. La probabilidad de llegada en cualquier período de un minuto es la misma que
la de llegada en cualquier otro minuto. La frecuencia promedio de llegadas es de 10 pasajeros por minuto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue ningún pasajero en un intervalo de un minuto? Rta: 0,00004540
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen tres pasajeros o menos en un intervalo de un minuto? Rta: 0,0103
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue ningún pasajero en un intervalo de 15 seg. ? Rta: 0,0821
d) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue algún pasajero en un intervalo de 15 seg. ? Rta: 0,9179
9. El diámetro de unas tapas circulares es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo
(18mm, 22mm). Si el diámetro es mayor a 19mm, puede ajustarse la tapa al envase y se vende a $0,16. Si el
diámetro es menor a 19mm hay que descartar la tapa ocasionando una pérdida de $0,04. ¿Qué ganancia por
tapa se espera obtener? Rta: $0,11.
10. La hora de llegada al parador del ómnibus de las 22:20 horas pude considerarse que es una variable
aleatoria uniforme en el intervalo entre las 22:10 y 22:30 horas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ómnibus llegue al parador con siete o más minutos de adelanto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero que llegue al parador a las 22:22 horas no pierda el
ómnibus?
Respuesta:
a) 0,15 b) 0,40
11. La mayoría de los lenguajes de cómputo tienen una función para generar números aleatorios. En Excel, de
Microsoft, se usa la función ALEATORIO para generar números aleatorios entre 0 y 1. Si x representa el
número aleatorio generado, debe ser una variable continua con la siguiente función de densidad de
probabilidad:
1 si 0 x 1
f ( x)
a) Grafique la función de densidad de probabilidad.
0 en otro caso
b) ¿Cuál es la probabilidad de hallar un número aleatorio entre 0.25 y 0.75?
c) ¿Cuál es la probabilidad de generar un número aleatorio con valor mayor que 0.60?
d) Utilizando Excel genere 100 valores aleatorios entre 0 y 1, y realice un histograma con 10 intervalos de
clase de longitud 0,1.
12. Con frecuencia se supone que los tiempos de espera siguen una distribución exponencial de probabilidad.
Un estudio de tiempos de espera en restaurantes de comida rápida, efectuado por The Orlando Sentinel en
Octubre de 1993, demostró que el tiempo promedio de espera para recibir la comida, después de hacer el
pedido en Burger King, Mc.Donald’s y Wendy’s era de 60 segundos. Suponga que se aplica a los tiempos de
espera una distribución exponencial de probabilidad.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere 30 segundos o menos? Rta: 0,3934
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere 45 segundos o menos? Rta: 0,5276
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere más de dos minutos? Rta: 0,1353
13. Según una encuesta realizada en Estados Unidos (Barron’s, Encuesta Primaria entre Suscriptores, 1995),
el 69,5% de los suscriptores de Barron’s tiene una computadora personal en su casa. Los que la tienen la usan
un promedio de 7,4 horas semanales. La cantidad de horas de uso sigue aproximadamente, una distribución
exponencial.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor use 3 horas semanales o menos una computadora personal
en casa?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor pase más de 10 horas semanales usando una computadora
personal en casa?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor use de 3 a 10 horas su computadora personal en casa?
14. Un rollo de tela se corta al encontrarse una falla. El número de fallas responde a una variable Poisson de
promedio = 1/200m.
Versión 2007
28
INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
CURSO DE ESTADÍSTICA
a) ¿Cuál es la longitud media de los rollos de tela? Rta: 200 metros.
b) ¿Qué porcentaje de rollos medirá menos de 100 metros? Rta: 39,35 %
15.
a1)
a2)
a3)
a4)
a) Sea Z una variable aleatoria con distribución N (0,1) , halle:
P[Z <1]
Rta. 0.8413
P[Z >1]
Rta. 0.1587
P[-1.5 < Z < 0.5]
Rta. 0.6247
P[ |Z | < 0.5 ]
Rta. 0.3830
b) Sea X una variable aleatoria con distribución N (10, 2), halle:
b1) P[8 < X < 12]
Rta. 0.6826
b2) P[9 < X ]
Rta. 0.6915
b3) P[X < 13 ]
Rta. 0.9332
c) Sea Z una variable aleatoria con distribución N ( 0,1 ) halle a tal que:
c1) P [Z < a ] = 0.5
Rta. 0
c2) P [Z < a ] = 0.8749
Rta. 1.15
16. Las lecturas del colesterol (en mg/dl) correspondientes a personas adultas de un grupo de edad particular,
están distribuidas normalmente con media 210 y desviación estándar 15. ¿Qué porcentaje de esta población
tiene lecturas.
