Download Los números reales: Resumen para Cálculo I1

Los números reales: Resumen para Cálculo I1
Profesora Carolina Mejía M.
March 30, 2011
1
Basado en las notas de los profesores G. Bobadilla y R. Labarca de la Universidad de Chile
Contents
1 Los números reales
Los axiomas de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La relación de igualdad = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La suma + y el producto : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Los axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicación de los axiomas de orden de los reales: Resolución
Una distancia en R: el valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . .
La continuidad de R: axioma del supremo . . . . . . . . . . . . .
Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
de inecuaciones .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
5
7
9
11
12
Chapter 1
Los números reales
En esta sección se tratarán las propiedades de los números reales de manera muy rápida. Es más un manual
de bolsillo que el desarrollo de una teoría exhaustiva. Sin embargo se dejarán algunos ejercicios para que el
lector aplique las propiedades más importantes de los números reales sobretodo en la solución de ecuaciones
e inecualciones muy sencillas pero útiles.
Los números reales constituyen la base sobre la cual se construye el cálculo diferencial y el cálculo integral.
Las propiedades aritméticas de estos números se han trabajado a lo largo de la educación básica y media. A
lo mejor las propiedades que tienen que ver con el orden y sobretodo con la continuidad de los reales (axioma
del supremo), serán un tema nuevo para muchos. Este último axioma se incluye a modo de referencia
aunque su comprensión requiere un poco más de madurez matemática.
Los axiomas de cuerpo
Aceptaremos la existencia de un conjunto no vacío R, que llamaremos conjunto de los números reales.
Sobre él se ha de…nido una relación de igualdad = y dos operaciones algebraicas, suma + y multiplicación .
La relación de igualdad =
Supongamos que a; b; c representan números reales cualesquiera. Entonces la relación de igualdad satisface
las propiedades de:
I1. Re‡exividad: a = a.
I2. Simetría: si a = b, entonces b = a.
I3. Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
La suma + y el producto :
Las operaciones binarias de…nidas sobre los números reales son funciones que toman dos elementos de R para
obtener un nuevo número real, es decir, son operaciones cerradas en el conjunto de los números reales.
+:
R R
(a; b)
!
7!
R
a+b
:
R R
(a; b)
!
7!
R
a b
Estas operaciones satisfacen los siguientes axiomas para a; b; c números reales cualesquiera:
2
C1. Ley asociativa para la suma: a + (b + c) = (a + b) + c.
C2. Existencia de un elemento identidad para la suma: a + 0 = 0 + a = a.
C3. Existencia de inversos para la suma: a + ( a) = ( a) + a = 0.
C4. Ley conmutativa para la suma: a + b = b + a.
C5. Ley asociativa para la multiplicación: a (b c) = (a b) c.
C6. Existencia de un elemento identidad para la multiplicación: a 1 = 1 a = a; además se tiene que 1 6= 0.
C7. Existencia de inversos para la multiplicación: a a
1
=a
1
a = 1; para a 6= 0.
C8. Ley conmutativa para la multiplicación: a b = b a.
C9. Ley distributiva: a (b + c) = a b + a c.
C10. Estas operaciones son compatibles con la relación de igualdad, es decir, si a = b entonces a + c = b + c
y a c = b c para todo c número real.
A partir de estos axiomas y las reglas de la lógica formal se pueden obtener todas las otras propiedades
de la aritmética usual que se aprenden durante la enseñanza básica y media. Los siguientes enunciados
tienen el propósito de recordar las propiedades más importantes que se derivan de los axiomas de cuerpo.
Proposición 1 (La multiplicación tiene elemento anulador) Dado a 2 R se cumple 0 a = 0.
Notación 2 A partir de este momento por comodidad escribiremos ab para representar a b.
Proposición 3 (Los inversos aditivos y la multiplicación) Dados a; b 2 R , se tienen las siguientes
propiedades:
1.
( a) = a.
2. ( a)b =
(ab).
3. a( b) =
(ab).
4. ( a)( b) = ab.
Proposición 4 (Los inversos multiplicativos y la multiplicación) Dados a; b 2 R , a 6= 0, b 6= 0, se
tienen las siguientes propiedades:
1. (a
2. a
1
1
1
1
= a.
