Download varianza de la distribución muestral de la media

1.4.Distribuciones muestrales.
Conceptos. Distribuciones de
algunos estadísticos muestrales
28
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE ESTADÍSTICOS
ESTADÍSTICOS
V.A.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
La distribución muestral de un estadístico puede ser obtenida
tomando todas las posibles muestras de un tamaño fijo n,
calculando el valor del estadístico para cada muestra y
construyendo la distribución de estos valores.
Por ejemplo:
X
Estadístico muestral
Tomando todas las muestras posibles
de tamaño n y calculando para cada
una de ellas la X
X
distribución muestral de la media muestral
S2
distribución muestral de la varianza muestral
29
ESTADÍSTICA III
X
ni
9
1
10
2
12
1
14
1
x  
5
i 1
X= nº de horas de apertura de tiempo
9 x110 x 212 x114 x1
xi

 11
5
N
Por término medio están abiertas 11 horas
 
2
2
(
x


)
 i x
N
(9  11) 2  (10  11) 2 x 2  (12  11) 2  (14  11) 2 16


 3.2   x2
5
5
30
ESTADÍSTICA III
¿ Si tomamos muestras de tamaño n=3?
Y calculamos la
Distribución muestral de la media
x
31
ESTADÍSTICA III
12,10,14
Distribución muestral de
xi
muestras
12  10  14
 12
3
x
ni
X i  X 
10.6
9.6
1
0.1
12,14,9
11.6
10.3
2
0.2
12,14,10
12
10.6
1
0.1
12,9,10
10.3
11
2
0.2
10,14,9
11
11.3
1
0.1
10,14,10
11.3
11.6
1
0.1
10,9,10
9.6
12
2
0.2
14,9,10
11
12,10,9
10.3
12,10,10
x
10
Toda distribución muestral tiene unas características, p.e. la
media o la varianza
E ( x)
Var (
x)
Media de la distribución muestral de la media
Varianza de la distribución muestral de la media
32
ESTADÍSTICA III
Ejercicio
X= Nº de días que han faltado al trabajo 50 trabajadores
X
n
P(x)
1
25
25/50=0.5
2
20
20/50=0.4
3
5
5/50=0.1
Obtener:
-La media poblacional
-La varianza poblacional
-La distribución muestral de la media n=2
-La media de la distribución muestral de la media
 x    x
-La varianza de la distribución muestral de la madia
Var ( x )   x2
33
ESTADÍSTICA III
X P(x)
1 0.5
2 0.4
media poblaciona l
 x   1 * 0.5  2 * 0.4  3 * 0.1  1.6
3 0.1
1 * 25  2 * 20  3 * 5
 1.6
50
varianza poblaciona l
 x    
 x2  1  1.62 * 0.5  2  1.62 * 0.4  3  1.62 * 0.1  0.44
ó tambien

2
x
2

1  1.6  * 25  (2  1.6) 2 * 20  (3  1.6) 2 * 5

 0.44
50
34
ESTADÍSTICA III
Distribución muestral de la media n=2
Muestras
Xi
X
P(X=Xi)
1,1
1
1
0.25
1,2
1.5
1,3
2
1.5
0.4
2,1
1.5
2,2
2
2
0.26
2,3
2.5
3 ,1
2
2.5
0.08
3,2
2.5
3,3
3
3
0.01
P ( X  1)  P ( X 1  1, X 2  1)  P ( X 1  1) * P( X 2  1)  0.5* 0.5  0.25
p( X  1.5)  P( X 1  1, X 2  2)  P( X 1  2, X 2  1)  0.5* 0.4  0.4 * 0.5  0.4
P ( X  2)  P( X 1  1, X 2  3)  P( X 1  2, X 2  2)  P( X 1  3, X 2  1)  0.5* 0.1  0.4 * 0.4  0.1* 0.4  0.26
P ( X  2.5)  P ( X 1  2, X 2  3)  P ( X 1  3, X 2  2)  0.4 * 0.1  0.1* 0.4  0.08
P ( X  3)  P( X 1  3, X 2  3)  0.1* 0.1  0.01
35
ESTADÍSTICA III
 (x )
X
P( X  x )
1
0.25
1.5
0.4
2
0.26
2.5
0.08
3
0.01
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
DE LA MEDIA
MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
 X  ( X )  1* 0.25  1.5* 0.4  2 * 0.26  2.5* 0.08  3* 0.01  1.6

