Download Geometría GRADO 8

Colegio BOLIVAR
ÁREA DE MATEMÁTICAS
Geometría
Lady Arismandy
Cohete - AVANZAR
GRADO
8
PRIMER PERIODO
2008
PRIMER periodo
GEOMETRÍA
ALGEBRA
MATEMÁTICAS
PRESABERES
•
Aproximación histórica.
La historia del origen de la geometría está asociada a la solución de problemas
concretos, es decir, los conceptos de la geometría son consecuencia de las actividades prácticas que realizaba el hombre. Una de estas actividades era la
medición de la Tierra, de allí el origen etimológico de la palabra geometría: geo,
tierra y metrón tierra.
Los egipcios son considerados los primeros geómetras de la historia, ellos se
centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes.
La geometría se convierte en un sistema deductivo con los griegos, pero es
sobre todo al matemático griego Euclides, a quien se deben las primeras demostraciones rigurosas y organizadas.
Euclides es famoso por su obra titulada los Elementos, la cual está constituida
por 13 libros que se han utilizado como textos de estudio por cerca de 2000
años.
Otros matemáticos que han hecho aportes importantes a la geometría son: Pitágoras (580 a. de C), Arquímedes (287 a. de C.) Riemann (1826-1866).
PRESABERES
Un ángulo es la unión de dos semirrectas con un punto común. Las semirrectas
son los lados del ángulo y el punto común es el vértice.
Para nombrar un ángulo, se ubican dos puntos sobre las semirrectas y se nombran los tres puntos de tal manera que el vértice quede en el centro: ∠ABC
. Por ejemplo, el ángulo dibujado se nombra ∠ABC . También puede usarse la
letra que corresponde al vértice ∠B o una letra griega como α .
102
Colegio BOLIVAR
Para tener en cuenta: Dos ángulos que tienen la misma amplitud o
abertura, se dice que son congruentes
MATEMÁTICAS
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.
Los ángulos se clasifican según su medida, según su suma, y según su
posición.
Ahora, según su medida los ángulos se clasifican de la siguiente manera:
ALGEBRA
Según su suma, los ángulos se clasifican de la siguiente manera:
103
Geometría
MATEMÁTICAS
PRIMER periodo
Según su posición los ángulos se clasifican en:
Para tener en cuenta:
Complemento de un ángulo es lo que le falta para completar 90º.
Suplemento de un ángulo es lo que le falta para completar 180º.
Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.
CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO
1. Construir con el transportador cada uno de los siguientes ángulos:
a. 45º
b. 76º
c. 125º
d.90º
e. 36º
f. 150º
g. 176º
h. 20º
2. De acuerdo con la siguiente figura nombrar ángulos para cada
condición dada.
a. agudo b. recto
c. obtuso d. complementarios e. adyacentes.
104
Colegio BOLIVAR
MATEMÁTICAS
3. Medir los siguientes ángulos, luego, clasificarlos según su medida.
4. Construir el suplemento de cada uno de los siguientes ángulos.
Geometría
5. Escribir V, verdadero, F, falso, según corresponda. Para cada caso justifique su respuesta.
a. Si dos ángulos son complementarios, entonces son agudos.
b. Dos ángulos rectos son congruentes.
c. Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.
d. Algunos ángulos adyacentes son suplementarios.
e. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
6. Los ángulos ∠PQR y ∠SQT son opuestos por el vértice. Hallar la medida de los cuatro ángulos indicados para cada condición.
105
Geometría
MATEMÁTICAS
PRIMER periodo
7. Resolver cada situación y justificar la respuesta.
a. Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos mide 40º más que el
otro. ¿Cuál es la medida de cada ángulo?
2
b. la medida de un ángulo es de su complemento. ¿Cuál es la medida
3
de cada ángulo?
CONCEPTUALIZACIÓN
Una secante es una recta que corta dos o más rectas coplanarias (que
están en un mismo plano) en puntos distintos.
Rectas paralelas son aquellas que no tienen ningún punto en común, o son coincidentes. Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman ocho ángulos, los cuales se clasifican según posición.
Ángulos determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal
Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera determinan ocho ángulos.
106
Colegio BOLIVAR
De acuerdo a la posición de los mismos se clasifican en:
• Ángulos interiores y exteriores • Ángulos correspondientes
• Ángulos alternos • Ángulos conjugados
MATEMÁTICAS
Ángulos interiores
Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas
se llaman ángulos interiores.
Ángulos exteriores
Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores.