a) mayores que 250?. Rta: 0,38%
b) mayores que 192?. Rta: 88,49%
17. Los tiempos en realizar un proceso están distribuidos normalmente con una desviación estándar de 2,5
minutos. Obtenga el tiempo medio de duración para realizar dicho proceso si sólo el 2,28% tarda menos de 15
minutos. Rta: 20 minutos.
18. Una fábrica produce piezas cuyos diámetros siguen una distribución normal con media 5 cm. y desvío
estándar 0,001cm. El diámetro de los mismos debe encontrarse entre 4,998 y 5,002 cm. Las piezas que estén
bajo medida deben desecharse y las que estén sobre medida pueden reprocesarse con un costo adicional.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que alguna pieza deba reprocesarse con un costo adicional? Rta: 0,0228
b) ¿Cuál es la probabilidad de que alguna pieza deba desecharse? Rta: 0,0228.
c) Discuta los resultados obtenidos.
19. Por lo general, los promedios finales están distribuidos de manera normal aproximadamente, con media
72 y desviación estándar 12,5. Un profesor afirma que el 8% superior de un grupo recibirá MB (muy bien); el
siguiente 20%, B (bien); el siguiente 42%, M (mediano); el siguiente 18%, S (suficiente); y el 12% inferior, I
(insuficiente). ¿ Qué promedio
(a) debe excederse para obtener MB?
(b) debe excederse para obtener una calificación mejor que M?
(c) debe obtenerse para aprobar el curso? (Se necesita al menos S).
Problemas con respuesta
20. El índice de supervivencia Y, durante una operación riesgosa, para pacientes desahuciados es de 80%.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 5 pacientes, exactamente cuatro sobrevivan?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 5 pacientes a lo sumo cuatro sobrevivan?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 5 pacientes al menos cuatro sobrevivan?
d) Calcule la media y la desviación estándar de esta distribución.
Rta:a) 0.41
b) 0.672
c) 0.738
d) E(Y)=0 4
V(Y)=0.8
DS(Y)=0.894
Versión 2007
29
INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
CURSO DE ESTADÍSTICA
21. En “tiempo ocupado” un conmutador telefónico está muy cerca de su capacidad, por lo que los usuarios
tienen dificultad al hacer sus llamadas. Si la probabilidad de conseguir un enlace telefónico durante el tiempo
que está ocupado es de 0,05. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten cinco intentos para una llamada
exitosa?. Rta:0,041
22. Si X~ U(-2;2)
a) Obtenga la función de distribución F(x) de la variable aleatoria X.
b) Utilice F(x) para hallar P(X ≤3/4)
Rta: 0.6875
c) Utilice F(x) para hallar P(X >1,3).
Rta: 0.175
d) Utilice F(x) para hallar P(1/4< X ≤3/4)
Rta: 0.125
23. Una compañía de taxis tiene un promedio de 10 pinchaduras de goma por semana. ¿Cuál es la
probabilidad de tener 20 o más pinchaduras en la próxima semana? Rta:0.004
24*. La reacción en tiempo de ciertos gatos a un estímulo determinado es N(0.1; 0.013). Se eligen 3 gatos en
forma independiente y se los somete a dicho estímulo. Hallar la probabilidad de que:
a) los 3 respondan en menos de 0.126 segundos.
Rta: 0.93329
b) por lo menos uno, en más de 0.113 segundos.
Rta: 0.4045
25. Un empresario de la industria alimenticia asegura que sólo el 10% de sus frascos de café instantáneo
contienen menos café del que se garantiza en la etiqueta. De ser cierta la afirmación del empresario, ¿cuál es
la probabilidad de tener que revisar a lo sumo 10 frascos para encontrar el primero que contenga menos café
del que indica la etiqueta?