1
)
1
.
b)
1
.
= (ab)
1
.
b = (ab
1
3. ab
4. a
)
b
= (a
1
1
Proposición 5 (Leyes de cancelación) Dados a; b; c 2 R se cumple:
1. a + c = b + c si y sólo si a = b.
2. ac = bc y c 6= 0 si y sólo si a = b.
Proposición 6 Dados a; b 2 R se cumple ab = 0 si y sólo si (a = 0) o (b = 0).
De…nición 7 (Resta) Por comodidad podemos de…nir una nueva operación a partir de la suma de reales.
Dados a; b 2 R, escribiremos a b para simbolizar el número a + ( b). A tal número lo llamaremos la
diferencia de a y b.
3
Proposición 8 (Propiedades de la resta) Dados a; b; c 2 R se tienen las siguientes propiedades:
1. a
( b) = a + b.
2. a
b = 0 si y sólo si a = b.
3. a
(b + c) = a
b
c.
De…nición 9 (División) De nuevo por comodidad podemos de…nir una nueva operación pero a partir de
la multiplicación de reales. Dados a; b 2 R, b 6= 0, escribiremos ab o a : b para simbolizar el número a b 1 .
A tal número lo llamaremos el cociente entre a y b.
Proposición 10 (Propiedades de la división) Dados a; a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R, se tienen las siguientes propiedades:
1.
a
1
= a.
2. Si a 6= 0, entonces
1
a
=a
3. Si a 6= 0, entonces
a
a
= 1.
1
4. Si a2 6= 0, b2 6= 0, entonces
5. Si a2 6= 0, b 6= 0, entonces
.
a1
a2
a1
a2
=
a1
a2
7. Si a2 6= 0, b2 6= 0, entonces
a1
a2
si y sólo si a1 b2 = a2 b1 .
a1 b
a2 b .
=
6. Si a2 6= 0, b2 6= 0, entonces
b1
b2
b1
b2
=
a1 b1
a2 b2 .
b1
b2
=
a1 b2 +a2 b1
a2 b2
8. Si a2 6= 0, b2 6= 0, b1 6= 0, entonces
a1
a2
:
+
b1
b2
=
y
a1
a2
b1
b2
=
a1
a2
b1
b2
=
a1 b2 a2 b1
.
a2 b2
a1 b2
a2 b1 .
La mayor aplicación de los axiomas de cuerpo en la matemática radica en la posibilidad de resolver
ecuaciones algebraicas cuando los coe…cientes son números reales. Dentro del mundo de las ecuaciones vale
la pena recordar las ecuaciones de segundo grado con una variable, para las cuales siempre existe solución
en el conjunto de los números complejos.
Proposición 11 (Ecuación cuadrática) Para a; b; c 2 R, a 6= 0, la ecuación ax2 + bx + c = 0 siempre
tiene solución en los complejos y está dada por
p
b
b2 4ac
x=
2a
Para el caso en el que b2 4ac es positivo tenemos dos soluciones reales. Si b2 4ac es negativo tenemos
dos soluciones complejas conjugadas. Y para el caso en el que b2 4ac es igual a 0 tenemos una única
solución real dada por x = 2ab .
Para el caso de ecuaciones más generales de una sola variable, la idea es igualar a 0 la ecuación y luego
intentar factorizar para poder encontrar las raíces que serán las soluciones buscadas.
Ejercicio 12 Encontrar todas las soluciones reales de cada una de las siguientes ecuaciones (recuerde
primero igualar a 0)
1. x2 + x = 1
2. x2 + x =
1
3. x2
2x + 1 = 0
4. x3
8=0
Proposición 13 (Leyes de factorización) Las siguientes igualdades son válidas siempre que las variables
x; y; z tomen un valor real.