Geometría
Ángulos correspondientes
Si dos ángulos están ubicados de un mismo lado de la transversal, uno es
interior y el otro es exterior, se los llama ángulos correspondientes.
107
Geometría
MATEMÁTICAS
PRIMER periodo
Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos
correspondientes iguales, las rectas son paralelas.
Ángulos alternos internos
Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la
transversal y ambos son internos, se los llama ángulos alternos internos.
Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos
alternos internos iguales, las rectas son paralelas.
Ángulos alternos externos
Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la
transversal y ambos son externos, se los llama ángulos alternos externos
108
Colegio BOLIVAR
MATEMÁTICAS
Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos
alternos externos iguales, las rectas son paralelas.
PARA TENER EN CUENTA:
•
tes.
•
tes.
•
Cada par de ángulos alternos interiores o internos son congruenCada par de ángulos alternos exteriores o externos son congruenCada par de ángulos correspondientes son congruentes.
CONCEPTUALIZACIÓN
Geometría
1. Señalar en cada gráfico, una pareja de ángulos con cada condición dada
109
PRIMER periodo
MATEMÁTICAS
2. En la siguiente figura, l II m, s y t son secantes. ∠1 = 35 º y ∠2 = 130º
Ahora, escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda
Geometría
3. En la figura l II m, t es una secante y ∠1 ≅ ∠2
Halla la medida de los siguientes ángulos y justifica la respuesta
110
Colegio BOLIVAR
TRIÁNGULOS
MATEMÁTICAS
Un TRIÁNGULO es la región del plano limitada por tres rectas que se
cortan dos a dos. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices del triángulo. Los segmentos determinados por los vértices son
los lados, los cuales se nombran con la misma letra del ángulo opuesto
pero en minúscula.
Geometría
Según sus lados
• Equilátero: tres lados iguales
• Isósceles: dos lados iguales.
• Escaleno: tres lados desiguales
Según sus ángulos
• Acutángulo: tres ángulos agudos
• Rectángulo: un ángulo recto
• Obtusángulo: un ángulo obtuso
111
PRIMER periodo
Geometría
MATEMÁTICAS
Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo
Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a
180º.
Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene
un ángulo llano.
Propiedad del ángulo exterior
Teorema: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los
dos ángulos interiores no adyacentes
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos y se expresa de la siguiente
manera:
a2 + b2 = c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado,
a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo
rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos
sobre los catetos.
112
Colegio BOLIVAR
MATEMÁTICAS
Triángulo rectángulo
Como se dijo anteriormente, el triángulo rectángulo tiene un ángulo recto
y dos ángulos agudos. En este tipo de triángulo se llaman catetos a los
lados que forman el ángulo recto, e hipotenusa al lado opuesto al ángulo
recto.
En el triángulo rectángulo se cumple un importante teorema, que es el
Teorema de Pitágoras, el cual afirma:
Geometría
CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO
1. Nombrar todos los triángulos que aparecen en la siguiente figura
113
PRIMER periodo
3. En el triángulo ABC, ∠1 = 45 º y ∠2 = 128º . Hallar la medida de los tres
ángulos interiores del triángulo ABC.
4. En el triángulo DEF, ∠F = 46 º y ∠E = 37 º . Hallar la medida de los
siguientes ángulos:
a. ∠D b. ∠1 c. ∠2 d. ∠3 e. ∠1 + ∠2 + ∠3
Geometría
MATEMÁTICAS
2. Verificar si puede construirse los triángulos con las características
dadas. Justificar la respuesta.
5. Identificar las características de cada tipo de triángulo para completar
la tabla.
114
Colegio BOLIVAR
6. Encontrar la medida de los ángulos sombreados en cada triángulo, a
partir de la información dada en cada uno
MATEMÁTICAS
7. Una escalera de 3 metros de longitud se coloca contra la pared para
alcanzar una ventana. Si el pie de la escalera está a 1 metro de la base
de la pared. ¿A qué altura aproximadamente se encuentra la ventana?
BIBLIOGRAFIA
Geometría
http://www.escolar.com/avanzado/geometria008.htm
http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/triangulos/
generalidades.asp
http://www.mismates.net/matematicas/manipulables/geometria.htm
http://www.escolar.com/avanzado/geometria010.htm
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/actividades/unidad7-actividades.htm
http://carmesimatematic.webcindario.com/cuadernoactividadestercero.
htm
Álgebra y Geometría I. Autores: Mauricio Bautista, Diana Salgado y otros.
Editorial Santillana.
Matemática Constructiva 8. Autores: Gustavo Centeno, Hollman Centeno
y otros. Editorial: Libros Y Libres S.A.
115