Respuesta: 0.6513
26. La probabilidad de que en un establecimiento industrial, el consumo de agua no sobrepase los 5000 litros
diarios es 0,8. Calcule la probabilidad de que, en más de la mitad de los próximos seis días, el consumo no
sobrepase esa marca, si se supone que el consumo de un día es independiente del consumo de otro día.
Rta: 0.9011
27.- En un establecimiento los arribos se producen a la Poisson a razón de 0,7 automóviles por minuto.
Calcule la probabilidad de que, en un periodo de 5 minutos, lleguen
a) 4 automóviles.
Rta: 0.1888
b) a lo sumo 4 automóviles. Rta: 0.7254
28. Las personas que viven en determinada ciudad tiene una media de 40 y un desvío estándar de 5 con
respecto a la preocupación por el medio ambiente. Suponga que los valores referidos a esta preocupación
están normalmente distribuidos.
a) ¿Qué porcentaje de personas presenta un registro menor a 42?
Rta: 0,6554
b) ¿Qué porcentaje de personas presenta un registro mayor a 47?
Rta: 0,0808
c) ¿Qué porcentaje de personas presenta un registro entre 32 y 48?
Rta: 0,8904
29. La longitud de un pan de manteca cortado por determinada máquina tiene distribución uniforme en el
intervalo entre 8,5 y 8,6 cm.
a) ¿Qué porcentaje de panes de manteca tendrá una longitud superior a 8,56 cm? Rta: 40 %
b) ¿Qué longitud de los panes es superada sólo por el 20% de los mismos?
Rta: 8,58 cm
30. Se estima que el número de personas que llegan a pagar diferentes tipos de impuestos y servicios a la
única caja habilitada de una sucursal bancaria número "U" sigue una distribución de Poisson. También se
estima que llegan en promedio tres personas cada 5 minutos. Halle:
a) La probabilidad de que a esa caja lleguen menos de 3 personas en 5 minutos. Rta: 0,4232
b) La probabilidad de que llegue más de una persona en un minuto. Rta: 0,1219
31. La probabilidad de que en una galería de arte entren menos de 2 personas entre las 14 y las 15 horas es de
0,3. Calcule la probabilidad de que
Versión 2007
30
INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
CURSO DE ESTADÍSTICA
a) en tres de los cuatro sábados de un mes entren menos de 2 personas entre las 14 y las 15 hs.
b) en alguno de los sábados de ese mes entren 2 personas o más entre las 14 y las 15 hs.
Rta: 0,0756
Rta: 0,0837
32. Juan compra dos pilas de distinta marca cuyas duraciones son variables exponenciales con medias 30
horas y 40 horas, respectivamente. Halle la probabilidad de ambas duren más de 35 horas. Rta: 0,1298
33. El diámetro D de una clase de agujas de platino de precisión puede considerarse una variable aleatoria con
distribución uniforme entre 1 y 4 mm. Si el diámetro D está entre 1,5 y 3 mm., la aguja se vende a $ 3 en caso
contrario no es aceptada por el comprador y debe volver a fundirse. Halle la ganancia esperada por aguja si el
costo por aguja es de $1. Rta: $0,5
34. La duración de una pintura impermeabilizante de terrazas, es una variable normal con media 4 y desvío 1.
Calcule la probabilidad de que un trabajo efectuado con esa pintura dure:
a) menos de 4,5 años b) más de 6 años c) entre 5 y 7 años.
Rta: a) 0,6915 b) 0,0228 c) 0,1573
35. La probabilidad de que Ana llegue tarde un día al colegio es 2/5. Si cada vez que llega temprano en su
casa le dan como estímulo $1, y no recibe nada el día que llega tarde, halle la probabilidad de que :
a) en una semana de clases llegue más de 2 veces temprano.
Rta: 0,3174
b) en una semana de clases reciba $ 3.