 X  ( X )  1.6   X  ( X )  1.6
"LA MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
ES IGUAL A LA MEDIA POBLACIONAL"
36
ESTADÍSTICA III
VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
X
P(X  x)
1
0.25
0.1
0.4
2
0.26
2.5
0.08
3
0.01
 x2  Var (x)  (1-1.6) 2 * 0.25  (1.5  1.6) 2 * 0.4  (2  1.6) 2 * 0.26  (2.5  1.6) 2 * 0.08  (3  1.6) 2 * 0.01  0.22
 x2  Var ( x )  0.44   x2  Var ( X )  0.22
Var ( X ) 
Var ( x )
n
 x2 
 x2
n

0.44
2
LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ES IGUAL A
LA VARIANZA POBLACIONAL ENTRE EL TAMAÑO DE LA MUESTR
 x2 
 x2
n
37
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA CUASIVARIANZA  Sˆ
2
2
muestras
X
(1,1)
1
(1,2)
1.5
(1,3)
2
(2,1)
1.5
(2,2)
2
(2,3)
2.5
(3,1)
2
(3,2)
2.5
(3,3)
3
S
(1  1) 2  (1  1) 2
0
2 1
(1  1.5) 2  (2  1.5) 2
 0. 5
2 1
(1  2) 2  (3  2) 2
2
2 1
0.5
0
0.5
2
0.5
0
38
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANZA
S2
P(S 2  s 2 )
0
0.42
0.5
0.48
2
0.10
Distribuci ón muestral de la Varianza
con media (S 2 ) y varianza Var(S 2 )
P( S 2  s 2 ) 
P( S 2  0)  P(1,1)
 P(2,2)  P(3,3)
 0.5 * 0.5  0.4 * 0.4  0.1 * 0.1  0.42
P( S 2  0.5)  P(1,2)  P(2,1)  P(2,3)  P(3,2)
 0.5 * 0.4  0.4 * 0.5  0.4 * 0.1  0.1 * 0.4  0.48
P(S 2  2)  P(1,3)  P(3,1)
 0.5 * 0.1  0.1 * 0.5  0.10
39
ESTADÍSTICA III
Obtener la MEDIA de la Distribución Muestral de la Varianza
S2
P(S 2  s 2 )
( S 2 )   s 2 
0
0.42
0 * 0.42  0.5 * 0.48  2 * 0.10  0.44
0.5
0.48
 x2  Var ( x)  0.44
2
0.10
E ( S 2 )   s 2  0.44
“La media de la distribución muestral de la varianza es igual a la
varianza poblacional”
OBTENER LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA
VARIANZA
 S2  Var ( S 2 )  (0  0.44) 2 * 0.42  (0.5  0.44) 2 * 0.48  (2  0.44) 2 * 0.10  0.32
2
Var ( S 2 ) 
4
n

3 n
4
n ( n  1)
40
ESTADÍSTICA III
POB
DIST. MUESTRAL
X
X
DIST. MUESTRAL
S2
Media
x  ( x )  1.6
x  E ( x )  1.6
s  E ( s 2 )  0.44
Varianza
 x2  Var( x )  0.44
 x2  Var( x )  0.22
 s2  Var( s2 )  0.32
s
2
RELACIONES
1.  E(X)  E(X)   x
VAR(X)  x2
2.  VAR(X) 

n
n
3.  E(S2 )  VAR( X )   x2
4
3 n 4
4.  VAR(S ) 


n n 1
2
x   x
 
2
x
 x2
n
S   x2
2
 s2  ..........
2
41
ESTADÍSTICA III
DEMOSTRACIÓN RELACIONES
E( X )     X
teniendo en cuenta que :
E(x)    E ( x1 )  E ( x 2 )  .........  E ( X n )
E( X )  E(
x1  x 2  ............  x n
)
n
1
E x1  x 2  ................  x n  
n
1
E ( x1 )  E ( x2 )  .........  E ( xn ) 
n
1
1
    .............     n 
n
n