4
1. (x + y)(x
2. (x
y) = x2
y2
y)(x2 + xy + y 2 ) = x3
3. (x + y)(x2
4. (xn
y3
xy + y 2 ) = x3 + y 3
y n ) = (x
y)(xn
1
+ xn
5. Si n es un natural par: (xn
2
y + xn
3 2
y + xn
y n ) = (x + y)(xn
4 3
y + ::: + y n
1
xn
6. Si n es un natural impar: (xn + y n ) = (x + y)(xn
7. (x
y)2 = x2
2xy + y 2
8. (x
y)3 = x3
3x2 y + 3xy 2
1
2
y + xn
xn
2
1
) para cualquier n natural, n
3 2
xn
y
y + xn
3 2
y
4 3
y + :::
xn
4 3
yn
1
2
)
y + ::: + y n
1
)
y3
9. (x + y + z + :::)2 = x2 + y 2 + z 2 + ::: + 2(xy + xz + yz + :::)
10. Fórmula del binomio: si x y y son números reales y n es un natural mayor o igual a 1, se tiene que
(x + y)n =
n
X
n n
x
k
k k
y
k=0
donde
n
k
=
n!
k!(n k)!
para todo k = 0; 1; :::; n
Ejercicio 14 A continuación unos ejercicios para repasar estas propiedades de los números reales.
1. Usando las propiedades vistas, demuestre que para todos a; b; x; y 2 R con b 6= y se tiene la igualdad
x a
a x
b y = y b.
bc
ac
2. Demuestre que (a+b)(a+c)
+ (b+c)(b+a)
+
racionales anteriores existan.
3. Demuestre
x y
x+y
+
x+y
x y
x2 +y 2
2xy
+1
ab
(c+a)(c+b)
xy
x2 +y 2
=
+
2abc
(a+b)(a+c)(b+c)
x+y
x y
4. Demuestre que la siguiente expresión se anula cuando x =
x
x
a
b
= 1 para a; b; c 2 R, tales que los
3
a+b
2
x 2a + b
x + a 2b
5. Simpli…que la expresión
x2
1
+
1
x2 +
1
x
x+ 1
x
x2
2
1
1
x2
1
x
x
6. *Encuentre a; b dos constantes tales que para todo x 2 R, x 6=
x2
1
x
4, x 6= 3:
a
b
6x 2
=
+
+ x 12
x+4 x 3
Los axiomas de orden
Además de las propiedades algebraicas de los números reales, estos elementos tienen la gran virtud de
poderse comparar unos a otros y una vez hecho esto se pueden ubicar uno detrás de otro en …la india. Para
entender estas propiedades tan importantes de los números relaes seguiremos con la presentación axiomática.
Empezaremos por aceptar la existencia de un subconjunto de R, llamado conjunto de los números reales
positivos, denotado por R+ , que satisface las propiedades siguientes:
O1. R+ es cerrado para la suma, es decir, si a; b pertenecen a R+ , entonces el real a + b pertenece a R+ .
5
O2. R+ es cerrado para la multiplicación, es decir, si a; b pertenecen a R+ , entonces ab pertenece a R+ .
O3. Para todo número real a se cumple una y sólo una de las siguientes a…rmaciones:
(i) a = 0
(ii) a pertenece al conjunto R+
(iii)
a pertenece al conjunto R+ .
Observación 15 El axioma O3 se llama propiedad de tricotomía de los números reales.
De…nición 16 De…namos ahora el símbolo <,
1. a < b si y sólo si b
a 2 R+ .
2. a > b si y sólo si a
b 2 R+ .
Vamos a recordar las propiedades más importantes que cumplen los números reales y que están relacionadas con la relación <.
Proposición 17 Dados los números reales a; b (ya no estamos hablando solamente de los reales positivos)
se cumple una y sólo una de las siguientes a…rmaciones:
1. a = b
2. a < b
3. a > b
Al igual que existe el conjunto de los reales positivos podemos de…nir el conjunto de los reales negativos
así:
De…nición 18 Llamaremos conjunto de los números reales negativos al conjunto
R = x2R:
x 2 R+
Observemos que 0 2
= R pero también se tiene que 0 2
= R+ lo que pone de mani…esto que el cero no
es ni positivo ni negativo. Además no existen elementos que están a la vez en R+ y en R , es decir que
R+ \ R = ; pero por el axioma O3 todo número real pertenece a uno y sólo a uno de los conjuntos R+ , R ,
f0g. Así los números reales quedan partidos como R = R+ [ R [ f0g. Por otro lado, como consecuencia de
las proposiciones y los axiomas se tiene que todo número negativo es menor que cualquier número positivo
y el cero es la frontera entre los dos tipos de números.