Rta: 0,2304
36. El tiempo entre dos asaltos en la calle que sufre una señora que vive en un barrio inseguro se puede
considerar que se distribuye exponencialmente con una media de dos meses y medio. Si acaba de ser asaltada,
a) ¿cuál es la probabilidad de que no vuelva a ser asaltada en los próximos tres meses? Rta: 0,3012
b) ¿cuál es la probabilidad de que transcurran no menos de dos meses y no más de cinco hasta el
próximo asalto? Rta: 0,3140
c) ¿cuánto tiempo transcurrirá para qué, con una seguridad del 90%, no vuelva a ser asaltada?
Rta: aproximadamente ocho días.
37. Suponga que se está diseñando un panel de instrumentos para una gran máquina industrial que requiere
un alcance de 59 cm desde determinada posición. Se sabe que el alcance desde esa posición para adultos
presenta una media de 80 cm con un desvío estándar de 15 cm y distribución normal. Si se implementa este
diseño, ¿qué porcentaje de operarios no podrá trabajar con ese panel de instrumentos? Rta: 0,0808
38. El 75% de los alumnos que cursan Estadística aprueban el parcial. ¿Cuál es la probabilidad de que en una
muestra de doce haya ocho que aprueben ese parcial? Rta: 0,1936
39. El tiempo entre llegadas de mensajes electrónicos a una computadora tiene una distribución exponencial
con media 10 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que esperar más de una hora para recibir un mensaje?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar a lo sumo una hora? Rta: a) 0.00257 b) 0.99743.
40. El tiempo de espera en horas entre dos conductores sucesivos que rebasan la velocidad máxima y son
identificados por una unidad de radar, es una variable aleatoria continua X con función de distribución
acumulada:
0
F ( x)
1- e
- 8x
si x
0
si x
0
Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre dos infractores sucesivos. Rta:0.7981
4. Se ha determinado que el diámetro de ciertos tornillos es una variable aleatoria normal de media 3 cm y
varianza 0.0016 cm2. Determine el porcentaje de tornillos que estará fuera de especificación si ésta es de 3
cm más o menos 1mm.
Rta: 1,24%
Versión 2007
31
INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
CURSO DE ESTADÍSTICA
42. El tiempo de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan concreto hacia una obra de
construcción en una carretera, está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. ¿Cuál es la
probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos y menor a 55 minutos? Rta:1/2
43. El número de defectos en un cierto tipo de tela manufacturado por una empresa admite un promedio de
0.5 fallas por yarda cuadrada. Halle la probabilidad de que en una yarda cuadrada haya 2 o menos defectos.
Rta: 0.9856
44. Si la probabilidad de acierto al disparar sobre un blanco es 1/5 y se efectúan 10 disparos, ¿cuál es la
probabilidad de que:
a) por lo menos dos den en el blanco?
Rta: 0.6242
b) por lo menos dos den en el blanco, si se sabe que por lo menos uno lo hizo? Rta: 0.699
45. Se sabe que cierto en proceso de fabricación, en promedio, uno de cada 100 artículos fabricados es
defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto artículo que se inspecciona sea el primer defectuoso que
se encuentra? Rta: 0,0096
46. Un tipo particular de raqueta de tenis se fabrica en tamaños pequeño, mediano y grande. El 60% de todos
los clientes de cierta tienda buscan el tamaño grande. En el día de mañana ese comercio abrirá con un stock
de raquetas de tamaño grande de sólo una. ¿Cuál es la probabilidad de que sea el tercer cliente, que mañana
compre una raqueta en esa tienda, el que se la lleve?
Rta: 0.0960
47. Un director regional tiene la responsabilidad del desarrollo de una empresa, y le preocupa la cantidad de
quiebras de empresas pequeñas. Si la cantidad promedio de quiebras de empresas pequeñas por mes es de 10,
¿cuál es la probabilidad de que quiebren exactamente cuatro empresas pequeñas en un mes? Suponga que la
probabilidad de una quiebra es igual en dos meses cualesquiera, y que la ocurrencia o no ocurrencia de una
quiebra en cualquier mes es independiente de las quiebras en los demás meses. Rta: 0,0189
48. Las moléculas de un gas raro se encuentran a razón promedio de una por dm³ de aire. La cantidad de
moléculas en un dm³ de aire se puede considerar que es una variable aleatoria Poisson. Suponga que se quiere
tomar una cantidad suficientemente grande de aire para tener una alta probabilidad de encontrar al menos una
molécula de este gas en la muestra.
a)
Halle la probabilidad de encontrar en un dm³
i) ninguna molécula.