42
ESTADÍSTICA III
VAR( X ) 
2
n
Teniendo en cuenta que:
VAR(x1 )  VAR( x2 )  ...............VAR( x)   x2
 x1  x2  .......... xn 
VAR( X )  VAR 

n


1
VAR  x1  x2  .......... xn  
2
n
1
VAR( x1 )  VAR( x2 )  ......VAR( xn )  
2 
n
1
2
2
2





..........


x
x
2  x

n
2
1

2
x
n


x
n2
n
43
ESTADÍSTICA III

6 
X  N 100,

n

  
X   ,

n


6 
N 100,

110 

n  100

6 
N 100,

25 

n  25
100
X
44
ESTADÍSTICA III
Cuanto mayor sea el tamaño muestral “n” menor sera la VAR(X), menor será
la dispersión de x en torno a la media poblacional μ

n
n
n

n
5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
5.38
3.79
2.68
2.19
1.89
1.69
1.55
1.43
1.26
1.20
n    precisión?
45
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANZA
– Si (X1,X2,……,Xn) es una muestra aleatoria de tamaño n,procedente
de una población X, con VAR(X)= σ2 entonces:
• La varianza de la distribución muestral de la varianza S2 es
igual a la varianza poblacional σ2 y la varianza de la distribución
muestral de la varianza es función del momento central de
orden cuatro:
E(S 2 )   2
Var ( S 2 ) 
4
n

3 n
4
n( n  1)
Var ( S 2 ) 
46
E ( S 2 )   x2
1 n
1 n
2
Sˆ 2 
(
x

x
)

( xi      x ) 2
i


n  1 i 1
n  1 i 1
2
1 n
x



x









i



n  1 i 1
1 n 
2
2
x



x


 2  xi    x    





i


n  1 i 1
n
1  n

2
2
x



n
x



2
x


x












i
i

n  1  i 1
i 1

x
x
i
n
  xi  x .n
1  n

2
2
x



n
x



2
x


nx

n








 i

n  1  i 1

1  n
2
2
2
x



n
x


2
n
x








 i

n  1  i 1

1  n
2
( xi   ) 2  n  x    


n  1  i 1

1 n
n
2
2
x



x






 i
n  1 i 1
n 1
E(S2 )   2
S
2
47
ESTADÍSTICA III
2
1 n
n
2




S 
x



x


 i
n  1 i 1
n 1
2
 
ES
VAR(X)
2
n
 1 n
2
2




 E
x



x


 i

n 1
 n  1 i 1

1 n
n
2



x



E x   

i
n  1 i 1
n 1
2
VAR(x)
1
n 2
n
2
2
2
n 

 
n 1
n 1 n
n 1
n 1
n  1 2   2  E ( S 2 )
n  1
E (S 2 )   2
48
ESTADÍSTICA III

x
N
n
2
P.I.
S2
X  N ( , )
x1 ,........, x n  N  ,  
ˆ
X  N(....,.....)
  x2 

X  N  ,
n 

E( X )  
VAR( X ) 
2
n
Pˆ  ........,.....
xˆ1 , xˆ 2  ........,....
49
ESTADÍSTICA III
  
Si X  N( ,  )  X  N  ,

n

  
Si X   ,    X  N   ,

 Xn
n  30
  
x
Si X  N  ,
  Z 
 N (0,1)

n

n
Ejemplo gráfico de distribución poblacional y
Evolución de la distribución muestral de
x
50
ESTADÍSTICA III
1. Distribución poblacional (no es normal)
2. Distribuci ón muestral de X para n  5
3.Distribuci ón muestral de X para n  15
x
X
X
51
ESTADÍSTICA III
4. Distribuci ón muestral de X para n  30
Aproximadamente normal
5. Distribuci ón muestral de X para n  70
X
Aproximadamente normal
X
52