R-
0
R+
Aun no sabemos si la recta real tiene
huecos.
Además de la relación < entre reales, normalmente trabajamos con un símbolo un poco diferente,
De…namos esta nueva relación.
De…nición 19 Si a; b son números reales, a
sólo si a = b o a > b.
Proposición 20 La relación
1. Re‡exiva: a
b si y sólo si a = b o a < b. De manera análoga, a
es:
a para todo a 2 R.
6
.
b si y
2. Antisimétrica: si a
3. Transitiva: si a
byb
byb
a entonces a = b.
c entonces a
c.
Ahora veamos como interactúan las operaciones + y con la relación
Proposición 21 (Compatibilidad de
Es decir, si a b y c 2 R entonces a + c
con la suma) La relación
b + c.
.
es compatible con la suma de reales.
La multiplicación tiene un comportamiento un poco diferente con la relación
Proposición 22 Si a b y c 2 R+ entonces a c
invierte la desigualdad).
b c. Pero si a
byc2R
.
entonces a c
b c (se
Proposición 23 Veamos el comportamiento de los inversos aditivos y multiplicativos con la relación <:
1. Si a > 0 entonces
a < 0 (se invierte la desigualdad con inversos aditivos)
2. Si a < 0 entonces
a>0
3. Si a > 0 entonces a
1
> 0 (se mantiene la desigualdad con inversos multiplicativos)
4. Si a < 0 entonces a
1
<0
Una propiedad que se deriva de los axiomas de orden de los números reales y que es muy útil en la
resolución de inecuaciones es la siguiente.
Proposición 24 Sean a; b 2 R, si a b > 0 entonces o (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0).
Además si tenemos que a b < 0 entonces o (a < 0 y b > 0) o (a > 0 y b < 0).
Proposición 25 (Densidad de los números reales) Si a; b 2 R, con a < b entonces se puede probar que
a < a+b
2 < b.
Este resultado se puede leer diciendo que entre dos números reales a; b distintos siempre existe un tercer
número real c. Como a; c son distintos, puede aplicarse la conclusión a ellos y obtener un cuarto número real
d, y así sucesivamente. Como este proceso puede extenderse inde…nidamente, lo que obtenemos es que entre
dos números reales distintos existen in…nitos números reales. Esta importante propiedad se llama densidad
de los números reales.
Aplicación de los axiomas de orden de los reales: Resolución de inecuaciones
En principio para resolver desigualdades de grado igual o superior a dos se deben aplicar los axiomas de orden
y sus consecuencias, en particular la proposición 24, pues esta permite analizar las distintas posibilidades
de signo de los factores. Este método para resolver inecuaciones es llamado método axiomático. Pero, en
general este método se enseña en la escuela de un modo diferente aunque el soporte formal sea exactamente
el mismo. En la escuela se conoce como método reducido o método del cementerio. A continuación
se mostrarán algunos ejemplos de inecuaciones y su solución por el método axiomático o el método del
cementerio.
Para resolver cualquier desigualdad los pasos previos obligatorios son:
1. Reescribir la desigualdad de manera que uno de los lados de esta sea 0.
2. Reducir términos semejantes.
3. Factorizar el respectivo polinomio cuando el grado es mayor o igual a dos.
7
Ejemplo 26 Resolución de una desigualdad general de primer orden
Sean a; b números reales constantes, a 6= 0. Después de realizar los pasos previos, una desigualdad de
primer orden tiene, por ejemplo, la forma
ax + b 0
Usando la proposición 21 se tiene que
ax
b
Pero si queremos despejar completamente la variable debemos multiplicar a ambos lados de la desigualdad
por el inverso multiplicativo de a. Pero recordemos que la multiplicación no es del todo compatible con ,
depende del signo del número que vayamos a multiplicar a ambos lados de la desigualdad. Entonces por la
proposición 23 se tiene
Si a
< 0 entonces ax + b
0 si y sólo si x
Si a
> 0 entonces ax + b
0 si y sólo si x
Entonces el signo del polinomio ax + b cambia en el punto
b
a ,
b
a
b
a
así:
1. Si a < 0
+
-b/a
_
R
2. a > 0
_
-b/a
_+
R
Ejemplo 27 Resolución de una desigualdad de segundo grado.
