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Programa: Educación Básica con énfasis en
Matemáticas e Informática
Curso: Pensamiento Espacial y Sistemas
Geométricos I
Docente: Carlos Mario Paternina Diaz
Universidad Cooperativa de Colombia
Nivel VII
2012
CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
La geometría es muy importante debido a que permite enseñar y aprender el arte
de razonar, porque es abstracta, pero fácil de visualizar y tiene muchas
aplicaciones concretas como por ejemplo, calcular el área de un lote a ser
cercado, determinar el volumen de un lata que contiene refresco, construir puentes
bien estructurados, estaciones experimentales en el espacio, grandes coliseos
deportivos, etc. A continuación se muestra la iglesia de Santa Sofía construída en
los años 300, pertenece a la arquitectura Bizantina y fue diseñada usando figuras
geométricas, como semiesferas, rectángulos.
La geometría elemental se divide en dos partes, geometría plana (estudia la
figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho) y
geometría del espacio (estudia las propiedades de los cuerpos geométricos
provistos de largo, ancho y altura o profundidad)
Conceptos básicos
Para el estudio de la geometría, es indispensable conocer el concepto intuitivo de
punto, recta y plano. Estos son términos no definidos que proveen el inicio de la
geometría.
Punto es el objeto fundamental en geometría, el punto representa solo posición y
no tiene dimensión, es decir, largo cero, ancho cero y altura cero. Se representan
por letras mayúsculas.
Ejemplo: Tres puntos
Recta tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto
infinito de puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una
recta se puede representar por:
Semirrecta la definimos como la porción de una recta que tiene principio pero
no tiene fin.
segmento de recta es una porción de la recta con principio y con fin, es decir
sabemos donde empieza y donde termina por ende lo podemos medir.
Plano tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos
dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos
dimensiones.
Ángulos y su clasificación
Un ángulo es una figura geométrica formada
en una superficie por dos líneas que parten de
un mismo punto.
También podemos decir que un ángulo es la
abertura
formada
por
dos
rayos
llamados lados, que tienen un origen común
llamado vértice.
El ángulo se anota:
Dos rectas con un origen común determinan
siempre dos porciones del plano y por tanto dos
ángulos, α y β.
Al ángulo α se le llama ángulo convexo, mientras
que el ángulo β es cóncavo.
Suelen medirse en unidades tales como el radián,el grado sexagesimal o el grado
centesimal.
El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades.
Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud
es igual a la del radio. Su símbolo es rad
El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos
sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados
sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal,
están definidos del siguiente modo:



1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).
Notación decimal
Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte
entera de la fraccionaria con la coma decimal, se divide en 60 en la forma normal
de expresar cantidades decimales, lo que se busca es transformar en minuto y el
segundo números decimales, por ejemplo.
23,2345°
12,32°
123,696°
Notación sexagesimal
Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de
grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:
12°34′34″
13°3′23,8″
124°45′34,70″
Un grado centesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es
igual a 1/400 de la circunferencia.
Clasificación de ángulos
Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:
Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso,
unángulo agudo.
Tipo
Descripción
Ángulo nulo
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su
abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de
0 rad y menor de
rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90°
Un ángulo recto es de amplitud igual a
Ángulo recto
rad
Es equivalente a 90° sexagesimales
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide
con el vértice.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a
a
rad
rad y menor
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales
Ángulo llano, extendido o
colineal
El ángulo llano tiene una amplitud de
rad
Equivalente a 180° sexagesimales
Ángulo oblicuo
Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.
Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo
o perigonal
completo
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de
rad
Equivalente a 360° sexagesimales
relaciones entre parejas de ángulos
En casi todas las figuras geométricas donde intervengan rectas aparecen ángulos,
los cuales es posible relacionar en cuanto a sus dimensiones y a su posición en el
plano.
Así, dos ángulos pueden ser entre sí complementarios, suplementarios o
adyacentes.
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es
90°
α + β son complementarios
α + β= 90°
Dos ángulos son suplementarios si la
suma de sus medidas es 180°
α + β son suplementarios
α + β = 180°
Dos ángulos son adyacentes si tienen
un lado en común y los otros dos están
en la misma recta.
a es adyacente con b Û A, B, C son
colineales (están en la misma recta), BD
lado común para a y b
Los
ángulos
suplementarios.
adyacentes
son
Rectas secantes y paralelas
Como ya vimos, por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en
una superficie por dos líneas rectas que parten de un mismo punto.
Fijando nuestra atención en las rectas, sabemos que estas pueden ser secantes
(que se cortan) o paralelas (que no se cortan nunca).
Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada
ángulo tiene dos lados y un vértice.
Esta construccción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así
formados.
Ángulos opuestos por el vértice
Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en
un punto llamado vértice (V).
α es opuesto por el vértice con β
γ es opuesto por el vértice con δ
Como podemos verificar en la fígura: Los ángulos
opuestos por el vértice son iguales
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante
Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho
ángulos:
Esta distribución numérica nos permite carecterizar parejas de
ángulos según su posición, haciendo notar que los ángulos 3, 4,
5 y 6 son interiores (o internos) y que los ángulos 1, 2, 7 y 8
son exteriores (o externos) respecto a las rectas:
Ángulos internos (3, 4, 5 y 6)
Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas
son suplementarios (suman 180º)
Ángulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180º)
Ángulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180º)
Ángulos externos (1, 2, 7 y 8)
Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas
son suplementarios.
Ángulos 1 y 7 son suplementarios (suman 190º)
Ángulos 2 y 8 son suplementarios (suman º80º)
Ángulos correspondientes:
Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la
transversal.
1 y 5 son ángulos
correspondientes
2 y 6 son ángulos
correspondientes
3 y 7 son ángulos
correspondientes
4 y 8 son ángulos
correspondientes
(iguales),
∠1=∠5
(iguales) ∠ 2 = ∠ 6
(iguales)
∠3=∠7
(iguales)
∠4=∠8
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos
correspondientes es congruente entre sí.
Ángulos alternos internos:
Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a
distinto lado de las paralelas.
3 y 6 son ángulos alternos internos
∠3=∠6
4 y 5 son ángulos alternos internos
∠4=∠5
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par
de ángulos alternos internos es congruente entre sí.
Ángulos alternos externos:
Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a
distinto lado de las paralelas.
1 y 8 son ángulos alternos externos
∠1=∠8
2 y 7 son ángulos alternos externos
∠2=∠7
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par
de ángulos alternos externos es congruente entre sí.
Actividad #1
1. Ejercicio: en las siguientes figuras encontrar el valor de “ x “.
2. Ejercicios: en las siguientes figuras hallar los valores de “X” y de “Y”.
Polígono
En geometría, un polígono es una figura plana que está limitada por una curva
cerrada, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos.
Clasificación
Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta, o
bien por la forma de su contorno.
Regular
Convexo
Irregular
Simple
Polígono
Cóncavo
Complejo
Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina


Simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),
Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan;






Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, es
el que tiene todos sus angulos menores que 180º
Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; es
el que tiene uno o varios angulos mayores que 180º
Regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales, es el que es ala vez
equilatero y equiangulo
Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;
Equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,
Equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.

polígono simple, cóncavo, irregular.

polígono complejo, cóncavo, irregular.

polígono convexo, regular
Clasificación de polígonos según el número lados: triángulo 3, cuadrilátero 4,
pentágono 5, hexágono 6 , heptágono 7, octágono 8, eneágono 9, decágono 10,
endecágono 11, dodecágono 12, …..
Triángulo
Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se
cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de
intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados
son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos
interiores del triángulo.
Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados
o por la amplitud de sus ángulos.
Por las longitudes de sus lados
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:




como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud
(lostres ángulos internos miden 60 grados ó
radianes.)
como triángulo isósceles si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos
que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo
griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales,
estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales,
ángulos iguales1 ), y
como triángulo escaleno
si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no
hay dos ángulos que tengan la misma medida).
Por la amplitud de sus ángulos
Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
(Clasificación por amplitud de sus ángulos)
Rectángulos
Triángulos
Obtusángulos
Oblicuángulos
Acutángulos

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados
que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro
lado hipotenusa.

Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos
(90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor
de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de
90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Clasificación según los lados y los ángulos
Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos
iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos
diferentes, no tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son
iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos
triángulos iguales).
Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales
(de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales
son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura
de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y
ángulos son diferentes.
Los triángulos obtusángulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados
iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que
éstos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados
son diferentes.
Triángulo
acutángulo
equilátero
isósceles
escaleno
rectángulo
obtusángulo
Elementos notables de un triángulo
Mediana
El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se
llama mediana.4


Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto Gllamado centroide o baricentro del triángulo.5
Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos
de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la
longitud de la mediana.

Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.
Mediatríz y circunferencia circunscrita
Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado
trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulo tiene
tres mediatrices, una por cada uno de sus lados
,
y
.
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto
equidistante
de los tres vértices. La circunferencia de centro
y radio
que pasa por cada
uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al
triángulo, y su centro se denomina circuncentro.7

En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está
dentro del triángulo.
 En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está
fuera del triángulo.
 En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el
punto medio de la hipotenusa.
Propiedad
Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es
el punto medio de su hipotenusa.
Bisectríz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen
bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.
Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O.
La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente a los
tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro,
que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.8
Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz
interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son
los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros,
al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son
tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.
Alturas y ortocentro
Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del
triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El
lado opuesto es la basedel triángulo. Todos los triángulos tienen tres
alturas.9 Estas 3 alturas se cortan en un punto único
(son concurrentes),
10
llamado ortocentro del triángulo.
Propiedades



Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del
triángulo.
Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del
triángulo.
Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.
Actividad N° 2
1. Escribe el nombre de cada uno de los siguientes triángulos, según la magnitud
a)
b)
c)
Nombre: ________________
_______________
_______________
2. Dar el nombre de cada triángulo según la medida de sus ángulos interiores.
Nombre: ________________
___________
3. Calcular el valor de “x” en el siguiente, triángulo isósceles.
4. Calcular el valor de “x” en el siguiente, triángulo rectángulo.
5. Trazar las alturas de los siguientes triángulos e identificar las que
corresponden a cada lado.
______
a)
b)
6. Trazar las medianas de los siguientes triángulos e indicarlas.
a)
b)
Propiedades generales de los triángulos.
Estas se mencionan en base a teoremas como son:
Teorema 1. En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°.
Teorema 2. En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos
interiores no adyacentes a él.
Teorema 3. En todo triángulo, un lado cualquiera es menor que la suma de los
otros dos y mayor que su diferencia.
Triángulos congruentes o iguales.
Un triángulo es congruente con otro, o igual a otro si tienen todos sus
lados y ángulos respectivamente iguales a los lados y ángulos de otros. Para
demostrar que dos triángulos son iguales, no es necesario demostrar que sus tres
lados y sus tres ángulos sean iguales uno a no, sino que es suficiente con que se
cumpla la igualdad de algunos de ellos para que, como consecuencia, los demás
resulten también iguales.
En los siguientes triángulos congruentes, los elementos homólogos o
correspondientes están señalados con el mismo trazo
El conjunto de elementos que deben ser iguales da origen, en cada caso a un
criterio de igualdad de triángulos, los criterios son:
Primer criterio: lado, lado, lado (LLL)
Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes
a los lados del otro triángulo.
Segundo criterio: lado, ángulo, lado (LAL)
Dos triángulos son congruentes si, en el primer triangulo, dos de sus lados y el
ángulo comprendido entre ellos del segundo triangulo son congruentes.
Tercer criterio: ángulo, lado, ángulo (ALA)
Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos,
de uno de los triángulos, son congruentes con dos de los ángulos y el lado
comprendido entre ellos del otro triangulo.
Con la finalidad de ejemplificar los criterios de congruencia de los triángulos,
considérense los puntos que se dan a continuación.
1. Los siguientes triángulos son congruentes, lo cual puede comprobarse al medir
los lados de cada triangulo.
2.
Los siguientes triángulos no son congruentes, lo cual se comprueba al medir los
lados de cada triangulo.
3. En los siguientes triángulos, los segmentos y los ángulos congruentes estén
marcados de la misma manera. En función de tal circunstancia, es posible
determinar en cual de los tres criterios de congruencia son LLL, LAL y ALA.
Como puede observarse, los tres lados del primer triangulo son congruentes con
los tres lados del segundo triangulo; por lo tanto, estos triángulos se identifican
con el primer criterio de congruencia: lado, lado, lado (LLL).
Puede verse que estos triángulos son congruentes debido a que
presentan sus ángulos y sus lados congruentes, respectivamente; por lo
tanto, se identifican con el segundo criterio de congruencia: lado,
ángulo, lado (LAL).
Estos triángulos también son congruentes, ya que dos ángulos y el lado
comprendido entre los ángulos del primer triangulo son congruentes con
respecto al segundo triangulo; por lo tanto, estos triángulos se
identifican con el tercer criterio de congruencia: ángulo, lado,
ángulo (ALA)