Download el algebra como aritmetica generalizada

EL ALGEBRA COMO ARITMETICA GENERALIZADA
LEYES QUE GOBIERNAN LOS NUMEROS
Un conjunto de números u objetos por si solos pueden no significar nada, son las relaciones entre
ellos lo que le da estructura y esto es lo que hacen las operaciones que se realicen.
Los números constan de dos operaciones binarias, la adición y la multiplicación que satisfacen los
siguientes axiomas:
Axioma 1.
La suma de números es conmutativa, es decir, si a y b son dos números cualesquiera, entonces:
a+b=b+a
Axioma 2.
La suma de números es asociativa, es decir, si a y b son dos números cualesquiera, entonces
(a+b)+c=a+(b+c)
Axioma 3.
Existe un elemento neutro para la suma, el 0. es decir, si a es un número cualesquiera
a+0=0+a=a
Axioma 4.
Para cada número a existe un inverso aditivo que se denota –a. Esto es,
a+(-a)=(-a)+a=0
Axioma 5.
El producto de dos enteros es conmutativo, es decir, si a, b son números cualesquiera, entonces
ab=ba
Axioma 6.
El producto es asociativo, es decir, si a, b, c son números cualesquiera, entonces
(ab)c=a(bc)
Axioma 7.
Existe un elemento neutro para la multiplicación, el 1. es decir, si a es un número cualesquiera:
a1=1 a=a
Axioma 8.
Para todo a  0 existe un número a 1 tal que a  a 1  a 1  a  1
Se tiene que a  0 ya que 0 b=0 ya que no existe un número 0-1 que 0 0-1=1
Axioma 9
El producto distribuye a la suma, es decir, si a,b,c son números cualesquiera, entonces
a(b+c)=ab+ac
(a+b)c=ac+bc
Si un conjunto con las operaciones + y  cumple con estos axiomas, entonces este conjunto, con las
operaciones respectivas, constituye un anillo conmutativo con elemento unitario.
Prueba las siguientes proposiciones:
Proposición 1:(ley de la cancelación). si a,b y c son enteros y a+b=a+c, entonces b=c
Corolario: Si a y b son enteros y a+b=a, entonces b=0
Proposición 2. para todo entero a, se tiene que 0a= 0
Corolario: el inverso aditivo del inverso aditivo de un número -a es a. Es decir,
-(-a)=a
proposición 3. (regla de los signos). Si a, b son números cualesquiera, entonces
(-a)b=-(ab)
(-a)(-b)=ab
Coroloario 3: (-1)a=-a
(-1)(-1)=1
Definición: si a, b son números cualesquiera, la diferencia a-b es:
a-b=a+(-b)
Proposición 4: dados los números a, b, c , entonces
a(b-c)=ab-ac
Coroloario 4: -(a+b)=-a-b
Actividades:
1. Haciendo uso de las propiedades realiza y simplifica el resultado de:
( 5  6  7 )( 5  6  7 )( 5  6  7 )( 5  6  7 )
2. Probar que:
 si ax=a para algún número a 0, entonces x=1
 x2-y2=(x+y)(x-y)
 x2=y2, entonces x=y o x=-y
a ac

 , si b, c  0
b bc
a c ad  bc
 
, si b, d  0

b d
bd

ab1  a 1b 1 , si

a c ac
 
, si
b d bd
a, b  0
b, d  0

a
b
c
d

ad
, si
bc
b, c, d  0
a c
 si y sólo si ad=bc
b d
3. Si los números 5 , 3 9 ,1,2 y3 se ordenan de izquierda a derecha en orden de magnitud
¿cuál de ellos queda en medio? ¿Qué propiedades de los números se manejan?

si b,d0, entonces
POLINOMIOS ALGEBRAICOS
El polinomio algebraico es una abstracción de la generalización de la estructura
polinómica de número.
Un número puede escribirse como suma de términos, por ejemplo:
8531 = 8x103+5x102+3x10+1x100
Cuando sumamos una expresión numérica cualesquiera, en realidad estamos utilizando el
carácter polinómico de la estructura del número, porque lo que sumamos son los distintos
órdenes de unidades con sus correspondientes (términos semejantes), sumando a la
izquierda “lo que llevamos” cuando rebasamos el orden de las unidades correspondientes.
Así por ejemplo
3742
+ 501
4243
3x103+7x102+4x10+2x100
+
5x102+0x10+1x100
3x103+12x102+4x10+3x100
Para expresarlo en forma idéntica, al de la izquierda, tenemos:
3x103+(10+2)x102+4x10+3x100=3x103+103+2x102+4x10+3x100
reduciendo términos semejantes:
4x103+2x102+4x10+3x100=4243
En el caso de la multiplicación, para conservar los órdenes de las unidades, al hacer las
sumas de los productos parciales, llevamos a cabo un desplazamiento hacia la izquierda en
cada renglón. Al realizar la operación representando el número en su estructura polinómica
se observa el porqué del desplazamiento a la izquierda.
536
268
3216
1102 + 310 + 4
210 + 4
4102 + 1210 +16
2103 + 6102 +810
2103+10102 +2010+16 = 3216
Actividad:
Realiza la multiplicación 3452x432 expresándolo como potencias de 10 y reduciendo
términos semejantes, verifica el resultado.
Para la división como operación inversa a la multiplicación para dos números A y
C
C
P r
B, tenemos AB=C y la división B  o A  , si es inexacta A   y su
A
B
B B
comprobación es P=AB+r.
Observemos el comportamiento de la División, mediante la estructura polinómica de los
números.
-3306
023142
-2204
01102
-1102
0
-3x5-3x4
- 6x2
4
3
0+ 2x +3x +x2+ 4x+2
-2x4 - 2x3
-4x
0 + x3 + x2
-2
3
2
- x - x
+2
0