Rta: 0.367829
ii) exactamente una molécula.
Rta: 0.367879
b)
¿Qué volumen debe tener la muestra de aire para que la probabilidad de encontrar al menos una
molécula de este gas sea 0.99 como mínimo?
Rta: 4,6052 dm³
49. La distribución de la vida durante la cual cierta marca de computadora funciona correctamente –es decir,
horas de operación eficaz antes de la primera descompostura- es exponencial con una media de 360 horas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la computadora funcione correctamente más de 720 horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la computadora funcione correctamente menos de 180 horas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la computadora funcione correctamente entre 198 y 747 horas?
Respuesta:
a) 0,3935
b) 0,1353
c) 0,4514
50. La cantidad de partículas emitidas por una fuente radiactiva sigue una distribución de Poisson con
promedio, 5 cada 10 segundos.
a) Halle la probabilidad de que en diez segundos hayan sido emitidas por lo menos 2 partículas por la fuente
b) Halle la probabilidad de que en un segundo hayan sido emitidas a lo sumo 2 partículas por la fuente .
Rta: a) 0,9596
b) 0,9856
51. Para pagar un impuesto un banco ha habilitado solamente la caja 1 y el tiempo que tarda una persona en
ser atendida en esta caja es una variable exponencial , con promedio de 4 min. Calcular:
a) La probabilidad de que una persona que va a pagar ese impuesto tenga que esperar a lo sumo 5 min.
Versión 2007
32
INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
CURSO DE ESTADÍSTICA
b) La probabilidad de que una persona que va a pagar ese impuesto tenga que esperar por lo menos 3 min.
Rta: a) 0,7135 b)0,4724
52. El ancho de unas hojas de papel para un tipo especial de foto sigue una distribución uniforme en el
intervalo [249mm ; 253mm]. Si la hoja mide más de 25cm de ancho se vende a $0,06 por unidad mientras que
si mide menos de 25cm se vende a $0,07 por unidad. Halle la ganancia esperada por hoja si el costo por
unidad es fijo de $0,005. Rta: 0,0575
53*. A causa de su trabajo, una noche por semana José debe regresar más tarde a su casa. Por ese motivo, ha
resuelto cenar afuera con sus compañeros de trabajo. Acostumbran a cenar el restaurante “A” o en el
restaurante “B”. Para decidir a qué restaurante van, arrojan un dado al aire tantas veces hasta que salga un 3,
allí dejan de jugar y observan la cantidad de veces que jugaron: si jugaron menos de 3 veces van al restaurante
“A”, en caso contrario van al restaurante “B”.
a) ¿Qué probabilidad tiene José de comer en el restaurante “B” una noche cualquiera en la que va a comer
con sus compañeros? Rta: 0,6667
b) ¿Cuántas veces en promedio en un mes de 4 semanas van a cenar al restaurante A? Rta: aprox dos veces
(2,22)
54*. La longitud de unas agujas de coser de un lote sigue una distribución uniforme entre 4,99cm y 5,01cm.
Alicia quiere comprar una aguja, pero dispone para guardarlas de una caja cuadrada de 5cm de lado
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una aguja elegida al azar quepa en la caja? Rta: 0,5 cm
b) Si decide ir probando agujas del lote hasta conseguir una que quepa en su caja. ¿Cuántas agujas espera
probar hasta encontrar una que entre en la caja?. Rta: 2
Distribuciones útiles para la resolución de los problemas:
Distribución Binomial : 2, 3, 20, 24*, 26, 31, 35, 38, 44, 53*
Distribución Geométrica: 4, 5, 6 21, 25, 45, 46, 53*, 54*
Distribución de Poisson: 7, 8, 23, 27, 30, 43, 47, 48, 50
Distribución Uniforme: 9, 10, 11, 22, 29, 42, 33, 52, 54*
Distribución Exponencial: 12, 13, 14, 25, 32, 36, 39, 40, 49, 51
Distribución Normal: 15, 16, 17, 18, 19, 24*, 28, 34, 37, 41,
Versión 2007
33