El caso general que intentamos estudiar es el siguiente. Dados a; b; c números reales con a 6= 0, encontrar
los valores de x tales que
ax2 + bx + c 0
El desarrollo de este método se puede adaptar fácilmente si cambiamos el símbolo
por , o por <, o por
>. Veamos primero una caso de una desigualdad de segundo orden en la cual el polinomio correspondiente
se puede factorizar completamente.
Resolver x2 + x > 6. Esta desigualdad es equivalente a la desigualdad x2 + x 6 > 0. Factorizando el
polinomio tenemos
(x + 3) (x 2) > 0
Así por la proposición 24 tenemos dos factores que al multiplicarlos obtenemos un número positivo, entonces
o los dos factores son positivos o los dos factores son negativos. Para analizar los dos casos simultáneamente
podemos hacer una tabla en la cual se registre en qué intervalos el primer factor es positivo, en qué intervalos
el primer factor es negativo, y así para cada factor involucrado en la desigualdad. Note que para poder hacer
esto es necesario saber en qué puntos de la recta real el factor cambia de positivo a negativo. Para el factor
(x + 3) tenemos que si x < 3 el factor es negativo mientras que si x > 3 el factor es positivo. Para
el caso de (x 2) tenemos que si x < 2 el factor es negativo mientras que si x > 2 el factor es positivo.
Resumiendo
Intervalo/Factor ( 1; 3) ( 3; 2) (2; 1)
(x + 3)
+
+
(x 2)
+
(x + 3) (x 2)
+
+
Así que si lo que queríamos saber es para qué números reales es cierta la desigualdad (x + 3) (x 2) > 0,
observando la tabla debemos decir que el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo ( 1; 3) unido
con el intervalo (2; 1).
8
Ejemplo 28 Resolver la desigualdad x2 + 2x + 2 < 0.
Siguiendo el método anterior, lo primero que debemos hacer es factorizar el polinomio p(x) = x2 +2x+2 y
como es unppolinomio cuadrático, podemos usar la fórmula de la proposición 11. Entonces p(x) = 0 si y sólo
si x = 2 2 4 8 , pero en este caso no existen soluciones reales para la ecuación, y si además observamos que
el coe…ciente de x2 es positivo lo que tenemos es que el polinomio p(x) = x2 + 2x + 2 siempre es positivo. No
existen valores reales tales que al reemplazarlos por x en la desigualdad x2 + 2x + 2 < 0, esta sea verdadera.
Ejemplo 29 Este método funciona cuando hay dos, tres, cuatro o más factores, en estos casos la diferencia
radica únicamente en el tamaño de la tabla resumen. Veamos ahora que el método también funciona cuando
la variable aparece en el denominador.
Resolver x 7 2 x 4 1 0. En este caso debemos escribir una sola fracción con numerador y denominador
factorizados.
4
7
x 2 x 1
7 (x 1) 4 (x 2)
(x 2) (x 1)
7x 7 4x + 8
(x 2) (x 1)
3x + 1
(x 2) (x 1)
0
0
0
0
Analizando cada uno de los tres factores tenemos
(3x + 1)
(x 2)
(x 1)
( 1; 1=3)
( 1=3; 1)
+
(1; 2)
+
+
3x+1
(x 2)(x 1)
+
(2; 1)
+
+
+
+
4
En conclusión el conjunto solución de la desigualdad x 7 2
0 es el intervalo ( 1; 1=3] unido con
x 1
el intervalo (1; 2). Note que aunque la desigualdad utiliza el símbolo menor o igual, el intervalo (1; 2) no
puede contener los extremos pues estaríamos dividiendo por 0.
Ejercicio 30 Determine los siguientes conjuntos
1. A = x 2 R : x2 + x > 2
2. B = fx 2 R : (2x + 1) = (x + 2) < 1g
Ejercicio 31 Resolver las siguientes desigualdades
1. x(x2
2)(x2
2. (x
3. 3 +
5x + 6) > 0
1
x 1
4.
1 2x
x+3
5.
2 x
x2 +3x+2
>
6x + 8)(x2
4x
5) > 0
1
2x+1
1
0
Una distancia en R: el valor absoluto
Los axiomas de orden nos permiten comparar números reales y gracias a la densidad de R, proposición 25
sabemos que si a < b, entre ellos podemos insertar una in…nidad de números reales distintos. Esto puede
hacer perder la perspectiva de cuán lejos o cerca están estos números. Aun cuando el estar cerca o lejos
es una cuestión relativa al problema concreto en que estamos involucrados, es útil tener un método para
poder discernir en cada caso. Para ello se de…ne una distancia en R eligiendo como punto de referencia, en
principio, el cero. Esta idea la realiza el llamado valor absoluto de un número real.
9
De…nición 32 Llamaremos valor absoluto del número a 2 R, denotado por jaj al número:
a
jaj =
si a 0
a si a < 0
En general, podemos apreciar que el número a y su inverso aditivo a están a igual distancia del cero.
Usando algunas consecuencias del orden de R , sabemos que todo número negativo es menor que uno positivo.
Así tenemos los siguientes grá…cos.
Cuando a es positivo
Cuando a es negativo tenemos que
a es positivo.
A modo de resumen se incluye la siguiente proposición que indica las propiedades más importantes que
tiene el valor absoluto de los números reales.
Proposición 33 Para a; b 2 R:
1. jaj
0.
2. jaj = j aj.
3.
jaj
a
jaj.
4. jaj = 0 si y sólo si a = 0.
5. ja bj = jaj jbj.
6. Si b
0 tenemos que jaj
b si y sólo si
7. Si b
0 tenemos que jaj
b si y sólo si o a
8. ja + bj
b
a
b.
boa
b.
jaj + jbj (desigualdad triangular).
Si revisan con atención los items 6 y 7 de la proposición anterior, notarán que permiten "desaparecer" el
valor absoluto en una desigualdad. Esto es especialmente útil si se pretende encontrar el conjunto solución
de una inecuación en la existen valores absolutos dentro de la expresión que se quiere despejar.
Ejemplo 34 Resuelva la ecuación jx 1j = 3
Por de…nición de valor absoluto tenemos que jx 1j = x 1 siempre que x 1
0, es decir cuando
x
1. Entonces si suponemos que x 2 [1; 1) la ecuación quedaría x 1 = 3, entonces x = 4. Ahora
cuando x 1 < 0, es decir, cuando suponemos que x < 0 la ecuación sería jx 1j = (x 1) = 3 entonces
x = 2. Existen dos valores de x para los cuales se satisface la ecuación, x = 4 y x = 2.
Ejemplo 35 Resuelva la ecuación j3x 5j + 3 = 0.
Como el valor absoluto no toma valores negativos, la ecuación propuesta no tiene solución.
10
Ejemplo 36 Resuelva la ecuación jx + 2j = jx 4j.
Debemos analizar dos casos:
Primer caso: Las cantidades entre barras tienen el mismo signo, entonces x + 2 = x
2 = 4. Como esto es imposible, en este caso no hay solución.
Segundo caso: Las cantidades entre barras tienen distinto signo, entonces x + 2 = (x
por tanto, x = 1.
4, por tanto,
4) =
x + 4,
Ejemplo 37 Determine el conjunto A = fx 2 R : j2x + 3j 6g.
Si j2x + 3j 6 por la proposición 33 parte 6, tenemos que
6
2x + 3 6
3 2x 9
3=2 x 9=2
Por lo tanto A = fx 2 R :
3=2
x
9=2g = [ 3=2; 9=2].
Ejemplo 38 Resuelva la inecuación j5x 8j > 4.
Por proposición 33 item 7, tenemos que:
5x
8 > 4 o 5x 8 < 4
5x > 12 o 5x < 4
x > 12=5 o x < 4=5
Entonces x 2 ( 1; 4=5) o x 2 (12=5; 1).
Ejercicio 39 Resuelva:
1. jx
4j
j2x
1j.
2. Determine el conjunto B = fx 2 R : jx
3. x +
1
x
1j
jxjg.
4.
4. Escriba, ayudándose de la de…nición de valor absoluto, f (x) = jx + 1j + jx
los signos del valor absoluto.
5.
x2 2x 3
x2 4x+3
6.
x2 5x+6
x2 11x+30
1j 2 jxj sin que aparezcan
5.
> 2.
La continuidad de R: axioma del supremo
Con el Axioma del Supremo se completa el conjunto de axiomas que caracterizan totalmente a R, es decir,
R es el único conjunto que veri…ca los axiomas de Cuerpo, de Orden y el Axioma del supremo. Las
consecuencias de mayor trascendencia del Axioma del Supremo son la existencia de números irracionales y
la propiedad arquimediana de los números reales.
De los axiomas de cuerpo solamente puede deducirse, en primera instancia, la existencia de al menos dos
números distintos el 0 y el 1. La suma de unos da origen a los números naturales. La resta de números
naturales da origen a los números enteros y …nalmente la división de enteros genera la aparición de los números
racionales. En síntesis, para tener el conjunto de los números racionales bastan los axiomas de cuerpo y orden.
Pero estos números no son su…cientes para la construcción del cálculo diferencial e integral cuyos conceptos
básicos necesitan la continuidad de los números reales. Esta propiedad de R la proporciona el Axioma del
supremo. En particular, para tener una idea intuitiva de esto, solamente podemos pensar R como un
continuo geométrico: la recta númerica, lo que se obtiene una vez que al conjunto de los números racionales
se le agregan los números irracionales que pueden ser concebidos como supremos de ciertos conjuntos de
números racionales.
Aunque la idea no es entender a fondo el axioma del supremo, se incluirán las de…niciones necesarias para
que un lector interesado pueda saber a grandes rasgos de qué trata este axioma.
11
De…nición 40 Si A es un conjunto de números reales, entonces y es una cota superior de A si y sólo si y
es un número real y para cada x 2 R, x y.
Ejemplo 41 El conjunto f2; 4; 6; 8; 10g tiene cotas superiores ya que para cualquier número real c mayor o
igual a 10 se tiene que c es mayor o igual que cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplo 42 El conjunto fx 2 R : x < 3g es acotado superiormente por cualquier número mayor o igual a
3.
Una observación importante es que si un conjunto tiene una cota superior entonces existen in…nitas cotas
superiores del conjunto. Por lo tanto, tiene sentido la siguiente de…nición.
De…nición 43 Si A es un conjunto de números reales, el número y es el supremo de A (sup A), si y sólo si
y es una cota superior de A y para cada z que es cota superior de A se tiene y z. Es decir el supremo es
la menor de las cotas superiores.
La de…nición de supremo, salvo en casos elementales, no es fácil de usar, para …nes más prácticos suele
usarse la siguiente caracterización del supremo.
Teorema 44 Si A es un conjunto de números reales entonces y es el supremo de A si y sólo si y es una
cota superior de A y para cada número real positivo existe un x en A tal que y
< x.
Tenemos entonces que en el conjunto de los números reales es cierto el siguiente teorema.
Teorema 45 Un conjunto de números reales puede tener a lo más un supremo.
Es interesante observar que el conjunto vacío es acotado superiormente por cualquier número real. Esto
se obtiene usando reducción al absurdo. Luego, no existe un número real que sea el supremo del vacío.
Estamos listos para enunciar el último axioma que caracteriza el conjunto de los números reales.
Axioma del supremo
S1. Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota superior, entonces tiene supremo en R.
Como consecuencia de este axioma tenemos el siguiente teorema, llamado Principio de Arquímedes. Este
principio es de gran importancia en el estudio del cálculo y de los números reales.
Teorema 46 (Principio de Arquímedes) N no es acotado superiormente.
Una forma equivalente de enunciar el Principio de Arquímedes es: Dado un número real a, existe n 2 N
tal que a < n. Puesto que si no existiera tal n,
tendríamos que para todo n 2 N, n a, y a sería una cota superior de N.
Además del Principio de Arquímedes, el axioma del supremo permite por ejemplo, de…nir xr para todo
r 2 R. Además permite de…nir entre otras cosas, límites de sucesiones, de funciones, derivadas, integrales,
en …n, permite el cálculo y el análisis tal como lo conocemos.
12